CCINP Mathématiques 2 PSI 2004Sujet et corrigé

Ce problème porte sur l'étude d'une suite double et de différents contextes dans lesquels on retrouve cette suite.

On désigne par N l'ensemble des entiers naturels, par N^∗ l'ensemble N privé de 0 , par Z l'ensemble des entiers relatifs et par R l'ensemble des nombres réels.

Pour n ∈ N, on note ◻0, n◻ l'ensemble des entiers naturels k tels que 0 ≤ k ≤ n.

On note M_(n + 1)(Z) l'anneau des matrices carrées d'ordre n + 1 à coefficients dans Z. Pour M ∈ M_(n + 1)(Z), on note M = (m_(p, q))_((p, q) ∈ [0, n]^2) où m_(p, q) est l'élément de la ligne p et de la colonne q. Par exemple M ∈ M_2(Z) sera noté M = (m_(0, 0), m_(0, 1); m_(1, 0), m_(1, 1)).

Pour M ∈ M_(n + 1)(Z), on note det(M) le déterminant de M et com(M) la comatrice de M.
R[X] désigne l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour n ∈ N, R_n[X] désigne le sous-espace de R[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Les parties II, III et IV de ce problème sont indépendantes entre elles; seule la suite étudiée dans la partie I apparaît dans une question de chacune de ces parties.

On définit la suite double de nombres réels (a_(p, q))_((p, q) ∈ N^2) par :
(i) a_(0, 0) = 1
(ii) pour tout p ∈ N^∗, a_(p, 0) = 0
(iii) pour tout q ∈ N^∗, a_(0, q) = 0
(iv) pour tout (p, q) ∈ N^2, a_(p + 1, q + 1) = a_(p, q) + (p + 1)a_(p + 1, q).

La considération d'un tableau, dans lequel les a_(p, q) sont disposés avec p indice de ligne et q indice de colonne, pourra se révéler d'une utilité certaine.
I.1. Pour q ∈ N, calculer a_(1, q).
I.2 Calculer a_(2, 1) et a_(2, 2).
I.3. Pour q ≥ 2, exprimer a_(2, q) en fonction de a_(2, q − 1). En déduire la valeur de a_(2, q).
I.4. Pour p ∈ N, on considère la propriété P_p : " pour tout q ∈ N, on a a_(p, q) ∈ N ".

Montrer que pour tout p ∈ N, la propriété P_p est vraie.
I.5. Pour p > q, calculer a_(p, q).
I.6. Pour p ∈ N, calculer a_(p, p).
I.7. Pour n ∈ N, on désigne par A_n la matrice carrée d'ordre n + 1 (c'est-à-dire à n + 1 lignes et à n + 1 colonnes), dont le terme de la ligne p et de la colonne q est a_(p, q), pour tout (p, q) ∈ ◻0, n◻^2.
Expliciter les matrices A_2, A_3, A_4 et A_5.

II.1. Soit M = (m_(p, q)) ∈ M_(n + 1)(Z).
II.1.1. Montrer que det(M) ∈ Z.
II.1.2. Montrer que com(M) ∈ M_(n + 1)(Z).
II.1.3. On rappelle qu'une matrice M est inversible dans M_(n + 1)(Z) si et seulement si M^(− 1) existe et appartient à M_(n + 1)(Z). Montrer que M est inversible dans M_(n + 1)(Z) si et seulement si det(M) = ± 1.
II.2. On définit la suite (B_p)_(p ∈ N) de polynômes de R[X] par : B_0 = 1 et pour p ∈ N^∗, B_p = ∏_(j = 0)^(p − 1)(X − j).
II.2.1. Montrer que ( B_0, B_1, …, B_n ) est une base de l'espace vectoriel R_n[X]; on notera (B) cette base.

On note (x) la base canonique (1, X, …, X^n) de R_n[X].
On note P_n la matrice de passage de la base (X) à la base (B) et Q_n la matrice de passage de la base (B) à la base (X).
II.2.2. On prend n = 4, expliciter les matrices P_4 et Q_4.
II.2.3. Montrer que P_n est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dans Z.
II.2.4. Calculer det(P_n).
II.2.5 Montrer que Q_n est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dans Z.

