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Mines Mathématiques 2 PSI 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Matrices symétriques positives, ordre de Löwner et fonctions matriciellement croissantes
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Seconde épreuve de mathématiques du concours Mines-Ponts 2006 en filière PSI, en trois heures. Le problème, centré sur l'algèbre linéaire et bilinéaire, construit la racine carrée d'une matrice symétrique définie positive, étudie l'ordre de Löwner puis montre, à l'aide d'une représentation intégrale, que certaines fonctions puissances sont matriciellement croissantes.

  1. 1Partie I : matrices positivesCaractérisation spectrale des matrices symétriques positives, existence et unicité de la racine carrée d'une matrice symétrique définie positive.
  2. 2Partie II : ordre de LöwnerRelation d'ordre sur les matrices symétriques, passage à l'inverse et contre-exemple en dimension 2 montrant que le carré ne conserve pas l'ordre.
  3. 3Partie III : fonctions matriciellement croissantesDéfinition de f(M) par diagonalisation, intégrales généralisées à paramètre et croissance matricielle des fonctions obtenues.

Difficile. Le jury qualifie la prestation moyenne de décevante, avec une forte proportion de copies très faibles et une moyenne de l'ordre de 7 sur 20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7 / 20
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Moyenne
7/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème spectral absent ou incomplet · Existence confondue avec unicité · Simplification abusive par un vecteur
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Le sujet, d'une bonne longueur, alterne questions très faciles, questions moyennes et questions demandant réflexion et rédaction rigoureuse. Les résultats sont très dispersés : beaucoup de copies très faibles, mais un nombre significatif de candidats a compris l'ensemble du problème. Le jury relève des lacunes de base sur le calcul matriciel, le théorème spectral et le signe du trinôme du second degré.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème spectral absent ou incompletQ3, Q5, Q6, Q7

    Sans l'existence d'une base orthonormale de vecteurs propres, la question 3 et plusieurs suivantes sont inaccessibles. Une matrice diagonalisable n'est pas diagonale.

    « De nombreux candidats ne pensent pas au théorème spectral pour les matrices symétriques réelles »
  2. 2
    Existence confondue avec unicitéQ5, Q7, Q8

    En question 5, il faut prouver l'unicité de la racine carrée pour une matrice C inconnue, pas pour celle construite en question 4. Proposer une seule solution ne prouve pas qu'elle est unique.

    « Une moitié des candidats fait un contresens spectaculaire »
  3. 3
    Simplification abusive par un vecteurQ6

    L'égalité de deux matrices sur un seul vecteur non nul ne permet pas de conclure qu'elles sont égales. Il fallait faire coïncider deux endomorphismes sur des sous-espaces en somme directe.

    « on prétend pouvoir simplifier par un facteur matriciel s’il est non nul »
  4. 4
    Axiomes d'une relation d'ordre ignorésQ9

    L'antisymétrie était la propriété la plus délicate. Une matrice réelle vérifiant (AX|X) = 0 pour tout X n'est pas forcément nulle.

    « Un candidat sur deux ignore la liste des axiomes d’une relation d’ordre »
  5. 5
    Inégalités matricielles traitées comme des inégalités réellesQ11, Q12

    On ne multiplie pas une inégalité de Löwner par une matrice comme par un réel positif : le produit de deux matrices symétriques positives n'est même pas symétrique en général.

    « La majorité des candidats multiplie froidement les deux membres de l’inégalité »
  6. 6
    Signe du trinôme et contre-exempleQ13, Q14

    La caractérisation des matrices symétriques positives d'ordre 2 a donné très peu de bonnes réponses, et le contre-exemple explicitement demandé en question 14 est rarement fourni.

    « Le signe du trinôme du second degré, ce grand inconnu ! »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 10 a été le plus souvent résolue.
  • La réponse à la question ouverte 15 est souvent exacte, même si elle est rarement bien justifiée.
  • Quelques candidats ont vu qu'une matrice symétrique réelle à la fois positive et négative est nulle (question 9).
  • Le jury a corrigé un nombre significatif de bonnes, parfois très bonnes copies.

