E3A Mathématiques B PSI 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques B PSI e3a 2012 ?

Le sujet porte sur l'intégrale de Gauss et les intégrales de Wallis, les polynômes de degré 3 et les rotations de R3, les séries divergentes, et les sous-groupes de matrices inversibles d'exposant fini.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de mathématiques B PSI e3a 2012 ?

Le jury relève une définition négligée de la suite de fonctions dans l'exercice 1, une première question très simple mal traitée dans l'exercice 2, une méconnaissance des racines n-ièmes de l'unité, et des affirmations fausses prises pour acquises en algèbre linéaire.

Q: Cette épreuve de mathématiques B PSI e3a 2012 est-elle difficile ?

Le rapport la qualifie de globalement classique, avec des exercices facile à moyen, mais souligne que peu de candidats vont au bout de l'exercice 1 et que l'exercice 4 contient des questions plus difficiles en fin de sujet.

Q: Cette épreuve e3a PSI 2012 est-elle un bon entraînement sur les intégrales de Wallis ?

Oui, l'exercice 1 utilise les intégrales de Wallis et la formule de Stirling pour établir la valeur de l'intégrale de Gauss, un exercice que le rapport qualifie de classique et facile.

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Intégrale de Gauss, polynômes et rotations, séries divergentes et matrices d'ordre fini

L'épreuve comporte quatre exercices couvrant une grande partie du programme. Le premier calcule la valeur de l'intégrale de Gauss par convergence dominée et intégrales de Wallis. Le deuxième porte sur les polynômes de degré 3 et les matrices orthogonales de R3. Le troisième étudie des séries divergentes et leur comportement asymptotique. Le quatrième traite de sous-groupes de GLn(C) d'exposant fini et de matrices nilpotentes.

1Exercice 1 : calcul de l'intégrale de GaussConvergence dominée, intégrales de Wallis et formule de Stirling pour établir la valeur de l'intégrale de Gauss.
2Exercice 2 : polynômes de degré 3 et rotations de R3Nature géométrique d'un endomorphisme, polynômes scindés et matrices de rotation construites à partir des racines d'un polynôme.
3Exercice 3 : séries divergentes et comportement asymptotiqueÉtude d'une propriété générale sur les séries divergentes, application aux séries harmonique et de terme 1/(n ln n).
4Exercice 4 : sous-groupes de GLn(C) et matrices nilpotentesÉtude des sous-groupes dont tous les éléments vérifient X^p = In, lien avec les matrices nilpotentes.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie l'exercice 1 de facile mais peu de candidats vont à son terme, tandis que l'exercice 4 contient des questions plus difficiles en fin de sujet permettant de sélectionner les meilleurs candidats.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Définition de la suite de fonctions négligée · Première question de l'exercice 2 mal traitée · Racines n-ièmes de l'unité mal connues

L'épreuve couvrait une grande partie du programme à travers quatre exercices classiques. Le jury regrette un manque de rigueur récurrent, notamment l'oubli de définitions précises (fonction caractéristique d'un intervalle) et une méconnaissance surprenante de résultats de première année chez des candidats de seconde année.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Définition de la suite de fonctions négligéeExercice 1
Trop de candidats sont passés à côté de la définition précise de la suite de fonctions et de l'utilisation de la fonction caractéristique de l'intervalle, d'où des imprécisions dans l'échange limite-intégrale.
« Trop de candidats sont passés à côté de la définition de la suite de fonctions »
2
Première question de l'exercice 2 mal traitéeExercice 2
Le jury se dit très surpris que la première question de cet exercice, pourtant très simple, soit aussi mal traitée, voire sabotée.
« Nous sommes très surpris que la première question de cet exercice, très simple, soit aussi mal traitée, voire sabotée. »
3
Racines n-ièmes de l'unité mal connuesExercice 4
Il est surprenant qu'un étudiant de seconde année PSI ne connaisse pas les racines n-ièmes de l'unité.
« il est surprenant qu’un étudiant de Spé PSI ne connaisse pas les racines n-ièmes de l’unité. »
4
Résultats faux pris pour acquisExercice 4
Le jury met en garde contre des affirmations qui sonnent bien mais sont fausses, comme le fait que la somme de deux matrices diagonalisables serait toujours diagonalisable.
« la somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable etc... »

Ce qui a été bien réussi

Les candidats ont assez bien réussi les premières questions de l'exercice 3, qui utilisaient le cours de mathématiques de seconde année PSI.
Les premières questions de l'exercice 4 sont relativement bien traitées.

