Mines Physique 1 PSI 2001Sujet et rapport du jury

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Oscillateur mécanique forcé amorti
Diagrammes de Bode
Induction électromagnétique
Interférences et interféromètre de Michelson
Effet Doppler

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BanqueMines Année2001 FilièrePSI MatièrePhysique

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Présentation du sujet

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À propos de sismologie : sismomètre mécanique, sismomètre à détection électromagnétique et héliosismologie par effet Doppler

Le problème étudie la mesure de déplacements sismiques. Il modélise d'abord un sismomètre mécanique comme un oscillateur forcé amorti puis un sismomètre à détection électromagnétique analogue à un haut-parleur. Une troisième partie indépendante traite de l'héliosismologie mesurée par effet Doppler à l'aide d'un interféromètre de Michelson.

1IA : modélisation d'un sismomètre, réponse fréquentielleÉtablissement de l'équation différentielle de l'oscillateur forcé amorti, fonction de transfert mécanique et diagrammes de Bode.
2IB : sismomètre à détection électromagnétiqueSismomètre modifié avec aimant et solénoïde, analogie avec un haut-parleur, équations électrique et mécanique, bilan de puissance et fonction de transfert électromécanique.
3II : héliosismologie à détection optiqueMesure de la vitesse de déplacement de la surface solaire par effet Doppler à l'aide d'un interféromètre de Michelson.

Accessible. Le rapport qualifie le problème de relativement court et la première partie de 'pourtant simple' ; il souligne que le sujet, qui 'semble simple', a surtout été maltraité par manque de rigueur plutôt que par difficulté de fond.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Justifications fantaisistes de l'équation différentielle fournie · Tracés asymptotiques de Bode fantaisistes · Question qualitative traitée sans réflexion

Le jury s'est particulièrement attaché à évaluer la rigueur scientifique et le soin de rédaction des candidats. Il relève de graves lacunes dans ce domaine : approximations, affirmations non justifiées et calculs non commentés ont été sévèrement sanctionnés, même chez des candidats ayant obtenu de nombreux résultats exacts.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Justifications fantaisistes de l'équation différentielle fournieQ1
Pour retrouver l'équation de la question 1, pourtant donnée dans l'énoncé, de nombreux candidats ont proposé des raisonnements physiquement faux plutôt que de la démontrer rigoureusement.
« le poids du mobile est compensé par la poussée d'Archimède »
2
Tracés asymptotiques de Bode fantaisistesQ3
Le tracé du diagramme de Bode d'un filtre du second ordre a souvent été bâclé, avec des confusions entre les axes et un calcul de déphasage sans rigueur.
« Les tracés asymptotiques ont alors été souvent fantaisistes »
3
Question qualitative traitée sans réflexionQ7
De nombreux candidats ont affirmé qu'un meilleur sismomètre s'obtiendrait en supprimant ressort et amortisseur, sans remarquer que l'appareil obtenu ne serait plus qu'une masse rigide posée sur le sol.
4
Expression fausse de la résistance du solénoïdeQ10
La résistance R du fil du solénoïde en fonction de sa résistivité, sa longueur et sa section a donné lieu à de nombreuses combinaisons erronées, qu'une simple analyse d'homogénéité permettait pourtant d'écarter.
5
Faute de signe sur le mouvement de l'aimantQ11
La question portait sur un aimant mobile ; ne pas l'avoir remarqué a conduit de nombreux candidats à une faute de signe, rarement corrigée par une vérification qualitative.
« de nombreux candidats ont fait ici une faute de signe »
6
Bilan énergétique obtenu par sommation injustifiéeQ15
Le bilan de puissance de la question 15 ne pouvait pas s'obtenir en additionnant sans discernement les équations électrique et mécanique, ni en assemblant des termes attendus sans justification.

Ce qui a été bien réussi

Plusieurs candidats ont fait preuve d'un très bon niveau de connaissances et d'un soin apprécié dans la rédaction, avec des notes élevées.
Reconnaître l'analogie du sismomètre électromagnétique avec un haut-parleur a été valorisé.

Conseils du jury

Justifier soigneusement un résultat déjà donné dans l'énoncé plutôt que de le retrouver par des manipulations injustifiées.
Vérifier l'homogénéité de toute formule avant de la proposer.
Traiter les questions qualitatives avec autant de réflexion que les questions de calcul, en les appuyant si besoin sur un calcul.
Se relire pour éviter des affirmations non scientifiques.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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A 2001 PHYS. PSI - I

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PSI
(Durée de l'épreuve :

3

heures; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE - EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PSI
Cet énoncé comporte 6 pages de texte

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé.
Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

Conventions typographiques : un vecteur est noté en gras (A), sa norme en italique

(‖A‖ = A)

