Centrale Mathématiques 2 PSI 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Dans tout le problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
On considère un espace euclidien E de dimension n. On note (x|y) le produit scalaire de deux vecteurs x et y et x ↦ ‖x‖ la norme associée.
Pour u ∈ L(E), on note u^∗ son adjoint, χ_u son polynôme caractéristique et Sp(u) l'ensemble de ses valeurs propres. On note π_u le générateur de l'idéal des polynômes annulateurs de u dont le coefficient de plus haut degré est égal à 1 . π_u est appelé polynôme minimal de u.
L'endomorphisme u de E est dit antisymétrique lorsque u^∗ = − u.
On note, S(E), A(E) et O(E) les sous-ensembles de L(E) formés respectivement des endomorphismes symétriques, antisymétriques, orthogonaux.
Si F est un sous-espace de E stable par u, on note u|_F l'endomorphisme de F induit par u.
On note 𝒫(E) l'ensemble des endomorphismes u de E tels que u^∗ soit un polynôme en u et 𝒩(E) l'ensemble des endomorphismes u de E qui commutent avec leur adjoint, donc :

Le but du problème est d'étudier et comparer les deux ensembles 𝒫(E) et 𝒩(E). On note 𝒰_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées réelles de taille n et S_n, A_n et O_n les sous-ensembles de 𝒰_n(ℝ) formés respectivement des matrices symétriques, antisymétriques, orthogonales.
Pour A ∈ ℳ_n(ℝ), on note χ_A son polynôme caractéristique et π_A son polynôme minimal, c'est-à-dire le polynôme minimal de l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé à A. On note ^t A la transposée de A.
Deux matrices A et B sont dites orthogonalement semblables lorsqu'il existe P ∈ O_n tel que B = P^(− 1)AP.
On note 𝒫_n l'ensemble des matrices A de 𝒰_n(ℝ) telles que ^t A peut s'exprimer comme un polynôme en A, donc :

Les parties I et II sont indépendantes.

I.A.1) Soient A et B les deux matrices d'un même endomorphisme de E rapporté à deux bases orthonormales. Montrer que A et B sont orthogonalement semblables.
I.A.2) Soit u un endomorphisme de E et A sa matrice sur ℬ, une base orthonormale de E. Établir un rapport entre l'appartenance de u à 𝒫(E) (resp. 𝒩(E) ) et l'appartenance de A à 𝒫_n (resp. 𝒩_n ).
Dans la suite du problème, on pourra exploiter ce rapport pour répondre à certaines questions.
I.A.3) Montrer que 𝒫(E) ⊂ 𝒩(E) et que 𝒫_n ⊂ 𝒩_n.

I.B.1) Vérifier que S(E) ⊂ 𝒫(E) et A(E) ⊂ 𝒫(E).
I.B.2) Quelles sont les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent à 𝒫_n ?
En déduire que si n ≥ 2, on a 𝒫(E) ≠ L(E).
I.B.3) Soit u ∈ L(E) admettant, sur une certaine base ℬ de E, une matrice triangulaire supérieure. Montrer qu'il existe une base orthonormale ℬ ' de E, telle que les matrices de passage de ℬ à ℬ ' et de ℬ ' à ℬ soient triangulaires supérieures.
Montrer que la matrice de u dans ℬ ' est triangulaire supérieure.
En déduire les éléments u ∈ 𝒫(E) qui sont trigonalisables.
I.B.4) On suppose que u est un automorphisme de E; montrer que u admet un polynôme annulateur P tel que P(0) ≠ 0. En déduire que u^(− 1) peut s'écrire comme un polynôme en u.
En déduire que O(E) ⊂ 𝒫(E).

I.C.1) Montrer que si A ∈ 𝒫_n et A ≠ 0, alors il existe un unique polynôme réel que l'on note P_A, tel que degré (P_A) < degré (π_A) et P_A(A) = ^t A.
Si A est la matrice nulle, on convient que P_A est le polynôme nul.

Énoncer le résultat correspondant pour u ∈ 𝒫(E).
I.C.2) Déterminer les matrices A de 𝒫_n pour lesquelles P_A est un polynôme constant.
I.C.3) Déterminer les matrices A de 𝒫_n pour lesquelles P_A est du premier degré. On rappelle que toute matrice carrée s'écrit comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
I.C.4) Soient A et B deux matrices orthogonalement semblables.

Montrer que si A ∈ 𝒫_n alors B ∈ 𝒫_n et P_A = P_B.
I.D - Décrire les éléments A de 𝒫_2 et calculer les P_A correspondants.
I.E - Soit

I.E.1) On suppose que π_(A_1) et π_(A_2) sont premiers entre eux. Montrer l'existence de deux polynômes U et V tels que :

Calculer A^m pour m entier positif quelconque, puis P(A) pour P = P_(A_1) − (P_(A_1) − P_(A_2))Uπ_(A_1).
En déduire que A ∈ 𝒫_(n_1 + n_2).
I.E.2) Expliciter π_A en fonction de π_(A_1) et π_(A_2).

Comment trouver P_A connaissant π_(A_1), π_(A_2), et le polynôme P défini par :

I.F - Soit

Vérifier que A ∈ 𝒫_4 et calculer P_A avec la méthode précédente.

