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CCINP Mathématiques PSI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

Files d’attente, équivalent de Stirling, blocs de Jordan

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Présentation du sujet

File d'attente, formule de Stirling par la fonction Gamma et blocs de Jordan
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L'épreuve comporte deux problèmes et un exercice indépendants. Le premier problème modélise une file d'attente avec des lois géométriques, des fonctions génératrices et une suite récurrente. L'exercice établit l'équivalent de Stirling à partir de la fonction Gamma, et le second problème étudie l'irréductibilité des blocs de Jordan puis le caractère borné des solutions du système différentiel associé.

  1. 1Problème 1, partie I : temps d'arrivée du n-ième clientdeuxième annéeOn établit la loi géométrique du premier temps d'arrivée, on utilise sa fonction génératrice et on obtient la loi du temps d'arrivée du n-ième client par un développement en série entière.
  2. 2Problème 1, partie II : comportement de la filepremière et deuxième annéesOn étudie une suite récurrente z_{n+1} = f(z_n) puis on l'applique à la probabilité d'extinction des groupes de clients, avec des durées de service de loi de Poisson.
  3. 3Exercice : équivalent de Stirlingdeuxième annéeÀ partir de la fonction Gamma, on étudie une série de termes ρ_k, on obtient un développement asymptotique de ln Γ(n) puis la constante √(2π) grâce au théorème de convergence dominée.
  4. 4Problème 2, partie I : irréductibilité de J_λdeuxième annéeOn calcule les puissances de J_0, le spectre de u_λ, et on montre qu'aucune décomposition en somme directe de sous-espaces stables non triviaux n'existe.
  5. 5Problème 2, partie II : stabilité du système linéaire associédeuxième annéeOn construit l'exponentielle de t J_λ, on résout le système X' = J_λ X et on discute le caractère borné des solutions selon le signe de λ.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,49 / 20 · écart-type 3,69 · 4 938 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,49/ 20
Écart-type
3,69
Présents
4 938
Coefficient
9
Durée
4 h
moyenne 9,4905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Modélisation probabiliste paraphrasée · Continuité oubliée dans l'étude de suites · Convergence dominée mal appliquée
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Le jury insiste sur la précision, la clarté et des références explicites aux théorèmes du cours. Il valorise l'honnêteté intellectuelle : admettre un résultat est possible, mais une réponse obtenue par bluff est inacceptable. Les fins de problèmes (Q17, Q18, Q34, Q35, Q39 à Q42) ont été peu abordées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Modélisation probabiliste paraphraséeQ1, Q2

    Beaucoup de candidats ont reconnu la loi géométrique sans la démontrer, en oubliant l'indépendance des événements. L'événement A a rarement été exprimé correctement.

    « La plupart des candidats ont reconnu une loi géométrique mais ont paraphrasé l’énoncé sans fournir de démonstration rigoureuse. »
  2. 2
    Continuité oubliée dans l'étude de suitesQ8, Q9

    Pour montrer que la limite de (z_n) est un point fixe, la continuité de f a presque toujours été omise. Des équivalences ont aussi été affirmées sans justification réelle.

    « La continuité de ( f ) pour prouver que ( \ell ) est un point fixe a été presque systématiquement oubliée. »
  3. 3
    Convergence dominée mal appliquéeQ28

    Les majorations proposées dépendaient souvent de n, ce qui invalide l'hypothèse de domination. Le jury juge cela décevant vu l'importance de ce théorème.

    « avec des majorations dépendant de n ce qui est très décevant vu l’importance de ce théorème dans le programme. »
  4. 4
    Séries et intégrales confonduesQ24

    Pour la convergence de la série des ρ_k, des candidats ont tenté des intégrations terme à terme ou intégré des équivalents sans justification, alors que de simples majorations suffisaient.

    « Les rares candidats ayant pensé à de simples majorations s’en tirent beaucoup mieux. »
  5. 5
    Lien entre matrice et endomorphismeQ30, Q31

    Certains calculent J_0² sans savoir donner u_0²(e_j). Des sous-espaces propres réduits au vecteur nul ont aussi été proposés sans que cela alerte leur auteur.

    « Certains ne s’inquiètent pas d’avoir un sous-espace propre engendré par le vecteur nul. »
  6. 6
    Exponentielle de matrice non redémontréeQ37

    Le sujet définissait l'exponentielle dans ce cas particulier et attendait une preuve directe. Invoquer les résultats généraux du cours ne répondait pas à la question.

