CCINP Modélisation PSI 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

5,0(1 vote)

Électrocinétique : résistances et puissance
Transformateur
Diffusion thermique et premier principe de la thermodynamique
Formule de Taylor-Young et méthode d'Euler
Programmation Python : tableaux et boucles
Équations de Maxwell et potentiel électrique
Statique des solides : bilan des actions mécaniques extérieures
Asservissements : fonctions de transfert, perturbation, bande passante

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BanqueCCINP Année2018 FilièrePSI MatièreModélisation

Annales CCINP PSI Modélisation CCINP PSI 2018 PSI Modélisation Modélisation 2018

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Captage du courant d'un train à grande vitesse : contact entre la caténaire et le pantographe

Le sujet étudie l'alimentation électrique d'un TGV et les risques de rupture du fil de contact de la caténaire. Il comporte trois parties indépendantes : pertes par effet Joule dans la ligne, modélisation thermique et résolution numérique de l'échauffement de la caténaire train à l'arrêt, puis mesure et asservissement de la force de contact du pantographe. L'épreuve mêle physique, mathématiques, informatique et sciences de l'ingénieur.

1Partie I : étude préliminaire de la ligne d'alimentationChoix du matériau de la bande de captage, schéma électrique équivalent, chute de tension, rendement et intérêt du 25 kV alternatif (Q1 à Q9).
2Partie II : modélisation thermique de la caténaire, train à l'arrêtBilan d'énergie local menant à une équation aux dérivées partielles, résolution par différences finies en Python, puis étude électrique de la zone de contact (Q10 à Q27).
3Partie III : risque de rupture par frottement excessifCapteur d'effort à jauge d'extensométrie, statique du pantographe, cahier des charges, équation de la chaînette et asservissement de la force de contact (Q28 à Q52).

Difficulté moyenne. Le rapport indique que beaucoup de candidats ont abordé plus de 70 % des questions, les meilleures copies en réussissant 80 à 90 %, mais que plusieurs questions proches du cours ont été mal traitées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,14 / 20 · 5 249 présents

Moyenne: 10,14/ 20
Présents: 5 249

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Transformateur oublié · Surfaces et flux mal identifiés dans le bilan thermique · Indices de boucle erronés en Python

Les copies sont dans l'ensemble bien présentées, avec des applications numériques et des unités soignées. La plupart des questions ont été abordées et les candidats ont bien géré le passage d'une discipline à l'autre. Le jury regrette cependant des erreurs sur des questions très proches du cours et des réponses trop longues aux questions simples.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Transformateur oubliéQ9
Seule la moitié des candidats propose un transformateur pour passer de 63 kV à 25 kV ; beaucoup citent des dispositifs sans rapport comme le hacheur ou le pont diviseur.
« C'est décevant pour un dispositif dont l'étude constitue un chapitre entier en PSI. »
2
Surfaces et flux mal identifiés dans le bilan thermiqueQ10
Des candidats confondent la section de la caténaire, qui intervient pour les flux de conduction en z et z+dz, et la surface latérale, qui intervient pour les pertes conducto-convectives.
« Trop de candidats appliquent à tort la formule de Newton pour exprimer les flux entrant et sortant en z et z+dz. »
3
Indices de boucle erronés en PythonQ18, Q20
Les lignes de code demandées sont souvent justes sur le principe, mais les bornes de range et les indices M et N sont confondus.
« quelques erreurs dans le range (range(N) au lieu de range(N+1)) »
4
Calcul forcé pour retrouver le résultat de l'énoncéQ30 à Q32
Le bilan des actions mécaniques est souvent incomplet et certains candidats aboutissent au résultat donné à partir de calculs faux, ce que le jury sanctionne.
« On préfère très largement un candidat admettant que ses calculs ne permettent pas de trouver la formule proposée »
5
Confusion entre linéaire et affineQ33
Une relation affine entre deux grandeurs a été interprétée à tort comme une proportionnalité.
« Deux grandeurs reliées par une fonction affine ne sont pas proportionnelles ! »
6
Signes et projections dans le principe fondamental de la statiqueQ39
L'écriture vectorielle attendue comporte de nombreuses erreurs de signe, et la tension, sa composante horizontale et sa composante verticale sont confondues.

Ce qui a été bien réussi

Les questions Q4 à Q6 et Q14 à Q17 sont bien traitées lorsque la question qui les précède l'est.
Les questions Q23 et Q24 sur le potentiel électrique sont relativement bien traitées.
Les questions Q40 à Q42 et Q47 à Q49 sont bien réussies par une grande partie des candidats.

Conseils du jury

Traiter les questions dans l'ordre et éviter les allers-retours entre les parties, qui ont été pénalisés.
Répondre de façon concise aux questions simples et qualitatives, souvent peu valorisées en points.
Vérifier l'homogénéité des expressions obtenues pour repérer les erreurs de calcul.
Repartir de la définition d'un rendement comme rapport de la puissance utile à la puissance coûteuse.
Noter dU une variation d'énergie interne et distinguer cette notation de celle d'un transfert thermique élémentaire.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

Jeudi 3 mai: 8 h-12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de 20 pages d'énoncé. Il comporte 3 parties indépendantes.
Il est demandé au candidat de bien vouloir préciser le numéro de chaque question traitée. Les résultats attendus seront encadrés.

