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E3A Mathématiques A PSI 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PSI durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Soit (L) l'équation différentielle : y^(′′)(x) − y(x) = b(x), définie sur [ 0,1 ], où b et y sont des fonctions définies sur [0, 1] à valeurs dans R, b continue et y de classe C^2 et (L_0) l'équation différentielle homogène associée : y^(′′)(x) − y(x) = 0.

Partie 1: Expression des solutions de ( L ).

  1. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de ( L_0 ) ? En donner une base.
  2. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de ( L )?
  3. Vérifier que la fonction h : x ∈ [0, 1] ↦ h(x) = ∫_0^x sh(x − t)b(t)dt est une solution de l'équation différentielle ( L ).
    (Rappel : pour tout z réel, sh(z) = (e^z − e^(− z))/2 et ch(z) = (e^z + e^(− z))/2 ).
  4. En déduire que les solutions de ( L ) s'écrivent sous la forme :
∀x ∈ [0, 1], y(x) = Ach(x) + Bsh(x) + h(x)
où A et B sont des constantes réelles.
5. Soient α et β deux nombres réels.
Prouver l'existence d'une unique solution s de (L) vérifiant : {s(0) = αsh(1); et; s(1) = βsh(1)
On admettra que la fonction s est la fonction :
s : x ∈ [0, 1] ↦ s(x) = αsh(1 − x) + βsh(x) − ∫_0^1 H(x, t)b(t)dt
où H est la fonction de deux variables définie par :
H : [0, 1]^2, → R; (x, t), ↦ H(x, t) = {1/(sh(1))sh(1 − x)sh(t) si t ⩽ x; 1/(sh(1))sh(x)sh(1 − t) si t ⩾ x
et que la fonction x ↦ ∫_0^1 H(x, t)b(t)dt est de classe C^2 sur [0, 1]^2.

Partie 2: Développement en série de Fourier de la fonction H.

On fixe x dans [0, 1] et soit φ la fonction impaire, 2 - périodique, définie sur [0, 1] par :
∀t ∈ [0, 1], φ(t) = {(sh(1 − x))/(sh(1))sh(t) si 0 ⩽ t ⩽ x; (sh(x))/(sh(1))sh(1 − t) si x ⩽ t ⩽ 1
  1. Donner une allure de la représentation graphique de φ sur [ − 2, 2] dans le cas où x = 1/4 avec sh(1) ≃ 1, 2, sh(3/4) ≃ 0, 8 et sh(1/4) ≃ 0, 25.
  2. Calculer les coefficients de Fourier de φ.
  3. La série de Fourier de φ converge-t-elle? Vers quelle fonction? Justifiez votre réponse.
  4. En déduire que: ∀(x, t) ∈ [0, 1]^2, H(x, t) = 2∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin(πnx)sin(πnt))/(n^2 π^2 + 1).

Partie 3 : Etude d'un endomorphisme auto-adjoint défini par H.

Soit E = C^0([0, 1], R) muni du produit scalaire suivant :
∀(f_1, f_2) ∈ E^2, (f_1|f_2) = ∫_0^1 f_1(t)f_2(t)dt
dont la norme associée est notée ‖‖.
Soit Ψ l'application qui à tout élément f de E associe Ψ(f) définie par :
∀x ∈ [0, 1], Ψ(f)(x) = ∫_0^1 H(x, t)f(t)dt
  1. Vérifier que Ψ est un endomorphisme de E.
  2. Justifier que pour toute application f appartenant à E et pour tout x appartenant à [0, 1],
Ψ(f)(x) = 2∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin(πnx))/(n^2 π^2 + 1)(∫_0^1 f(t)sin(πnt)dt)
  1. Donner la définition d'un endomorphisme auto-adjoint (ou symétrique) de E. Prouver que Ψ est un endomorphisme auto-adjoint de E.
  2. Vérifier que : ∀f ∈ E, (Ψ(f)|f) ⩾ 0.
  3. Soit u ∈ E telle que : (Ψ(u)|u) = 0.
    5.1. Vérifier que : ∀n ∈ N, ∫_0^1 u(x)sin(πnx)dx = 0.
    5.2. Soit F la fonction définie sur R, impaire et 2 - périodique, telle que :
F : x ∈ [0, 1] ↦ F(x) = {u(x) si x ∈ ]0, 1[; 2 si x = 0 ou x = 1
Exprimer les coefficients de Fourier de F en fonction de u.
En déduire que : ∫_0^1 u^2(x)dx = 0.
5.3. Prouver alors que :
Pour toute fonction v différente de la fonction nulle de E, (Ψ(v)|v) > 0.
5.4. Quel résultat peut-on en conclure pour les valeurs propres de Ψ ?
6. Pour m ∈ N^∗, soit la fonction f_m définie par :
∀x ∈ [0, 1], f_m(x) = sin(πmx).
6.1. Soient p et q deux entiers naturels non nuls. Calculer : ∫_0^1 sin(πpx)sin(πqx)dx.
6.2. Déterminer, pour m ∈ N^∗, Ψ(f_m).
7. Soit λ une valeur propre de Ψ et fλ un vecteur propre associé.
7.1. Prouver que f_λ est de classe C^2 sur [0, 1].
7.2. Vérifier que f_λ est solution du problème : {y^(′′)(x) − (1 − 1/λ)y(x) = 0; y(0) = 0; y(1) = 0
7.3. Prouver qu'il est impossible que λ = 1.
7.4. Prouver qu'il est impossible que 1 − 1/λ > 0.
7.5. Lorsque 1 − 1/λ < 0, montrer qu'il existe m ∈ N^∗ tel que : λ = 1/(m^2 π^2 + 1).
7.6. Déterminer alors les éléments propres de Ψ.

Partie 4 : Calcul de la norme de l'endomorphisme Ψ.

  1. Déterminer, pour m ∈ N^∗, ‖f_m‖.
On pose alors, pour tout m ∈ N^∗, h_m = (f_m)/(‖f_m‖).
2. Vérifier que :
2.1. ∀f ∈ E, Ψ(f) = ∑_(m = 1)^(+ ∞)((h_m|f))/(m^2 π^2 + 1)h_m,
2.2. ∀f ∈ E, ‖f‖^2 = ∑_(m = 1)^(+ ∞)(h_m|f)^2.
3. En déduire que :
∀f ∈ E, ‖Ψ(f)‖^2 ⩽ (‖f‖^2)/((π^2 + 1)^2).
  1. Prouver que Ψ est un endomorphisme continu de (E, ‖‖).
  2. Enfin, calculer : sup‖Ψ(f)‖.
‖f‖ = 1

Fin du problème.

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