Ce qui a été bien réussi

  • L'espérance de T_1 a le plus souvent été calculée correctement (Q4).
  • L'intégration par parties pour la relation Γ(x+1) = xΓ(x) a été bien utilisée (Q20), de même que la relation de Chasles en Q22.
  • Le changement de variable affine de Q26 a été bien traité par la majorité.
  • Le spectre de u_λ a généralement été bien déterminé (Q31) et l'argument de nilpotence bien utilisé en Q38.

Conseils du jury

  • Citer les théorèmes avec précision, par exemple « par linéarité de l'espérance » plutôt que « par propriété de l'espérance ».
  • Traiter les questions dans l'ordre, mettre les résultats en valeur et limiter les ratures et les abréviations.
  • Vérifier la continuité de la fonction sur tout l'intervalle avant d'étudier une intégrale généralisée.
  • Se laisser guider par les indications de l'énoncé, qui sont détaillées pour accompagner le raisonnement.
  • Ne jamais donner un résultat au bluff ; admettre explicitement un résultat pour poursuivre est accepté.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux problèmes et d'un exercice indépendants.
Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

PROBLÈME 1

File d'attente

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé ( Ω, A, P ).
On s'intéresse à une file d'attente à un guichet. À l'instant 0 , la file contient un client. On suppose qu'à chaque instant k ∈ ℕ^∗ il peut arriver au plus un nouveau client dans la file.
Pour tout k ∈ ℕ^∗, on note X_k la variable aléatoire qui vaut 1 si un nouveau client arrive à l'instant k et 0 sinon.
On suppose que (X_k)_(k ∈ ℕ^∗) est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon une loi de Bernoulli de paramètre p ∈ ]0, 1[.
On repère chaque client par un indice qui donne son ordre d'arrivée dans la file : par définition, le client initialement présent a pour indice n = 0, le premier nouvellement arrivé a pour indice n = 1, etc.
On rappelle que la fonction génératrice d'une variable aléatoire X à valeurs dans ℕ est la fonction notée G_X définie par :
G_X(t) = ∑_(j = 0)^(+ ∞)P(X = j)t^j

Partie I-Temps d'arrivée du n-ième client

Q1. On note T_1 la variable aléatoire égale au temps écoulé entre le temps 0 et le temps où arrive le client d'indice 1.
Justifier que pour tout k ∈ ℕ^∗, P(T_1 = k) = (1 − p)^(k − 1)p.
Q2. On note A l'événement «aucun nouveau client n'arrive dans la file».
Exprimer A en fonction des événements {T_1 = k}, k ∈ ℕ^∗. En déduire P(A). Interpréter.
Q3. Déterminer le rayon de convergence R de la fonction génératrice de T_1, puis calculer sa somme.
Q4. En déduire l'espérance et la variance de T_1.
Q5. Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note T_n la variable aléatoire égale au temps écoulé entre l'arrivée du client d'indice n − 1 et le client d'indice n. On admet que les variables aléatoires T_n sont indépendantes et de même loi.
On note D_n = T_1 + … + T_n la variable aléatoire qui donne le temps d'arrivée du client d'indice n.
Calculer l'espérance, la variance et la fonction génératrice G_(D_n) de D_n.
Q6. Rappeler le développement en série entière de (1 + x)^α au voisinage de x = 0 pour α ∈ ℝ.
En déduire le développement en série entière de G_(D_n) en 0 et montrer que pour tout (k, n) ∈ (ℕ^∗)^2 :
P(D_n = k) = {0, si k < n,; ((k − 1)/(k − n))p^n(1 − p)^(k − n), sinon.