À PROPOS DE SISMOLOGIE

IA Modélisation d'un sismomètre, réponse fréquentielle

Fig. 1 : Sismomètre

Le principe d'un sismomètre est schématisé sur la fig. 1. Un ressort (1) de masse négligeable, dont la réponse en élongation, linéaire, est caractérisée par une raideur

k

, est suspendu à un boîtier rigide. Un solide (2), de masse

m

, est accroché à l'autre extrémité de ce ressort. Une partie de ce solide est solidaire d'un amortisseur (3) exerçant sur (2) la force de frottement fluide

f = - hv

, où

h

est une constante,

v = (dx)/(dt)u_x

la vitesse de translation de (2) par rapport au boîtier et

u_x

le vecteur unitaire porté par l'axe

Ox

, vertical, orienté vers le haut, et fixe par rapport au boîtier. L'origine O de cet
axe correspond au point d'attache de (2) dans sa position d'équilibre lorsque le boîtier est immobile sur le sol, ce dernier formant un repère galiléen. On définit aussi un axe

O^' X

vertical et fixe dans un référentiel galiléen (celui du sol par exemple). On étudie la variable

x(t)

lorsque le boîtier reçoit une onde sismique, supposée verticale et produisant un mouvement de boîtier repéré par

X(t)

: l’onde sismique est ainsi caractérisée par

X(t)

et la réponse du sismomètre est caractérisée par

x(t)

1 - Justifier soigneusement l'établissement de l'équation différentielle liant les variables $x(t)$ et $X(t) : (d^2 x)/(dt^2) + (\sqrt2)/2(dx)/(dt) + ω_0^2 x = (d^2 X)/(dt^2)$ , où $ω_0 = \sqrt(k/m)$ est la pulsation propre du sismomètre et, par définition, $τ = \sqrt2m/h$ la constante de temps relative à l'amortissement.
$◻2$ - On considère une onde sismique sinusoïdale et de pulsation $ω$ . En régime forcé, la fonction $x(t)$ est sinusoïdale elle aussi, et de même pulsation. Établir l'expression de la fonction de transfert mécanique $H_-_1(jω) = (x_-)/(X_-)$ , où $g_-$ est la grandeur complexe $(\propto exp(jωt))$ associée au signal sinusoïdal $g(t)$ et $j^2 = - 1$ . On suppose désormais que $ω_0 z = 1$ ; montrer que la fonction de transfert mécanique peut s'écrire : $H_-_1(jω) = 1/((ω_0^2)/(ω^2) - 1 + j\sqrt2(ω_0)/ω)$ .
$◻3$ - Tracer l'allure des diagrammes de Bode, en amplitude et en phase, de cette fonction de transfert : d'une part $20log_(10)(H_1(ju))$ , d'autre part $φ = arg(H_-_1)$ en fonction du logarithme décimal de la fréquence réduite $u = ω/(ω_0)$ ; préciser les équations des asymptotes. Quel type d'opérateur électronique possède une réponse fréquentielle semblable ? Quel est son comportement suivant les deux cas : $a≫a_0$ ou $a≪a_0$ ?

Fig. 2 : Signal associé à une onde sismique

4-La pulsation propre du sismomètre étant $ω_0 = 20rad.s^(- 1)$ , cet appareil détecte une onde sismique sous la forme de la fonction périodique $x(t)$ reproduite en fig. 2 ; l'amplitude est en unité arbitraire. L'application d'un algorithme de transformée de Fourier à $x(t)$ fournit les spectres de pulsations significatives, en amplitude et en phase, tracés en figure 3. À partir de cette figure, exprimer le développement en série de Fourier de $x(t)$ , sous forme d'une somme finie de cosinus : $x(t) = c_0 + \sum_n c_n cos(nωt + φ_n)$ .
$◻5$ - En utilisant la fonction de transfert $H_-_1(jω)$ , déduire le développement en série
de Fourier de l'excitation $X(t) = c_0^' + \sum_n c_n^' cos(nωt + φ_n^')$ . Le résultat sera présenté en complétant le tableau I. Pensez-vous que ce résultat puisse représenter une onde sismique réelle?

Fig. 3 : Amplitude (unité arbitraire) et phase du signal représenté à la fig. 2

$n$	$ω$	$c_n$	$φ_n$	$\|1/H_-\|$	$arg(1/H_-)$	$c_n^'$	$φ_n^'$
0	0	0
1	$u_0/2$	4	$- 2π/5$	$\sqrt(17)$	$arctan(2\sqrt2/3)$	$4\sqrt(17)$	$arctan(2\sqrt2/3) - 2π/5$
2	$ω$	3,5	$3π/5$	$\sqrt2$	$π/2$	$3, 5\sqrt2$	$(3π/5) + π/2$

Tableau I (partiel ; à compléter sur votre copie, pour les autres valeurs de n)

6 - Tracer l'allure de

X(t)

sur une période.
7 - Comment devrait-on modifier les caractéristiques du sismomètre afin que l'enregistrement de

x(t)

permette de déduire directement

X(t)

8 - En considérant ce que serait l’allure du diagramme de Bode en amplitude de la fonction de transfert pour

ω_0 l > 1

, expliquer pourquoi ce choix (

ω_0 τ > 1

) doit être évité.

