CCINP Mathématiques 1 PSI 2001Sujet et corrigé

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Séries de restes d'une série convergente et déterminant d'une matrice liée aux polynômes de Tchebychev

Le premier problème étudie, pour une série convergente, la nature et la somme de la série formée par ses restes successifs, avec des applications à la série harmonique alternée, à la fonction zêta et à une série entière. Le second problème calcule le déterminant d'une matrice construite à partir des intégrales de Wallis, en la reliant à une base de polynômes trigonométriques.

1Problème 1, partie I : cas de la série géométrique alternéeOn étudie la série des restes de la série géométrique alternée, puis celle de la série harmonique alternée à l'aide d'une représentation intégrale des restes.
2Problème 1, partie II : égalité générale sur les restes et applicationsOn établit une identité générale reliant la somme des restes à la somme pondérée des termes, puis on l'applique à une suite, à une série à termes positifs, à la fonction zêta de Riemann et à une série entière.
3Problème 2, partie I : calcul direct du déterminantOn explicite la matrice W_n construite à partir des coefficients binomiaux centraux et des intégrales de Wallis, et on calcule son déterminant pour un petit cas.
4Problème 2, partie II : interprétation par une base orthogonaleOn introduit un produit scalaire sur les fonctions continues, deux bases liées aux cosinus itérés, et on en déduit le déterminant de W_n par un changement de base.

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CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire

n^\circ

99-186 du 16.11.99 - BOEN

n^\circ42

du 25.11.99.

Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants l'un de l'autre.

PROBLÈME 1

Etant donné une série convergente

\sum_(k \geq 0)u_k(x)

, on note

R_n(x) = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)u_k(x)

son reste d'ordre

n

, pour

n \in N

et on se propose d'étudier la série

\sum_(n \geq 0)R_n(x)

PARTIE I

I.1. On suppose que

u_k(x) = (- 1)^k x^k

, où

x \in R

.
I.1.1. Déterminer l'ensemble

I

des

x \in R

tels que la série

\sum_(k \geq 0)(- 1)^k x^k

converge et préciser sa somme

\sum_(k = 0)^(+ \infty)(- 1)^k x^k

pour

x \in I

.
I.1.2. En supposant que

x \in I

, expliciter

R_n(x)

, montrer que la série

\sum_(n \geq 0)R_n(x)

converge et calculer sa somme

S(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)R_n(x)

.
I.2. On conserve les notations du I.1 :

u_k(x) = (- 1)^k x^k, R_n(x) = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)(- 1)^k x^k

pour

n \in N

et on pose

R_(- 1)(x) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(- 1)^k x^k

. On considère par ailleurs la série

\sum_(k \geq 1)((- 1)^(k + 1))/k

et on pose :

r_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)((- 1)^(k + 1))/k

pour

n \in N

. On se propose d'établir la convergence de la série

\sum_(n \geq 0)r_n

et de calculer sa somme.
I.2.1. Justifier la convergence de la série

\sum_(k \geq 1)((- 1)^(k + 1))/k

et par suite l'existence de

r_n

pour tout

n \in N

.
I.2.2. Soit

(n, m) \in N^2

avec

n \leq m

I_0 = [0, 1[

.
I.2.2.1. En remarquant que

\sum_(k = n)^m(- 1)^k x^k = R_(n - 1)(x) - R_m(x)

, montrer que pour tout

x \in I_0

on a l'inégalité :

|\sum_(k = n)^m(- 1)^k x^k| \leq 2

.
I.2.2.2. L'entier

n

étant fixé, déduire en particulier de I.2.2.1 que :

\int_(10)lim_(m \to + \infty)(\sum_(k = n)^m(- 1)^k x^k)dx = lim_(m \to + \infty)\sum_(k = n)^m\int_(10)(- 1)^k x^k dx

et par suite que

r_n = \int_(10)R_(n - 1)(x)dx

.
I.2.2.3. Retrouver ainsi la valeur (bien connue !) de

r_0

.
I.2.2.4. Montrer que pour tout couple

(m, x) \in N \times I_0

on a l'inégalité :

|\sum_(n = 0)^m R_(n - 1)(x)| \leq 2.

I.2.2.5. Déduire en particulier de I.2.2.4 que la somme

\sum_(n = 0)^m\int_(l0)R_(n - 1)(x)dx

admet une limite lorsque

m

tend vers

+ \infty

.
En déduire que la série

\sum_(n \geq 0)r_n

converge et calculer sa somme

\sum_(n = 0)^(+ \infty)r_n

PARTIE II

Une égalité sur les restes; quelques applications.