Partie II - Étude du comportement de la file

II. 1 - Une suite récurrente

Soient a > 0 et f : {ℝ → ℝ; x ↦ exp(a(x − 1)).
On s'intéresse au comportement de la suite (z_n)_(n ∈ ℕ^∗) définie par :
z_1 ∈ ]0, 1[ et ∀n ∈ ℕ^∗, z_(n + 1) = f(z_n).
Q7. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, z_n ∈ ]0, 1[ et z_(n + 1) − z_n est du même signe que z_2 − z_1.
Q8. En déduire que (z_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge vers une limite ℓ ∈ [0, 1] vérifiant f(ℓ) = ℓ.
Q9. Soit la fonction ψ : {]0, 1] → ℝ; x ↦ ln(x) − a(x − 1).
Montrer que pour tout x > 0, on a : 0 ⩽ ψ(x) ⇔ f(x) ⩽ x et ψ(x) = 0 ⇔ f(x) = x.
Q10. On suppose dans cette question que a ⩽ 1.
Étudier le signe de ψ et montrer qu'elle ne s'annule qu'en x = 1. En déduire que z_n→−_(n → + ∞)^1.
Q11. On suppose dans cette question que a > 1.
Étudier le signe de ψ et montrer que l'équation f(x) = x d'inconnue x ∈ [0, 1] admet exactement deux solutions α et 1 avec α ∈ ]0, 1[ qu'on ne cherchera pas à expliciter.
En distinguant les cas z_1 ∈ ]0, α] et z_1 ∈ ]α, 1[, montrer que z_n→−_(n → + ∞)^α.

II. 2 - Groupes de clients

On suppose que les clients de la file d'attente sont servis suivant leur ordre d'arrivée par un unique serveur et que la durée de service de chaque client est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 : pour tout k ∈ ℕ, le service a une durée k avec la probabilité e^(− λ)(λ^k)/(k!).
On rappelle qu'initialement, la file contient un unique client : le client d'indice 0 .
On note S la variable aléatoire égale à la durée de service de ce client : comme à chaque instant il arrive au plus un nouveau client, il peut arriver entre 0 et S nouveaux clients pendant le temps de passage au guichet du client d'indice 0 . Les variables S et (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) sont supposées indépendantes.
On appelle «clients du premier groupe» les clients qui sont arrivés pendant que le client d'indice 0 était servi.
Par récurrence, pour tout k ⩾ 2, on définit les clients du k-ième groupe comme étant les clients qui sont arrivés pendant que ceux du ( k − 1 )-ième groupe étaient servis.
Pour tout k ⩾ 1, on note V_k la variable aléatoire égale au nombre de clients du k-ième groupe.
Par construction, pour n ∈ ℕ^∗, si le n-ième groupe est vide, alors l'événement {V_k = 0} est réalisé pour tout k ⩾ n.
Q12. Quelle est la situation concrète décrite par l'événement Z = ⋃_(n ∈ ℕ^∗){V_n = 0} ?
Q13. Quelle est la loi du nombre N_n de clients qui sont arrivés dans la file d'attente dans l'intervalle de temps [ [1, n] ] ?
Q14. Pour tout (n, k) ∈ ℕ^2, calculer P(V_1 = k|S = n).
En déduire que V_1 suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.
Q15. On note z_n = P(V_n = 0). Montrer que (z_n)_(n ∈ ℕ) converge et que P(Z) = lim_(n → + ∞)z_n.
Q16. Justifier que pour tout (j, n) ∈ ℕ^2, P(V_(n + 1) = 0|V_1 = j) = P(V_n = 0)^j. On distinguera le cas j = 0.
Q17. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, z_(n + 1) = exp(λp(z_n − 1)).
Q18. Déterminer, suivant les valeurs de λp, la limite de la suite (z_n)_(n ∈ ℕ^∗). Interpréter.

