CCINP Mathématiques 2 PSI 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHE MATIQUES 2

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.
N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On désigne par

N

l'ensemble des entiers naturels, par

N^*

l'ensemble

N

privé de 0 et par

R

l'ensemble des nombres réels.

Etant donné un entier naturel

n

, on note

[[0, n]]

l'ensemble des entiers naturels

k

tels que

0 \leq k \leq n

On note

R[x]

l'espace des polynômes à coefficients réels et, pour

k \in N

, on note

R_k[x]

le sous espace de

R[x]

des polynômes de degré inférieur ou égal à

k

. On identifiera le polynôme

P \in R[x]

avec la fonction polynôme associée.

On note C l'espace des fonctions continues définies sur l'intervalle

[ - 1, 1]

et à valeurs dans

R

, on note

R

l'espace des restrictions à

[ - 1, 1]

des polynômes de

R[x]

et on note

R_k

l'espace des restrictions à

[ - 1, 1]

des polynômes de

R_k[x]

. Par abus, on appellera polynôme une fonction de R.

Le but du problème est de définir une méthode de calcul approché d'une famille d'intégrales.
Dans la partie I, on étudie une famille de polynômes. La partie II utilise une structure d'espace préhilbertien réel de l'espace C , pour obtenir une formule de calcul exacte de certaines intégrales. La partie III conduit à la méthode de calcul approché annoncée.

Dans tout le problème,

n

désigne un entier naturel. Pour tout entier

n \in N

, on définit la fonction

t_n \in C

par: pour tout

x \in [ - 1, 1], t_n(x) = cos(nArccosx)

PARTIE I

Simplifier les expressions de $t_0, t_1, t_2, t_3$ et constater que ces fonctions ont des expressions polynomiales, que l'on explicitera.
Tracer, sur un même dessin, les graphes de $t_0, t_1, t_2$ et $t_3$ . Préciser les racines et les extremums de chaque fonction.

Pour

n \in N^*

k \in [[0, n - 1]]

, on note

θ_k = (2k + 1)/(2n)π

x_k = cos(θ_k)

.
3. Pour

n \in N^*

, déterminer les racines de la fonction

t_n

. Montrer que les racines de

t_n

sont deux à deux opposées.
4. On suppose l'entier

n \geq 2

. Soit

p \in [[1, n - 1]]

.
4.1 Calculer la somme

\sum_(k = 0)^(n - 1)e^(ipθ_k)

.
4.2 Montrer que

\sum_(k = 0)^(n - 1)t_p(x_k) = 0

Pour

x \in [ - 1, 1]

, le changement de variable bijectif

θ = Arccosx

, permet d'écrire

t_n(x) = cos(nθ)

avec

θ \in [0, π]

.
5. Pour

n \geq 1

, exprimer

t_(n + 1)(x) + t_(n - 1)(x)

en fonction de

x

et de

t_n(x)

.
6. En déduire que pour tout

n \in N

, la fonction

t_n

est la restriction à l'intervalle

[ - 1, 1]

d'un polynôme

T_n

R[x]

. Préciser le degré de

T_n

et le coefficient de son terme de plus haut degré.
7. Montrer que pour tout entier

n \geq 1

, le polynôme

T_n

n'a pas de racine complexe non réelle.

PARTIE II

Soit $f$ une fonction de C. Montrer que la fonction $x \mapsto (f(x))/(\sqrt(1 - x^2))$ est intégrable sur $] - 1, 1[$ .
Pour $n \in N$ , on note $I_n = \int_(- 1)^1(x^n)/(\sqrt(1 - x^2))dx$ .
2.1 Calculer $I_0$ et $I_1$ .
2.2 Pour $n \geq 2$ , donner une relation entre $I_n$ et $I_(n - 2)$ (on pourra, entre autre méthode, utiliser le changement de variable $θ = Arccosx$ ).
2.3 En déduire les valeurs de $I_2$ et $I_4$ . Quelle est la valeur de $I_(2p + 1)$ pour $p \in N$ ?
Définition d'une structure préhilbertienne réelle sur $C$ .
3.1 Montrer que l'application de $C \times C$ dans $R$ définie par $(f, g)\mapsto<f| g>=\int_(- 1)^1(f(x)g(x))/(\sqrt(1 - x^2))dx$ définit un produit scalaire sur $C$ .
3.2 Montrer que la famille de fonction $t_p$ , pour $p \in [[0, n]]$ , est une base orthogonale de l'espace vectoriel $R_n$ .
Calculer la norme de chaque fonction $t_p$ .
3.3 Déduire de ce qui précède que, pour tout $n \geq 1$ et tout $k \in [[0, n - 1]]$ , on a $\int_(- 1)^1(x^k t_n(x))/(\sqrt(1 - x^2))dx = 0$ .
On veut monter qu'il existe trois réels $a_0, a_1, a_2$ uniques, tels que pour tout polynôme $P \in R_5$ , on a
(1) $\int_(- 1)^1(p(x))/(\sqrt(1 - x^2))dx = a_0 P((- \sqrt3)/2) + a_1 P(0) + a_2 P((\sqrt3)/2)$ .
4.1 On suppose que l'égalité (1) est satisfaite par tout $P \in R_5$ . En prenant successivement les polynômes $P$ définies par $P(x) = 1, P(x) = x, P(x) = x^2$ , déterminer les réels $a_0, a_1, a_2$ .
4.2 Montrer que le triplet $(a_0, a_1, a_2)$ trouvé convient pour les polynômes $P$ définies par $P(x) = x^4$ puis $P(x) = x^5$ .
En déduire que l'égalité (1) est vérifiée pour tout polynôme $P \in R_5$ .
calcul d'une intégrale.
5.1 Montrer que la fonction $x \mapsto (x^4)/(\sqrt(x(1 - x)))$ est intégrable sur $]0, 1[$ .
5.2 Calculer l'intégrale $J = \int_0^1(x^4)/(\sqrt(x(1 - x)))dx$ , à l'aide du changement de variable $t = 2x - 1$ et de la formule (1).

