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CCINP Mathématiques PSI 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Transformée de Laplace du sinus cardinal et matrices de Kac
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Le sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier étudie la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal, exprimée comme limite d'une suite d'intégrales, en lien avec la formule de Viète. Le second étudie les propriétés spectrales de deux matrices introduites par le probabiliste Mark Kac, avec une application probabiliste finale sur un modèle d'urnes.

  1. 1Problème 1, partie I : transformée de Laplace de la fonction sinus cardinalÉtudier la convergence et la continuité de la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal comme intégrale à paramètre.
  2. 2Problème 1, partie II : autour de la formule de VièteÉtablir un lien entre l'intégrale étudiée et une somme de Riemann liée à la formule de Viète.
  3. 3Problème 2, partie I-II : la dimension 3 et étude d'un endomorphismeÉtudier les propriétés spectrales d'une matrice en dimension 3 puis d'un endomorphisme associé.
  4. 4Problème 2, partie III : les matrices de Kac de taille n+1Généraliser l'étude spectrale aux matrices de Kac de taille n+1 et déterminer leurs valeurs propres et espaces propres.
  5. 5Problème 2, partie IV : un peu de probabilitésAppliquer les résultats spectraux à un modèle probabiliste de boules réparties dans deux urnes.

Difficile. Le rapport indique un sujet long comportant des questions abordables jusqu'à la fin, mais où les dernières questions de chaque problème ont été assez peu traitées, seules quelques excellentes copies abordant l'ensemble du sujet avec succès.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,1 / 20 · écart-type 3,59 · 5 085 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,1/ 20
Écart-type
3,59
Présents
5 085
Coefficient
19
Durée
4 h
moyenne 10,105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Confusion entre convergence et continuité d'une intégrale à paramètre · Paramètre laissé dans la domination · Non diagonalisabilité mal justifiée
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Le sujet faisait appel à des théorèmes fondamentaux du cours sur les intégrales à paramètres et la réduction, ainsi qu'à des connaissances en intégration, trigonométrie et probabilités. Les correcteurs ont noté les efforts de présentation des copies, les résultats étant le plus souvent mis en évidence.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre convergence et continuité d'une intégrale à paramètreQ2

    La question 2 a mis en lumière une confusion très fréquente entre la preuve de la convergence et celle de la continuité d'une intégrale à paramètre.

  2. 2
    Paramètre laissé dans la dominationQ4, Q10

    De nombreux candidats ne comprennent pas que dans une hypothèse de domination, le paramètre doit disparaître.

  3. 3
    Non diagonalisabilité mal justifiéeQ18

    L'erreur la plus fréquente à la question 18 a été de justifier la non diagonalisabilité d'une matrice par le fait que son polynôme caractéristique n'est pas scindé à racines simples.

  4. 4
    Déterminant supposé linéaireQ29

    Trop de candidats pensent que le déterminant est linéaire, ce qui invalide leur justification de la relation entre polynômes caractéristiques.

Ce qui a été bien réussi

  • La domination en +∞ a été bien menée par bon nombre de candidats à la question 2.
  • La question 4, application directe du cours, a été souvent bien traitée.
  • Les questions 15 à 17, assez faciles, ont été souvent bien traitées.

Conseils du jury

  • Prendre le recul nécessaire pour voir qu'une question bien résolue sert souvent à répondre efficacement à la suivante.
  • Vérifier rigoureusement les hypothèses des théorèmes utilisés plutôt que d'affirmer qu'elles sont satisfaites.
  • Manier avec précision la valeur absolue et le module, notamment dans les majorations d'intégrales généralisées.
  • Vérifier la positivité des fonctions considérées lors de l'utilisation de résultats de comparaison ou de domination.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 4 mai : 8h - 12h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

PROBLÈME 1
Autour de la fonction sinus cardinal

Objectifs

Dans ce problème, on détermine dans la Partie I la valeur de la transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal. On utilise ensuite dans la Partie II une variante de la formule de Viète pour exprimer la transformée de Laplace de la Partie I comme limite d'une suite d'intégrales.

Partie I - Transformée de Laplace de la fonction sinus cardinal

Pour x > 0, on note :
F(x) = ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/te^(− tx) dt, G(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− tx)sin(t)dt et H(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− tx)cos(t)dt
Q1. Montrer que : ∀t ∈ ℝ^+, |sin(t)| ≤ t.
Q2. Montrer que les fonctions F, G et H sont bien définies sur ]0, + ∞[.
Q3. Montrer que lim_(x → + ∞)F(x) = 0.
Q4. Montrer que F est de classe C^1 sur ]0, + ∞[ et exprimer F^′ à l'aide de la fonction G.
Q5. Trouver une expression simple pour G et pour H. On pourra calculer H(x) + iG(x). En déduire, pour α ∈ ]0, + ∞[, la valeur de ∫_0^(+ ∞)e^(− tx)cos(αt)dt.
Q6. En déduire une expression simple pour F. Que vaut F(1) ?

