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CCINP Mathématiques PSI 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Équation différentielle x²y'' + axy' + by = 0 et cas particulier de la loi forte des grands nombres
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Le sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier étudie l'équation différentielle x²y'' + axy' + by = 0 : solutions polynomiales par l'algèbre linéaire, solutions sur R pour a et b constants, puis une équation de Bessel traitée par les séries entières. Le second établit la loi forte des grands nombres pour des variables aléatoires discrètes bornées, à partir de l'inégalité de Markov.

  1. 1Problème 1, partie I : endomorphismesÉtude d'endomorphismes de R[X] liés à l'équation, diagonalisabilité et noyau pour obtenir les solutions polynomiales (Q1 à Q12).
  2. 2Problème 1, partie II : une équation différentielleStructure de l'ensemble des solutions, changement de variable exponentiel vers une équation à coefficients constants et raccord des solutions sur R (Q13 à Q18).
  3. 3Problème 1, partie III : une équation de BesselRecherche de solutions développables en série entière dans le cas a = 1 et b égal à la fonction carré (Q19 à Q30).
  4. 4Problème 2 : loi forte des grands nombresInégalité de Markov, majoration de E(e^{tX}) par une étude de fonction, majoration de P(|S_n| ≥ ε) puis convergence presque sûre (Q31 à Q44).

Difficulté moyenne. Le jury signale de nombreuses questions très abordables, mais juge les séries entières mal maîtrisées et la fin du problème de probabilités difficile malgré le guidage.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,25 / 20 · 5 249 présents
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Moyenne
10,25/ 20
Présents
5 249

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Noyau d'un endomorphisme de polynômes · Mauvais usage du théorème de Cauchy linéaire · Définition du rayon de convergence
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Les copies sont dans l'ensemble bien présentées, mais une grande partie du sujet a été délaissée alors que beaucoup de questions étaient accessibles. Le jury juge inquiétante la méconnaissance du cours : définitions imprécises, théorèmes mal énoncés. Le problème 1 a été plus abordé que le problème 2, et sa première partie mieux réussie que la suite.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Noyau d'un endomorphisme de polynômesQ10 à Q12

    Des candidats proposent comme noyau des fonctions logarithmes ou exponentielles alors que l'endomorphisme agit sur Rn[X]. Les rares bonnes réponses sont peu argumentées.

    « Les questions Q10 à Q12 ont souvent été très mal traitées ou sautées. »
  2. 2
    Mauvais usage du théorème de Cauchy linéaireQ13

    Le théorème ne s'applique pas sur R entier pour cette équation, et la question portait sur la structure de l'ensemble des solutions, pas sur l'unicité avec conditions initiales.

    « Peu de candidats ont compris que le théorème de Cauchy ne s’appliquait pas sur R. »
  3. 3
    Définition du rayon de convergenceQ19

    Beaucoup définissent le rayon comme un réel R tel que la série converge sur ]−R, R[, voire comme un complexe ou un intervalle.

    « Très peu ont su restituer correctement la définition du rayon de convergence d’une série entière à la question Q19. »
  4. 4
    Dérivation terme à terme non justifiéeQ20

    La dérivabilité de J0 et l'unicité du développement en série entière sont souvent passées sous silence, et la récurrence est rarement bien rédigée.

    « très peu de candidats ont justifié que J0 était dérivable avant de dériver terme à terme »
  5. 5
    Inégalité de Markov et variables discrètesQ31 à Q33

    L'hypothèse de positivité est souvent oubliée dans l'énoncé de l'inégalité de Markov. Certains croient qu'une variable aléatoire discrète est finie ou à valeurs dans N.

    « Certains pensent qu’une variable aléatoire discrète est finie, d’autres qu’elle est à valeurs dans N. »
  6. 6
    Convergence d'une série mal justifiéeQ41

    La convergence de la série est souvent justifiée uniquement par la limite nulle du terme général, ce qui ne suffit pas.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions Q1 à Q9 d'algèbre linéaire ont été assez bien traitées.
  • Q14 à Q16 ont été plutôt bien réussies, Q16 étant très proche du cours.
  • Les questions Q35 à Q38, fondées sur l'étude de fonctions, ont été abordées par la plupart des candidats.
  • Q39 et Q40 ont été plutôt bien traitées par ceux qui les ont atteintes.

