Mines Mathématiques 1 PSI 2024Sujet et rapport du jury

Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

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Présentation du sujet

Difficile

Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne : intégrales à paramètre et entropie

Le problème majore l'entropie d'une fonction strictement positive à croissance lente, relativement à la densité gaussienne, par une intégrale faisant intervenir f'²/f. Il introduit une transformation intégrale P_t à paramètre continu t, en étudie la régularité et établit une équation aux dérivées partielles qu'elle vérifie, puis dérive l'entropie de P_t(f) et intègre entre 0 et +∞ pour obtenir l'inégalité finale.

1Partie 1 : résultats préliminairesFonctions à croissance lente, bonne définition, linéarité, limite et continuité de P_t(f), puis formule d'intégration par parties pour l'opérateur L(f) = f'' - xf'.
2Partie 2 : dérivée de P_t(f)Régularité de P_t(f) par rapport à t et à x et équation aux dérivées partielles reliant la dérivée en t à L(P_t(f)).
3Partie 3 : inégalité de log-Sobolev pour la gaussienneDéfinition de l'entropie, continuité et limites de S(t) = Ent(P_t(f)), majoration de -S'(t) par l'inégalité de Cauchy-Schwarz puis intégration.

Difficile. Le jury qualifie le sujet d'assez technique, avec peu de questions faciles, et signale plusieurs questions difficiles dans la dernière partie.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Majorations sans discussion sur |x| · Fausses inégalités triangulaires · Hypothèse de domination mal établie

Le problème porte surtout sur les intégrales impropres, en particulier à paramètre, et exige une bonne connaissance des théorèmes de convergence dominée et de leur champ d'application. Il a permis de classer efficacement les candidats. Une majorité montre une bonne connaissance du cours, mais beaucoup restent fragiles sur le plan technique, notamment pour établir les hypothèses de domination.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Majorations sans discussion sur |x|Q1
Des majorations de puissances de |x| sont données sans distinguer |x| ≤ 1 et |x| ≥ 1, et l'ordre des quantificateurs est mal maîtrisé.
2
Fausses inégalités triangulairesQ4, Q5
La majoration erronée de |x+y|^k par |x|^k + |y|^k apparaît souvent et se répète ensuite. Il est aussi fréquent de passer abusivement d'une majoration de f(x) à une majoration de |f(x)|.
3
Hypothèse de domination mal établieQ5, Q6, Q8, Q9
La domination donne lieu à des majorations illicites alors qu'une simple inégalité triangulaire suffisait ; la majoration de e^(-2t)/√(1-e^(-2t)) sur [a,b] est souvent fausse ou non justifiée.
4
Convergence oubliée dans l'intégration par partiesQ7, Q10
Beaucoup justifient bien la valeur du crochet mais omettent la convergence des intégrales ; à la question 10, beaucoup ne pensent pas à intégrer par parties.
« un nombre conséquent de candidats ne pense pas à justifier la convergence d’au moins l’une des intégrales. »
5
Majoration du logarithmeQ12
Il fallait majorer |ln(g(x))| en discutant la position de g(x) par rapport à 1, puis utiliser la question 11.
« Seules quelques excellentes copies ont su traiter cette question avec rigueur. »
6
Références imprécises aux questions antérieuresQ16, Q17, Q19
Le jury attendait un renvoi explicite aux questions 9 et 10 avec leurs hypothèses, et l'usage du résultat admis à la fin de la question 6.

Ce qui a été bien réussi

La question 2 est le plus souvent bien traitée.
La linéarité de P_t a presque toujours été vérifiée (Q4).
La question 11 est le plus souvent réussie et la question 13 est globalement réussie.
Les questions d'intégration par parties sur des intégrales impropres (Q7 et Q10) ont permis aux candidats soigneux de se distinguer.

Conseils du jury

Travailler les techniques de majoration, en particulier l'inégalité triangulaire, avant d'appliquer la convergence dominée.
Pratiquer régulièrement des exercices techniques pour répéter ses gammes.
Présenter les vérifications d'hypothèses de façon compacte et structurée (retours à la ligne, indentation, tirets).
Énoncer clairement et complètement chaque théorème utilisé et vérifier l'existence des objets manipulés.
Rédiger correctement les questions faciles, surtout en début de problème, et traiter les questions dans l'ordre.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : $3$ heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations et résultats admis

Soit la fonction $φ$ définie sur $R$ par $φ(x) = 1/(\sqrt(2π))e^(- x^2/2)$ .
Pour $k \in N \cup {\infty}$ , on pose $C^k(R)$ l'ensemble des fonctions de classe $C^k$ sur $R$ à valeurs dans $R$ .
On note $CL(R)$ l'ensemble des fonctions de $R$ dans $R$ à croissance lente, c'est-àdire :
$CL(R) = {f : R \to R, \existsC > 0, \existsk \in N$ tel que pour tout $x \in R, |f(x)| \leq C(1 + |x|^k)}$ .
On note $L^1(φ) = {f ∈ C^0(R), fφ$ intégrable sur $R}$ .
Soit $t \in R_+$ . Pour une fonction $f : R \to R$ , on définit si cela est possible la fonction $P_t(f)$ par :

\forallx \in R, P_t(f)(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(e^(- t)x + \sqrt(1 - e^(- 2t))y)φ(y)dy.