Partie II - Autour de la formule de Viète

Q7. Montrer que pour tout t > 0 et pour tout n ∈ ℕ^∗ :
∏_(k = 1)^n cos(t/(2^k)) = (sin(t))/(2^n sin(t/2^n))
Q8. Montrer que pour tout t > 0 et pour tout n ∈ ℕ^∗ :
∏_(k = 1)^n cos(t/(2^k)) = 1/(2^(n − 1))∑_(k = 1)^(2^(n − 1))cos((2k − 1)/(2^n)t)
On pourra raisonner par récurrence et utiliser l'identité :
cos(a)cos(b) = 1/2(cos(a + b) + cos(a − b))
Q9. En déduire que pour tout t > 0 :
(sin(t))/t = lim_(n → + ∞)1/(2^(n − 1))∑_(k = 1)^(2^(n − 1))cos((2k − 1)/(2^n)t)
Q10. Montrer que pour tout x > 0 :
F(x) = lim_(n → + ∞)1/(2^(n − 1))∑_(k = 1)^(2^(n − 1))∫_0^(+ ∞)cos((2k − 1)/(2^n)t)e^(− tx) dt
On pourra introduire, pour tout n ∈ ℕ^∗, la fonction f_n : ]0, + ∞[ → ℝ définie par :
∀t ∈ ]0, + ∞[, f_n(t) = 1/(2^(n − 1))∑_(k = 1)^(2^(n − 1))cos((2k − 1)/(2^n)t)e^(− tx)
Q11. En déduire que :
π/4 = lim_(n → + ∞)2^(n + 1)∑_(k = 1)^(2^(n − 1))1/((2k − 1)^2 + 2^(2n))
L'objet des trois questions suivantes est de redémontrer le résultat précédent de façon plus élémentaire.
Q12. Déterminer :
lim_(n → + ∞)2^(n + 1)∑_(k = 0)^(2^(n − 1))1/(4k^2 + 2^(2n))
en écrivant cette quantité à l'aide une somme de Riemann.
Q13. Soit n ∈ N^∗. Montrer que pour tout k ∈ [ [0, 2^(n − 1)] ] :
|1/(4k^2 + 2^(2n)) − 1/((2k − 1)^2 + 2^(2n))| ≤ (4 × 2^(n − 1) + 1)/(1 + 2^(2n)) × 1/(4k^2 + 2^(2n))
Q14. En déduire que :
lim_(n → + ∞)2^(n + 1)∑_(k = 0)^(2^(n − 1))(1/(4k^2 + 2^(2n)) − 1/((2k − 1)^2 + 2^(2n))) = 0
et retrouver le résultat de la question Q11.

PROBLÈME 2
Les matrices de Kac

Notations

  • Pour n ∈ ℕ^∗, M_n(ℝ) désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients réels et M_n(ℂ) désigne l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients complexes.
  • Dans tout ce problème, les vecteurs de ℝ^n seront notés en colonnes.
  • La lettre i désigne le nombre complexe usuel vérifiant i^2 = − 1. On s'interdira d'utiliser cette lettre pour tout autre usage!

Objectifs

Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés spectrales de deux matrices A_n ∈ M_(n + 1)(ℝ) et B_n ∈ M_(n + 1)(ℝ) introduites par Mark Kac au milieu du XX ^e siècle. Ces liens ont été mis en évidence par Alan Edelman et Eric Kostlan au début des années 2000.
Ce problème est divisé en quatre parties largement indépendantes. La Partie I introduit les matrices de Kac en taille 3 et met en évidence les propriétés qui seront démontrées en taille quelconque dans les Parties II et III. La Partie IV est une utilisation probabiliste d'une des deux matrices de Kac.

Partie I - La dimension 3

On considère les matrices :
A = (0, 1, 0; 2, 0, 2; 0, 1, 0) et B = (0, − 1, 0; 2, 0, − 2; 0, 1, 0).
Q15. Déterminer le polynôme caractéristique χ_A = det(XI_3 − A) de A et le décomposer en facteurs irréductibles dans ℝ[X].
Q16. En déduire que la matrice A est diagonalisable sur ℝ. Donner la liste des valeurs propres de A et la dimension des espaces propres correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de A dans cette question.
Q17. Déterminer le polynôme caractéristique χ_B de B et le décomposer en facteurs irréductibles dans ℝ[X], puis dans ℂ[X]. Vérifier que χ_A(X) = iχ_B(iX).
Q18. La matrice B est-elle diagonalisable sur ℝ ? Est-elle diagonalisable sur ℂ ? Donner la liste des valeurs propres réelles puis complexes de B et la dimension des espaces propres sur ℝ et ℂ correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de B dans cette question.
On considère :
D = (1, 0, 0; 0, i, 0; 0, 0, − 1) ∈ M_3(ℂ)
Q19. Exprimer D^(− 1)AD à l'aide de la matrice B.
Soit Δ = (1, 0, 0; 0, √2, 0; 0, 0, 1) ∈ M_3(ℝ).
Q20. Calculer Δ^(− 1)AΔ. En déduire à nouveau que la matrice A est diagonalisable sur ℝ.