Conseils du jury

Toujours prouver, justifier et démontrer chaque argument avancé, sans faire apparaître un résultat juste après des calculs faux.
Écrire une démonstration proprement en précisant systématiquement les hypothèses utilisées et la conclusion atteinte.
Tester les résultats obtenus sur des exemples simples avant de les affirmer, en particulier en algèbre linéaire.
Ne pas négliger les questions de cours de première année, qui restent exigibles en seconde année.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Exercice 1

Étudier la convergence de l'intégrale $\int_ℝ e^(- x^2) dx = \int_(- \infty)^(+ \infty)e^(- x^2) dx$ .
Pour tout $n \in ℕ^*$ et $x \in ℝ$ on pose $f_n(x) = (1 - (x^2)/n)^n$ si $|x| < \sqrtn$ et $f_n(x) = 0$ sinon.
2.1 Donner, sur un même schéma, l'allure des représentations graphiques de $f_1$ et $f_4$ .
2.2 Etudier la convergence simple sur $ℝ$ de la suite de fonctions $(f_n)_(n \in ℕ^*)$ .
2.3 Montrer que si $n \in ℕ^*$ et si $u$ est un réel strictement supérieur à $- n$ alors $(1 + u/n)^n ⩽ e^u$ .
2.4 Prouver l'existence de $u_n = \int_(- \infty)^(+ \infty)f_n(x)dx$ .
2.5 Montrer que la suite $(u_n)_(n \in ℕ^*)$ converge vers une limite $ℓ$ que l'on exprimera sous la forme d'une intégrale.
On pose, pour tout $k \in ℕ, J_k = \int_0^(π/2)cos^k(t)dt$ .
3.1 Calculer $J_0, J_1, J_2$ .
3.2 Trouver une relation de récurrence reliant $J_k$ et $J_(k + 2)$ .
3.3 Montrer que: $\foralln \in ℕ^*, J_(2n + 1) = \prod_(k = 1)^n(2k)/((2k + 1)) = (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8\dots(2n))/(1.3 \cdot 5 \cdot 7\dots(2n + 1))$
3.4 En déduire une expression de $J_(2n + 1)$ faisant intervenir $(n!)^2$ et $(2n + 1)$ !.
3.5 Rappeler la formule de Stirling et déduire de ce qui précède un équivalent de $J_(2n + 1)$ lorsque $n \to + \infty$ .
À l'aide d'un changement de variable donner, pour tout $n \in ℕ^*$ , une relation simple entre $J_(2n + 1)$ et $u_n$ .
En déduire la valeur de $\int_(- \infty)^(+ \infty)e^(- x^2) dx$ .

Exercice 2

Dans $ℝ^3$ euclidien orienté usuel, on note $u$ l'endomorphisme dont la matrice canoniquement associée est $B = (0, 0, 1; 0, - 1, 0; 1, 0, 0)$ .

Donner la nature géométrique de

u

et ses éléments caractéristiques.
2. Soient

d \in ℝ

P(X) = X^3 + X^2 + d

. Déterminer les valeurs de

d

telles que le polynôme

P

soit scindé sur

ℝ

.
3. Soit

Q(X) = X^3 + aX^2 + bX + c \in ℝ_3[X]

dont on note

α, β

γ

les racines dans

ℂ

.
3.1 Exprimer les coefficients

a, b

c

à l'aide des racines

α, β

γ

.
3.2 Déterminer tous les triplets

(a, b, c) \in ℝ^3

tels que la matrice

A = (α, β, γ; β, γ, α; γ, α, β)

soit la matrice d'une rotation de

ℝ^3

euclidien orienté usuel.

