Mines Mathématiques 1 PSI 2026Sujet et rapport du jury

Q: Sur quoi porte le sujet de maths 1 PSI des Mines 2026 ?

Sur la décomposition d'un endomorphisme complexe en somme d'endomorphismes de carré nul : lien avec la trace nulle, contre-exemple à trois termes et théorème de décomposition en quatre termes via les matrices de Hessenberg.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 PSI Mines 2026 ?

Corps C non mentionné pour trigonaliser, noyau et image supposés supplémentaires, identités remarquables sans commutativité, inégalités sur le rang absentes et confusion entre multiplicité et dimension d'un sous-espace propre.

Q: Le sujet de maths 1 PSI Mines 2026 était-il trop long ?

Le jury le juge long et techniquement délicat pour la durée et le programme de PSI. La partie D arrivait quand le temps manquait et les questions 24 et 25 n'ont pratiquement jamais été traitées.

Q: Quelle partie travailler en priorité dans le sujet de maths 1 PSI Mines 2026 ?

La partie A, la plus abordable selon le jury, puis la partie B, encore abordable mais plus délicate : elles reposent sur les fondamentaux du cours d'algèbre linéaire.

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Présentation du sujet

Difficile

Sommes d'endomorphismes de carré nul : trace nulle, contre-exemple à trois termes et décomposition en quatre termes

La première épreuve de mathématiques PSI des Mines 2026 (3 heures) étudie la décomposition d'un endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie en somme d'endomorphismes de carré nul. Le sujet montre qu'une telle décomposition impose une trace nulle, étudie la réciproque avec un nombre quelconque puis trois termes (contre-exemple en dimension au moins 5), et établit enfin que tout endomorphisme de trace nulle est somme de quatre endomorphismes de carré nul.

1Partie A : réduction des endomorphismes de carré nul (Q1 à Q5)Valeurs propres et trace, comparaison du noyau et de l'image, puis matrice réduite dans une base bien choisie.
2Partie B : somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes de carré nul (Q6 à Q8)Approche matricielle avec les matrices Ei,j et Fi,j : toute matrice de trace nulle est somme de matrices de carré nul.
3Partie C : somme de trois endomorphismes de carré nul (Q9 à Q13)Contre-exemple d'un endomorphisme de trace nulle ayant un grand espace propre pour la valeur propre 1, à l'aide du théorème de Wang et Wu admis.
4Partie D : matrices de Hessenberg (Q14 à Q18)Déterminants de sous-matrices, choix d'un polynôme caractéristique et similitude avec la matrice Jn.
5Partie E : somme de quatre endomorphismes de carré nul (Q19 à Q25)Matrices presque triangulaires supérieures, décompositions explicites en deux matrices de carré nul et théorème final.

Difficile. Le jury estime le sujet d'une longueur et d'une difficulté technique délicates par rapport à la durée et au programme de PSI ; les questions 24 et 25 n'ont pratiquement jamais été traitées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Trigonalisation et trace mal justifiées · Noyau et image crus supplémentaires · Calculs sur les matrices élémentaires

Le sujet, très intéressant mathématiquement, aboutit à un beau théorème mais s'est révélé long et technique pour la filière PSI. La partie A a mis en valeur les candidats rigoureux, la partie B a permis un tri efficace, et les deux premières parties ont révélé de grandes lacunes sur les raisonnements de base (inclusion, équivalence, implication, liberté d'une famille). Au total, le sujet a classé efficacement les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Trigonalisation et trace mal justifiéesQ1
Il faut invoquer le corps C pour trigonaliser et compter les valeurs propres avec leur multiplicité dans la formule de la trace.
« Le corps des complexes est rarement mentionné pour justifier la trigonalisabilité »
2
Noyau et image crus supplémentairesQ3, Q4
La dimension r d'un supplémentaire du noyau doit être justifiée. À la question 4, il fallait compléter la famille des u(ei) par des vecteurs du noyau.
« Un nombre non négligeable de candidats affirment que Ker(u) et Im(u) sont supplémentaires. »
3
Calculs sur les matrices élémentairesQ6
La formule Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l, rarement citée, simplifiait les calculs.
« Trop de candidats utilisent une identité remarquable sans hypothèse de commutativité. »
4
Inégalités sur le rang non utiliséesQ10
Les majorations du rang d'une somme et d'une composée étaient les ingrédients principaux.
« Très souvent abordée mais avec très peu de réussite. »
5
Multiplicité et dimension confonduesQ11 à Q13
La multiplicité d'une valeur propre n'est pas la dimension du sous-espace propre ; aux questions 11 et 12, les arguments sur la multiplicité manquent presque toujours.
« confusion entre multiplicité d'une valeur propre et dimension du sous-espace propre associé. »
6
Écriture par blocs et coefficient dominantQ14
Peu de candidats reconnaissent un polynôme caractéristique dans le bloc en haut à gauche.
« Des erreurs fréquentes dans l'écriture par blocs et dans le signe du coefficient dominant. »

Ce qui a été bien réussi

La question 2 est globalement bien traitée.
La question 9, construction d'un contre-exemple, a valorisé la créativité des candidats.
La question 13 est traitée avec succès dans les bonnes copies.
La question 19 est bien menée dans un nombre substantiel de copies ; les questions 20 et 21, peu traitées, sont plutôt réussies.