MODÉLISATION DU CAPTAGE DU COURANT DANS UN TRAIN À GRANDE VITESSE

Présentation générale

Le train est un moyen de transport en commun très fiable et il n'existe pas, de nos jours, de moyen plus efficace pour alimenter électriquement les trains que le captage de courant via le contact pantographe/caténaire. La caténaire forme la partie aller du circuit électrique depuis la sous-station d'alimentation, tandis que les rails sont le circuit retour (figure 1).

L'usure mécanique par frottement de la caténaire est une contrainte majeure dans le captage du courant en ligne lorsque le train roule.

Figure 1 - Schéma de circulation du courant électrique

L'usure par frottement du fil de contact peut être diminuée par une modification du matériau de la bande de contact et en réduisant la force de contact du pantographe sur la caténaire. En revanche, lorsque le train est à l'arrêt, un problème jusque là inexistant apparaît dans certains cas : la rupture du fil de contact due à un échauffement trop important causé par le passage du courant entre la caténaire et le pantographe.

Les principaux cas de rupture de la caténaire sont finalement dus à :

l'alimentation à l'arrêt : par échauffement et risque de rupture par striction ;
l'alimentation en mouvement: par frottement excessif sur la caténaire ou accrochage du pantographe et arrachage.

De nombreux retards sont imputables à ces deux causes de rupture de la caténaire et représentent une perte d'exploitation importante pour la SNCF. C'est dans ce contexte que la Direction de l'Ingénierie de la SNCF a lancé une série d'études expérimentales et théoriques pour modéliser ces phénomènes.

Le sujet comporte 3 parties indépendantes :

la Partie I étudie les pertes par effet Joule dans la caténaire et dans les rails ;
la Partie II a pour objectif de modéliser l'évolution de la température au sein du fil de contact de la caténaire lorsque le train est à l'arrêt ;
la Partie III a pour objectif de mettre en place un dispositif de mesure de la force de contact du pantographe sur la caténaire et de vérifier les performances de l'asservissement de cette force.

Partie I - Étude préliminaire de la ligne d'alimentation

Objectif : proposer une modélisation du contact électrique pantographe-caténaire en vue d'évaluer les pertes par effet Joule.

L'interface pantographe/caténaire était initialement un contact cuivre/cuivre, dommageable pour le fil en terme d'usure par frottement et nécessitant une lubrification supplémentaire externe au système.

Le cuivre de la bande de captage (figure 2), élément du pantographe assurant le contact, est remplacé par du carbone graphite.

Q1. Justifier la nécessité de changer le matériau de la bande de captage du pantographe plutôt que celui du fil de contact de la caténaire.

Q2. Donner 2 propriétés physiques qui justifient l'emploi du carbone graphite. Dans quel autre usage similaire et courant retrouve-t-on l'usage du carbone graphite ?

Figure 2 - Interface pantographe/caténaire

Cette avancée du système s'avère concluante en ligne, l'usure par frottement du fil diminue et le contact cuivre/carbone est auto-lubrifiant. En revanche, lors d'arrêts prolongés du train, à cause d'incidents sur la voie par exemple, la rupture du fil de contact due à un échauffement trop important causé par le passage du courant entre la caténaire et le pantographe peut arriver.

Le captage à l'arrêt peut être décrit comme un contact électrique (alimentation du train via le contact) avec des contraintes mécaniques (force de contact pouvant varier d'un cas à l'autre) provoquant des phénomènes thermiques (diffusion de la chaleur et échanges entre les solides et l'extérieur).

Ce problème multiphysique, complexe, repose sur l'interface de deux solides. En physique, l'étude d'interfaces est toujours compliquée. En effet, leurs caractéristiques sont particulièrement interdépendantes et difficilement mesurables.
Dans le domaine électrique, l'interface est caractérisée par la résistance électrique de contact qui détermine la capacité du contact à ralentir le passage du courant.
D'un point de vue mécanique, c'est la surface de contact qui caractérise l'interface.
Enfin, en thermique, l'interface est caractérisée par la résistance thermique de contact qui représente l'aptitude du contact à laisser passer le flux de chaleur.

La compréhension de ces phénomènes multiphysiques passe donc non seulement par des phases expérimentales mais aussi par une étude théorique du système.

I. 1 - Calcul des pertes dues à la caténaire

Nous étudions ici l'alimentation de la motrice par caténaire depuis des sous-stations

A

B

distantes de

L = 10 km

l'une de l'autre (figure 3). La tension de ces sous-stations par rapport à la terre est de

U = 1, 5.10^3 V

continu. La motrice se situe à une distance

x

de la station

A

. La résistance linéique des caténaires est de

r = 0, 020Ω.km^(- 1)

. Pendant la phase d'accélération, le courant absorbé par la motrice est

I = 2, 5 \cdot 10^3 A

.
On néglige les résistances des rails.

Figure 3 - Schéma simplifié de l'alimentation de la motrice

Dans la figure 3, les deux résistances

R_1

R_2

dépendent de

x

. Compte tenu de la configuration du circuit, elles peuvent être remplacées par une seule résistance équivalente

R_e

Q3. Donner le schéma électrique équivalent. En déduire l'expression de

R_e

en fonction de

r, L

x

.
Q4. Déterminer la valeur de

x

pour laquelle la résistance

R_e

est maximale.

Pour les questions suivantes, on considérera que la motrice se situe en

x = L/2

.
Q5. Déterminer l'expression de

R_e

. Faire l'application numérique.
Q6. En déduire l'expression de la chute de tension aux bornes de cette résistance :

U_R

. Faire l'application numérique.