Conseils du jury

  • Connaître précisément les énoncés de cours : théorème de Cauchy linéaire, rayon de convergence, produit de Cauchy, inégalité de Markov, développements en série entière usuels.
  • Gérer le temps pour ne pas s'enliser sur les questions difficiles du problème 1 au détriment des questions simples du problème 2.
  • Justifier l'identification des coefficients d'une série entière par l'unicité du développement.
  • Soigner la présentation, qui est prise en compte dans la notation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 30 avril : 14 h − 18 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.

PROBLÈME 1

Ce problème comporte 3 parties indépendantes.

Notations et définitions

  • N désigne l'ensemble des entiers naturels, N^∗ désigne l'ensemble des entiers naturels non nuls.
  • R désigne l'ensemble des nombres réels.
  • R[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et, pour tout entier n ∈ N, on note R_n[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
  • Si n_1 et n_2 sont deux entiers naturels, on note [ [n_1, n_2] ] l'ensemble des entiers naturels compris (au sens large) entre n_1 et n_2.

Objectifs

On s'intéresse dans ce problème à l'équation différentielle x^2 y^(′′) + axy^′ + by = 0. La partie I est une partie d'algèbre linéaire qui traite des solutions polynomiales de cette équation lorsque a et b sont des constantes réelles. Dans la partie II, on détermine l'ensemble des solutions de l'équation lorsque a et b sont des constantes réelles. La partie III traite des solutions de cette équation lorsque a = 1 et b est la fonction carrée.

Partie I - Endomorphismes

Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel non nul et a et b des constantes réelles.
Q1. On note Δ l'endomorphisme de R[X] défini par :
∀P ∈ R[X], Δ(P) = XP^′.
Calculer, pour tout k ∈ [ [0, n] ], Δ(X^k).
Q2. Montrer que pour tout P ∈ R[X], X^2 P^(′′) = Δ ∘ (Δ − Id)(P), où Id désigne l'endomorphisme identité sur R[X].
Q3. Montrer que si P ∈ R_n[X], Δ(P) ∈ R_n[X].
On notera Δ_n l'endomorphisme de R_n[X] induit par Δ.
Q4. Déterminer la matrice de Δ_n dans la base canonique (1, X, ⋯, X^n) de R_n[X].
Q5. On définit l'application Φ par :
∀P ∈ R[X], Φ(P) = X^2 P^(′′) + aXP^′
Montrer que Φ = Δ^2 + (a − 1)Δ et en déduire que Φ définit un endomorphisme de R[X].
Q6. Montrer que Φ induit un endomorphisme Φ_n de R_n[X].
Q7. Montrer que Φ_n est diagonalisable.
On considère l'endomorphisme φ de R[X] défini par :
∀P ∈ R[X], φ(P) = X^2 P^(′′) + aXP^′ + bP.
Q8. Montrer que φ induit un endomorphisme de R_n[X], endomorphisme que l'on notera φ_n. Exprimer φ_n en fonction de Δ_n.
Q9. Exprimer la matrice de φ_n dans la base canonique de R_n[X].
On considère l'équation :
s^2 + (a − 1)s + b = 0
Q10. Expliciter le noyau de φ_n lorsque l'équation (1) admet deux racines entières m_1, m_2 ∈ [ [0, n] ].
Q11. Expliciter le noyau de φ_n lorsque l'équation (1) admet une unique racine entière m ∈ [ [0, n] ].
Q12. Déterminer le noyau de φ. En déduire qu'il est de dimension finie et déterminer sa dimension.

Partie II - Une équation différentielle

On considère dans cette partie l'équation différentielle
x^2 y^(′′) + axy^′ + by = 0
où a et b sont des constantes réelles.
Q13. Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des solutions de l'équation (2) sur I = ]0, + ∞[ ? Et sur J = ] − ∞, 0[ ?
Q14. Montrer que si y est une solution de (2) sur I, alors g = y ∘ exp est une solution sur R de l'équation différentielle linéaire à coefficients constants :
u^(′′) + (a − 1)u^′ + bu = 0
Q15. Réciproquement, soit t ↦ g(t) une solution de (3) sur R. Montrer que la fonction g ∘ ln est solution de (2) sur I.
Q16. Donner les solutions à valeurs réelles de l'équation (3) dans le cas où a = 3 et b = 1 et dans le cas où a = 1 et b = 4. En déduire, dans chacun des cas, les solutions à valeurs réelles de l'équation (2) sur l'intervalle I.
On suppose dans les deux questions suivantes uniquement que a = 1 et b = − 4.
Q17. Montrer que si y est solution de (2) sur J, alors h = y ∘ (− exp) est solution de (3) sur R.
Q18. Déduire de ce qui précède l'ensemble des solutions de (2) de classe C^2 sur R.