Partie II - Étude d'un endomorphisme

Objectifs

Dans cette partie, on introduit la matrice B_n et on en étudie ses propriétés spectrales à l'aide d'un endomorphisme de dérivation.
Soit n ∈ ℕ^∗ un entier naturel fixé. Pour k ∈ [ [0, n] ], on note f_k : ℝ → ℂ la fonction définie par :
∀x ∈ ℝ, f_k(x) = cos^k(x)sin^(n − k)(x).
On note V_n le ℂ-espace vectoriel défini par :
V_n = Vect_ℂ(f_0, f_1, …, f_n) = {∑_(k = 0)^n λ_k f_k|(λ_0, …, λ_n) ∈ ℂ^(n + 1)}.
Q21. Montrer que la famille ( f_0, …, f_n ) est libre. En déduire la dimension de l'espace vectoriel complexe V_n.
Q22. Pour k ∈ [ [0, n] ], montrer que f_k^′ ∈ V_n. En déduire que :
φ_n : V_n, → V_n; f, ↦ φ_n(f) = f^′
définit un endomorphisme de V_n et que sa matrice B_n dans la base ( f_0, f_1, …, f_n ) est la matrice :
B_n = (0, − 1, 0, ⋯, ⋯, 0; n, 0, − 2, ⋱, ⋮; 0, n − 1, 0, − 3, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, 2, 0, − n; 0, ⋯, ⋯, 0, 1, 0) ∈ M_(n + 1)(ℝ).
Pour k ∈ [ [0, n] ], on note g_k : ℝ → ℂ la fonction définie par : ∀x ∈ ℝ, g_k(x) = e^(i(2k − n)x).
Q23. Montrer que: ∀x ∈ ℝ, g_k(x) = (cosx + isinx)^k(cosx − isinx)^(n − k).
Q24. En déduire, à l'aide de la formule du binôme de Newton, que: ∀k ∈ [ [0, n] ], g_k ∈ V_n.
Q25. Pour k ∈ [ [0, n] ], calculer g_k^′. En déduire que φ_n est diagonalisable. Donner la liste des valeurs propres complexes de φ_n et décrire les espaces propres correspondants.
Q26. Pour quelles valeurs de n l'endomorphisme φ_n est-il un automorphisme de V_n ?
Q27. Écrire la décomposition de g_n dans la base (f_0, …, f_n) et en déduire que :
Ker(B_n − inI_(n + 1)) = Vect(q_0; q_1; ⋮; q_n),
où pour tout k ∈ [ [0, n] ], on note q_k = i^(n − k)(n/k).

Partie III - Les matrices de Kac de taille n + 1

Objectifs

Dans cette partie, on introduit la matrice A_n. On utilise les résultats de la Partie II pour étudier les propriétés spectrales de la matrice A_n.
Soit n ∈ ℕ^∗ un entier naturel fixé. On note A_n la matrice tridiagonale suivante :
A_n = (0, 1, 0, ⋯, ⋯, 0; n, 0, 2, ⋱, ⋮; 0, n − 1, 0, 3, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, 2, 0, n; 0, ⋯, ⋯, 0, 1, 0) ∈ M_(n + 1)(ℝ).
Le terme général a_(kl) de la matrice A_n vérifie donc :
  • a_(k, k + 1) = k si 1 ≤ k ≤ n,
  • a_(k, k − 1) = n − k + 2 si 2 ≤ k ≤ n + 1,
  • a_(kl) = 0 pour tous les couples (k, l) ∈ [ [1, n + 1] ]^2 non couverts par les formules précédentes.
On note enfin D_n ∈ M_(n + 1)(ℂ) la matrice diagonale dont le k-ième terme diagonal d_(kk) vérifie d_(kk) = i^(k − 1).
Q28. Soient M = (m_(kl))_(1 ≤ k, l ≤ p) ∈ M_p(ℂ) une matrice de taille p et D = (d_(kl))_(1 ≤ k, l ≤ p) ∈ M_p(ℂ) une matrice diagonale de taille p. Exprimer le terme général de la matrice DM en fonction des m_(kl) et des d_(kl), puis exprimer le terme général de la matrice MD en fonction des m_(kl) et des d_(kl).
Q29. Montrer que D_n^(− 1)A_n D_n = − iB_n où B_n est la matrice déterminée dans la Partie II. En déduire une relation simple entre χ_(A_n)(X) et χ_(B_n)(iX), où χ_(A_n) et χ_(B_n) sont les polynômes caractéristiques respectifs de A_n et B_n.
Q30. En déduire, à l'aide de la Partie II, que A_n est diagonalisable sur ℝ, que les valeurs propres de A_n sont les entiers de la forme 2k − n pour k ∈ [ [0, n] ] et que :
Ker(A_n − nI_(n + 1)) = Vect(p_0; p_1; ⋮; p_n),
où pour tout k ∈ [ [0, n] ], on note p_k = (n/k).