Fig. 4 : Sismomètre modifié

IB Sismomètre à détection électromagnétique

On améliore le système précédent en y incluant un capteur électromagnétique permettant d'enregistrer le signal

x(t)

. Le sismomètre de la fig. 1 est modifié conformément au schéma de la fig. 4. Le ressort (1), de raideur

k

, est conservé ; le solide (2) est remplacé par un aimant permanent annulaire noté (

Z^'

), d'axe de révolution vertical et de masse

m

. L'amortisseur (3) est rem-
placé par ('3), solénoïde cylindrique coaxial avec l'aimant (2'), et fixe par rapport au boîtier.

◻9

- Souligner le rôle joué par (2') et (3), et préciser la nature du signal recueilli.

Caractéristiques du solénoïde ( 3 ')

Le solénoïde est constitué de

N

spires jointives d'un fil conducteur homogène fin, de résistivité

ρ

, de longueur totale

ℓ

, et de section

s

. La longueur du solénoïde est

d

10 - Exprimer la résistance

R_s

du solénoïde en fonction de

ρ, ℓ

s

. Exprimer, en négligeant les effets de bord, l'inductance

L

du solénoïde en fonction de

ℓ, d

μ_0

, perméabilité magnétique du vide.

Étude du fonctionnement en circuit ouvert

Fig. 5 : Aimant et champ radial

L'aimant ('2') produit dans son entrefer un champ magnétique radial (fig. 5). La norme de ce champ ne dépend que de la distance à l'axe. Sur la surface du cylindre sur lequel est enroulé le solénoïde (3), la norme du champ est constante et notée

B_0

◻11

- On note

e

la force électromotrice induite dans le solénoïde par le mouvement dans l'entrefer. Exprimer

e

en fonction de

(dx)/(dt), B_0

ℓ

. La fig. 5 rappelle le sens de

u_x

. Vérifier la cohérence avec l'étude menée à la question 9 .

12 - On l'a vu, il est nécessaire d'imposer au mouvement de l'aimant permanent (

Z^'

) un amortissement important. On convient de réaliser cela de façon électromécanique. Le circuit du solénoïde (3) étant fermé sur une résistance

R_u

, un courant d'intensité

i

peut circuler ; le sens positif est défini dans la fig. 5. Exprimer la résultante des forces magnétiques s’exerçant sur le solénoïde (3) en fonction de

B_0, ℓ

i

◻13

- Établir l'équation différentielle, liant

x(t), X(t)

i(t)

, traduisant l’application des lois de la mécanique au mouvement de

(2^')

◻14

- Établir l'équation différentielle, liant

x(t)

i(t)

, en considérant le circuit électrique fermé comprenant (3') et la résistance

R_u

. On posera

R = R_s + R_u

15 - Déduire des deux équations différentielles obtenues précédemment un bilan de puissance sous la forme :

f(d^2 X)/(dt^2), (dx)/(dt) = g(i) + d/(dt)[E_1(i)] + d/(dt)E_2(dx)/(dt) + d/(dt)[E_3(x)]

où

f, g, E_1, E_2

E_3

sont des fonctions à trouver et à interpréter physiquement.
16 - On suppose que l'onde sismique est sinusoïdale de pulsation

a

et l'on se place en régime forcé. À partir des deux équations différentielles obtenues aux questions 14 et 15, exprimer la fonction de transfert électromécanique du système :

H_-_2(jω) = (i_-)/(X_-)

, en fonction
de

u, u_0, R

L_0 = (B_0^2 ℓ^2)/k

. Étudier le comportement de cette fonction lorsque

u \to 0

puis lorsque

a \to \infty

. Quel type d'opérateur a-t-on réalisé ?

17- Le réglage de l'appareil pour qu'il se comporte en suiveur n'est donc pas facile à réaliser. Analyser le choix suivant, réalisé dans la pratique : l’oscillateur mécanique est constitué d'un pendule fortement amorti et possédant une inertie importante ; ce pendule est muni d'un système de détection électromagnétique qui lui est solidaire, semblable à celui qui est décrit figure 4, en circuit ouvert.

Fig. 6 : Interféromètre de Michelson

II Héliosismologie à détection optique

La surface du Soleil est animée de mouvements appelés ondes sismiques. L'étude de ces ondes renseigne sur la structure interne du Soleil. L'effet Doppler se manifeste par une variation de fréquence à la réception des ondes émises par la surface solaire. Comme on va le voir, cette variation de fréquence, proportionnelle à la vitesse de déplacement de la surface est mesurable par un interféromètre de Michelson (fig. 6).

