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Mines Mathématiques 2 PSI 2001Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Etude d'une équation différentielle linéaire du second ordre via les séries entières et le calcul intégral
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Le problème étudie les solutions de l'équation différentielle x y'' + (1-x) y' - lambda y = 0 en introduisant une fonction f_lambda définie par une série entière. Il mobilise des questions classiques sur les séries entières, l'intégrabilité et le calcul des intégrales, ainsi que sur les fonctions de plusieurs variables.

  1. 1Première partieDéterminer les coefficients de la série entière solution de l'équation différentielle, étudier son rayon de convergence et les cas où elle est polynomiale.

Difficile. Le rapport indique que, malgré un barème généreux, la moyenne générale est très inférieure à dix, et que des questions comme I-4°) ou II-3°) d) n'ont quasiment jamais été résolues correctement.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Fonction exponentielle non identifiée · Intervalle d'intégration non vérifié · Théorème de Cauchy-Lipschitz appliqué à tort
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Le sujet, d'une bonne longueur, exigeait technicité et efficacité sur des questions classiques. Malgré un caractère classique et un barème généreux, la moyenne générale est très inférieure à dix, avec une bonne dispersion des notes, peu de notes extrêmement basses mais aussi peu de très bonnes notes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Fonction exponentielle non identifiéeI-1°) a)

    En I-1°) a), beaucoup de candidats se trompent dans l'expression du coefficient an et ne reconnaissent pas en f1 la fonction exponentielle.

  2. 2
    Intervalle d'intégration non vérifiéI-2°) b)

    En I-2°) b), trop de candidats réutilisent une intégrale qui n'existe plus car l'intervalle contient 0.

  3. 3
    Théorème de Cauchy-Lipschitz appliqué à tortI-3°) b)

    En I-3°) b), certains invoquent ce théorème alors qu'il ne s'applique pas car le coefficient de y'' s'annule en 0.

  4. 4
    Manque de pratique du calcul différentiel à plusieurs variablesI-4°)

    La question I-4°) n'a quasiment jamais été résolue correctement, très peu de candidats l'ayant même abordée.

    « Cette question n'a été quasiment jamais résolue correctement. »
  5. 5
    Théorèmes sur les intégrales à paramètre mal maîtrisésII-2°) a), II-2°) b)

    La question II-2°) a) est souvent mal résolue car les candidats connaissent mal ces théorèmes, et l'interversion entre sommation et intégration en II-2°) b) n'est pas toujours justifiée.

Ce qui a été bien réussi

  • La plupart des candidats ont prouvé la parité de f en II-4°) a)
  • Les questions II-4°) b) et c) se traitaient facilement à l'aide des résultats précédents

Conseils du jury

  • Ne pas grappiller de questions insignifiantes ; une solution à peine ébauchée rapporte zéro point.
  • Vérifier au brouillon les calculs pour détecter les fautes avant de rédiger.
  • Bien maîtriser les définitions et théorèmes du programme, notamment sur les équations différentielles et les séries entières.
  • Faire preuve de circonspection avant de conclure à une erreur d'énoncé.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D’ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière PSI.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
L’objet de ce problème est l’étude de l’équation différentielle suivante :
E_λ : xy^(′′) + (1 − x)y^′ − λy = 0.
où la fonction y est une fonction inconnue deux fois continûment dérivable de la variable x et λ un réel donné.

PREMIÈRE PARTIE

I-1. Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle :
Il est admis qu'il existe une fonction f_λ, somme d'une série entière de rayon de convergence R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0 , ( f_λ(0) = 1 ), solution dans l'intervalle ] − R, R [ de l'équation différentielle E_λ. Cette fonction est définie par la relation :
f_λ(x) = 1 + ∑_(n = 1)^∞a_n x^n.
a. Déterminer les coefficients a_n, n ≥ 1, en fonction de l'entier n et du réel λ. Préciser les fonctions f_1, f_0, f_(− 1), f_(− 2).
b. Pour quelles valeurs du réel λ la fonction f_λ est-elle un polynôme ? Préciser son degré en fonction de la valeur − p donnée au réel λ et le coefficient du terme de plus haut degré (le terme
dominant).
c. Quel est le rayon de convergence R de la série entière de terme général a_n x^n, n ≥ 1, lorsque le réel λ est différent des valeurs obtenues précédemment?
Il est admis, dans la suite, que la fonction f_λ est la seule fonction, développable en série entière sur toute la droite réelle, qui soit solution de l'équation différentielle E_λ et qui prenne la valeur 1 en 0.

I-2. Solution de l'équation différentielle E_1 :

Dans cette question le réel λ est égal à 1 :
E_1 : xy^(′′) + (1 − x)y^′ − y = 0
a. Déterminer la solution générale f_1 de l'équation différentielle E_1 sur la demi-droite ]0, ∞[; exprimer cette solution à l'aide de fonctions usuelles et de la fonction définie sur la demi-droite ]0, ∞[, par la relation
x ↦ ∫_1^x(e^(− t))/tdt
b. Déterminer de même la solution générale de l'équation différentielle E_1 sur la demi-droite ] − ∞, 0[.
c. Déterminer enfin les fonctions solutions sur R de l'équation différentielle E_1.

