Centrale Mathématiques 1 PSI 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueCentrale Année2003 FilièrePSI MatièreMathématiques

Annales Centrale PSI Mathématiques Centrale PSI 2003 PSI Mathématiques Mathématiques 2003

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Polynômes de Hilbert, séries entières et théorème de Pólya sur les fonctions entières

Le problème étudie d'abord les polynômes de Hilbert et leur lien avec les polynômes prenant des valeurs entières sur les entiers naturels, à partir de notions d'algèbre linéaire de première année. La deuxième partie établit des propriétés des séries entières, notamment un principe du maximum, utilisées dans la troisième partie pour démontrer le théorème de Pólya sur les fonctions entières vérifiant une condition asymptotique.

1Partie I : polynômes de Hilbertpremière annéeInversion d'une matrice, étude d'une base adaptée et caractérisation des polynômes à valeurs entières sur les entiers naturels.
2Partie II : quelques propriétés des séries entièresReprésentation intégrale et principe du maximum pour une fonction développable en série entière.
3Partie III : théorème de PólyaDémonstration qu'une fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Déterminant confondu avec la trace · Inverse d'une matrice triangulaire mal caractérisé · Inégalités entre nombres complexes

Le rapport signale, sur la partie I d'algèbre linéaire de première année, des erreurs et confusions encore trop fréquentes. Sur la partie II consacrée aux séries entières, plusieurs erreurs grossières et des signes de mauvaise compréhension des notions de base ont été relevés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Déterminant confondu avec la trace
Certains candidats confondent le déterminant et la trace d'une matrice triangulaire.
2
Inverse d'une matrice triangulaire mal caractérisé
Certains candidats croient que l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire inférieure.
3
Inégalités entre nombres complexes
Des candidats utilisent des inégalités entre nombres complexes sans passer par leur module.
4
Règle de d'Alembert mal utilisée
La règle de d'Alembert est utilisée comme condition nécessaire et suffisante de convergence, ce qui est erroné.
5
Confusion entre max et supII.B.1
Plusieurs candidats confondent max et sup lors de la justification de la définition du maximum du module sur le cercle.
6
Confusion entre puissance et dérivéeII.B.3
De nombreux candidats confondent f à la puissance p et la dérivée p-ième de f.

Conseils du jury

Revoir les notions de base d'algèbre linéaire de première année, notamment déterminant, trace et inversion de matrices triangulaires.
Manipuler les nombres complexes avec rigueur, en particulier en passant systématiquement par le module pour toute comparaison.
Vérifier que la règle de d'Alembert n'est utilisée que comme condition suffisante de convergence.
Bien distinguer, dans les notations de l'énoncé, la puissance d'une fonction de sa dérivée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES I

Notations, définitions et rappels

n \in ℕ

, soit

ℂ_n[X]

l'espace des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à

n

. Pour

P

dans

ℂ[X]

, soit

T(P)

le polynôme

P(X + 1)

. L'application

T

ainsi définie est clairement un endomorphisme de

ℂ[X]

. De plus, si

n \in ℕ

ℂ_n[X]

est stable par

T

et on note

T_n

l'endomorphisme de

ℂ_n[X]

induit par

T

. Soit

(H_i)_(i \in ℕ)

la suite des polynômes de Hilbert, définie par :

H_0 = 1 et \foralli \in ℕ^*, H_i = 1/(i!)\prod_(k = 0)^(i - 1)(X - k)

R \in ℝ_+^*

, soient :

D_R = {z ∈ ℂ, |z| < R}, D_R^– = {z ∈ ℂ, |z| ≤ R} et C_R = {z ∈ ℂ, |z| = R}

On convient d'autre part que

D_\infty = ℂ

. Pour

R

dans

ℝ_+^∗ ∪ {∞}

, soit

E_R

l'espace vectoriel des fonctions de

D_R

dans

ℂ

de la forme :

ù é è z \mapsto \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n z^n, où la série entière \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n z^n

a un rayon de convergence supérieur ou égal à

R

. L'espace

E_\infty

est appelé espace des fonctions entières.
On pourra utiliser la formule de Stirling :

sin \to + \infty, n! \sim \sqrt(2πn)(n/e)^n

Objectif du problème, dépendance des parties

La partie I étudie les polynômes de Hilbert, ce qui permet notamment de déterminer les polynômes

P

ℂ[X]

tels que

P(ℕ) \subset ℤ

. La partie II est complètement indépendante de I. Elle a pour but d'établir quelques propriétés des séries entières utilisées dans la partie III, laquelle montre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme. Le résultat obtenu est dû à Georg Pólya (1915). La partie III utilise II et la dernière question de I.

