CCINP Mathématiques 1 PSI 2002Sujet et corrigé

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Cette épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants l'un de l'autre.

Dans ce problème, on désigne par :
E la fonction partie entière,
I l'intervalle ] 0, + ∞ [ ,
A l'ensemble des applications continues par morceaux de R^+dans R qui vérifient la condition : pour tout t ∈ R^+ |f(t)| ≤ t.

Si f ∈ Ab et x ∈ I = ]0, + ∞[, on considère |F(x) = ∫_(R^+)e^(− xt)f(t)dt.
Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés de F.

On considère pour x ∈ R et n ∈ N : u_n(x) = e^(− nx) et v_n(x) = ne^(− nx).
P. 1 Déterminer l'ensemble de convergence simple D de la série ∑_(n ≥ 0)u_n(x) (resp. D^′ de la série ∑_(n ≥ 1)v_n(x) ).

On note désormais g(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n(x) pour x ∈ D et h(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)v_n(x) pour x ∈ D^′.
P. 2/ Expliciter g(x) pour x ∈ D.
P.3/ Etablir (en la justifiant) unc rclation entre les fonctions g et h. En déduire l'expression explicite de h(x) pour x ∈ D^′.

1/ Une étude de A.
1.1/ On considère la fonction f_0 définie sur R^+par f_0(t) = t. Montrer que si x ∈ I alors l'application t ↦ e^(− xt)f_0(t) est intégrable sur R^+ et expliciter F_0(x) = ∫_(R^+)e^(− xt)f_0(t)dt.
1.2/ Vérifier que si f ∈ ℂ et si x ∈ I, alors la fonction φ_x : t ↦ e^(− xt)f(t) est intégrable sur R^+.
Ainsi, lorsque f ∈ A, la fonction F : x ↦ ∫_(R^+)e^(− xt)f(t)dt est bien définie sur I et on note désormais F = ℒ(f).
1.3/ Soit f ∈ A et F = ℒ(f).
1.3.1 Déduire de ce qui précède que xF(x) admet une limite que l'on précisera lorsque x tend vers + ∞.
1.3.2/ On suppose de plus que f est continue sur R^+. Montrer que la fonction F est de classe ℓ^1 sur l'intervalle I.

On considère dans cette question la fonction f_1 définie sur R^+par f_1(t) = E(t) (partie entière de t ) et soit F_1 = ℒ(f_1).
2.1/Vérifier que la fonction f_1 appartient à l'ensemble A.
2.2/ Montrer que la fonction F_1 peut s'exprimer à l'aide de l'une des deux fonctions g ou h, et expliciter F_1(x) pour x ∈ I.

On considère dans cette question la fonction f_2 définie sur R^+par f_2(t) = E(t) + (t − E(t))^2 et soit F_2 = ℒ(f_2).
3.1/ Montrer que la fonction f_2 appartient à l'ensemble A.
3.2/ La fonction F_2 est-elle de classe C^1 sur l'intervalle I ?
3.3/ Indiquer l'allure du graphe de F_2 sur l'intervalle I.
3.4/ Expliciter F_2(x) pour x ∈ I.

Dans tout ce problème, n ∈ N^∗; si (p, q) ∈ N^2 avec p ≤ q on note [[p, q]] l'ensemble des k ∈ N tels que p ≤ k ≤ q.
On désigne par :
m_(n + 1)(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n + 1 à coefficients dans R,
O_(n + 1) l'ensemble des matrices orthogonales de m_(n + 1)(R),
D_(n + 1) l'ensemble des matrices diagonales de m_(n + 1)(R);
si M ∈ m_(n + 1)(R) on note :
M = (μ_(i, j)) avec (i, j) ∈ [[1, n + 1]] × [[1, n + 1]], où μ_(i, j) désigne l'élément de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de la matrice M,
M^t la matrice transposée de M,
det M le déterminant de M,
f_M l'endomorphisme de R^(n + 1) dont la matrice dans la base canonique de R^(n + 1) est la matrice M,
M^∗ la transposée de la comatrice de M (on rappelle la relation MM^∗ = M^∗ M = (detM)I_(n + 1), où I_(n + 1) désigne la matrice unité de m_(n + 1)(R)).
Etant donné deux éléments de R^n : a = (a_1, a_2, …, a_n) et b = (b_1, b_2, …, b_n), on associe au couple (a, b) la matrice A_n(a, b) ∈ m_(n + 1)(R) définie par A_n(a, b) = (α_(i, j)) avec

Par exemple pour n = 2 a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2)

Pour n ∈ N^∗, n fixé, on note C_n l'ensemble des matrices A_n(a, b) pour (a, b) ∈ (R^n)^2.
On se propose d'étudier quelques propriétés des matrices A_n(a, b) et de l'ensemble E_n.