Partie IV - Un peu de probabilités

Objectifs

Dans cette partie, on donne une application probabiliste de l'étude de la matrice A_n. Seul le résultat de la question Q30 est utilisé, cette partie peut être traitée en admettant si besoin ce résultat.
Étant donné un entier n ∈ ℕ^∗, on dispose de deux urnes U_1 et U_2 contenant à elles deux n boules numérotées de 1 à n. On note N_0 la variable aléatoire égale au nombre de boules initialement contenues dans l'urne U_1.
À chaque instant entier k ∈ ℕ^∗, on choisit un des n numéros de façon équiprobable puis on change d'urne la boule portant ce numéro. Les choix successifs sont supposés indépendants.
Pour k ∈ ℕ^∗, on note N_k la variable aléatoire égale au nombre de boules dans l'urne U_1 après l'échange effectué à l'instant k.
Exemple : supposons n = 4 et qu'à l'instant 0 , l'urne U_1 contient les boules numérotées 1, 3, 4 et l'urne U_2 la boule 2 . On a dans ce cas N_0 = 3.
  • Si le numéro 3 est choisi à l'instant 1 , on retire la boule 3 de U_1 et on la place dans U_2. On a alors N_1 = 2.
  • Si le numéro 2 est choisi à l'instant 1 , on retire la boule 2 de U_2 et on la place dans U_1. On a alors N_1 = 4.
Pour l ∈ [ [0, n] ], on note E_(k, l) l'événement ( N_k = l ) et p_(k, l) = ℙ(E_(k, l)) sa probabilité.
On note enfin Z_k = (p_(k, 0); p_(k, 1); ⋮; p_(k, n)) ∈ ℝ^(n + 1) le vecteur qui code la loi de la variable aléatoire N_k.
Q31. Pour k ∈ ℕ, que peut-on dire de la famille ( E_(k, 0), E_(k, 1), …, E_(k, n) )?
Q32. Si l'urne U_1 contient j boules à l'instant k, combien peut-elle en contenir à l'instant k + 1 ?
Q33. Pour k ∈ ℕ et j, l ∈ [ [0, n] ], déterminer :
ℙ_(E_(k, l))(E_(k + 1, j)).
On traitera séparément les cas j = 0 et j = n.
Q34. Démontrer que pour tout k ∈ ℕ,
ℙ(E_(k + 1, 0)) = 1/nℙ(E_(k, 1)) et ℙ(E_(k + 1, n)) = 1/nℙ(E_(k, n − 1))
et que :
∀j ∈ [ [1, n − 1] ], ℙ(E_(k + 1, j)) = (n − j + 1)/nℙ(E_(k, j − 1)) + (j + 1)/nℙ(E_(k, j + 1)).
Q35. En déduire que pour tout k ∈ ℕ,
Z_k = 1/(n^k)A_n^k Z_0
où A_n est la matrice introduite dans la Partie III.
On suppose jusqu'à la fin du Problème qu'à l'instant 0 , on a disposé de façon équiprobable et indépendamment les unes des autres les n boules dans l'une des urnes U_1 ou U_2.
Q36. Déterminer la loi π de N_0.
Q37. Montrer que pour tout k ∈ ℕ, N_k a la même loi que N_0. On pourra utiliser la question Q30 de la Partie III.
Q38. Démontrer que π est l'unique loi de probabilité ayant la propriété suivante : si N_0 suit la loi π, alors toutes les variables N_k suivent la loi π.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2020 ?

Le sujet porte sur les intégrales à paramètre, la réduction des endomorphismes, le théorème spectral et les probabilités, à travers l'étude du sinus cardinal et des matrices de Kac.

Le sujet de maths CCINP PSI 2020 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme long, avec des questions abordables jusqu'à la fin, mais les dernières questions de chaque problème ont été assez peu traitées.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths PSI 2020 ?

Le jury signale une confusion fréquente entre convergence et continuité d'une intégrale à paramètre, des dominations laissant le paramètre présent, et l'affirmation erronée que le déterminant est linéaire.

Ce sujet de maths CCINP PSI 2020 est-il plutôt d'analyse ou d'algèbre ?

Il combine les deux : le premier problème porte sur l'analyse (intégrales à paramètre), le second sur l'algèbre (réduction) avec une application aux probabilités.

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