Conseils du jury

Maîtriser les raisonnements de base : inclusion, équivalence, implication, liberté d'une famille.
Préciser le corps de base lorsqu'il conditionne un résultat, comme la trigonalisabilité.
Connaître les inégalités sur le rang d'une somme et d'une composée.
Ne pas oublier les détails décisifs, comme la composante non nulle de u^k(e1) sur e(k+1) à la question 17.
Présenter clairement la copie : encadrer ou souligner les résultats, aérer par des tirets et des passages à la ligne.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Sommes d'endomorphismes de carré nul

Préambule

Ce problème est consacré aux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie qui sont décomposables en la somme d'endomorphismes de carré nul.

Dans tout le problème, on considère uniquement des espaces vectoriels sur le corps

ℂ

des nombres complexes et de dimension finie. Pour un tel espace vectoriel

E

, on note

C(E) = {u ∈ L(E) : u^2 = 0}

l'ensemble des endomorphismes de

E

de carré nul; pour tout

p ⩾ 1

, on note

Σ_p C(E) = {u_1 + ⋯ + u_p|(u_1, …, u_p) ∈ C(E)^p}

l'ensemble des endomorphismes de

E

qui se décomposent comme la somme de

p

endomorphismes de carré nul. On note enfin

Σ_\inftyC(E) = ⋃_(p \in ℕ^*)Σ_p C(E)

l'ensemble des endomorphismes de

E

qui se décomposent comme la somme (d'un nombre arbitrairement grand) d'endomorphismes de carré nul.

Diverses caractérisations ont été données pour l'appartenance d'un endomorphisme de

E

Σ_2 C(E)

, autrement dit pour sa décomposabilité en la somme de deux endomorphismes de carré nul. Un des objectifs de ce problème est d'étudier la situation pour d'autres tailles de décomposition, notamment les cas

p = 3

p = 4

Les cinq parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres, à l'exception de la partie E qui utilise pleinement les résultats de la partie D. Dans la partie A, on étudie la réduction des endomorphismes de carré nul. Dans la partie B, on caractérise l'appartenance à

Σ_\inftyC(E)

de manière simple. Dans la partie C, on exhibe un endomorphisme qui est somme d'endomorphismes de carré nul mais n'est pas somme de trois endomorphismes de carré nul. Dans la partie D, on définit les matrices de Hessenberg et quelques propriétés. Dans la partie E, on établit enfin que tout endomorphisme qui est somme d'endomorphismes de carré nul est somme de quatre endomorphismes de carré nul.

Dans le sujet, on note

0_n

la matrice nulle de

M_n(ℂ)

I_n

sa matrice identité.

A Réduction des endomorphismes de carré nul

On fixe ici un espace vectoriel

E

de dimension finie

n > 0

. On se donne un endomorphisme

u \in L(E)

tel que

u^2 = 0

u \neq 0

. On note

r

le rang de

u

1.Déterminer les valeurs propres possibles pour $u$ et en déduire que $tr(u) = 0$ .
2.En comparant noyau et image de $u$ pour l'inclusion, montrer que $r ⩽ n/2$ .
3.Justifier qu'il existe une famille libre $(e_1, \dots, e_r)$ de vecteurs de $E$ telle que $Ker(u) \oplus Vect(e_1, \dots, e_r) = E$ ; démontrer alors que $(u(e_1), \dots, u(e_r))$ est une famille libre.
4.En déduire qu'il existe une base de $E$ dans laquelle $u$ est représenté par la matrice par blocs
$(0_r, 0_r, (0); I_r, 0_r, (0); (0), (0), 0_(n - 2r)).$
5.Montrer qu'il existe un unique entier $m > 0$ tel que $u$ soit représenté dans une base par la matrice par blocs
$(0_m, 0_m, (0); I_m, 0_m, (0); (0), (0), 0_(n - 2m)).$

B Somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes de carré nul

On fixe ici un espace vectoriel

E

de dimension finie

n ⩾ 2

. On se propose de démontrer que

Σ_\inftyC(E)

est égal à l'ensemble

H(E) = {u \in L(E) : tr(u) = 0}.