II.1. Egalité sur les restes.

Lorsque la série numérique

\sum_(k \geq 1)u_k

converge, on note toujours

R_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)u_k

son reste d'ordre

n

.
Soit

\sum_(k \geq 1)u_k

une série convergente ; exprimer pour

n \in N

la différence

\sum_(k = 0)^n R_k - \sum_(k = 1)^n ku_k

en fonction de

n

et de

R_n

II.2. Application à une suite.

Montrer qu'il existe deux réels

α

β

tels que

\sum_(k = 1)^n(n - k)((- 1)^(k + 1))/k = αn + β + o(1)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

II.3. Application à une série à termes positifs.

On suppose de plus que

u_k \geq 0

pour tout

k \in N^*

.
II.3.1. Montrer que la convergence de la série

\sum_(k \geq 0)R_k

entraîne la convergence de la série

\sum_(k \geq 1)ku_k

.
II.3.2. On suppose que la série

\sum_(k \geq 1)ku_k

est convergente. Quelle est la limite de la suite

(n + 1)R_n

lorsque

n

tend vers

+ \infty

?
II.3.3. Déduire de ce qui précède que les deux séries

\sum_(k \geq 0)R_k

\sum_(k \geq 1)ku_k

sont de même nature et lorsqu'elles convergent comparer alors leurs sommes

\sum_(k = 0)^(+ \infty)R_k

\sum_(k = 1)^(+ \infty)ku_k

.
II.4. Application à la série

\sum_(k \geq 1)1/(k^x)

On suppose maintenant que

u_k(x) = 1/(k^x)

pour

k \in N^*

x \in D = ]1, + \infty[

.
On note toujours

R_n(x) = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)1/(k^x)

le reste d'ordre

n

et on pose

ζ(x) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)1/(k^x)

pour

x \in D

.
Préciser l'ensemble

D_1

des

x \in D

tels que la série

\sum_(n \geq 0)R_n(x)

soit convergente et exprimer, pour

x \in D_1

, la somme

土 \sum_(n = 0)^(土 _\infty)R_n(x)

à l'aide de la fonction

ζ

II.5. Application à une série entière.

On suppose maintenant que

u_k(x) = a_k x^k

, où

(a_k)_(k \in ℕ^*)

désigne une suite de nombres réels et où

x \in R

. On désigne par

ρ

le rayon de convergence de cette série entière, on suppose

ρ > 0

et on note

f(x) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)a_k x^k

pour

x \in ] - ρ, ρ[

.
II.5.1. Soit

x \in ] - ρ, ρ[

; justifier la convergence de la série

\sum_(k \geq 1)ka_k x^k

; en déduire que la suite

(n + 1)R_n(x)

admet une limite lorsque

n \to + \infty

(et préciser cette limite).
II.5.2. En déduire que la série

\sum_(n \geq 0)R_n(x)

est convergente pour

x \in ] - ρ, ρ[

et exprimer sa somme

\sum_(n = 0)^(+ \infty)R_n(x)

à l'aide de

x

et de la fonction

f

.
II.5.3. Exemple : on suppose que

a_k = sin(kπ/2) + 1/kcos(kπ/2)

pour

k \in N^*

.
II.5.3.1. Déterminer alors le rayon de convergence

ρ

de cette série entière.
II.5.3.2. Expliciter la somme

\sum_(n = 0)^(+ \infty)R_n(x)

pour

x \in ] - ρ, ρ[

(en justifiant le résultat).

PROBLÈME 2

Notations :
Pour

k \in N, j \in N

0 \leq j \leq k

, on note

C_k^j = (k!)/(j!(k - j)!)

le coefficient binomial (avec

0! = 1

).
Si

n \in N

on note

[ [0, n] ]

l'ensemble des entiers naturels

k

tels que

0 \leq k \leq n

; on désigne par

M_(n + 1)(R)

l'anneau des matrices carrées d'ordre

n + 1

à coefficients dans

R

.
Si

M \in M_(n + 1)(R)

on note

M = (m_(i, j))

avec

(i, j) \in [ [0, n] ]^2

m_(i, j)

désigne l'élément de la ligne

i

et de la colonne

j

Pour

n \in N^*

on considère la matrice

W_n = (w_(i, j)) \in M_(n + 1)(R), (i, j) \in [ [0, n] ]^2

avec

w_(i, j)

définie par :

si i + j est pair : i + j = 2p alors w_(i, j) = 1/(2^(2p))C_(2p)^p; si i + j est impair alors w_(i, j) = 0