On note Q_n = (β_(p, q))_((p, q) ∈ [0, n]^2). Pour tout q ∈ ◻0, n◻, on a donc X^q = ∑_(p = 0)^q β_(p, q)B_p.
II.2.6. En donnant à X des valeurs particulières, déterminer les coefficients β_(0, q), β_(1, q), β_(2, q) pour q ∈ ◻0, n◻.
II.2.7. Montrer que Q_n = A_n où A_n est la matrice définie au I.7.

On note F l'espace vectoriel réel des applications de classe C^∞ définies sur ]0, + ∞[ et à valeurs dans R. On définit l'application φ de F dans F par:

Pour q ∈ N^∗, on note φ^q = φ ∘ φ^(q − 1); ainsi φ^2 = φ ∘ φ (par convention : φ^0 = id_F ).
III.1. Vérifier que φ est un endomorphisme de F. Est-il surjectif ? Est-il injectif ? Préciser le noyau de φ.
III.2. Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de φ.
III.3. Pour f ∈ F, expliciter φ^2(f). Déterminer le noyau de φ^2 et en donner une base.
III.4. Soit n ∈ N^∗. Montrer qu'il existe des entiers d_(p, q) tels que, pour tout q ∈ ◻1, n◻ et tout f ∈ F, on ait la relation : pour tout x dans ]0, + ∞[, φ^q(f)(x) = ∑_(p = 1)^q d_(p, q)x^p f^((p))(x), où f^((p)) est la dérivée p-ième de f.
On admet que cette décomposition est unique.
III.5. On convient que d_(0, 0) = 1 et que, pour p ∈ N^∗ et q ∈ N^∗, d_(p, 0) = d_(0, q) = 0 et d_(p, q) = 0 si p > q.
Montrer que pour tout (p, q) ∈ ◻1, n◻^2, on a d_(p, q) = a_(p, q), où les a_(p, q) sont les termes définis dans la partie I.

IV. 1 Soit φ la fonction définie sur R par φ(t) = exp((expt) − 1), où exp est la fonction exponentielle.

IV1.1. Déterminer le développement limité de φ à l'ordre 4 en t = 0.
IV1.2. Pour n variant de 1 à 4 , en déduire la valeur de la dérivée n-ième de φ en 0 .

Soit E un ensemble de cardinal n, n ∈ N. On appelle partition de E, tout ensemble de parties non vides de E, deux à deux disjointes, dont la réunion est E. Chaque partie de la partition s'appelle une classe.
IV.2. Pour tout entier j ∈ N^∗, on note P_n^j le nombre de partitions de E en j classes. Par convention, on note P_0^0 = 1 et, pour tout n ∈ N^∗ et j ∈ N^∗, P_n^0 = P_0^j = 0.
IV.2.1. Pour j > n, calculer P_n^j.
IV.2.2. Calculer P_n^1 et P_n^n pour n ∈ N^∗.
IV.2.3. On suppose j ≥ 2 et n ≥ 1. Soit a ∈ E.

En distinguant parmi les partitions de E en j classes, celles pour lesquelles le singleton {a} est une classe de la partition, justifier l'égalité P_n^j = P_(n − 1)^(j − 1) + jP_(n − 1)^j.
IV.2.4. En déduire que pour tout (j, n) ∈ N^2, on a P_n^j = a_(j, n), les a_(j, n) étant les termes définis dans la partie I.
IV.3. On note P_n le nombre de partitions de E. Par convention P_0 = 1.
IV.3.1. Pour n variant de 1 à 4, calculer P_n et comparer P_n à φ^((n))(0) où φ est la fonction définie en IV.1.
IV.3.2. Exprimer P_n à l'aide des P_n^j. Dans la suite, on admettra la formule
(1) P_(n + 1) = ∑_(k = 0)^n C_n^k P_k où les C_n^k sont les coefficients du binôme.
IV.3.3 Montrer que pour tout n ∈ N on a P_n ≤ n!
IV. 4 Pour x ∈ R, on note s(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(P_n)/(n!)x^n lorsque la série converge.
IV.4.1. Déduire de IV.3.3. que le rayon de convergence de la série est supérieur ou égal à 1 .
IV.4.2. Montrer à l'aide de (1) que pour |x| < 1, on a s^′(x) = s(x)expx (on pourra développer en série entière expx et utiliser le produit de Cauchy de deux séries entières).
IV.4.3. En déduire s(x).
IV.4.4. Montrer que pour tout n ∈ N, on a P_n = φ^((n))(0).

Fin de l'énoncé.