Microcentrale hydraulique : conduite forcée, turbine Pelton et alternateur triphasé
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Le problème étudie une microcentrale hydraulique en trois parties indépendantes : l'écoulement de l'eau dans une conduite forcée reliée à un injecteur, le fonctionnement d'une turbine Pelton entraînée par le jet d'eau, puis la production de courant triphasé par l'alternateur couplé à la turbine. Il combine mécanique des fluides, mécanique en référentiel non galiléen et électromagnétisme.
1I. Conduite forcéeÉtude de la pression dans la conduite à l'aide de la relation de Bernoulli et des conditions évitant la cavitation.
2II. Étude de la turbine PeltonBilan de quantité de mouvement du jet d'eau sur les augets, dans le référentiel lié à la turbine, pour déterminer le couple et le rendement.
3III. Étude de l'alternateurDétermination des forces électromotrices induites, des courants triphasés dans le stator et de la puissance électrique fournie.
Difficulté moyenne. Le jury qualifie l'épreuve de longueur très raisonnable et a lu de très bonnes copies traitant la quasi-totalité du sujet avec rigueur, mais un manque de rigueur a fait obtenir des notes très basses à d'autres candidats ayant pourtant survolé le problème.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Hypothèse contradictoire de fluide au repos · Arguments juxtaposés sans hiérarchisation · Changement de référentiel mal justifié
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L'épreuve, de longueur raisonnable, a donné lieu à un contraste net entre de très bonnes copies rigoureuses et des copies se contentant de paraphraser l'énoncé. Le jury rappelle que rien ne remplace la connaissance du cours et que la rigueur du raisonnement est la première qualité attendue.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Hypothèse contradictoire de fluide au reposPartie I
De nombreux candidats supposent le fluide au repos dans la conduite forcée pour ensuite calculer la vitesse d'éjection de ce même fluide, donnée par ailleurs dans l'énoncé.
« les trop nombreux candidats qui font ici l'hypothèse d'un fluide au repos dans la conduite forcée »
2
Arguments juxtaposés sans hiérarchisation
Face à une question de comparaison de résultats, certains candidats énumèrent tous les arguments possibles sans choisir celui qui est pertinent, laissant le tri au correcteur.
« on propose au correcteur en vrac toutes sortes d'arguments, à lui de faire le tri »
3
Changement de référentiel mal justifiéPartie II
Le passage au référentiel lié à l'auget, nécessaire pour obtenir un écoulement permanent, est très mal justifié par la majorité des candidats.
« le changement de référentiel proposé par l'énoncé, très mal justifié par la majorité des candidats »
4
Absence de sens critique sur un résultat aberrantPartie II
Un candidat obtenant un rendement énergétique de 2 le qualifie de prometteur au lieu d'y voir une valeur physiquement impossible.
« avant de conclure qu'une telle valeur est prometteuse pour l'utilisation de l'appareil »
5
Oubli d'un facteur trois dans le calcul du facteur de puissancePartie III
Cette erreur, très fréquente, conduit un nombre impressionnant de copies à afficher un cosinus phi supérieur à 1 sans s'en étonner.
« la plus fréquente étant l'oubli d'un facteur trois »
6
Relation affirmée sans justification en électrocinétiquePartie III
Beaucoup de copies affirment la relation entre force électromotrice et impédance comme si elle était évidente, alors que la grandeur en jeu n'est pas la tension aux bornes de l'impédance.
« alors que ek n'était pas la tension aux bornes de l'impédance Zk »
Ce qui a été bien réussi
Le jury a eu le plaisir de lire un certain nombre de bonnes copies, traitant avec rigueur la quasi-totalité du sujet et obtenant logiquement de très bonnes notes.
Les candidats qui évoquaient en une phrase brève les pertes de charge, dans la partie I, recevaient logiquement tous les points prévus au barème pour cette question.
Conseils du jury
Apprendre et comprendre en priorité les résultats du cours, condition première de la réussite.
Ne négliger aucune question, en particulier les applications numériques et les questions de compréhension, à rédiger avec soin.
Commencer par une lecture complète de l'énoncé pour cerner la direction générale du problème.
Relire son propre travail question après question, puis de façon globale, en vérifiant l'homogénéité et le réalisme des résultats.