Filière PSI

Partie I - Polynômes de Hilbert

Soit

n

dans

ℕ

I.A - Inversion d'une matrice

I.A.1) Écrire la matrice

M_n

T_n

dans la base (

1, X, \dots, X^n

) de

ℂ_n[X]

.
I.A.2) Vérifier que

M_n

est inversible ; expliciter

M_n^(- 1)

.
I.B - Propriétés de la suite

(H_i)_(i \in ℕ)

I.B.1) Montrer que

(H_i)_(0 \leq i \leq n)

est une base de

ℂ_n[X]

.
I.B.2) Si

j \in ℤ

i \in ℕ^*

, donner une expression simple de

H_i(j)

montrant que

H_i(j)

est dans

ℤ

. On distinguera les trois cas :

j < 0, 0 \leq j \leq i - 1

j \geq i

.
I.C - Polynômes de

ℂ[X]

tels que

P(ℕ) \subset ℤ

Soit

P

dans

ℂ_n[X]

. On décompose

P

sur

(H_i)_(0 \leq i \leq n)

en :

P = \sum_(i = 0)^n a_i H_i

I.C.1) Vérifier l'égalité suivante :

(P(0); ⋮; P(n)) = ^t M_n \cdot (a_0; ⋮; a_n)

où

^t M_n

est la transposée de la matrice

M_n

.
I.C.2) Établir :

∀i ∈ {0, …, n}, a_i = ∑_(j = 0)^i(− 1)^(i − j)C_i^j P(j)

i \geq n + 1

, que vaut

\sum_(j = 0)^i(- 1)^(i - j)C_i^j P(j)

?
I.C.3) Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes:
a)

\foralli \in {0, \dots, n}, P(i) \in ℤ

,
b)

∀i ∈ {0, …, n}, a_i ∈ ℤ

,
c)

P(ℤ) \subset ℤ

En particulier les polynômes

P

ℂ[X]

tels que

P(ℕ) \subset ℤ

sont les combinaisons linéaires à coefficients dans

ℤ

des polynômes de Hilbert.
I.D - Description des suites de la forme

(P(j))_(j \in ℕ)

où

P

est un polynôme.

Soit

(u_j)_(j \in ℕ)

une suite complexe. Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
a) il existe

P \in ℂ_n[X]

tel que:

\forallj \in ℕ, u_j = P(j)

,
b)

\foralli \in ℕ, i \geq n + 1 \Rightarrow \sum_(j = 0)^i(- 1)^(i - j)C_i^j u_j = 0

Partie II - Quelques propriétés des séries entières

Dans toute cette partie, on fixe :

R

dans

ℝ_+^∗ ∪ { + ∞}, f

dans

E_R, ω

dans

D_R

r

dans

]|ω|, R[

. Pour

z

dans

D_R

on écrit donc :

ù é è f(z) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n z^n, où la série entière \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n z^n

a un rayon de convergence supérieur ou égal à

R

.
Pour

k \in ℕ^*

on note

f^((k))

la fonction définie pour

z \in D_R

par:

f^((k))(z) = \sum_(n = k)^(+ \infty)n(n - 1)\dots(n - k + 1)a_n z^(n - k)

(on sait que cette série entière a même rayon de convergence que la série entière initiale).
II.A - Représentation intégrale de

f(ω)

à partir des valeurs de

f

sur

C_r

II.A.1) Si

p \in ℕ

, prouver :

\int_(- π)^π f(re^(it))e^(- ipt)dt = 2πa_p r^p

II.A.2) Montrer :

f(ω) = \int_(- π)^π(re^(it))/(re^(it) - ω)f(re^(it))(dt)/(2π)

Indication : on pourra partir de :

(re^(it))/(re^(it) - ω) = \sum_(p = 0)^(+ \infty)(ω/(re^(it)))^p

II.B - Principe du maximum

II.B.1) Justifier la définition de

M_f(r) = Max{|f(z)|, z ∈ C_r}

.
II.B.2) Montrer :

|f(ω)| \leq r/(r - |ω|)M_f(r)

.
II.B.3) Montrer :

|f(ω)| \leq M_f(r)

Indication : si

p \in ℕ^*

, on pourra appliquer, avec justification, le résultat de II.B. 2 à

f^p

puis faire tendre

p

vers

+ \infty

.
II.C - Division de

f(z) - f(ω)

par

z - ω

pour

f

dans

E_R

II.C.1) Si

j \in ℕ

, montrer la convergence de la série de terme général

a_n ω^(n - 1 - j)

pour

n \geq j + 1

. On pose:

b_j = \sum_(n = j + 1)^(+ \infty)a_n ω^(n - 1 - j)

II.C.2) Montrer que, lorsque

j \to + \infty, b_j = O(1/(r^j))

.
II.C.3) Montrer que le rayon de convergence de la série entière

\sum_(j = 0)^(+ \infty)b_j z^j

est
supérieur ou égal à

R

. Pour

z \in D_R

, on pose : supérieur ou égal à

R

. Pour

z \in D_R

, on pose :

g(z) = \sum_(j = 0)^(+ \infty)b_j z^j

Vérifier :

\forallz \in D_R, (z - ω)g(z) = f(z) - f(ω)

II.D - Minoration de $M_f(r)$ à l'aide des zéros de $f$

On suppose que

p \in ℕ^*

, que

f

s'annule en

p

points distincts

z_1, \dots, z_p

D_r^–∖{0}

.
II.D.1) Montrer qu'il existe

F

dans

E_R

telle que:

\forallz \in D_R, F(z) \times \prod_(j = 1)^p(z - z_j) = f(z) \times \prod_(j = 1)^p(r^2 - z_j^-z)

II.D.2) Si

j \in {1, \dots, p}

z ∈ C_r∖{z_j}

que vaut

|(r^2 - z_j^-z)/(z - z_j)|?