II.A - Montrer que si u ∈ 𝒩(E) et P ∈ ℝ[X], alors P(u) ∈ 𝒩(E).
II.B - Soient u ∈ 𝒩(E) et x ∈ E. Montrer que ‖u(x)‖^2 = ‖u^∗(x)‖^2. En déduire que u et u^∗ ont le même noyau.
II.C - Soit m un entier, m > 0. On suppose donné un endomorphisme f antisymétrique inversible de l'espace ℝ^m muni de son produit scalaire canonique.
II.C.1) Comparer les déterminants de f et f^∗. En déduire que m est pair.
II.C.2) On considère les applications n et g définies sur ℝ^m par n(x) = ‖x‖^2 et g(x) = ‖f(x)‖^2 et l'application

Montrer que n et g sont de classe C^1 sur ℝ^m et que leurs différentielles en x fixé sont les formes linéaires

Montrer que l'application q est de classe C^1 sur ℝ^m∖{0} et déterminer sa différentielle en x, en calculant dq(x)(h) au moyen de produits scalaires et de normes.

On note S = {x ∈ U/‖x‖ = 1}.
Montrer que l'ensemble des valeurs prises par q sur S coïncide avec l'ensemble des valeurs prises par q sur U. Montrer que la fonction q admet un maximum sur ℝ^m∖{0} et que ce maximum est atteint en un point x_0 ∈ S.
Montrer que, pour tout h, on a (f(x_0)|f(h)) = ‖f(x_0)‖^2(x_0|h). En déduire que Π = Vect(x_0, f(x_0)) est un plan stable par f.
Donner une base orthonormale de Π et exprimer la matrice de f|_Π relative à cette base.
II.C.3) Montrer qu'il existe une base orthonormale ℬ de ℝ^m telle que :

II.D - Soit u ∈ ℒ(E) et E_1 ⊂ E un sous-espace stable par u et u^∗. On note E_2 le supplémentaire orthogonal de E_1.
II.D.1) Montrer que E_2 est stable par u et u^∗.
II.D.2) Montrer que (u|_(E_1))^∗ = u^∗|_(E_1).
II.D.3) Montrer que si, en outre, u ∈ 𝒩(E), alors u|_(E_1) ∈ 𝒩(E_1) et u|_(E_2) ∈ 𝒩(E_2).

Jusqu'à la fin de la partie II, u désigne un élément de 𝒩(E).
II.E - Soient λ ∈ ℝ et x ∈ E; montrer que ‖u(x) − λx‖^2 = ‖u^∗(x) − λx‖^2. En déduire que u et u^∗ ont les mêmes sous-espaces propres et que ceux-ci sont en somme directe orthogonale.
Si λ est une valeur propre de u, on note E_u(λ) le sous-espace propre associé. Soit F le supplémentaire orthogonal du sous-espace :
⨁_λ E_u(λ), où la somme porte sur l'ensemble des valeurs propres de u.
Montrer que F est stable par u et u^∗. En considérant la restriction de u à F, montrer que la dimension de F ne peut être impaire. On notera dimF = 2p.
II.F - On suppose que p est non nul. Soit v ∈ 𝒩(F). On pose

II.F.1) Justifier que le polynôme caractéristique de s est scindé.On le note :

II.F.2) Montrer que s o a = a o s et s o v = vos.

Montrer qu'il existe une base orthonormale ℬ^′ de F telle que la matrice de v dans ℬ^′ soit diagonale par blocs :

avec, pour i = 1, …, k, M_i de la forme λ_i I_(n_i) + A_i où A_i est antisymétrique.
II.F.3) On suppose en outre que v n'admet aucune valeur propre réelle. Montrer que les A_i sont inversibles.
II.G - Montrer qu'il existe une base orthonormale ℬ de E telle que :

pour i = 1, …, p.
II.H - Donner une caractérisation des matrices A ∈ 𝒩_n.
II.I - Préciser la matrice obtenue dans II.G quand u ∈ O(E).

III.A - Soit P ∈ ℝ[X].
III.A.1) Soit

Montrer que P(Δ) = ^t Δ si et seulement P(M_i) = ^t M_i, pour i = 1, …, k.
III.A.2) Donner les expressions de P_A, χ_A et π_A pour une matrice

Montrer que P(A) = ^t A si et seulement si P(a + ib) = a − ib et P(a − ib) = a + ib.
Dans les questions qui suivent, on fixe A ∈ 𝒩_n. D'après II.H, A est orthogonalement semblable à une matrice B telle que celle représentée dans II.G.
III.A.3) Montrer que P(A) = ^t A si et seulement si :

III.A.4) Montrer qu'il existe P ∈ ℂ[X], de degré minimal, vérifiant les conditions ci-dessus (sur P(λ) et P(z) ) et que ce polynôme est, en fait, à coefficients réels.
En déduire que 𝒩_n = 𝒫_n.
III.B - Montrer que le polynôme P trouvé dans III.A. 4 est, en fait, P_A. Retrouver, avec la méthode précédente, le polynôme P_A de la question I.F.
III.C - Dans cette question, on suppose n ≥ 3 et on note C(α_0, α_1, …, α_(n − 1)) ∈ 𝒰_n(ℝ) la matrice circulante

III.C.1) Montrer que J ∈ 𝒫_n.

En déduire que toute matrice circulante appartient à 𝒫_n.
III.C.2) À toute matrice circulante non nulle A = C(α_0, …, α_(n − 1)), on associe les polynômes

Donner l'expression de π_J. Comparer Q et le reste de la division euclidienne de P_A ∘ P par π_J.
En déduire les étapes d'une méthode de calcul de P_A. Détailler le calcul pour A = C(1, 1, 0).
III.D - Soit P(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 avec a_2 ≠ 0.

Montrer qu'il existe un entier n ≥ 3 et une matrice A ∈ 𝒫_n telle que P = P_A si et seulement si (a_1 − 1)^2 − 4a_0 a_2 ∈ [0, 4[.
Indication : montrer que, si n et A existent, χ_A admet au moins une racine réelle et exactement deux racines complexes, conjuguées l'une de l'autre.