Exercice 3

Soit

(a_n)_(n \in ℕ^*)

une suite de nombres réels.
On dit que la suite

(a_n)

vérifie la propriété

(P)

si à la fois :

éé{∙a_1 ⩾ 1,; ∙ la suite (a_n) est bornée,; ∙∀n ∈ ℕ^∗, a_n > 0,; ∙ la série ∑_(n > 0)a_n diverge.

On note alors :

\foralln \in ℕ^*, A_n = \sum_(k = 1)^n a_k et \foralln ⩾ 2, b_n = 1/(ln(A_n))\sum_(k = 1)^n(a_k)/(A_k)

Dans tout l'exercice, on utilisera sans le démontrer la propriété suivante, notée

(R)

:
Soient

(u_n)

(v_n)

deux suites réelles à termes strictement positifs.

éSi : {u_n ∼ _(+ ∞)v_n; et; (b) la série ∑_(n ⩾ 1)u_n diverge alors : ∑_(k = 1)^n u_k ∼ _(+ ∞)∑_(k = 1)^n v_k

Pour tout $n$ entier naturel supérieur ou égal à 1 , on pose $H_n = \sum_(k = 1)^n 1/k$ .

En utilisant les séries de terme général

u_n = 1/n

v_n = ln(n + 1) - ln(n)

et la propriété (

R

), prouver que :

H_n \sim _(+ \infty)ln(n)

2.1 De façon analogue, montrer que:

T_n = \sum_(k = 2)^n 1/(kln(k)) \sim _(+ \infty)ln(ln(n))

2.2 En déduire la nature de la série de terme général

w_n = 1/(nln(n))(n ⩾ 2)

.
2.3 Retrouver ce résultat sans utiliser la propriété (

R

).
3. Etude de deux exemples.
3.1 On prend dans cette question:

\foralln \in ℕ^*, a_n = 1

Vérifier que la suite ( $a_n$ ) ainsi définie satisfait à la propriété ( $P$ ).
Déterminer $lim_(n \to + \infty)b_n$ .
3.2 On prend dans cette question: $\foralln \in ℕ^*, a_n = 1/n$ .
Vérifier que la suite ( $a_n$ ) ainsi définie satisfait à la propriété ( $P$ ).
En utilisant la propriété $(R)$ et la série $\sum_(n ⩾ 2)w_n$ , déterminer $lim_(n \to + \infty)b_n$ .

On revient au cas général et on considère une suite $(a_n)$ qui satisfait à la propriété $(P)$ .
4.1 Montrer que $A_n \sim _(+ \infty)A_(n - 1)$
4.2 Prouver que:

(a_n)/(A_n) \sim _(+ \infty)ln((A_n)/(A_(n - 1)))

4.3 Déterminer alors la nature de la série :

\sum_(n ⩾ 2)(a_n)/(A_n)

.
4.4 A l'aide de la propriété

(R)

et des questions précédentes, déterminer alors

lim_(n \to + \infty)b_n

.
5. Soit (

u_n

) le terme général d'une série à termes strictement positifs divergente.

Montrer qu'il existe une suite

(v_n)

à termes positifs tels que :

é{∙v_n = o(u_n); ∙ la série ∑_(n ⩾ 1)v_n diverge

6. Soit

(a_n)

une suite vérifiant la propriété

(P)

Donner le rayon de convergence de la série entière

\sum_(n ⩾ 1)a_n x^n

Exercice 4

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 et (

G, \times

) un sous-groupe de

GL_n(ℂ)

.
On suppose qu'il existe

p \in ℕ^*

tel que :

\forallX \in G, X^p = I_n

où

I_n

désigne la matrice unité de

ℳ_n(ℂ)