EXERCICE

Équivalent de Stirling

Q19. Soit x ∈ ℝ. Montrer que ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt converge si, et seulement si, x > 0.
Pour tout x > 0, on note :
Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt
Q20. Montrer que pour tout x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x). En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗ :
Γ(n) = (n − 1)!.
Q21. On admet que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2) dt converge et qu'elle vaut (√π)/2.
Montrer que pour tout n ∈ ℕ : Γ(n + 1/2) = ((2n)!)/(2^(2n)n!)√π.
Q22. Pour tout k ∈ ℕ^∗ on note ρ_k = lnk − ∫_(k − 1/2)^(k + 1/2)lnt dt. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗ :
lnΓ(n) = ∫_(1/2)^(n − 1/2)lnt dt + ∑_(k = 1)^(n − 1)ρ_k
On remarquera que pour n = 1, par convention, la somme des ρ_k est nulle.
Q23. Montrer que pour tout k ∈ ℕ^∗ :
ρ_k = ∫_0^(1/2)(2lnk − ln(k + t) − ln(k − t))dt = ∫_0^(1/2) − ln(1 − (t^2)/(k^2))dt
Q24. En déduire que ∑_(k ∈ ℕ^∗)ρ_k converge.
Q25. Montrer qu'il existe c ∈ ℝ tel que, lorsque n → + ∞ :
lnΓ(n) = (n − 1/2)lnn − n + c + o(1)
En déduire que lorsque n → + ∞ :
Γ(n) ∼ e^c n^(n − 1/2)e^(− n)
Q26. Pour tout x > 0 et tout n ∈ ℕ^∗, on admet que t ↦ t^(x − 1)(1 − t/n)^n est intégrable sur ]0, n] et on note :
Γ_n(x) = ∫_0^n t^(x − 1)(1 − t/n)^n dt
Montrer que pour tout x > 0 et tout n ∈ ℕ^∗ :
Γ_n(x) = n^x∫_0^1 u^(x − 1)(1 − u)^n du
Q27. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗ :
∀x > 0, Γ_n(x) = (n^x n!)/(x(x + 1)…(x + n))
Q28. On définit la fonction 1_(]0, n[) sur ℝ_+en posant 1_(]0, n[)(t) = {1 si t ∈ ]0, n[,; 0 sinon.
En remarquant que Γ_n(x) = ∫_0^(+ ∞)1_(10, n[)(t)t^(x − 1)(1 − t/n)^n dt, utiliser le théorème de convergence dominée pour montrer que pour tout x > 0 :
Γ_n(x) ⟶ _(n → + ∞)Γ(x)
En déduire que pour tout x > 0 :
Γ(x) = lim_(n → + ∞)(n^x n!)/(x(x + 1)…(x + n))
Q29. Montrer que pour tout x > 0, (Γ(x + n))/(Γ(n)n^x)→−_(n → + ∞)^1.
En déduire que e^c = √(2π) où c est défini à la question Q25.
On pourra faire appel aux résultats des questions Q19 et Q20.

PROBLÈME 2

Blocs de Jordan

Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note M_p(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille p à coefficients réels. Pour tout λ ∈ ℝ, on définit la matrice J_λ ∈ M_p(ℝ) par :
J_λ = (λ, 0, …, …, 0; 1, λ, ⋱, ⋮; 0, 1, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; 0, …, 0, 1, λ).
Les matrices J_λ, dites «matrices de Jordan», sont particulièrement importantes dans la mesure où on peut montrer que si le polynôme caractéristique d'une matrice est scindé, alors elle est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont formés de matrices de Jordan.
On se propose de montrer dans un premier temps une propriété d'irréductibilité des blocs de Jordan. Dans un second temps, on étudie le caractère borné des solutions du système différentiel linéaire associé à une matrice de Jordan.
Une matrice M ∈ M_p(ℝ) est dite nilpotente s'il existe k ∈ ℕ, tel que M^k = 0. Dans ce cas, le plus petit entier naturel k, tel que M^k = 0 est appelé indice de nilpotence de M.
On note B = (e_1, …, e_p) la base canonique de ℝ^p.
On dit qu'un sous-espace vectoriel V de ℝ^p est stable par un endomorphisme f de ℝ^p si pour tout x ∈ V, f(x) ∈ V.
On note E = M_(p, 1)(ℝ) et pour tout A = (a_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ p) ∈ M_p(ℝ) et tout X = (x_1; ⋮; x_p) ∈ E, on définit :
N(A) = (∑_(i = 1)^p∑_(j = 1)^p|a_(ij)|^2)^(1/2) et ‖X‖ = (∑_(i = 1)^p|x_i|^2)^(1/2).
On admet que N et ‖ ⋅ ‖ définissent des normes respectivement sur M_p(ℝ) et E.