I-3. Relation entre les fonctions f_λ :

Étant donné un réel λ, soit g_λ la fonction définie sur la droite réelle R par la relation ci-dessous :
g_λ(x) = e^x f_λ(− x).
a. Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par la fonction g_λ.
b. En déduire, en admettant que le produit de deux fonctions réelles développables en série entière sur la droite réelle R est encore une fonction développable en série entière sur la droite réelle R, que, pour tous réels λ et x, il vient :
f_(1 − λ)(x) = e^x f_λ(− x)
c. Préciser, lorsque p est un entier strictement positif, les fonctions f_p. En déduire les fonctions f_2 et f_3.
d. Soit p un entier donné supérieur ou égal à 1(p ≥ 1); quelle est, lorsque le réel x croît indéfiniment, la limite de l'expression ci-dessous :
(f_(p + 1)(x))/(xf_p(x))?

I-4. Application à une équation aux dérivées partielles:

Soit Ω le sous-ensemble ouvert de R^3, rapporté à un repère Oxyz , obtenu en retranchant de R^3 le plan Oxy :
Ω = {(x, y, z)|(x, y, z) ∈ R^3; z ≠ 0}
Soit F une fonction inconnue, définie dans l'ouvert Ω, vérifiant l'équation aux dérivées partielles ( P ) suivante :
(P) (∂^2 F)/(∂x^2) + (∂^2 F)/(∂y^2) + (∂^2 F)/(∂z^2) − r/z(∂F)/(∂z) + 1/(4r^2)F = 0
Il a été posé dans cette relation :
r = √(x^2 + y^2 + z^2)
Comment y a-t-il lieu de choisir le réel λ pour que la fonction F définie dans l'ouvert Ω par la relation suivante
F(x, y, z) = 1/(√r)f_λ(r)
soit solution de l'équation aux dérivées partielles (P) ?

SECONDE PARTIE

L'objet de cette seconde partie est l'étude de certaines propriétés de la fonction f_(1/2). Dans ce but la fonction φ, définie pour tout réel x par la relation suivante :
φ(x) = ∫_0^(π/2)e^(xsin^2 θ)dθ
est introduite ainsi que les intégrales I_p définies par la relation suivante : pour tout entier naturel p, l'intégrale I_p est donnée par la relation :
I_p = ∫_0^(π/2)sin^(2p)θdθ
II-1. Détermination de l'intégrale I_p :
Déterminer une relation entre les intégrales I_p et I_(p + 1). En déduire la valeur de l'intégrale I_p.

II-2. Relation entre les fonctions φ et f_(1/2) :

a. Démontrer que la fonction φ est définie et continue sur toute la droite réelle R. Est-elle plusieurs fois continûment dérivable ?
b. Déterminer le développement en série entière de la fonction φ sur un intervalle ] − R, R[. En déduire qu'elle est proportionnelle à la fonction f_(1/2). Préciser le coefficient de proportionnalité.

II-3. Encadrements de φ(x) :

a. Démontrer que, pour tout réel u strictement inférieur à 1(u < 1), l'inégalité ci-dessous existe :
e^u ≤ 1/(1 − u)
b. Soit x un réel strictement inférieur à 1(x < 1); soit J(x) l'intégrale définie par la relation suivante :
J(x) = ∫_0^(π/2)(dθ)/(1 − xsin^2 θ)
Calculer l'intégrale J(x).
c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel x strictement inférieur à 1(x < 1), la fonction φ vérifie l'encadrement suivant :
0 ≤ φ(x) ≤ π/21/(√(1 − x))
d. Démontrer l'existence d'une constante A strictement positive telle que pour tout réel x inférieur ou égal à − 1(x ≤ − 1), la fonction φ vérifie la minoration suivante :
φ(x) ≥ A/(√(− x))
e. Démontrer que la fonction f_(1/2) admet une limite lorsque le réel x tend vers − ∞. Préciser cette limite. Est-ce que la fonction f_(1/2) est intégrable sur la demi-droite ] − ∞, − 1] ?
Soit h la fonction définie sur la droite réelle par la relation :
h(x) = e^(− x/2)f_(1/2)(x)

II-4. Étude de la fonction h :

a. Démontrer que la fonction h est paire et que la valeur de h(x) est donnée par la relation suivante :
h(x) = k∫_0^(π/2)ch(x(cosθ)/2)dθ
où k est une constante qui sera déterminée.
b. Déterminer, lorsque le réel x croît indéfiniment, les limites des deux expressions suivantes
h(x) et (h(x))/x.
c. Étudier les variations de la fonction h et tracer la courbe représentative, lorsque le réel x varie sur la droite réelle R.
FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

3 questions
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Mines PSI 2001 ?
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Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Mines PSI 2001 ?

Il porte sur l'étude d'une équation différentielle linéaire du second ordre à l'aide des séries entières, avec des questions sur l'intégrabilité et les fonctions de plusieurs variables.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une mauvaise identification de la fonction exponentielle, une application erronée du théorème de Cauchy-Lipschitz et une faible maîtrise des théorèmes sur les intégrales à paramètre.

Ce sujet de mathématiques PSI est-il difficile ?

Le rapport indique que la moyenne générale est très inférieure à dix malgré un barème généreux, ce qui en fait un sujet exigeant.

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