Q7. Donner l'expression du rendement lié à l'alimentation de la motrice via la caténaire. Faire l'application numérique. Que devient ce rendement lorsque la motrice est au niveau d'une sousstation (en

A

B

) ?

I. 2 - Passage au 25 kV alternatif

Depuis les années 1950, les nouvelles lignes françaises de chemin de fer sont alimentées en 25 kV tension alternative monophasée 50 Hz .

Q8. Quel est l'intérêt principal d'utiliser une tension de 25 kV par rapport à une tension de

1, 5kV

?
Q9. Justifiez la fréquence de 50 Hz . Les sous-stations étant elles-mêmes alimentées par des lignes à haute tension 63 kV , quel élément permet le passage d'une tension de 63 kV à une tension de 25 kV ?

Pour toute la suite du sujet, le courant circulant dans la caténaire et dans le pantographe sera un courant continu. La motrice comportera donc un moteur à courant continu.

Partie II - Modélisation thermique de la caténaire, train à l'arrêt

Objectif : connaître l'évolution de la température au sein de la caténaire lorsque le train est à l'arrêt.
On décompose pour cela la caténaire en plusieurs zones :

P_1, P_2

et la zone de contact. Nous nous limiterons à une étude simplifiée de ces zones (figure 4).

Figure 4 - Caténaire et bande de captage du pantographe, au niveau de la zone de contact

La caténaire est modélisée par un cylindre de rayon

R

, en cuivre de conductivité électrique

γ

, de conductivité thermique

λ

, de capacité thermique massique

c

et de masse volumique

ρ

. Le pantographe est modélisé dans la figure 4 par un parallélépipède de largeur

L_c

.
Pour l'étude de la caténaire, on utilisera les coordonnées polaires (

r, θ, z

). L'axe

z

est l'axe de la caténaire, orienté sur la figure 4 et

u⃗_z

est le vecteur unitaire.

Les échanges conducto-convectifs à l'interface caténaire/air sont régis par la relation de Newton

δΦ = h(T_(paroi) - T_e)dS

avec

δΦ

le flux thermique en Watt

(W)

fourni par la caténaire à l'air à travers une surface

dS, T_(paroi)

la température de la caténaire en

r = R, T_e = 20^\circC

la température de l'air et

h

un coefficient constant.

II. 1 - Régime transitoire dans la zone $P_1 : - L_1 < z < - L_c/2$

Dans la zone

P_1

, on considère qu'il y a invariance suivant

r

θ

. On étudie le régime transitoire. La température

T

ne dépend donc que de

z

t : T(z, t)

Figure 5 - Discrétisation spatiale de la caténaire autour de la zone de contact

À l'arrêt, la caténaire est parcourue par un courant continu d'intensité

I = 60 A

, réparti uniformément. On prend comme système au sein de la zone

P_1

un cylindre plein en cuivre, de rayon

R

, compris entre

z

z + Δz

étudié entre

t

t + Δt

(figure 5). La relation de Newton (1) définie précédemment s'applique.

Q10. Pour le système défini précédemment, donner les expressions des flux thermiques entrant en

z

, sortant en

z + Δz

et sur les parois latérales (pertes conducto-convectives).

Q11. Donner l'expression de l'énergie dissipée par effet Joule dans le système entre

t

t + Δt

en fonction de

Δz, Δt, I, γ

R

le rayon de la caténaire.
Q12. En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système et en considérant

Δz

Δt

comme des infiniments petits du premier ordre, montrer que

T

est solution d'une équation aux dérivées partielles de la forme

(\partialT)/(\partialt) = a(\partial^2 T)/(\partialz^2) - b(T - T_e) + d,

avec

a, b

d

des constantes à exprimer en fonction de

R, λ, ρ, c, γ, I

h

II. 2 - Résolution numérique dans la zone $P_1$

L'objectif est de résoudre numériquement l'équation aux dérivées partielles

(\partialT)/(\partialt) = a(\partial^2 T)/(\partialz^2) - bT + e avec a, b et e des constantes.

Soient

f

une fonction de classe

C^2

sur un intervalle

I

x \in I

.
Q13. À l'aide de la formule de Taylor-Young, écrire le développement limité à l'ordre 2 de

f(x + ε)

lorsque

ε \to 0

. Déterminer aussi le développement limité à l'ordre 2 de

f(x - ε)

lorsque

ε \to 0

.
Q14. En déduire la valeur de :

lim_(ε \to 0)((f(x + ε) - 2f(x) + f(x - ε))/(ε^2)).

On découpe maintenant l'intervalle

[ - L_1, - L_c/2]

N

sous intervalles

[z_k, z_(k + 1)]

de longueur

Δz

avec

Δz = (L_1 - L_c/2)/N.z_0

correspond à

- L_1

z_N

- L_c/2

.
Q15. Déduire des questions Q13 et Q14 une expression approchée de

(\partial^2 T)/(\partialz^2)(z_k, t)

.
On choisit

Δt

comme pas de temps. On cherche l'évolution de la température pendant une durée

MΔt

avec

M

un entier naturel. On définit donc les temps

t_p = pΔt

avec

p \in [0, M]

.
Q16. En utilisant la méthode d'Euler, donner l'expression de

(\partialT)/(\partialt)(z_k, t_p)

en fonction notamment de

T(z_k, t_(p + 1))

et de

T(z_k, t_p)

.
Q17. En utilisant l'équation aux dérivées partielles (2), déterminer l'expression de

T(z_k, t_(p + 1))

en fonction de

T(z_k, t_p), T(z_(k + 1), t_p), T(z_(k - 1), t_p), a, b, e, Δt

Δz

L'objectif est de construire un tableau de

M + 1

lignes et

N + 1

colonnes pour lequel :

la première ligne contient $N + 1$ valeurs représentant les températures initiales pour chaque position $z_k$ ;
la deuxième ligne contient $N + 1$ valeurs représentant les températures à $t = Δt$ pour chaque position $z_k$ ;
la p-ième ligne contient $N + 1$ valeurs représentant les températures à $t = pΔt$ pour chaque position $z_k$ .