L'interféromètre comprend deux miroirs plans perpendiculaires l'un à l'autre,

M_(1f)

fixe et

M_(2m)

mobile en translation et une séparatrice

S

, semi-réfléchissante, d'épaisseur négligée, inclinée à

45^\circ

par rapport aux miroirs et qui n'introduit pas de différence de marche. L'ensemble est placé dans l'air, d'indice de réfraction

n

considéré comme égal à 1 .

La position de

M_(2 m)

est repérée par son abscisse

x

sur un axe

Ox

, perpendiculaire à

M_(2 m)

. L'origine O est à l'intersection de l'axe

Ox

et du miroir

M_(2 m)

, lorsque ce dernier est dans sa position initiale, symétrique de

M_(1f)

par rapport à S .

Le monochromateur placé à l'entrée isole une raie dans le spectre solaire. La longueur d'onde de cette raie, notée

λ_1

, dépend de la vitesse de déplacement du point de la surface solaire vers lequel le monochromateur pointe. À la sortie du monochromateur, une ouverture circulaire quasi-ponctuelle est placée au foyer objet d'une lentille convergente

L_1

. Un détecteur

D

est placé au foyer image d'une lentille convergente

L

, d'axe optique normal à

M_(1f)

◻18

- Exprimer l'intensité lumineuse

I_1

mesurée par le détecteur, en fonction de

λ_1

, de

x

et de l'intensité maximale

I_0

. On admet que, pour

x = 0

, la différence de marche est nulle.

19 - On modifie le dispositif précédent conformément à la fig. 7 : une source ponctuelle et monochromatique, de longueur d'onde

λ_2

très proche de

λ_1

, est placée au foyer d'une lentille convergente

L_2

d'axe optique normal à celui de

L_1

. La lame semi-réfléchissante

S^'

, identique à

S

, inclinée à

45^\circ

, permet de superposer une partie des faisceaux lumineux issus de

L_1

et de

L_2

, sans introduire de différence de marche. On suppose que les inten-
sités des ondes lumineuses, de longueurs d'onde respectives

λ_1

λ_2

sont égales lorsqu'elles arrivent sur S. Exprimer l'intensité lumineuse I mesurée par le détecteur, en faisant apparaître les grandeurs

λ¯

Δk

définies respectivement par

2/(λ¯) = 1/(λ_1) + 1/(λ_2)

Δk = 2π1/(λ_1) - 1/(λ_2)

Fig. 7 : Interféromètre modifié (source et détecteur non figurés)

◻20

- Exprimer la visibilité du système d'interférences, définie par

V(x) = (I_(max) - I_(min))/(I_(max) + I_(min)),

où

I_(max)

I_(min)

désignent respectivement les intensités maximale et minimale du signal autour du point d'abscisse

x

(on utilisera le fait que

λ_1

λ_2

sont très voisines l'une de l'autre).

21 - Le miroir

M_(2 m)

est déplacé de façon à repérer deux positions successives pour lesquelles on détecte une visibilité minimale ; soit

Δx

l'écart entre ces positions. Exprimer l'écart de fréquence

Δf

entre les deux sources en fonction de

Δx

et de la célérité

c

de la lumière.

22 - Expliquer comment la connaissance de la longueur d'onde

λ_2

dans le spectre solaire et celle de la longueur d'onde modifiée par effet Doppler

λ_1 = 1 + v/cλ_2

permettent, grâce au dispositif étudié, d'avoir accès à la vitesse de déplacement de la surface du Soleil, v. Estimez l’ordre de grandeur d'un écart mesurable entre ces longueurs d'onde.

Fin du problème

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Le sujet physique 1 Mines PSI 2001 porte-t-il sur la sismologie ?

Oui, il étudie un sismomètre mécanique puis un sismomètre à détection électromagnétique, avant une partie indépendante sur l'héliosismologie mesurée par effet Doppler.

Le sujet Mines physique 1 PSI 2001 est-il difficile ?

Le jury le juge globalement simple dans son contenu, mais sanctionne sévèrement le manque de rigueur et les affirmations non justifiées des candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mines physique 1 PSI 2001 ?

Des justifications non rigoureuses de l'équation différentielle demandée, une formule fausse pour la résistance du solénoïde, une faute de signe sur l'aimant mobile et des tracés de Bode fantaisistes.

Ce sujet nécessite-t-il de bien connaître l'interféromètre de Michelson ?

Oui, la troisième partie, indépendante des précédentes, porte sur l'héliosismologie à détection optique à l'aide d'un interféromètre de Michelson.

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