Pour $f$ deux fois dérivable sur $R$ , on définit sur $R$ la fonction $L(f)$ par :

\forallx \in R, L(f)(x) = f^('')(x) - xf^'(x).

Une fonction $P : R \to R$ est dite fonction polynomiale en $|x|$ s'il existe $d \in N$ et des réels $a_0, \dots, a_d$ tels que pour tout $x \in R, P(x) = \sum_(k = 0)^d a_k|x|^k$ .
Soient $f : R_+ \to R$ une fonction et $ℓ \in R \cup { \pm \infty}$ . On admet que $lim_(t \to + \infty)f(t) = ℓsi$ , et seulement si, pour toute suite $(t_n)_(n \in N)$ de réels positifs telle que $lim_(n \to + \infty)t_n = + \infty$ , on a $lim_(n \to + \infty)f(t_n) = ℓ$ .

Partie 1 : Résultats préliminaires

1 - Montrer que toute fonction majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en

|x|

est à croissance lente.

2▹

Montrer que

C^0(R) \cap CL(R) \subset L^1(φ)

.
On admet dans toute la suite du problème que

\int_(- \infty)^(+ \infty)φ(t)dt = 1

3▹

Montrer que

CL(R)

est un espace vectoriel. Montrer aussi que

CL(R)

est stable par produit.

4▹

Soit

t \in R_+

. Vérifier que la fonction

P_t(f)

est bien définie pour

f \in C^0(R) \cap CL(R)

et vérifier que

P_t

est linéaire sur

C^0(R) \cap CL(R)

5▹

Montrer que pour tout

f \in C^0(R) \cap CL(R)

et tout

x \in R

lim_(t \to + \infty)P_t(f)(x) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(y)φ(y)dy

6▹

Soit

t \in R_+

. Montrer que si

f \in C^0(R) \cap CL(R)

, alors

P_t(f) \in C^0(R)

. Montrer aussi que

P_t(f)

est majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en

|x|

indépendante de

t

. En déduire que

P_t(f) \in L^1(φ)

On admettra dans toute la suite du problème que, si

f \in C^0(R) \cap CL(R)

, alors

\forallt \in R_+, \int_(- \infty)^(+ \infty)P_t(f)(x)φ(x)dx = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(x)φ(x)dx

7▹

Montrer que pour toutes fonctions

f, g \in C^2(R)

telles que les fonctions

f, f^', f^('')

g

soient à croissance lente, on a

\int_(- \infty)^(+ \infty)L(f)(x)g(x)φ(x)dx = - \int_(- \infty)^(+ \infty)f^'(x)g^'(x)φ(x)dx

Partie 2 : Dérivée de $P_t(f)$

Pour

f : R \to R

x \in R

, on note, si cela a un sens,

(\partialP_t(f)(x))/(\partialt)

la dérivée de la fonction

t \in R_+ \mapsto P_t(f)(x)

Pour

f : R \to R

t \in R_+

fixé, on note, si cela a un sens,

P_t(f)^'

(resp.

P_t(f)^('')

) la dérivée de

x \in R \mapsto P_t(f)(x)

(resp. la dérivée seconde de

x \in R \mapsto P_t(f)(x)

8▹

Montrer que si

f \in C^1(R) \cap CL(R)

telle que

f^' \in CL(R)

x \in R

, alors

t \in R_+ \mapsto P_t(f)(x)

est de classe

C^1

sur

R_+^*

et montrer que pour tout

t > 0

, on a

(\partialP_t(f)(x))/(\partialt) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(- xe^(- t) + (e^(- 2t))/(\sqrt(1 - e^(- 2t)))y)f^'(e^(- t)x + \sqrt(1 - e^(- 2t))y)φ(y)dy.

9▹

Soient

f \in C^2(R) \cap CL(R)

telle que

f^'

f^('')

soient à croissance lente et

t \in R_+

. Montrer que

x \in R \mapsto P_t(f)(x)

est de classe

C^2

sur

R

. Montrer aussi que

\forallx \in R, P_t(f)^'(x) = e^(- t)\int_(- \infty)^(+ \infty)f^'(e^(- t)x + \sqrt(1 - e^(- 2t))y)φ(y)dy

\forallx \in R, P_t(f)^('')(x) = e^(- 2t)\int_(- \infty)^(+ \infty)f^('')(e^(- t)x + \sqrt(1 - e^(- 2t))y)φ(y)dy

10▹

En déduire que pour

f \in C^2(R) \cap CL(R)

telle que

f^'

f^('')

soient à croissance lente, on a

\forallt \in R_+^*, \forallx \in R, (\partialP_t(f)(x))/(\partialt) = L(P_t(f))(x).