Conseils du jury

  • Connaître précisément le cours, en particulier l'énoncé complet du théorème spectral.
  • Maîtriser les techniques de calcul de base par une pratique personnelle et régulière.
  • Exposer les raisonnements avec clarté et rigueur, sans paraphraser l'énoncé.
  • Pour une récurrence du type H(n) implique H(n+2), vérifier les deux initialisations.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2006 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
On désignera dans tout le problème par:
  • M_(n, p) l'espace des matrices réelles à n lignes et p colonnes. On note 0_(n, p), la matrice nulle.
  • M_n, l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre n. On note 0_n, la matrice nulle.
  • ^t M la transposée d'une matrice M.
  • S_n, le sous-ensemble de M_n, constitué des matrices symétriques d'ordre n, c'est-à-dire les matrices A qui satisfont ^t A = A.
  • I_n la matrice identité d'ordre n.
  • ( X|Y ) le produit scalaire de deux matrices colonnes.
On rappelle que pour toute matrice A de M_(n, p) et tout couple de matrices colonnes ( X, Y ) où X ∈ M_(n, 1) et Y ∈ M_(p, 1), l'identité suivante est satisfaite:
(AX|Y) = (X|^t AY).
Définition 1. Une matrice A ∈ S_n est dite positive lorsque pour tout X de M_(n, 1), (AX|X) ≥ 0.
Une matrice A ∈ S_n est dite définie positive lorsque pour tout X de M_(n, 1)∖{0_(n, 1)}, (AX|X) > 0.
Définition 2. Si A et B sont deux matrices de S_n, on dit que A est plus petite que B pour l'ordre de Löwner, et on note A⪯B, si la matrice B − A est positive. On notera A≺B si B − A est définie positive.

On suppose dorénavant que A est une matrice symétrique réelle d'ordre n.

I. Matrices positives

  1. Montrer que si A est positive, alors pour toute matrice réelle M ∈ M_(n, p), la matrice ^t MAM est symétrique positive.
  2. Montrer que toutes les puissances entières d'une matrice symétrique positive A sont positives.
  3. Montrer que A ∈ S_n est positive, respectivement définie positive, si et seulement si les valeurs propres de A sont toutes positives, respectivement strictement positives.
  4. Si A est définie positive, montrer qu'il existe une matrice C, symétrique définie positive telle que C^2 = A.
  5. Si A et C sont symétriques définies positives et C^2 = A, montrer que, pour toute valeur propre λ de A, on a:
Ker(A − λI_n) = Ker(C − √λI_n).
  1. En déduire que si A est définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive C telle que C^2 = A et que dans toute base orthonormale de vecteurs propres de A, la matrice C est diagonale.
On notera désormais C = A^(1/2).
7) On suppose A définie positive. Montrer que A est inversible et qu'il existe une unique matrice, notée A^(− 1/2), symétrique définie positive telle que A^(− 1/2)A^(− 1/2) = A^(− 1).
8) Prouver que (A^(1/2))^(− 1) = A^(− 1/2).

II. Ordre de Löwner

  1. Montrer que l'ordre de Löwner est une relation d'ordre sur S_n.
  2. Soit B ∈ S_n avec A⪯B. Montrer que pour toute matrice réelle C ∈ M_(n, p), la relation ^t CAC⪯^t CBC est vérifiée.
  3. Montrer que si I_n⪯A alors A est inversible et A^(− 1)⪯I_n.
  4. En déduire que si 0_n≺A⪯B alors B est inversible et B^(− 1)⪯A^(− 1).
  5. Donner un système de conditions nécessaires et suffisantes portant sur les réels a, b et c pour que la matrice D = (a, b; b, c) soit positive.
  6. On considère les deux matrices suivantes:
D = (a, b; b, 1) et B = (2a, 0; 0, 2).
Montrer qu'il existe des réels a et b de sorte que 0_n⪯D⪯B mais que D^2⋠B^2.

