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Concours ENSAM - ESTP - ENSAIS - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A

durée 3 heures

L'usage de calculatrices est interdit

Partie 1.

Question 1.

On appelle θ la fonction de R dans R, paire et périodique de période 2π, définie par :
{∀x ∈ [0, π/2], θ(x) = (π^2)/4 − x^2; ∀x ∈ [π/2, π], θ(x) = (x − π/2)(x − (3π)/2)
1.1. Tracer les graphes des fonctions θ et θ_1, dérivée de la fonction θ.
1.2. Déterminer la série de Fourier associée à la fonction θ_1.
Etudier sa convergence.

Question 2.

En déduire la série de Fourier associée à la fonction θ et celle de Φ définie par :
∀x ∈ R, Φ(x) = ∫_0^x θ(u)du
Etudier la convergence de ces séries.
La suite du problème consiste à rechercher les fonctions U de classe C^0 sur Ω = [0, π] × R_+ et C^2 sur [0, π] × R_+^∗ et vérifiant les conditions suivantes :
(P){∀(x, t) ∈ [0, π] × R_+^∗, (∂^2 U)/(∂x^2)(x, t) = (∂U)/(∂t)(x, t); ∀t ∈ R_+, U(0, t) = U(π, t) = 0; ∀x ∈ [0, π], lim_(t → + ∞)U(x, t) = 0; ∀x ∈ [0, π], U(x, 0) = Φ(x)
Une fonction U vérifiant les quatre relations (1), (2), (3) et (4) est dite solution du problème (P).
Les parties 2 et 3 sont indépendantes.

Partie 2.

On se propose de chercher des solutions de l'équation différentielle (1) sous la forme de fonctions V définies sur Ω par :
∀(x, t) ∈ Ω, V(x, t) = g(x) ⋅ h(t)
où g est une fonction réelle de classe C^2 sur [0, π] et h une fonction réelle de classe C^2 sur R_+.

Question 1.

1.1. Montrer que si les fonctions g et h sont solutions des équations différentielles :
{g^(′′)(x) − μg(x) = 0; h^′(t) − μh(t) = 0
où μ est un réel quelconque, alors la fonction V : (x, t) → V(x, t) = g(x) ⋅ h(t) vérifie (1).
1.2. Trouver toutes les solutions des équations différentielles précédentes.
1.3. On prend μ = − k^2, k ∈ N^∗. Déterminer une suite de fonctions (V_k)_(k ∈ N^∗) :
V_k : Ω, → R; (x, t), ↦ V_k(x, t) = g_k(x) ⋅ h_k(t)
vérifiant (1), (2) et (3).

Question 2.

Soit : H : Ω → R
(x, t) ↦ H(x, t) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)d_k sin(kx)e^(− k^2 t)
et pour k ∈ N^∗, R_k : Ω → R
(x, t) ↦ R_k(x, t) = sin(kx)e^(− k^2 t).
Il s'agit de déterminer les coefficients (d_k)_(k ∈ N^∗) pour que la fonction H soit solution du problème ( P ).
2.1. A l'aide de la relation (4), déterminer les coefficients (d_k)_(k ∈ N^∗).
2.2. Montrer qu'alors, la fonction H est deux fois dérivable par rapport à x et une fois par rapport à t avec :
∀(x, t) ∈ [0, π] × R_+^∗, (∂^2 H)/(∂x^2)(x, t) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)d_k(∂^2 R_k)/(∂x^2)(x, t); et ∀(x, t) ∈ [0, π] × R_+^∗, (∂H)/(∂t)(x, t) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)d_k(∂R_k)/(∂t)(x, t)

Question 3.

Trouver une solution au problème (P).

Partie 3.

Question 1.

On note E = {ω, C^0 surΩ et C^2 sur[0, π] × R_+^∗, telle que ω vérifie (1), (2), (3) et; ∀x ∈ [0, π], ω(x, 0) = 0}.
1.1. Montrer que E est un espace vectoriel sur R.
1.2. Prouver que si u et v sont solutions du problème ( P ), alors u − v ∈ E.

Question 2.

Soit ω ∈ E.
2.1. Calculer, pour tout t ∈ R_+, l'intégrale ∫_0^π∂/(∂x)[ω(x, t) ⋅ (∂ω)/(∂x)(x, t)]dx.
2.2. En déduire que ∀t ∈ R_+, ∫_0^π((∂ω)/(∂x)(x, t))^2 dx + 1/2∫_0^π(∂(ω^2))/(∂t)(x, t)dx = 0.
2.3. On note ψ : R → R
T → ψ(T) = ∫_0^T(∫_0^π((∂ω)/(∂x)(x, t))^2 dx)dt + ∫_0^T(∫_0^π(ω(x, t)(∂ω)/(∂t)(x, t))dx)dt
Montrer que ψ est nulle sur R_+. ( On pourra, pour T ∈ R_+, calculer ψ^′(T) ).
En déduire que ∀T ∈ R_+, ∫_0^π ω^2(x, T)dx = 0.
2.4. Démontrer que E ne contient que la fonction nulle.
2.5. Combien le problème (P) possède-t-il de solutions?

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