II.D.3) En appliquant II.B. 3 à

F

au point

ω = 0

, montrer :

M_f(r) \times |\prod_(j = 1)^p z_j| \geq |f(0)|r^p

II.D.4) On suppose

f(0) = \dots = f^((k - 1))(0) = 0

où

k \in 𝕀^*

. Prouver :

M_f(r) \times |\prod_(j = 1)^p z_j| \geq (|f^((k))(0)|)/(k!)r^(p + k)

II.E - Étude asymptotique d'une fonction entière nulle sur IN

On suppose que

R = + \infty, c \in ]0, e[

f

est nulle sur

ℕ

et que lorsque

r \to \infty

M_f(r) = O(c^r)

.
Montrer que

f = 0

.
Indication: on supposera par l'absurde

f \neq 0

, on appliquera II.D. 4 avec

k = Min{i ∈ ℕ, f^((i))(0) ≠ 0}, r = p, z_1 = 1, …, z_p = p

, et on fera tendre

p

vers

+ \infty

Partie III - Théorème de Pólya

Soit

f

dans

E_\infty

.
III.A - Majoration de

|\sum_(k = 0)^n(- 1)^k C_n^k f(k)|

Soient

n

dans

ℕ^*

r

un réel tel que

r > n

.
III.A.1) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :

F_n = (n!)/(X(X - 1)\dots(X - n))

III.A.2) À l'aide de II.A.2, prouver :

\int_(- π)^π(n!f(re^(it)))/((re^(it) - 1)\dots(re^(it) - n))(dt)/(2π) = \sum_(k = 0)^n(- 1)^(n - k)C_n^k f(k)

III.A.3) Montrer :

|\sum_(k = 0)^n(- 1)^(n - k)C_n^k f(k)| \leq (n!M_f(r))/((r - 1)\dots(r - n))

III.B - Preuve du théorème

On suppose ici
a)

f(ℕ) \subset ℤ

,
b) Lorsque

r \to + \infty, M_f(r) = o((2^r)/(\sqrtr))

On va démontrer que

f

est polynomiale (théorème de Pólya).
N.B. L'exemple de

f(z) = 2^z

montre que la condition asymptotique (b) n'est pas loin d'être optimale.
III.B.1) En appliquant III.A. 3 à

r = 2n + 1

, prouver qu'il existe

N

dans

ℕ

tel que

\foralln \geq N, \sum_(k = 0)^n(- 1)^(n - k)C_n^k f(k) = 0

III.B.2) À l'aide de I.D) et II.E), prouver le résultat désiré.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale mathématiques 1 PSI 2003 ?

Il porte sur l'algèbre linéaire de première année à travers les polynômes de Hilbert, puis sur les séries entières et les fonctions entières.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale maths 1 PSI 2003 ?

Le jury relève des confusions entre déterminant et trace, une mauvaise inversion des matrices triangulaires, et plusieurs erreurs classiques sur les séries entières comme la confusion entre max et sup.

Ce sujet Centrale maths 1 PSI 2003 est-il accessible dès la première année ?

La première partie repose uniquement sur des connaissances d'algèbre linéaire de première année, mais les parties suivantes portent sur les séries entières et les fonctions de variable complexe.

Le sujet Centrale mathématiques 1 PSI 2003 aborde-t-il le théorème de Pólya ?

Oui, la troisième partie démontre que toute fonction entière vérifiant une certaine condition asymptotique est un polynôme, résultat dû à Georg Pólya.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 PSI 2003

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Conseils du jury

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

MATHÉMATIQUES I

Notations, définitions et rappels

Objectif du problème, dépendance des parties

Filière PSI

Partie I - Polynômes de Hilbert

I.A - Inversion d'une matrice

Partie II - Quelques propriétés des séries entières

II.B - Principe du maximum

II.D - Minoration de M_f(r) à l'aide des zéros de f

II.E - Étude asymptotique d'une fonction entière nulle sur IN

Partie III - Théorème de Pólya

III.B - Preuve du théorème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale mathématiques 1 PSI 2003 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale maths 1 PSI 2003 ?

Ce sujet Centrale maths 1 PSI 2003 est-il accessible dès la première année ?

Le sujet Centrale mathématiques 1 PSI 2003 aborde-t-il le théorème de Pólya ?

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 PSI 2003

Commentaires• Centrale Mathématiques 1 PSI 2003

II.D - Minoration de $M_f(r)$ à l'aide des zéros de $f$