Centrale Mathématiques 2 PSI 2002Sujet, corrigé et rapport du jury

Les deux premières parties de ce problème se proposent d'étudier deux types d'approximation d'une fonction sur un segment, et de les comparer. La troisième partie munit l'espace ℝ_n[X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n d'une structure euclidienne et étudie certaines propriétés des polynômes interpolateurs de Lagrange relativement à cette structure. La troisième partie est indépendante des deux premières.

Notations : pour n ∈ ℕ, n ≥ 3 et (α_1, …, α_n) ∈ ℝ^n, on note :

Dans cette section on pose

et on se propose de résoudre le système (𝒮_n)A_(n + 1)X = B, d'inconnue X ∈ ℳ_(n + 1, 1)(ℝ), par la méthode du pivot de Gauss sans échange de lignes.

I.A.1) Cas n = 2.

Résoudre par cette méthode le système ( 𝒮_2 ) .
On remarquera en particulier que les pivots successifs valent :

I.A.2) On revient au cas général.
a) Écrire une procédure de résolution du système

suivant l'algorithme du pivot de Gauss sans échange de lignes.
b) On note ( p_0, p_1, …, p_n ) la suite des pivots. Vérifier que:

c) Étudier la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par :

d) En déduire que (∀k ∈ {0, …, n − 1}) (2 ≤ p_k ≤ 2 + √3) et que A_(n + 1) est inversible.

Notation : pour toute matrice M, on note detM son déterminant.
I.B.1) On pose c_0 = 1, c_1 = 4, c_2 = 15 et pour tout n ≥ 3, c_n = detC_n, b_n = detB_n, a_n = detA_n. Montrer que la suite (c_n)_(n ≥ 3) vérifie une relation de récurrence simple ; en déduire (c_n)_(n ≥ 3) puis (b_n)_(n ≥ 3) et (a_n)_(n ≥ 3).
I.B.2) En déduire que A_n est inversible.
I.B.3) Calculer explicitement les valeurs propres de A_3 et C_3.

a) Soit λ un réel tel que:

et, ∀k ∈ {2, 3, …n − 1} |λ − α_k| > 2.
Montrer qu'alors M_n[α_1, …, α_n] − λI est inversible.
b) En déduire que les valeurs propres de M_n[α_1, …, α_n] appartiennent à la réunion des intervalles

et que A_n, B_n et C_n sont inversibles.

Pour n ∈ ℕ^∗ on pose h = 1/n et pour k ∈ {0, …, n}, x_k = k/n.
On note S l'ensemble des fonctions (dites splines cubiques) de classe C^2 sur [0, 1] telles que : ∀i ∈ {0, …, n − 1} la restriction de s à [x_i, x_(i + 1)] est polynomiale de degré ≤ 3.
II.A - Montrer que l'application :

est un isomorphisme d'espace vectoriel.
On rappelle que, si x ∈ ℝ, s_d^((3))(x) = lim_(t → 0^+)(s^(′′)(x + t) − s^(′′)(x))/t désigne la dérivée à droite d'ordre 3 en x.

Quelle est la dimension de l'espace vectoriel S ?
II.B - f est une fonction de classe C^1 sur [0, 1].
II.B.1) Soit (m_0, m_1, …, m_n) ∈ ℝ^(n + 1).
a) Montrer qu'il existe une unique fonction g définie sur [0, 1] à valeurs dans IR vérifiant :
(i) ∀i ∈ {1, …n} la restriction de g à [x_(i − 1), x_i] est polynomiale de degré ≤ 3,
(ii) ∀i ∈ {0, …n}g(x_i) = f(x_i),
(iii) g^(′′)(0) = m_0; limg^(′′)(x) = limg^(′′)(x) = m_i; g^(′′)(1) = m_n.

Concours Centrale-SupséYec 2002{x → x_i; x → x_i; x ≥ x_i
b) Établir que pour i ∈ {1, …, n} et x ∈ [x_(i − 1), x_i] on a:

où u_i et v_i sont des réels que l'on exprimera en fonction de m_(i − 1), m_i, h, f(x_(i − 1)) et f(x_i).
II.B.2) Montrer que:

partie I, et B est une matrice colonne dépendant des f(x_i), (i ∈ {0, …, n − 1}), f^′(0), f^′(1) et h.
II.B.3) En déduire qu'il existe une et une seule fonction spline cubique g ∈ S vérifiant les conditions :

II.B.4) Retrouver la valeur de la dimension de S.

On peut montrer et on admettra ici que si f est de classe C^4 sur [0, 1],

II.C.1) Soit f une fonction de classe C^1 sur [0, 1]. Montrer qu'il existe une unique fonction polynomiale h, de degré ≤ n + 2 telle que:

II.C.2) On peut montrer, et on admettra ici que, si f est de classe C^(n + 3) sur [0, 1] :

Comparer les deux méthodes d'approximation précédentes (splines cubiques et Lagrange-Sylvester) du double point de vue de la simplicité et de la précision, d'abord pour n = 1, puis pour n ≥ 2.

III.A - On considère l'espace vectoriel E = ℝ_n[X]. Pour P, Q ∈ E, on pose :

III.A.1) Montrer qu'on définit ainsi un produit scalaire euclidien sur E. On notera ‖P‖_2 la norme du polynôme P associée au produit scalaire précédent.
III.A.2) Montrer qu'il existe une unique famille ( L_0, L_1, …, L_n ) de E telle que :

où la fonction δ désigne le symbole de Kronecker :

Vérifier que la famille ( L_0, L_1, …, L_n ) est une base orthonormée de E. Elle sera notée ℬ. Que peut-on dire du degré du polynôme X^n + (− 1)^(n + 1)n!L_0 ?
III.A.3) Déterminer les coordonnées dans la base ℬ d'un vecteur N de E orthogonal (au sens du produit scalaire précédemment défini) à l'hyperplan H de E formé des polynômes de degré ≤ n − 1.
Si P ∈ E, on note

la distance du polynôme P à l'hyperplan H.
Montrer que d(X^n, H) = n!d(L_0, H).
III.A.4) En remarquant que : (1 + X)^(2n) = (1 + X)^n(1 + X)^n, exprimer

à l'aide d'un seul coefficient binômial.
III.A.5) En déduire la valeur de d(X^n, H).
III.B - Étude d'un endomorphisme de E

On note

et on fixe un polynôme M_0 dans E.
On considère l'application φ de E dans E, qui à tout P de E associe le reste de la division euclidienne de P × M_0 par Π.
III.B.1) Montrer que φ est un endomorphisme de E.
III.B.2) Exprimer φ(L_i) en fonction de L_i. En déduire que φ est un endomorphisme autoadjoint de E.
III.B.3) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur M_0 pour que φ soit un automorphisme orthogonal de E. Quelle est alors sa nature géométrique?
III.B.4) On note ℬ_E(0, 1) = {P ∈ E; ‖P‖_2 ≤ 1}.

Exprimer

à l'aide des M_0(i).