Etude de 𝒞_1
Soit C_1 l'ensemble des matrices A_1 = A_1(a_1, b_1) = (0, b_1; a_1, 0) pour a_1 ∈ R et b_1 ∈ R.
T. 1. soit G = A_1(1, 0) H = A_1(0, 1)

Calculer G^2, H^2, GH, HG.
L'ensemble 𝒞_1 est-il stable pour la multiplication?
I. 2 . Expliciter l'ensemble ℰ_1 ∩ O_2 (c'est à dire l'ensemble des matrices de ℰ_1 qui sont orthogonales).
I.3/ Montrer que toute matrice A = A_1(a_1, b_1) appartenant à 𝒞_1 peut s'écrire sous la forme A = UΔ avec U ∈ C_1 ∩ O_2 et Δ ∈ D_2; préciser le nombre de décompositions.
1.4/ On considère une matrice A = A_1(a_1, b_1) ∈ E_1.
I.4.1/ On suppose a_1 b_1 ≠ 0. Justifier l'existence de A^(− 1); la matrice A^(− 1) appartientelleà E_1 ?
I.4.2/ La matrice A est-elle diagonalisable dans m_2(R)

I.5.1/ Les deux matrices K et L sont-elles semblables dans m_2(R) lorsque xy ≠ zt?
1.5.2/ On suppose que xy = zt ≠ 0.

Les deux matrices K et L sont-elles semblables dans m_2(R) ?

Pour n ∈ N^∗, soit a = (a_1, a_2, …, a_n) ∈ R^n, b = (b_1, b_2, …, b_n) ∈ R^n; dans le but de simplifier, on notera d_n(a, b) ou simplement d_n le déterminant de la matrice A = A_n(a, b).
II.1/ Calcul de d_n.

ÌI.1.1/ Calculer d_2.
I1.1.2/ Pour n ≥ 3 exprimer d_n fonction de a_n, b_n et d_(n − 2).
II.1.3/ Quelle est la valeur de d_(2p) pour p ∈ N^∗?

N1.4/ Calculer d_(2p + 1) pour p ∈ N, en fonction des a_i et des b_i, i ∈ [[1, 2p + 1]].

M2.1 On suppose qu'il existe une matrice U ∈ C_n ∩ O_(n + 1). Soit Δ ∈ D_(n + 1), on pose A = UΔ; vérifier que A ∈ C_n et que A^t A ∈ D_(n + 1).
II.2.2/ Soit A ∈ C_(2p); existe-t-il U ∈ C_(2p) ∩ O_(2p + 1) et Δ ∈ D_(2p + 1) telles que A = UΔ ?
II.2.3/ Pour n = 3 on considère la matrice A = A_3(a, b) ∈ C_3 avec a = (1, 3, 5)b = (2, 4, 6). Existe-t-il U ∈ C_3 ∩ O_4 et Δ ∈ D_4 telles que A = A_3(a, b) = UΔ ?
II.2.4/ On suppose que n = 2p + 1 et que A = A_(2p + 1)(a, b) ∈ E_(2p + 1) ∩ O_(2p + 2).
II.2.4.1/ Quelles sont les valeurs possibles pour a_1, b_1, a_2, b_2 ?
II.2.4.2/ Préciser l'ensemble ℰ_(2p + 1) ∩ O_(2p + 2) et son cardinal.
II.2.4.3/ Soit A ∈ 𝒞_(2p + 1) telle que A^t A ∈ D_(2p + 2) et detA ≠ 0. Montrer qu'il existe U ∈ 𝒞_(2p + 1) ∩ O_(2p + 2) et Δ ∈ D_(2p + 2) telles que A = UΔ.

On considère dans cette question la matrice A = A_n(a, a) pour a ∈ R^n.
II.3.1/ Justifier l'affirmation :

Pour tout a ∈ R^n la matrice A est diagonalisable dans m_(n + 1)(R).
Si λ_j, j ∈ [[1, n + 1]] désignent les valeurs propres de f_A, préciser la valeur de ∑_(j = 1)^(n + 1)λ_j.
II.3.2/ Pour (x, y) ∈ (R^(n + 1))^2, on note ⟨x, y⟩ le produit scalaire euclidien canonique de x et y. On associe à A = A_n(a, a) la forme bilinéaire φ_A (notée simplement φ ) définie par:
pour tout (x, y) ∈ (R^(n + 1))^2 φ(x, y)=<x, f_A(y) >.
La forme bilinéaire φ définit-elle un produit scalaire sur R^(n + 1) ? (on pourra considérer φ(x, x) pour x vecteur propre de l'endomorphisme f_A ).

Ì.4.1/ Montrer que pour toute matrice A = A_1(a_1, b_1) ∈ C_1 la matrice A^∗ est élément de E_1.

Dans la suite on suppose que n ≥ 2.
II.4.2/ Si A ∈ E_n ∩ O_(n + 1) la matrice A^∗ appartient-elle à E_n ?
II.4.3/ Existe-t-il un entier n ≥ 2 tel que pour toute matrice A ∈ 𝒞_n la matrice A^∗ soit élément de E_n ?