On donne dans le tableau 1 le programme avec des lignes incomplètes. On utilisera les constantes définies en début de programme pour l'écriture des lignes incomplètes. On note T 0 la température initiale de la caténaire. Le candidat doit utiliser au choix un des deux langages: Python ou Scilab.

Q18. Donner le contenu de la ligne 18 (on pourra également utiliser les lignes suivantes si nécessaires) qui enregistre les conditions initiales dans le tableau Tab.
Q19. Recopier et compléter la ligne 27 qui permet de remplir une ligne de Tab en fonction de la précédente. Veuillez respecter l'ordre des paramètres

p

k

utilisés dans les lignes 27 et suivantes.

Python	$N^\circ$	Scilab
import numpy as np	1
#Définition des constantes :	3	//Définition des constantes :
	4	T0=23 //Température initiale de la caténaire.
	5
$a = 10**(- 4)$	6	$a = 1e - 4$
$b = 1.210*(- 3)$	7	$b = 1.2e - 3$
$e = 310^(*)(- 2)$	8	e=3e-2
L=0.95 #Longueur de la caténaire étudiée (L1-Lc/2)	9	L=0.95 //Longueur de la caténaire étudiée (L1-Lc/2)
Lc=0.05 #Longueur de la zone de contact	10	Lc=0.05 //Longueur de la zone de contact
$N = 50$ #Nombre d'intervalles de longueur dz	11	$N = 50$ //Nombre d'intervalles de longueur dz
dt=1 #Pas de temps en s	12	$dt = 1//$ Pas de temps en s
M=1200 #Nombre de pas de temps de l'étude	13	M=1200 //Nombre de pas de temps de l'étude
$g = 0.09$ #Grandeur proportionnelle au flux en z=-Lc/2	14	$g = 0.09$ //Grandeur proportionnelle au flux en z=-Lc/2
dz=L/N	15	dz=L/N
Tab=np.zeros((M+1,N+1))	16	Tab=zeros( $M + 1, N + 1$ )
#Définition des conditions initiales :	17	//Définition des conditions initiales :
...	18	...
...	19	...
	20
#Condition à la limite $z = - L1$	21	//Condition à la limite $z = - L1$
...	22	...
	23
#Résolution de l'équation aux dérivées partielles	24	//Résolution de l'équation aux dérivées partielles
for p in range(0,M):	25	for $p = 1 : M$
for k in range( $1, N)$ :	26	for k in 2:N
$Tab[p + 1, k] = Tab[p, k] + \dots$	27	$Tab(p + 1, k) = Tab(p, k) + \dots$
	28	end
$Tab[p + 1, N] = Tab[p, N] + dt^(- a^(Tab[p, N] - Tab[p, N -$ 1])/dz-bTab[p,N]dz+e*dz+g)/dz	29	Tab(p+1,N) $= Tab(p, N) + dt^(- a^(Tab(p, N) - Tab(p, N -$
	30	1))/dz -bTab(p,N)dz+e*dz+g)/dz end

Tableau 1 - Programme incomplet

Pour tester le fonctionnement du programme, de façon indépendante par rapport aux zones voisines, on impose des conditions aux limites :

limite en $z = - L_1$ : une température constante, identique à la température initiale T 0 .

Q20. Donner la ligne 22 (et suivantes si nécessaires) qui fixe la condition à la limite en

z = - L_1

limite en $z = - L_c/2$ : on admettra une densité de courant thermique constante $j⃗(- L_c/2, t) = - ju⃗_z$ avec $j = cste > 0$ due au transfert de chaleur provenant de la zone de contact. Cette condition est définie aux lignes 29 et 30 .

Q21. En faisant un bilan d'énergie sur le dernier élément de largeur

Δz

situé juste avant

z = - L_c/2

, déterminer l'expression du terme

g

de la ligne 30, qui traduit le transfert de chaleur, en fonction de

j, ρ

c

Q22. En exploitant la figure 6, indiquer si le régime stationnaire est atteint ou non au bout de 1200 s . Justifier sans aucun calcul.

Figure 6 - Résultats de la résolution de l'équation : température en fonction de

z

pour différents temps

II. 3 - Modélisation de la zone de contact de longueur $L_c$ , au sein de la caténaire

Pour établir l'expression des pertes joules, il est nécessaire de connaître le champ de potentiel

V(r, θ, z)

partout dans la zone de contact de longueur

L_c

, au sein de la caténaire. D'un point de vue électrique, on se place en régime stationnaire. On considère la densité volumique de charge nulle dans la caténaire.

Q23. Quelle relation relie le champ électrique

E⃗

et le potentiel

V

?
Q24. En utilisant une équation de Maxwell, déduire une équation simple pour le champ de potentiel

V

La résolution de cette équation a permis d'établir la carte des potentiels à un instant donné (figure 7).