Partie I - Irréductibilité de J_λ

Soit λ ∈ ℝ. On note u_λ ∈ ℒ(ℝ^p) l'endomorphisme canoniquement associé à J_λ.
Q30. Calculer u_0^2(e_j) pour tout j ∈ [ [1, p] ] et en déduire J_0^2.
Calculer de même J_0^(p − 1) et J_0^p. En déduire que J_0 est nilpotente d'indice p.
Q31. Montrer que Sp(u_λ) = {λ} et déterminer le sous-espace propre associé.
Q32. Soit V un sous-espace vectoriel de ℝ^p. Montrer que V est stable par u_λ si, et seulement si, V est stable par u_0.
Soit V un sous-espace vectoriel de ℝ^p stable par u_λ, de dimension k ∈ [ [1, p] ]. On note v l'endomorphisme induit par u_λ sur V et ( e~_1, …, e~_k ) une base de V, que l'on complète en une base B~ = (e~_1, …, e~_p) de ℝ^p.
Q33. Quelle est la forme de la matrice de u_λ dans la base B~ ?
Q34. En déduire que le polynôme caractéristique de v divise le polynôme caractéristique de u_λ et que e_p ∈ V.
Q35. Déduire de la question précédente qu'il n'existe pas de décomposition ℝ^p = V ⊕ W où V et W sont des sous-espaces vectoriels de ℝ^p stables par u_λ non réduits à {0}.

Partie II - Stabilité du système linéaire associé

On s'intéresse dans cette partie aux solutions du système différentiel :
(S) X^′ = J_λ X
Une solution de ( S ) est une fonction:
X : {ℝ → E; t ↦ X(t) = (x_1(t); ⋮; x_p(t))
de classe C^1 telle que pour tout t ∈ ℝ, X^′(t) = J_λ X(t).
Pour tout t ∈ ℝ, on définit la matrice carrée de taille p notée exp(tJ_λ) par :
exp(tJ_λ) = e^(λt)∑_(k = 0)^(p − 1)(t^k)/(k!)J_0^k
Q36. Montrer que si X_0 est un vecteur propre pour J_λ associé à la valeur propre λ, alors X~ : t ↦ e^(λt)X_0 est une solution particulière de (S).
Q37. On définit la fonction φ : {ℝ → M_p(ℝ); t ↦ exp(tJ_λ).
Montrer que φ est dérivable et que pour tout t ∈ ℝ, φ^′(t) = J_λ exp(tJ_λ) = exp(tJ_λ)J_λ.
Q38. Justifier que pour tout t ∈ ℝ, exp(tJ_λ) = e^(λt)∑_(k = 0)^(+ ∞)(t^k)/(k!)J_0^k.
Montrer que pour tout t ∈ ℝ, exp(tJ_λ) est inversible, d'inverse exp(− tJ_λ).
Q39. Montrer que X : t ↦ X(t) est solution de ( S ) si, et seulement si, Y : t ↦ exp(− tJ_λ)X(t) est constante.
En déduire que les solutions de ( S ) sont exactement les fonctions X : t ↦ exp(tJ_λ)X_0 où X_0 ∈ E.
Q40. Montrer que si λ > 0, ( S ) admet une solution non bornée sur ℝ_+.
Q41. Montrer que pour tout A ∈ M_p(ℝ) et tout X ∈ E, on a ‖AX‖ ⩽ N(A)‖X‖.
En déduire que si λ < 0, toutes les solutions de ( S ) sont bornées sur ℝ_+.
Q42. Que dire concernant l'existence de solutions de ( S ) non bornées sur ℝ_+si λ = 0 ?
FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2024 ?

Le sujet couvre les probabilités discrètes (loi géométrique, loi de Poisson, fonctions génératrices), les suites récurrentes, les intégrales généralisées et la convergence dominée autour de la fonction Gamma, ainsi que la réduction des endomorphismes et les systèmes différentiels linéaires avec les blocs de Jordan.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées au CCINP maths PSI 2024 ?

Le jury signale des modélisations probabilistes paraphrasées, l'oubli de la continuité dans l'étude des suites et des intégrales, une domination dépendant de n dans le théorème de convergence dominée et des confusions entre matrice et endomorphisme.

Quelles questions ont été peu traitées au CCINP maths PSI 2024 ?

D'après le rapport, Q17 et Q18 du problème de probabilités, Q34 et Q35 sur les sous-espaces stables et Q39 à Q42 sur les solutions du système différentiel ont été peu abordées. Q21 a été abandonnée par un tiers des candidats.

Comment le jury évalue-t-il la rédaction au CCINP maths PSI ?

Il tient compte de la précision, de la clarté, de l'ordre de traitement des questions et de la mise en valeur des résultats. Les références au cours doivent être explicites et les abréviations sont à éviter.

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