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Mines Mathématiques 2 PSI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Marche aléatoire : nombre de retours à zéro et sommes de Riemann généralisées
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Le sujet cherche un équivalent du nombre moyen de retours à zéro en n pas, pour une marche aléatoire symétrique puis pour un tirage sans remise dans une urne équilibrée. La première partie établit, par comparaison somme-intégrale, la convergence de sommes de Riemann pour des fonctions intégrables sur un intervalle ouvert, avec un contre-exemple. La seconde partie applique ces résultats à des calculs d'espérance.

  1. 1Partie 1 : une propriété sur les sommes de Riemannpremière et deuxième annéesOn étudie la convergence des sommes de Riemann de fonctions intégrables sur ]0, 1[, avec un contre-exemple, puis des équivalents de sommes comme celle des 1/√k.
  2. 2Partie 2 : une étude de marche aléatoirepremière et deuxième annéesOn calcule la loi de S_n et l'espérance du nombre d'indices d'égalité d'une marche aléatoire, puis celle d'un tirage sans remise, et on en donne des équivalents.

Difficile. Le jury indique que le problème a été dans l'ensemble fort mal réussi et que Q1 est l'une des rares questions faciles du sujet.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,78 / 20 · écart-type 4,28 · 3 517 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,78/ 20
Écart-type
4,28
Présents
3 517
Coefficient
3
Durée
3 h
moyenne 9,7805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 14 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

7 erreurs relevées
Intégrabilité confondue avec continuité · Absence de dessin sur le contre-exemple · Sommes de Riemann invoquées à contresens
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Beaucoup de candidats n'ont résolu que les parties les plus élémentaires des questions, proches du cours, sans traiter une question en profondeur. Peu ont compris que la première partie reposait sur une comparaison somme-intégrale répétée pour une fonction monotone. Le jury note un écart de niveau marqué entre la partie sur les intégrales et celle sur les probabilités, et un manque de soin dans le traitement des variables aléatoires.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Intégrabilité confondue avec continuitéQ1

    La continuité sur un intervalle ouvert n'implique pas l'intégrabilité. En Q1, la méthode des rectangles faisait apparaître un terme de plus que dans la somme de l'énoncé.

    « Attention, la continuité sur]a,b [ n’implique en aucun cas l’intégrabilité sur]a,b [. »
  2. 2
    Absence de dessin sur le contre-exempleQ2

    Faute de dessin, beaucoup ont mal compris la fonction de Q2, notamment le recouvrement des intervalles, la continuité hors de ces intervalles et le lien entre intégrabilité et convergence d'une série.

    « Il est crucial pour les candidats de faire au moins un dessin suffisamment propre au brouillon »
  3. 3
    Sommes de Riemann invoquées à contresensQ3, Q4

    Déduire la convergence du théorème sur les sommes de Riemann manifestait une incompréhension du sens de la partie : il fallait une comparaison somme-intégrale.

  4. 4
    Symétrie mal exploitéeQ5, Q6, Q7

    La symétrie de h par rapport à 1/2 était vue mais décrite avec un vocabulaire approximatif, et le terme central de la somme était presque toujours oublié.

  5. 5
    Termes pairs et impairsQ8

    Très peu de copies ont reconnu en Q8 le schéma classique de convergence par séparation des termes de rang pair et de rang impair.

  6. 6
    Variables aléatoires confondues avec leurs valeursQ15, Q16

    Écrire que X_n vaut 1 ou -1 confond la variable et ses réalisations ; il faut fixer une issue ω. En Q15 et Q16, le formalisme de l'énoncé devait être préféré aux raisonnements intuitifs.

  7. 7
    Équivalents et hypothèses oubliéesQ17, Q19

    La définition de l'équivalence en termes de négligeabilité est souvent fausse, et en Q19 la divergence de la série n'était pas vérifiée avant d'appliquer Q17.

Ce qui a été bien réussi

  • L'étude des variations en Q4 est souvent correcte et l'intégrabilité régulièrement bien justifiée.
  • Q9 est mieux réussie, avec beaucoup de changements de variable judicieux.
  • Q14, très élémentaire, a permis à de nombreux candidats de se relancer.
  • Q19 a eu un taux de succès convenable, l'équivalent de Stirling ayant posé assez peu de problèmes.