Figure 7 - Carte avec quelques équipotentielles de la section de la caténaire en

z = 0

;

les distances sont en mètre en abscisse et les potentiels en volt en ordonnée
Q25. À partir des grandeurs relevées sur la figure 7, donner les ordres de grandeur de la composante du champ électrique contenue dans le plan

z = 0

, respectivement aux points C et D . En déduire une conséquence pour la température en ces points. Une justification succincte est attendue.

Dans la zone de contact, la modélisation à une dimension n'est pas acceptable, les grandeurs dépendent des variables

r, θ

z

. En outre, on étudie dans cette zone le régime transitoire. La température dépend donc des 4 variables

r, θ, z

t

Q26. Pourquoi l'étude du régime transitoire en thermique n'est-elle pas incompatible avec le régime stationnaire électrique? Une réponse succincte est attendue.

Pour un profil de courant donné par la figure 8, la figure 9 donne la comparaison des profils d'échauffement entre les résultats de simulations numériques et les valeurs expérimentales (

z = 0

correspond au point de contact caténaire/pantographe).

Figure 8 - Profil du courant électrique lors des essais

Figure 9 - Comparaison des profils d'échauffement entre les courbes de simulations numériques et les valeurs expérimentales autour de la zone de contact

Q27. D'après la figure 9, le modèle est-il adapté au régime transitoire ? Justifier votre réponse.

Partie III - Risque de rupture de la caténaire par frottement excessif

Objectif : dans cette partie, on souhaite étudier la possibilité de maintenir la force de contact sur la caténaire dans des limites acceptables.

Les incidents de rupture de la caténaire sont aussi d'origine mécanique. Le principal problème est la dégradation du fil de contact et des bandes de captage due à une usure mécanique lorsque l'effort appliqué est trop important ou due à une usure électrique lorsque l'effort appliqué est insuffisant. En effet, il se forme dans ce dernier cas des arcs électriques qui endommagent rapidement le système.

III. 1 - Mesure de l'effort sur la caténaire

Figure 10 - Éléments de la ligne d'alimentation

L'architecture générale de la caténaire souple est construite autour des éléments suivants (figure 10) :
le fil de contact, le câble porteur, les pendules, les bras de rappel, les consoles et les poteaux.

Pour corriger la flèche du fil de contact, un câble porteur soutient le poids du fil de contact par l'intermédiaire de pendules tous les

2, 5 m

qui sont des câbles tressés de faible section reliant le fil de contact et le câble porteur.

Le pantographe est un assemblage de tubes articulés représenté figure 11 qui adapte son déploiement en fonction de la caténaire pour conserver un contact permanent avec le fil de contact. La bande de captage en contact avec la caténaire est la pièce d'usure du système. Elle est fixée sur un archet qui est lui-même fixé sur le grand cadre par l'intermédiaire de boites à ressort servant à absorber les vibrations hautes fréquences.

La mise en mouvement du pantographe est assurée par un coussin pneumatique qui exerce un couple sur le bras inférieur par le biais d'un mécanisme élingue/came non étudié dans ce sujet. C'est ce couple moteur qui va permettre de lever le pantographe. Le pantographe descend sous l'effet de son propre poids.

Figure 11 - Pantographe de type CX

La bielle inférieure transmet le mouvement au bras supérieur.
La bielle supérieure permet quant à elle de maintenir l'archet dans le plan horizontal.

La distance entre le toit du train et la caténaire n'est toutefois pas constante, car tous les trains ne sont pas identiques, mais également car il existe différents modèles de pantographe. La caténaire elle-même n'est pas toujours parallèle à la voie à cause des ouvrages d'art, mais également en raison de la flèche inévitable de la caténaire entre deux poteaux.

Pour pallier ces variations, nous décidons d'étudier l'asservissement de cet effort. Dans un premier temps, nous rechercherons une façon de mesurer cet effort puis dans un second temps, nous nous intéresserons aux performances de l'asservissement.

Choix de l'emplacement du capteur d'effort

Hypothèses simplificatrices : en toute rigueur, le pantographe subit des efforts statiques, dynamiques dûs à la masse de l'archet ainsi que des efforts aérodynamiques avec la vitesse du train. Nous nous limiterons dans ce sujet à l'effort statique.

Pour la mesure de la force de contact, on choisit d'utiliser une jauge d'extensométrie qui permet une mesure indirecte de la force de contact. Cette jauge est un film plastique sur lequel se trouve un circuit résistif ; elle est solidement collée sur une pièce pour suivre ses déformations.

Q28. Expliquer comment ce capteur peut mesurer un effort ? En particulier, quel est le corps d'épreuve et la grandeur de sortie de ce capteur?

On se propose dans cette sous-partie d'établir le lien entre l'effort

F_c

sur la caténaire et le couple

C_m

transmis par le coussin pneumatique, puis de choisir le meilleur emplacement pour la jauge d'extensométrie.

La modélisation du pantographe est donnée figure 12.

Figure 12 - Schéma cinématique du pantographe

Le torseur en un point M de l'action mécanique du solide

i

sur le solide

j

sera noté :

{T_(i → j)} = {X_(ij), L_(ij); Y_(ij), M_(ij); Z_(ij), N_(ij)}}}{{_(M, R_0)

Hypothèses

On néglige le frottement de la caténaire sur l'archet.
On néglige la masse de toutes les pièces sauf le bras inférieur 1 et le bras supérieur 2. Les centres de masse des solides 1 (masse $m_1$ ) et 2 (masse $m_2$ ) sont les points $G_1$ et $G_2$ .
Le champ de pesanteur est tel que $g⃗ = - gy_0^(\to-)$ avec $g = 9, 81 m.s^(- 2)$ .
On considère ici le pantographe en équilibre statique.