PARTIE III

Soit

n \in N^*

. Etant donné des réels

a_0, a_1, \dots, a_(n - 1)

et une fonction

f \in C

, on note

S_n(f) = \sum_(k = 0)^(n - 1)a_k f(x_k)

où

x_k = cos((2k + 1)/(2n)π)

On se propose de montrer qu'il existe des réels

a_0, a_1, \dots, a_(n - 1)

uniques, tels que pour tout polynôme

P

R_(n - 1)

, on ait :

\int_(- 1)^1(P(x))/(\sqrt(1 - x^2))dx = S_n(P)

On suppose que l'égalité (2) est satisfaite pour tout $P \in R_(n - 1)$ . En prenant successivement pour polynômes $P$ les monômes $1, x, \dots, x^(n - 1)$ , montrer que les réels $a_0, a_1, \dots, a_(n - 1)$ sont les solutions d'un système de $n$ équations linéaires à $n$ inconnues, dont le déterminant est non nul (on ne demande pas le calcul des intégrales qui interviennent dans le second membre du système).
On suppose qu'il existe des réels $a_0, a_1, \dots, a_(n - 1)$ tels que, pour tout $p \in [[0, n - 1]]$ , la relation (2) soit vérifiée par les fonctions $t_p$ .
2.1 Montrer qu'alors la relation (2) est vérifiée pour tout polynôme $P \in R_(n - 1)$ .
2.2 En utilisant ce qui précède, en particulier I. 4 et II.3, montrer que les $a_k$ sont tous égaux et calculer leur valeur.
2.3 On suppose que les $a_k$ ont la valeur trouvée en 2.2. Soit $P$ un polynôme de $R_(2n - 1)$ . En écrivant la division euclidienne de $P$ par $t_n$ (sur $[ - 1, 1]$ ), montrer que P vérifie (2).
Etant donné une fonction $g \in C$ , on note $D_n(g) = \int_(- 1)^1(g(x))/(\sqrt(1 - x^2))dx - S_n(g)$ et on note $‖g‖_\infty = Sup_(x \in [ - 1, 1])|g(x)|$ .
Soit $f \in C$ .
3.1 Soit $P \in R$ . Montrer qu'il existe un entier $n_0 > 0$ , qui dépend de $P$ , tel que pour tout $n \geq n_0$ , on a $|D_n(f)| \leq 2π‖f - P‖_\infty$ .
3.2 En déduire $lim_(n \to + \infty)S_n(f) = \int_(- 1)^1(f(x))/(\sqrt(1 - x^2))dx$ .
Pour $x \in [ - 1, 1]$ , on prend $f(x) = e^x$ . Soit $m$ un entier de $N^*$ .
4.1 Montrer que la série $\sum_(k \geq 0)1/(k!)$ converge et que $\sum_(k = m + 1)^(+ \infty)1/(k!) \leq 1/(m \cdot m!)$ .
4.2 Déterminer un polynôme $P$ de degré $m$ tel que $‖f - P‖_\infty \leq 1/(m \cdot m!)$ .
4.3 Justifier que $S_4(f)$ fournit une valeur approchée de l'intégrale $\int_(- 1)^1(e^x)/(\sqrt(1 - x^2))dx$ à $10^(- 3)$ près.
4.4 Calculer cette valeur approchée.

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