Partie III - Une équation de Bessel

On se propose dans cette partie d'étudier l'équation différentielle :
x^2 y^(′′) + xy^′ + x^2 y = 0
Q19. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière.

Série entière dont la somme est solution de (4)

On suppose qu'il existe une série entière ∑_(k ≥ 0)c_k x^k, avec c_0 = 1, de rayon de convergence R > 0 et dont la fonction somme J_0 est solution de (4) sur ] - R, R[.
Q20. Montrer que, pour tout k ∈ N, on a :
{c_(2k + 1) = 0; c_(2k) = ((− 1)^k)/(4^k(k!)^2)
Q21. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière obtenue : ∑_(k ≥ 0)c_k x^k.
Q22. Soit r > 0 et soit f une autre solution de (4) sur ]0, r[. Montrer que si ( J_0, f ) est liée dans l'espace vectoriel des fonctions de classe C^2 sur ]0, r[, alors f est bornée au voisinage de 0 .

Inverse d'une série entière non nulle en 0

Soit ∑_(k ≥ 0)α_k x^k une série entière de rayon de convergence R_α > 0 telle que α_0 = 1. L'objectif de ce paragraphe est de montrer l'existence et l'unicité d'une série entière ∑_(k ≥ 0)β_k x^k de rayon de convergence R_β > 0 telle que pour tout x appartenant aux domaines de convergence des deux séries :
(∑_(k = 0)^(+ ∞)α_k x^k)(∑_(k = 0)^(+ ∞)β_k x^k) = 1.
Q23. Montrer que si ∑_(k ≥ 0)β_k x^k est solution, alors la suite (β_k)_(k ∈ N) satisfait aux relations suivantes :
{β_0, =, 1; ∀n ∈ N^∗, ∑_(k = 0)^n α_k β_(n − k), =
Soit r un réel tel que 0 < r < R_α.
Q24. Montrer qu'il existe un réel M > 0 tel que pour tout k ∈ N :
|α_k| ≤ M/(r^k).
Q25. Montrer que (5) admet une unique solution (β_k)_(k ∈ N) et que, pour tout k ∈ N^∗ :
|β_k| ≤ (M(M + 1)^(k − 1))/(r^k).
On pourra raisonner par récurrence.
Q26. Que peut-on dire du rayon de convergence R_β de la série entière ∑_(k ≥ 0)β_k x^k ?

Ensemble des solutions de (4)

Q27. Soit r > 0 et soit λ une fonction de classe C^2 sur ]0, r[. Montrer que la fonction y : x ↦ λ(x)J_0(x) est solution de (4) sur ]0, r[ si et seulement si la fonction x ↦ xJ_0^2(x)λ^′(x) est de dérivée nulle sur ]0, r[.
Q28. Montrer que J_0^2 est somme d'une série entière dont on donnera le rayon de convergence. Que vaut J_0^2(0) ?
Q29. En déduire l'existence d'une fonction η somme d'une série entière de rayon de convergence R_η > 0 telle que
x ↦ η(x) + J_0(x)ln(x)
soit solution de (4) sur un intervalle ]0, R_η[.
Q30. En déduire l'ensemble des solutions de (4) sur ]0, R_η[.

PROBLÈME 2

Notations et définitions

  • N désigne l'ensemble des entiers naturels, R désigne celui des nombres réels.
  • Si X est une variable aléatoire admettant une espérance, on note E(X) son espérance.
Soit ( Ω, A, P ) un espace probabilisé. Soit X une variable aléatoire discrète sur ( Ω, A, P ), à valeurs dans [ − 1, 1]. On considère dans ce problème une suite (X_i)_(i ∈ N^∗) de variables aléatoires discrètes sur ( Ω, A, P ), mutuellement indépendantes et de même loi que X. Pour tout n ∈ N^∗, on note :
S_n = (X_1 + ⋯ + X_n)/n.