Pour

i, j

dans

[ [1, n] ]

, on rappelle que

E_(i, j)

désigne la matrice de

M_n(ℂ)

possédant exactement un coefficient non nul, valant 1 et situé sur la

i

-ème ligne et la

j

-ème colonne. Pour

i, j

distincts dans

[ [1, n] ]

, on pose

F_(i, j) = E_(i, i) - E_(j, j) + E_(i, j) - E_(j, i).

6.Parmi les matrices de la forme $E_(i, j)$ , lesquelles sont de carré nul? Calculer $(F_(i, j))^2$ pour tous $i, j$ distincts dans $[ [1, n] ]$ .
7.On pose $H_n = {A ∈ M_n(ℂ) : tr(A) = 0}$ . Montrer que tout élément de $H_n$ est une combinaison linéaire de matrices ayant l'une des formes suivantes :

- $E_(i, j)$ avec $i, j$ distincts dans $[ [1, n] ]$ ;
- $F_(i, n)$ avec $i \in [ [1, n - 1] ]$ .

Conclure que $Σ_\inftyC(E) = H(E)$ .

Le résultat que l'on vient d'établir sera considérablement raffiné dans la partie E.

C Somme de trois endomorphismes de carré nul

On fixe dans cette partie un espace vectoriel

E

de dimension finie

n ⩾ 5

. On a démontré dans la partie précédente que tout endomorphisme de

E

de trace nulle est une somme d'endomorphismes de carré nul. L'objectif est ici de mettre en évidence un endomorphisme de

E

qui est de trace nulle mais n'est pas la somme de trois endomorphismes de carré nul.

On admet dans cette partie (et seulement dans cette partie!) le résultat suivant :
Théorème de Wang et Wu. Soit

u

un endomorphisme de

E

. Pour que

u

appartienne à

Σ_2 C(E)

, il faut et il suffit qu'il existe

φ \in GL(E)

tel que

- u = φ \circ u \circ φ^(- 1)

On se donne un endomorphisme

u

E

de trace nulle. On suppose que 1 est valeur propre de

u

et que le sous-espace propre associé

Ker(u - id_E)

est de dimension

d > (3n)/4

9.Démontrer qu'il existe effectivement un endomorphisme de $E$ vérifiant les contraintes imposées à $u$ .

On va établir que

u

ne peut pas se décomposer comme la somme de trois éléments de

C(E)

. Pour cela, on pose

w = u - id_E

. Soit

v \in C(E)

10.En développant $(w - v)^2$ , établir que $rg((w - v)^2) < n/2$ .
11.En remarquant que $Ker((w - v)^2)$ est stable par $w - v$ , démontrer que 1 est valeur propre de $u - v$ , de multiplicité au moins $n - rg((w - v)^2)$ .
12.En déduire que s'il existe $φ \in GL(E)$ tel que $- (u - v) = φ \circ (u - v) \circ φ^(- 1)$ , alors 1

et -1 sont valeurs propres de $u - v$ de multiplicité strictement supérieure à $n/2$ .
13.Conclure que $u \notin Σ_3 C(E)$ .

D Intermède : matrices de Hessenberg

On fixe ici un entier

n ⩾ 2

. Une matrice

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℂ)

est dite de Hessenberg lorsque

\forall(i, j) \in [ [1, n] ]^2, i > j + 1 \Rightarrow a_(i, j) = 0,

et on dit alors qu'une telle matrice est régulière lorsque

\foralli \in [ [1, n - 1] ], a_(i + 1, i) \neq 0.

Pour un vecteur

C \in ℂ^(n - 1)

, on introduit la matrice par blocs

E_C = (0_(n - 1), C; (0), 0) \in M_n(ℂ).

Pour une matrice

B \in M_n(ℂ)

et un couple

(k, l) \in [ [1, n] ]^2

, on note

B˜^((k, l))

la sousmatrice de

B

obtenue en lui retirant sa

k

-ième ligne et sa

l

-ième colonne. On note enfin

J_n = (δ_(i, j + 1))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) = (0, (0); 1, 0; ⋱, ⋱; (0), 1, 0) \in M_n(ℂ),

une matrice dont les seuls coefficients non nuls, tous égaux à 1, sont situés immédiatement sous la diagonale. C'est bien entendu un cas particulier de matrice de Hessenberg régulière.

14.Soit $A \in M_n(ℂ)$ une matrice de Hessenberg régulière. Montrer que pour tout $k \in [ [1, n] ]$ , il existe un unique polynôme $P_k \in ℂ[X]$ de degré $k - 1$ tel que
$\forallx \in ℂ, det((xI_n - A˜)^((k, n))) = P_k(x)$
Présiser en outre le coefficient dominant de $P_k$ . On pourra représenter $(I_n - A˜)^((k, n))$ par blocs.