Partie 3 : Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

Pour

f \in C^0(R) \cap CL(R)

à valeurs strictement positives telle que

\int_(- \infty)^(+ \infty)f(x)φ(x)dx = 1

on définit l'entropie de

f

par rapport à

φ

par :

Ent_φ(f) = \int_(- \infty)^(+ \infty)ln(f(x))f(x)φ(x)dx

Dans la suite de cette partie,

f

est un élément de

C^2(R)

à valeurs strictement positives tel que les fonctions

f, f^', f^('')

(f^('2))/f

soient à croissance lente. On suppose aussi que

\int_(- \infty)^(+ \infty)f(x)φ(x)dx = 1

11▹

Étudier les variations de la fonction

t \mapsto tln(t)

sur

R_+^*

. On vérifiera que l'on peut prolonger par continuité la fonction en 0 .

12▹

Justifier que la quantité

Ent_φ(g)

est bien définie pour tout

g \in C^0(R) \cap CL(R)

à valeurs strictement positives telle que

\int_(- \infty)^(+ \infty)g(x)φ(x)dx = 1

Indication : On pourra utiliser la question 11.

13▹

Pour

t \in R_+

, on pose

S(t) = Ent_φ(P_t(f))

. Justifier que

S(t)

est bien définie.

14▹

Montrer que

S

est continue sur

R_+

.
Indication : On pourra au préalable montrer que, si

x \in R, t \mapsto P_t(f)(x)

est continue sur

R_+

15▹

Vérifier que l'on a

S(0) = Ent_φ(f)

lim_(t \to + \infty)S(t) = 0

16▹

On admet que

S

est de classe

C^1

sur

R_+^*

et que

\forallt \in R_+^*, S^'(t) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(\partialP_t(f)(x))/(\partialt)(1 + ln(P_t(f)(x)))φ(x)dx.

Montrer que

\forallt \in R_+^*, S^'(t) = \int_(- \infty)^(+ \infty)L(P_t(f))(x)(1 + ln(P_t(f)(x)))φ(x)dx.

17▹

En admettant que le résultat de la question 7 est valable pour les fonctions

P_t(f)

1 + ln(P_t(f))

, montrer que

\forallt \in R_+^*, - S^'(t) = e^(- 2t)\int_(- \infty)^(+ \infty)(P_t(f^')(x)^2)/(P_t(f)(x))φ(x)dx.

18 - En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que

\forallt \in R_+^*, - S^'(t) \leq e^(- 2t)\int_(- \infty)^(+ \infty)P_t((f^('2))/f)(x)φ(x)dx.

19▹

En déduire que l'on a:

\forallt \in R_+^*, - S^'(t) \leq e^(- 2t)\int_(- \infty)^(+ \infty)(f^('2)(x))/(f(x))φ(x)dx.

20▹

Établir l'inégalité suivante

Ent_φ(f) \leq 1/2\int_(- \infty)^(+ \infty)(f^('2)(x))/(f(x))φ(x)dx.

Fin du problème

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 PSI 2024 ?

Le sujet porte essentiellement sur les intégrales impropres, en particulier les intégrales à paramètre, avec un usage répété du théorème de convergence dominée, de l'intégration par parties et de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 1 PSI 2024 ?

Le jury relève surtout des hypothèses de domination mal établies, des majorations illicites en valeur absolue, de fausses inégalités triangulaires et l'oubli de justifier la convergence lors des intégrations par parties.

Le sujet Mines maths 1 PSI 2024 était-il difficile ?

Le jury le décrit comme un sujet assez technique, avec peu de questions faciles. Les questions 12, 14, 15 et 18 n'ont été bien traitées que dans de rares copies.

Quelle est la question la plus difficile de Mines maths 1 PSI 2024 ?

Le jury cite la question 12, qui demandait de majorer le logarithme de g(x) en valeur absolue, parmi les plus difficiles ; seules quelques excellentes copies l'ont traitée avec rigueur.

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PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Notations et résultats admis

Partie 1 : Résultats préliminaires

Partie 2 : Dérivée de P_t(f)

Partie 3 : Inégalité de log-Sobolev pour la gaussienne

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 PSI 2024 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines maths 1 PSI 2024 ?

Le sujet Mines maths 1 PSI 2024 était-il difficile ?

Quelle est la question la plus difficile de Mines maths 1 PSI 2024 ?

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Partie 2 : Dérivée de $P_t(f)$