On donne ci-dessous les torseurs des actions mécaniques extérieures :

{T_(4 → 2)} = {0, 0; − F_c, 0; 0, 0}}}{{_(E, R_0){T_(moteur → 1)} = {0, 0; 0, 0; 0, C_m}}}{{_(A, R_0).

Q29. Reproduire et compléter le graphe de structure du système de la figure 13. On rappelle que le graphe de structure permet de représenter les solides, les liaisons et les actions mécaniques.

Figure 13 - Graphe de structure du pantographe

Le problème sera, pour la suite, considéré comme plan.

Q30. En isolant la pièce 3 , déterminer l'expression simplifiée au point D dans la base

(x_3^(\to-), y_3^(\to-), z_3\to)du

torseur

{T_(2 → 3)}

Q31. En isolant la pièce 2, montrer que la composante sur

x_3^(\to-)

de la résultante du torseur

{T_(3 → 2)}

s'exprime par l'équation (3) :

X_(32) = - (cosβ(bm_2 g + eF_c))/(csin(γ - β) + dcos(γ - β))

Q32. Sans résoudre les équations, donner l'isolement, le bilan des actions mécaniques extérieures et le théorème à appliquer pour aboutir à la relation liant le couple

C_m

, à la force de contact

F_c

, qui est de la forme

C_m = X \cdot F_c + Y \cdot m_2 g + Z \cdot m_1 g

où

X, Y

Z

sont des paramètres dépendants des données de l'énoncé.

On donne, figure 14, les tracés du couple

C_m

en fonction de

F_c

dans 3 conditions différentes.

Figure 14 - Couple en fonction de la force de contact

Q33. Expliquer l'allure des tracés. Dans la perspective d'une modélisation par un gain de la fonction de transfert entre

F_c

C_m

, est-il possible de simplifier le problème en négligeant les masses ou en concentrant la masse dans le bras 1 ?

Afin de permettre le bon choix de l'emplacement de la jauge de déformation, l'évolution de l'effort normal dans le bras inférieur et le bras supérieur a été tracée figure 15.

Figure 15 - Effort normal en fonction de la force de contact pour les 2 bras

Q34. À l'aide des courbes des figures 14 et

15

, donner les avantages et inconvénients du placement de la jauge sur les 2 bras. Pour cela, calculer la sensibilité du capteur dans chaque cas.

III. 2 - Cahier des charges de l'asservissement de l'effort sur la caténaire

Nous sommes maintenant en mesure de connaître la force de contact sur la caténaire. On souhaite maintenir cette force autour d'une valeur moyenne. Le document 1 est un extrait des recommandations SAM E 903 de l'Etablissement Public de la Sécurité Ferroviaire (EPSF) concernant les limites acceptables de la force de contact de l'archet sur la caténaire.

La force moyenne de contact doit rester dans la plage [Fc min, Fc max].
La force moyenne minimale de contact doit respecter la formule suivante :
Fc}\mp@subsup{}{\mathrm{ min }}{}\geq0,00047*\mp@subsup{V}{}{2}+60 N
La force moyenne maximale de contact doit respecter les formules suivantes :
V\leq200 km/h:Fc}\mp@subsup{}{\operatorname{max}}{}\leq0,00047*\mp@subsup{V}{}{2}+90N
V> 200 km/h:Fc max }\leq0,00097*\mp@subsup{V}{}{2}+70\textrm{N}

Document 1 - Recommandations de l'EPSF en matière de force de contact
À partir des équations des recommandations de l'EPSF du document 1, on définit la valeur moyenne

Fc_(moy)

de la force de contact telle que représentée sur la figure 16.

Figure 16 - Plage de maintien de la force

Q35. Déterminer l'équation de la valeur moyenne

Fc_(moy)

de la force de contact en fonction de la vitesse

V

du train pour les deux plages de vitesse définies dans le document

1

On souhaite que l'asservissement de la force de contact maintienne cette dernière le plus proche possible de

Fc_(moy)

. Les variations de

F_c

doivent être limitées à une plage de

50%

autour de

Fc_(moy)

pour garder une marge d'erreur suffisante par rapport aux valeurs extrêmes

Fc_(max)

Fc_(min)

comme illustré dans la figure 16.
On pose l'erreur relative :

ε_% = (Plage _(50%))/(Fc_(moy))

.
Q36. À partir des équations de la Q35, exprimer l'erreur relative pour les deux plages de vitesse en fonction de

V

Q37. Pour quelle valeur de la vitesse du train l'erreur relative

ε_%

est-elle la plus faible ? En déduire la valeur maximale de l'erreur statique relative admissible dans l'asservissement de la force de contact.

Pour la suite, on prendra une erreur statique relative maximale de

8%

Sous l'effet de la gravité illustré figure 17, le fil de contact FC décrit une courbe appelée chaînette dont la flèche varie en fonction de la masse linéique et de la longueur séparant les deux poteaux supports.

Pour réduire cette flèche, une tension mécanique est appliquée à chacune des extrémités du fil. Néanmoins, les propriétés du matériau ne permettent pas de compenser la flèche par la seule application d'une tension mécanique aux extrémités du fil.

Figure 17 - Chaînette du fil de contact sur un tronçon

Lorsque la vitesse du train dépasse

100 km/h

, pour assurer une bonne qualité de captage, le fil de contact doit être presque horizontal afin de minimiser les déplacements du pantographe.