15.Soit $A \in M_n(ℂ)$ une matrice de Hessenberg régulière et $P \in ℂ[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$ et dont le coefficient sur $X^(n - 1)$ est $- tr(A)$ . Déduire de la question précédente qu'il existe un unique vecteur $C \in ℂ^(n - 1)$ tel que $A + E_C$ ait $P$ pour polynôme caractéristique.
16.Expliciter l'unique vecteur $C \in ℂ^(n - 1)$ tel que $J_n + E_C$ ait $X^n$ pour polynôme caractéristique.
17.Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ . On suppose qu'il existe une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est une matrice de Hessenberg régulière, et l'on fixe une telle base. Montrer que $(u^k(e_1))_(0 ⩽ k ⩽ n - 1)$ est une base de $E$ .
On pourra examiner la matrice de cette famille de vecteurs dans $(e_1, \dots, e_n)$ .
18.Soit $A \in M_n(ℂ)$ une matrice de Hessenberg régulière dont le polynôme caractéristique est $X^n$ . Montrer que $A$ est semblable à $J_n$ .

E Somme de quatre endomorphismes de carré nul

On conserve ici les notations de la partie précédente. On fixe un entier

n ⩾ 2

. Une matrice

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℂ)

est dite presque triangulaire supérieure lorsque

a_(i, j) = 0

pour tout couple

(i, j) \in [ [1, n] ]^2

tel que

i > j

, sauf pour le couple

(n, n - 1)

, pour lequel

a_(n, n - 1) \neq 0

On considère la matrice

V = (δ_(i, j + 1)1_(i \neq n))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in M_n(ℂ),

autrement dit la matrice ayant les mêmes lignes que

J_n

, à l'exception de la dernière ligne, qui est nulle.

19.Soit $A \in M_n(ℂ)$ une matrice presque triangulaire supérieure. On suppose que $tr(A) = 0$ . Justifier qu'il existe $C_0 \in ℂ^(n - 1)$ tel que $A + V + E_(C_0)$ soit semblable à $J_n$ .
20.Montrer que $J_n$ est la somme de deux matrices de carré nul. On pourra chercher les termes $B_1$ et $B_2$ d'une décomposition en imposant la contrainte qu'en toute position $(i, j)$ on ait $(B_1)_(i, j) = 0$ ou $(B_2)_(i, j) = 0$ .
21.Soit $C \in ℂ^(n - 1)$ quelconque. Construire deux matrices $B_1$ et $B_2$ de $M_n(ℂ)$ ,

telles que $V + E_C = B_1 + B_2$ et $(B_1)^2 = 0 = (B_2)^2$ .
22.Soit $v \in L(ℂ^n)$ qui n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe un plan vectoriel de $ℂ^n$ stable par $v$ et contenant au moins un vecteur non nul qui n'est pas vecteur propre de $v$ . On pourra s'aider d'une base de trigonalisation.
23.En déduire que toute matrice de $M_n(ℂ)∖Vect(I_n)$ est semblable à une matrice de la forme
$(B, (?); (0), C)$
où $B = (b_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ 2) \in M_2(ℂ)$ vérifie $b_(2, 1) \neq 0$ et où la matrice $C \in M_(n - 2)(ℂ)$ est triangulaire supérieure.
24.Montrer que toute matrice de $M_n(ℂ)∖Vect(I_n)$ est semblable à une matrice presque triangulaire supérieure.
25.On se donne un espace vectoriel $E$ de dimension finie ainsi qu'un endomorphisme $u$ de $E$ , supposé de trace nulle. En combinant plusieurs résultats antérieurs, démontrer que $u \in Σ_4 C(E)$ .

Fin du problème

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 1 PSI des Mines 2026 ?

Sur la décomposition d'un endomorphisme complexe en somme d'endomorphismes de carré nul : lien avec la trace nulle, contre-exemple à trois termes et théorème de décomposition en quatre termes via les matrices de Hessenberg.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 PSI Mines 2026 ?

Corps C non mentionné pour trigonaliser, noyau et image supposés supplémentaires, identités remarquables sans commutativité, inégalités sur le rang absentes et confusion entre multiplicité et dimension d'un sous-espace propre.

Le sujet de maths 1 PSI Mines 2026 était-il trop long ?

Le jury le juge long et techniquement délicat pour la durée et le programme de PSI. La partie D arrivait quand le temps manquait et les questions 24 et 25 n'ont pratiquement jamais été traitées.

Quelle partie travailler en priorité dans le sujet de maths 1 PSI Mines 2026 ?

La partie A, la plus abordable selon le jury, puis la partie B, encore abordable mais plus délicate : elles reposent sur les fondamentaux du cours d'algèbre linéaire.

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