.
Soit

E = Vect(G)

le sous-espace vectoriel de

ℳ_n(ℂ)

engendré par la partie

G

.
Une matrice

N \in ℳ_n(ℂ)

est dite nilpotente s'il existe

k \in ℕ^*

tel que

N^k = O_n

(matrice nulle de

ℳ_n(ℂ)

Quel est le spectre d'une matrice nilpotente?
Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables?
Soit $A \in ℳ_2(ℂ)$ .
3.1 Déterminer deux nombres complexes $α$ et $β$ tels que : $A^2 = αA + βI_2$ .
3.2 Prouver l'équivalence :

A nilpotente ⟺ tr(A) = tr(A^2) = 0

On admettra dans toute la suite de l'exercice que cette propriété se généralise pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, c'est-à-dire que pour toute matrice

A \in ℳ_n(ℂ)

A nilpotente ⟺ tr(A) = tr(A^2) = \dots = tr(A^n) = 0

4.1 Vérifier que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie.
4.2 Montrer qu'il existe $r \in ℕ^*$ et une famille ( $M_1, M_2, \dots, M_r$ ) d'éléments de $G$ tels que ( $M_1, \dots, M_r$ ) soit une base de $E$ . On ne cherchera pas à calculer $r$ ni à déterminer les matrices $M_j$ .
On note $𝕌_p$ l'ensemble des racines $p$ -ièmes de l'unité.
5.1 Préciser le cardinal de $𝕌_p$ et expliciter ses éléments.
5.2 Soit $X$ une matrice élément de $G$ et $λ$ une valeur propre de $X$ . Montrer que $λ \in 𝕌_p$ .
Prouver que tout élément de $G$ est diagonalisable.
Prouver que l'ensemble $𝒮 = {tr(X), X \in G}$ est fini. Donner un majorant du cardinal de $𝒮$ .

On considère alors l'application :

φ : X \in G ⟼ φ(X) = (tr(XM_1), \dots, tr(XM_r)) \in ℂ^r

Soient $A$ et $B$ deux éléments de $G$ tels que $φ(A) = φ(B)$ .

On note

N = AB^(- 1) - I_n

.
8.1 Justifier que

AB^(- 1) \in G

En déduire que

N

est diagonalisable.
8.2 Montrer que :

∀i ∈ {1, …, r}, tr(AM_i) = tr(BM_i)

En déduire que :

\forallX \in E, tr(AX) = tr(BX)

8.3 Soit

k \in ℕ

En écrivant que

(AB^(- 1))^k = AB^(- 1)AB^(- 1)\dotsAB^(- 1)

(

k

facteurs) et en utilisant la question précédente, montrer que :

tr[(AB^(- 1))^k] = n

8.4 Calculer alors

tr(N), tr(N^2), \dots, tr(N^n)

Que peut-on alors dire de la matrice

N

?
8.5 Montrer que

φ

est injective.
9. Montrer que

φ(G) \subset 𝒮^r

.
10. Que peut-on en déduire pour

G

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques B PSI e3a 2012 ?

Le sujet porte sur l'intégrale de Gauss et les intégrales de Wallis, les polynômes de degré 3 et les rotations de R3, les séries divergentes, et les sous-groupes de matrices inversibles d'exposant fini.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de mathématiques B PSI e3a 2012 ?

Le jury relève une définition négligée de la suite de fonctions dans l'exercice 1, une première question très simple mal traitée dans l'exercice 2, une méconnaissance des racines n-ièmes de l'unité, et des affirmations fausses prises pour acquises en algèbre linéaire.

Cette épreuve de mathématiques B PSI e3a 2012 est-elle difficile ?

Le rapport la qualifie de globalement classique, avec des exercices facile à moyen, mais souligne que peu de candidats vont au bout de l'exercice 1 et que l'exercice 4 contient des questions plus difficiles en fin de sujet.

Cette épreuve e3a PSI 2012 est-elle un bon entraînement sur les intégrales de Wallis ?

Oui, l'exercice 1 utilise les intégrales de Wallis et la formule de Stirling pour établir la valeur de l'intégrale de Gauss, un exercice que le rapport qualifie de classique et facile.

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