III. Fonctions matriciellement croissantes

Soit n un entier non nul et M une matrice diagonalisable à valeurs propres positives. Il existe donc une matrice diagonale Δ et une matrice inversible P telles que M = PΔP^(− 1). Notons ( λ_i, i = 1, ⋯, n ) les valeurs propres de M, répétées suivant leur multiplicité, qui sont donc les coefficients diagonaux de Δ.
Définition 3. Si f est une fonction de ℝ_+dans ℝ et Δ une matrice diagonale positive, on note f(Δ) la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux
sont donnés par f(Δ)_(ii) = f(λ_i) pour i = 1, ⋯, n.
15) On considère f une fonction de ℝ_+dans ℝ et l'on note R = Pf(Δ)P^(− 1). Soit X ∈ M_(n, 1) et λ un réel positif tels que MX = λX. Calculer RX.
16) Montrer que, pour toutes matrices P et Q inversibles et toutes matrices diagonales Δ_P et Δ_Q de M_n telles que M = PΔ_P P^(− 1) = QΔ_Q Q^(− 1), on a :
Pf(Δ_P)P^(− 1) = Qf(Δ_Q)Q^(− 1).
Désormais, si M est une matrice diagonalisable à valeurs propres positives et M = PΔP^(− 1) est une diagonalisation de M, on définit f(M) par
f(M) = Pf(Δ)P^(− 1)
Définition 4. Une fonction f est dite matriciellement croissante sur ℝ_+si pour tout n ≥ 1 et tout couple ( A, B ), de matrices symétriques, l'implication suivante est satisfaite :
0⪯A⪯B ⟹ f(A)⪯f(B).
Soit E l'ensemble des fonctions φ continues sur ]0, + ∞[, à valeurs dans ℝ^+, telles que ( s ↦ sφ(s) ) soit intégrable sur [0, 1] et φ soit intégrable sur [1, + ∞[. On définit une fonction L_φ : ℝ^+ → ℝ^+par:
L_φ(t) = ∫_0^(+ ∞)(st)/(1 + st)φ(s)ds
  1. Pour r ∈ ℝ, on pose φ_r(s) = s^(− r − 1). Pour quelles valeurs de r a-t-on φ_r ∈ E ? Exprimer alors, pour tout t > 0, L_(φ_r)(t) en fonction de L_(φ_r)(1).
  2. Soit s ≥ 0. On pose pour tout t ≥ 0, f_s(t) = 1 − 1/(1 + st). Exprimer f_s(A) lorsque A est une matrice symétrique positive.
  3. Montrer que f_s est matriciellement croissante sur ℝ_+.
  4. Pour toute matrice A ∈ S_n positive et toute matrice colonne X ∈ M_(n, 1), établir l'identité:
(L_φ(A)X|X) = ∫_0^(+ ∞)φ(s)(f_s(A)X|X)ds
  1. Montrer que, pour toute φ ∈ E, l'application L_φ est matriciellement croissante sur ℝ_+.
  2. Soient A et B deux matrices symétriques telles que 0⪯A⪯B. Comptetenu des questions précédentes, pour quelles valeurs du réel positif r, pouvez-vous montrer que A^r⪯B^r ?
FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Mines PSI 2006 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Mines PSI 2006 ?

Le sujet porte sur les matrices symétriques réelles, le théorème spectral et la réduction des endomorphismes, avec en fin de problème des intégrales généralisées.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 2 Mines PSI 2006 ?

L'oubli du théorème spectral, la confusion entre existence et unicité, des simplifications matricielles abusives et des inégalités matricielles manipulées comme des inégalités entre réels.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths 2 Mines PSI 2006 ?

Le rapport indique une moyenne de l'ordre de 7 sur 20, avec des notes bien étalées entre 0 et 20.

Pas de description pour le moment