On se propose de calculer le déterminant de

W_n

noté

detW_n

PARTIE I

I.1. Expliciter la matrice

W_3

.
I.2. Calculer det

W_3

.
I.3. Pour

m \in N

on note

J_m = \int_0^π cos^m tdt

.
I.3.1. Calculer

J_0

J_1

.
I.3.2. Etablir une relation entre

J_(m + 2)

J_m

pour

m \in N

Quelle est la valeur de

J_(2p + 1)

pour

p \in N

?
I.3.3. Expliciter

J_(2p)

en fonction de

p

et du coefficient binomial

C_(2p)^p

pour

p \in N

.
I.3.4. Exprimer

w_(i, j)

en fonction de

J_(i + j)

, de

i

et de

j

pour tout couple

(i, j) \in [ [0, n] ]] ]^2

PARTIE II

On considère l'espace vectoriel

E = C([0, π], R)

des fonctions continues sur l'intervalle

[0, π]

à valeurs dans

R

. On considère sur

E

le produit scalaire

< \cdot / \cdot >

défini par:
pour

(f, g) \in E^2 : ⟨f/g⟩ = 1/π\int_0^π f(t)g(t)dt

.
On définit deux suites

(e_k)_(k \in N)

(v_k)_(k \in N)

d'éléments de

E

par:
pour tout

t \in [0, π] e_0(t) = ν_0(t) = 1

et pour

k \geq 1 e_k(t) = \sqrt2cos(kt), ν_k(t) = cos^k(t)

.
Pour

m \in N

on note

H_m(e)

le sous-espace vectoriel vect

(e_0, e_1, \dots, e_m)

(sous-espace vectoriel de

E

engendré par la famille

(e_j)_(j \in [[0, m]]))

On note, de même,

H_m(v)

le sous-espace vectoriel vect

(v_0, v_1, \dots, v_m)

.
II.1. Calculer les produits scalaires

⟨e_j/e_k⟩

pour

(j, k) \in [ [0, m] ]]^2

.
II.2. En déduire que pour tout

m \in N

la famille

(e_j)_(j \in [[0, m]])

est une base de

H_m(e)

.
II.3. Soit

m \in N

; montrer que

ν_m \in H_m(e)

, c'est-à-dire que

ν_m = \sum_(i = 0)^m q_(i, m)e_i

; expliciter

q_(m, m)

(on ne cherchera pas à calculer

q_(i, m)

pour

0 \leq i \leq m - 1)

.
II.4. Démontrer l'égalité

H_m(e) = H_m(v)

pour tout

m \in N

.
II.5. Pour

m \in N

on note

d_m

la distance de

ν_(m + 1)

au sous-espace vectoriel

H_m(e)

(pour la distance associée au produit scalaire défini au début de la partie II). Déduire de ce qui précède la valeur de

d_m

.
II.6. Soit

n \in N^*

; pour

(i, j) \in [ [0, n] ]] ]^2

on note

v_j = \sum_(i = 0)^n q_(i, j)e_i

et on pose alors :

Q_n = (q_(i, j)) \in M_(n + 1)(R)

avec(i, j) \in [ [0, n] ]] ]^2

.
II.6.1. Calculer det

Q_n

pour

n \in N^*

.
II.6.2. Calculer

detW_n

pour

n \in N^*

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 1 PSI CCINP 2001 ?

Le premier problème porte sur les séries numériques, les séries entières et les intégrales, le second sur les espaces préhilbertiens, les intégrales de Wallis et le calcul de déterminants.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

L'énoncé précise que l'épreuve comporte deux problèmes indépendants l'un de l'autre ; à l'intérieur du premier problème, les applications de la partie II peuvent être traitées séparément après l'identité générale sur les restes.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La convergence des séries numériques et des séries entières, le calcul des intégrales de Wallis, et la construction d'une base orthonormée dans un espace préhilbertien.

Ce sujet est-il faisable en première année ?

Certaines questions du problème 1 sur les séries géométriques et harmoniques sont accessibles en première année, mais l'essentiel du sujet (séries entières, fonction zêta, espaces préhilbertiens) relève du programme de deuxième année.

Pas de description pour le moment

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