Conseils du jury

  • Citer précisément la question où a été établi un résultat que l'on réutilise.
  • Traiter en profondeur un nombre réduit de questions : beaucoup de candidats ont obtenu une note satisfaisante avec cinq ou six questions.
  • Éviter le picorage sur les questions tardives, le plus souvent voué à l'échec.
  • Réfléchir au brouillon, avec un dessin si besoin, avant de rédiger.
  • Vérifier les hypothèses de chaque théorème, y compris pour un changement de variable dans une intégrale généralisée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude de marche aléatoire

Notations

On rappelle l'expression des coefficients binomiaux. Lorsque k et n sont deux entiers, on pose :
(n/k) = {(n!)/(k!(n − k)!), si 0 ⩽ k ⩽ n; 0, sinon.
On pourra utiliser sans démonstration l'équivalent de Stirling, valable lorsque l'entier naturel n tend vers + ∞ :
n!_(n → ^∼)^∼ + ∞(n/e)^n ⋅ √(2πn)

1 Une propriété sur les sommes de Riemann

Dans toute la suite, pour tous réels a < b, on note 𝒟_(a, b) l'ensemble des fonctions f : ]a, b[ ⟶ R continues sur l'intervalle ]a, b[, intégrables sur ]a, b[ et vérifiant de plus :
lim_(n ⟶ + ∞)1/n∑_(k = 1)^(n − 1)f(a + k(b − a)/n) = 1/(b − a)∫_a^b f(t)dt
1▹ Soit f : [a, b] ⟶ R une fonction continue. Démontrer que la restriction g de la fonction f à l'intervalle ]a, b[ appartient à l'ensemble 𝒟_(a, b).
2▹ En posant pour tout entier k ⩾ 1, a_k = 1/k − 1/(2^(k + 1)) et b_k = 1/k + 1/(2^(k + 1)), montrer que l'on peut choisir un entier k_0 ⩾ 1 tel que:
∀k ⩾ k_0, b_(k + 1) < a_k
En déduire que la fonction f : ]0, 1[ ⟶ R définie par :
f : t ⟼ {k^2 ⋅ 2^(k + 1) ⋅ (t − a_k), si il existe un entier k ⩾ k_0 tel que t ∈ [a_k, a_k + 1/(2^(k + 1))]; k^2 ⋅ 2^(k + 1) ⋅ (b_k − t), si il existe un entier k ⩾ k_0 tel que t ∈ [a_k + 1/(2^(k + 1)), b_k]; 0, sinon
est une fonction bien définie et continue sur ]0, 1[, intégrable sur ]0, 1[ et que cette fonction f n'appartient pas à l'ensemble 𝒟_(0, 1).
Dans la suite, on définit la fonction :
h : | ]0, 1[, ⟶, R; t, ⟼, 1/(√(t(1 − t)))
3▹ Montrer que la fonction φ : t ⟼ 1/(√t) est intégrable sur ]0, 1[, puis montrer que la fonction φ appartient à 𝒟_(0, 1).
4▹ On note h~ la restriction de la fonction h à l'intervalle ]0, 1/2]. Vérifier que la fonction h~ est décroissante sur ]0, 1/2[, puis montrer que la fonction h~ appartient à 𝒟_(0, 1/2).
5▹ Montrer que la fonction h est intégrable sur ]0, 1[ et que :
∫_0^1 h(t)dt = 2∫_0^(1/2)h~(t)dt
6▹ Prouver alors que :
lim_(n ⟶ + ∞)∑_(k = 1)^(2n − 1)1/(2n)h(k/(2n)) = ∫_0^1 h(t)dt
7▹ Montrer que :
lim_(n → + ∞)∑_(k = 1)^n 1/(2n + 1)h(k/(2n + 1)) = ∫_0^(1/2)h(t)dt
En déduire que :
lim_(n ⟶ + ∞)∑_(k = 1)^(2n)1/(2n + 1)h(k/(2n + 1)) = ∫_0^1 h(t)dt
8▹ Déduire des questions précédentes que la fonction h appartient à 𝒟_(0, 1).
9▹ Montrer que :
∫_0^1 h(t)dt = π
10▹ Montrer que lorsque n tend vers + ∞, on a un équivalent de la forme :
∑_(k = 1)^n 1/(√k) ∼ _n → _(+ ∞)^λ λ√n
où la constante λ est à préciser.
11▹ En déduire la limite:
lim_(n ⟶ + ∞)∑_(i = 1)^(n − 1)1/(√(i(n − i)))
On considère une suite (ε_n)_(n ∈ N^∗) de nombres réels strictement supérieurs à -1 , convergente de limite nulle.
12▹ Montrer que :
lim_(n ⟶ + ∞)∑_(i = 1)^(n − 1)(|ε_i|)/(√(i(n − i))) = 0
13▹ En déduire que :
lim_(n ⟶ + ∞)∑_(i = 1)^(n − 1)1/(√(i(n − i))) ⋅ (((1 + ε_i)(1 + ε_(n − i)))/(1 + ε_n) − 1) = 0