Q38. Quel problème va poser cette flèche du fil de contact pour l'asservissement de la force de contact?

On se propose dans cette sous-partie de déterminer cette flèche selon le modèle de la figure 18.

Figure 18 - Courbe en chaînette

Si on isole un tronçon de longueur

dℓ

de la chaînette, compris entre les abscisses

x

x + dx

, il est en équilibre sous l'action de 3 glisseurs :

le poids $δP^(\to-)$ : force proportionnelle à la masse du tronçon. Si $μ$ est la masse linéique (masse d'un mètre de chaînette exprimée en $kg/m$ ), la masse du tronçon est $μdℓ$ ;
la tension à gauche $T⃗(x)$ : force exercée par le brin de gauche sur le tronçon isolé qui s'applique au point dont l'abscisse est $x$ . Par ailleurs, les forces de tension du tronçon à l'équilibre sont des forces tangentes à la chaînette ;
la tension à droite $- T⃗(x + dx)$ : la tension à droite qui s'applique au point d'abscisse $x + dx$ . Comme le tronçon est en équilibre, elle s'oppose à la tension à gauche du tronçon suivant compris entre $x + dx$ et $x + 2dx$ . La tension à droite de notre tronçon est donc l'opposée de la tension à gauche du tronçon suivant, cette force est donc $- T⃗(x + dx)$ .

Q39. En appliquant le Principe Fondamental de la Statique au tronçon isolé, puis en projetant sur

x⃗

y⃗

, établir les deux équations suivantes

{T_h(x + dx) − T_h(x), = 0; T_v(x + dx) − T_v(x) − δP, = 0

avec

T_h

T_v

les valeurs absolues des composantes horizontales et verticales de la tension.
Q40. En déduire que la tension horizontale

T_h

est constante.
Nous noterons

y(x)

l'équation de la chaînette.
Q41. En considérant que chaque tronçon infinitésimal de la chaînette est rectiligne (figure 19), démontrer la relation suivante :

(dℓ)/(dx) = \sqrt(1 + ((dy)/(dx))^2)

Figure 19 - Approximation d'ordre 1

Q42. En exploitant les résultats des questions Q39 et Q41, montrer que

T^'_v(x) = μg\sqrt(1 + (y^'(x))^2)

avec

T^'_v(x)

y^'(x)

les dérivées par rapport à

x

T_v(x)

y(x)

.
On admet que

T_v(x) = T_h(x) \cdot y^'(x)

Rappel

On admet que

sinh

admet une bijection réciproque notée arcsinh dont la dérivée est

1/(\sqrt(1 + x^2))

.
Q43. En exploitant le rappel ci-dessus et les résultats démontrés Q42, déterminer l'expression de

y^('')(x)

. Montrer alors que l'équation de la chaînette s'écrit

y(x) = acosh(x/a + α) + β

avec

α

β

, les constantes d'intégration et

a

un paramètre à expliciter.
Ainsi, pour une distance entre 2 poteaux de 60 m , avec une tension de 20 kN , on trouve par application numérique une flèche de l'ordre de

5, 4 cm

. La flèche reste relativement faible, de l'ordre d'1/1000 d'un tronçon, mais va générer une perturbation du point de vue de l'asservissement.

Des simulations de la force de contact, filtrée à 20 Hz , pour un train circulant à

90 km/h

320 km/h

sont données dans une configuration le long de 5 tronçons (figure 20). Les passages sur les poteaux sont représentés avec les lignes verticales pointillées.

Figure 20 - Forces de contact pour un train circulant à

90 km/h

(à gauche) et

320 km/h

(à droite)

Afin d'estimer la bande passante de l'asservissement, il a été calculé figure 21, le spectre non filtré, pour une vitesse de

320 km/h

, obtenu par une transformée de Fourier discrète (FFT).

Figure 21 - Transformée de Fourier discrète de la force de contact

Q44. Justifier les valeurs des deux raies principales du spectre.
Q45. En prenant un coefficient de 1,5 pour les simplifications et les incertitudes sur le modèle, quelle doit être la bande passante minimale de l'asservissement?

Q46. En conclusion, proposer un résumé des éléments du cahier des charges (performances) pour l'asservissement. On explicitera également le temps de réponse et les dépassements envisageables.

III. 3 - Asservissement de l'effort sur la caténaire

Objectif : vérifier les performances attendues de l'asservissement.
On souhaite maintenant mettre en place l'asservissement afin de maintenir la force de contact de l'archet sur la caténaire la plus proche possible de la valeur moyenne. La force de contact souhaitée

F_c

, proportionnelle à la vitesse, est déterminée par le calculateur. De plus comme nous venons de le voir, la variation de hauteur du fil de contact de la caténaire entraîne une perturbation sur l'asservissement de la force de contact.

Le pantographe est une structure élastique possédant sa propre dynamique et, pour mettre en évidence les phénomènes de manière simplifiée, nous allons le représenter (figure 22) par un système linéarisé, de type masse/ressort à un étage, associé à la dynamique de l'archet (un modèle plus fin, non étudié ici, est possible avec trois étages).
Les caractéristiques proviennent d'une linéarisation du modèle multicorps. Le système comportera une masse (

m

), un amortisseur (de coefficient de frottement visqueux

f

N.m/s

) et un ressort (de raideur

k

en N/m).