Objectif

Montrer que si la variable aléatoire X est centrée (E(X) = 0), alors la suite (S_n)_(n ≥ 1) converge presquesûrement vers la constante 0 . Il s'agit d'un cas particulier de la loi forte des grands nombres.
Q31. On ne suppose pas X centrée dans cette question. Montrer que X admet une espérance.
On suppose désormais que X est centrée.
Q32. Énoncer et démontrer l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire finie Y sur (Ω, A, P). Montrer que ce résultat est encore vrai lorsque Y est une variable aléatoire discrète non nécessairement finie.
Q33. En déduire que pour tout α > 0 :
P(|X| ≥ α) ≤ (E(|X|))/α
Q34. Montrer que pour tout t > 0, pour tout ε > 0 et pour tout n ∈ N^∗, on a :
P(S_n ≥ ε) = P(e^(tnS_n) ≥ e^(tnε)) ≤ ((E(e^(tX)))^n)/(e^(tnε))
Majoration de E(e^(tX))
Q35. Soit a > 1. On considère la fonction g_a définie par :
∀x ∈ R, g_a(x) = (1 − x)/2a^(− 1) + (1 + x)/2a − a^x
Montrer que la fonction g_a est dérivable sur R et que la fonction g_a^′ est décroissante sur R. En déduire, en remarquant que g_a(− 1) = g_a(1) = 0, que pour tout x ∈ [ − 1, 1], g_a(x) ≥ 0.
Q36. En déduire que pour tout t > 0 et pour tout x ∈ [ − 1, 1] on a :
e^(tx) ≤ (1 − x)/2e^(− t) + (1 + x)/2e^t
Q37. En déduire que pour tout t > 0 :
E(e^(tX)) ≤ ch(t)
Q38. Montrer que pour tout entier k ∈ N et tout t ∈ R, on a :
(t^(2k))/((2k)!) ≤ 1/(k!)((t^2)/2)^k
En déduire que pour tout t > 0, on a :
E(e^(tX)) ≤ e^((t^2)/2)

Majoration de P(|S_n| ≥ ε)

Dans ce paragraphe, on considère un entier n ∈ N^∗ et un réel ε > 0.
Q39. Montrer que la fonction
t ∈ R ↦ e^(− ntε + n(t^2)/2)
atteint un minimum en un point que l'on précisera.
Q40. En déduire que P(S_n ≥ ε) ≤ e^(− n(ε^2)/2), puis que :
P(|S_n| ≥ ε) ≤ 2e^(− n(ε^2)/2)

Conclusion

Q41. Montrer que pour tout réel ε > 0, la série de terme général P(|S_n| > ε) converge.
Q42. On fixe un réel ε > 0. On note, pour tout n ∈ N^∗ :
B_n = ⋃_(m ≥ n){ω ∈ Ω; |S_m(ω)| > ε}.
Montrer que pour tout n ∈ N^∗, B_n est un événement et que :
P(⋂_(n ∈ N^∗)B_n) = 0.
Q43. Posons, pour tout k ∈ N^∗ :
Ω_k = {ω ∈ Ω; ∃n ∈ N^∗, ∀m ≥ n, |S_m(ω)| ≤ 1/k}.
Montrer que pour tout k ∈ N^∗, Ω_k est un événement.
Écrire l'ensemble A = {ω ∈ Ω; lim_(n → + ∞)S_n(ω) = 0} à l'aide des événements Ω_k, k ∈ N^∗. En déduire que A est un événement.
Q44. Déduire des questions précédentes que:
P(A) = 1.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2018 ?

Le problème 1 mobilise l'algèbre linéaire sur les polynômes, les équations différentielles linéaires et les séries entières. Le problème 2 porte sur les probabilités : variables aléatoires discrètes, inégalité de Markov et loi forte des grands nombres.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths CCINP PSI 2018 ?

Le jury relève surtout une mauvaise connaissance du cours : définition fausse du rayon de convergence, théorème de Cauchy mal appliqué, inégalité de Markov énoncée sans l'hypothèse de positivité. Les questions Q10 à Q12 ont aussi été très mal traitées.

Le sujet de maths CCINP PSI 2018 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme riche en questions très abordables, surtout en algèbre et en analyse. Les séries entières de la partie III et les dernières questions de probabilités se sont en revanche révélées difficiles.

Faut-il commencer par le problème 1 ou le problème 2 en maths CCINP PSI 2018 ?

Le jury regrette que des candidats aient passé trop de temps sur les questions difficiles du problème 1 sans traiter les questions simples du problème 2. Quelques bonnes copies ont commencé par le problème 2.

Pas de description pour le moment