2 Une étude de marche aléatoire

Dans cette partie, on considère une suite de variables aléatoires (X_n : Ω ⟶ { − 1, 1})_(n ∈ N^∗) définies sur un même espace probabilisé ( Ω, 𝒜, P ) et à valeurs dans l'ensemble à deux éléments { − 1, 1}, ces variables aléatoires étant mutuellement indépendantes et centrées. Pour tout n ∈ N^∗, on note :
S_n = ∑_(k = 1)^n X_k
14▹ Montrer que pour tout n ∈ N^∗, la variable aléatoire (1 + X_n)/2 suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
Dans la suite, on fixe l'entier n ⩾ 1. On appelle chemin, tout 2n-uplet γ = (ε_1, ⋯, ε_(2n)) dont les composantes ε_k valent -1 ou 1 .
Si γ = (ε_1, ⋯, ε_(2n)) est un chemin, on appelle indice d'égalité, tout entier k ∈ [ [1, 2n] ] tel que ∑_(i = 1)^k ε_i = 0. On remarquera alors qu'un entier k est un indice d'égalité si et seulement si le k-uplet (ε_1, ⋯, ε_k) comporte autant de composantes égales à 1 que de composantes égales à -1 .
On note N_n : Ω ⟶ N la variable aléatoire qui à tout élément ω de l'univers Ω compte le nombre d'indices d'égalité du chemin (X_1(ω), ⋯, X_(2n)(ω)).
On note pour tout entier i entre 1 et n, l'événement A_i défini par
A_i = {ω, 2i est un indice d'égalité de (X_1(ω), ⋯, X_(2n)(ω))}.
15▹ Calculer la probabilité P(A_i), pour tout entier i entre 1 et n.
16▹ Soit ℓ ∈ Z un entier et n ⩾ 1 un autre entier. En distinguant le cas où l'entier ℓ − n est pair ou impair, calculer P(S_n = ℓ).
On admet sans démonstration le résultat suivant :
Théorème 1 Soit (a_n)_(n ∈ N^∗) et (b_n)_(n ∈ N^∗) deux suites de nombres réels non nuls telles que a_n = o(b_n) au voisinage de + ∞ et la série ∑_n|b_n| est divergente. Alors :
∑_(k = 1)^n a_k = o(∑_(k = 1)^n|b_k|) au voisinage de + ∞
17▹ Soit (c_n)_(n ∈ N^∗) et (d_n)_(n ∈ N^∗) deux suites de nombres réels strictement positifs telles que : c_n→−_n^∼→−_(+ ∞)^d_n et la série ∑_n c_n diverge.
En utilisant le résultat admis dans l'énoncé, montrer que la série ∑_n d_n est divergente et que :
∑_(k = 1)^n c_k ∼ _n + ∞ ∑_(k = 1)^n d_k
18▹ Montrer que la variable aléatoire N_n admet une espérance finie et que son espérance 𝔼(N_n) est égale à :
𝔼(N_n) = ∑_(i = 1)^n(((2i)/i))/(4^i)
[indication : on pourra exprimer la variable N_n à l'aide de fonctions indicatrices associées aux événements A_i.]
19▹ En déduire l'équivalent :
𝔼(N_n) ∼ _n_(→ + ∞)2/(√π)√n
Dans une urne contenant n boules blanches et n boules noires, on procède à des tirages de boules sans remise, jusqu'à vider complètement l'urne. Les tirages sont équiprobables à chaque pioche.
Pour tout entier k entre 1 et 2n, on dit que l'entier k est un indice d'égalité si dans l'expérience de pioche précédemment décrite, il reste autant de boules noires que de boules blanches dans l'urne après avoir pioché les k premières boules sans remise. On remarque que l'entier 2n est toujours un indice d'égalité.
On note M_n, la variable aléatoire comptant le nombre aléatoire d'indices d'égalité k entre 1 et 2n.
20▹ En utilisant par exemple les événements B_i : « l'entier i est un indice d'égalité », montrer que la variable M_n admet une espérance finie égale à :
𝔼(M_n) = ∑_(i = 0)^(n − 1)(((2i)/i) ⋅ ((2n − 2i)/(n − i)))/(((2n)/n))
21▹ En déduire l'équivalent :
𝔼(M_n)_n→−^∼ + ∞√(πn).

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence
    Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 PSI 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 PSI 2024 ?

Le sujet porte sur les intégrales généralisées, les sommes de Riemann et la comparaison somme-intégrale, les équivalents de sommes, puis les variables aléatoires discrètes, l'espérance et la formule de Stirling appliquées à une marche aléatoire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 2 PSI 2024 ?

Le jury relève la confusion entre continuité et intégrabilité, l'absence de dessin sur la fonction de Q2, l'oubli de la comparaison somme-intégrale, la confusion entre variable aléatoire et valeurs, et des hypothèses de théorèmes non vérifiées.

Le sujet Mines maths 2 PSI 2024 était-il difficile ?

Oui selon le jury : le problème a été dans l'ensemble fort mal réussi, et Q1 compte parmi les rares questions faciles. Beaucoup de candidats ont toutefois obtenu une note satisfaisante en traitant cinq ou six questions en profondeur.

Peut-on traiter la partie probabilités de Mines maths 2 PSI 2024 indépendamment ?

Seules les toutes premières questions de la partie 2 étaient entièrement autonomes ; plusieurs résultats de la partie 1 y sont réutilisés. Q14, très élémentaire, a permis à de nombreux candidats de se relancer.

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