Le déplacement vertical de la caténaire par rapport à la motrice est noté

y_L(t)

et le déplacement de l'extrémité basse de l'archet par rapport à la motrice est noté

y_M(t)

Ainsi, pour assurer un effort de contact entre l'archet et la caténaire le plus constant possible, on a choisi d'asservir en position le pantographe, c'est-à-dire

y_M(t)

. Le coussin pneumatique exerce un effort

F_m

sur la masse

m

(figure 22).

Figure 22 - Modèle dynamique de l'archet

On notera

F

la force qu'exerce l'archet sur la caténaire et qui sera comptée positive vers le haut.
On notera

F_c

l'effort de contact de consigne. L'archet est instrumenté et dispose d'un capteur d'effort mesurant l'effort de contact

F

L'action de l'actionneur

F_m

sur la masse est telle que

F_m(p) = H_c(p)C(p).(F_c(p) - F(p))

.
Q47. Expliquer pourquoi la variation de hauteur de la caténaire fait varier l'effort de contact

F

.
L'équation différentielle qui régit le mouvement du pantographe autour de sa position d'équilibre est la suivante :

m. y¨_M(t) = - k(y_M(t) - y_L(t)) - f(y˙_M(t) - y˙_L(t)) + F_m(t).

On pose

Y_M(p), Y_L(p), F_m(p)

les transformées de Laplace de

y_M(t), y_L(t)

F_m(t)

.
Q48. Passer cette équation dans le domaine de Laplace en supposant les conditions initiales nulles.
Q49. Exprimer

Y_M(p)

sous la forme

Y_M(p) = B(p).(A(p)Y_L(p) + F_m(p))

. Expliciter les termes

A(p)

B(p)

On modélise le système par le schéma-bloc figure 23.

Figure 23 - Schéma-bloc de l'asservissement de la force de contact

Q50. Déterminer la relation

F(p) = H_1(p)F_c(p) + H_2(p)Y_L(p)

en explicitant les fonctions de transfert

H_1(p)

H_2(p)

en fonction de

H_c(p), A(p), B(p)

et de

C(p)

On s'intéresse à la régulation de la force de contact en présence de perturbation due à la variation de hauteur du fil de contact. On suppose le train circulant à vitesse constante, soit

F_c(p) = 0

On retient l'exigence suivante pour la fonction de transfert en régulation

H_2

:
E1 qui est l'erreur relative maximale de

8%

par rapport à

F_(cmoy)

La tracé du diagramme de Bode de la fonction de transfert en régulation, corrigée,

H_2(p)

a permis de relever les valeurs de gain données dans le tableau 2.

Fréquence $(Hz)$	1	10
$20log(\|H_2\|)(dB)$	42	49

Tableau 2 - Relevé de valeurs de gain

Q51. À

320 km/h

, on peut modéliser

y_L(t)

par une sinusoïde d'amplitude 6 cm à la fréquence de 1 Hz . En déduire l'influence maximale de la perturbation due à la variation de niveau de la caténaire sur la force de contact.

Q52. Conclure quant à la capacité de l'asservissement à respecter l'exigence E1.

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de modélisation CCINP PSI 2018 ?

Sur le captage du courant d'un train à grande vitesse : pertes par effet Joule dans la caténaire, échauffement du fil de contact train à l'arrêt avec résolution numérique en Python, puis mesure et asservissement de la force de contact du pantographe.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en modélisation CCINP PSI 2018 ?

L'oubli du transformateur à la Q9, la confusion entre section et surface latérale dans le bilan thermique, des bornes de range erronées en Python, des bilans d'actions mécaniques incomplets et la confusion entre fonction affine et fonction linéaire.

Les parties du sujet de modélisation CCINP PSI 2018 sont-elles indépendantes ?

Oui, le sujet comporte trois parties indépendantes. Le jury conseille toutefois de traiter les questions dans l'ordre, les allers-retours entre parties ayant été pénalisés.

Comment gagner du temps à l'épreuve de modélisation CCINP PSI ?

Le jury insiste sur la concision : les questions faciles rapportent peu de points et une page entière rédigée pour une fraction de point pénalise la réussite globale.

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Présentation générale

Partie I - Étude préliminaire de la ligne d'alimentation

I. 1 - Calcul des pertes dues à la caténaire

I. 2 - Passage au 25 kV alternatif

Partie II - Modélisation thermique de la caténaire, train à l'arrêt

II. 1 - Régime transitoire dans la zone P_1 : − L_1 < z < − L_c/2

II. 2 - Résolution numérique dans la zone P_1

II. 3 - Modélisation de la zone de contact de longueur L_c, au sein de la caténaire

Partie III - Risque de rupture de la caténaire par frottement excessif

III. 1 - Mesure de l'effort sur la caténaire

Choix de l'emplacement du capteur d'effort

Hypothèses

Le problème sera, pour la suite, considéré comme plan.

III. 2 - Cahier des charges de l'asservissement de l'effort sur la caténaire

Rappel

III. 3 - Asservissement de l'effort sur la caténaire

FIN

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de modélisation CCINP PSI 2018 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en modélisation CCINP PSI 2018 ?

Les parties du sujet de modélisation CCINP PSI 2018 sont-elles indépendantes ?

Comment gagner du temps à l'épreuve de modélisation CCINP PSI ?

Commentaires• CCINP Modélisation PSI 2018

Commentaires• CCINP Modélisation PSI 2018

II. 1 - Régime transitoire dans la zone $P_1 : - L_1 < z < - L_c/2$

II. 2 - Résolution numérique dans la zone $P_1$

II. 3 - Modélisation de la zone de contact de longueur $L_c$ , au sein de la caténaire