Donner un nombre de chiffres significatifs raisonnable et toujours indiquer l'unité dans les applications numériques.
Répondre aux questions qualitatives de façon précise, argumentée et appuyée sur la physique du problème.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2006
PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de la calculette est autorisé
Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
Notations : vecteur → A (gras); norme du vecteur V → V (italique); vecteur unitaire → a^.
ÉNERGIE HYDRAULIQUE
On étudie le principe de fonctionnement d'une microcentrale hydraulique. Ce type de centrale permet une production souple et une adaptation rapide en période de pointe.
L'épreuve comprend trois problèmes indépendants entre eux, et que l'on pourra traiter dans l'ordre de son choix.
Dans toute l'épreuve, exprimer signifie donner l'expression littérale et calculer signifie donner la valeur numérique.
Description
La centrale est alimentée par une conduite d'eau cylindrique de diamètre constant D, dite conduite forcée, issue du barrage (Fig. 1). La capacité de ce barrage est suffisamment importante pour que l'on considère l'eau qu'il contient comme immobile. L'extrémité aval de la conduite, notée A, est reliée à une tubulure de section décroissante, appelée injecteur.
L'axe vertical repérant l'altitude z est orienté vers le haut. L'altitude du point A est, par convention, nulle ; on note H la dénivellation entre la surface libre de l'eau et l'axe de l'injecteur et h la différence de niveau entre l'entrée de la
conduite et la sortie, en A (la différence de niveau entre la surface libre et l'entrée de la conduite est donc h^′ = H − h ). L'eau est considérée comme un fluide parfait, incompressible et de masse volumique μ; elle sort de l'injecteur à l'air libre, sous la pression atmosphérique P_0, supposée indépendante de l'altitude. Le jet est cylindrique d'axe horizontal et de section circulaire de diamètre D dans la conduite puis d dans l'injecteur. Ce jet frappe la turbine et l'anime d'un mouvement de rotation. On considère les écoulements comme permanents et irrotationnels. On néglige tout frottement. On néglige les variations avec l'altitude de l'accélération de la pesanteur g.
Fig. 1 - Retenue et conduite forcée pour installation hydroélectrique. L'injecteur, en A, est schématisé dans le rectangle en pointillés.
Données: P_0 = 10^5 Pa, g = 10 m.s^(− 2), D = 60 cm, H = 300 m et μ = 10^3 kg.m^(− 3).
I - Conduite forcée
◻1 - Dans cette question - et dans cette question seulement - on suppose que l'extrémité aval de la conduite n'est pas reliée à l'injecteur; l'eau sort à l'air libre
Montrer qu'au-delà d'une certaine altitude, à préciser, ce modèle de pression n'est plus applicable. Le phénomène qui intervient alors (cavitation) engendre toutes au point A. En justifiant l'utilisation de la relation de Bernoulli entre le point A et un point quelconque de la canalisation et en considérant la conservation du débit, exprimer la pression P_1(z) à l'intérieur de la conduite sous la forme
P_1(z) = P_0(1 − z/(z_0)), avec z_0 = (P_0)/(μg).
Calculer z_0.
La pression de vapeur saturante de l'eau à la température ambiante est P_(sat) ≈ 3 × 10^3 Pa.
sortes de perturbation (attaque des matériaux, bruits ...).
2 - Pour pallier cet inconvénient, on visse en A sur la partie finale horizontale de la conduite un injecteur (encart de la Fig. 1) de section décroissante et de diamètre de sortie d < D. Montrer que la vitesse en sortie de l'injecteur, notée c, est c = √(2gH) (relation de Torricelli). Calculer c.
Établir que la vitesse en A est V = (d/D)^2√(2gH).
乙 3 - Exprimer la pression P_2(z) à l'intérieur de la conduite munie d'injecteur. On admet que l'entrée de la conduite est pratiquement à l'altitude H. Montrer que les phénomènes de cavitation disparaissent dans toute la conduite si d est inférieur à un certain d_0 dont on établira l'expression en fonction de D, P_0, H, g et μ. Vérifier que d_0 ≈ 26 cm. ◻4 - Le diamètre de sortie de l'injecteur est d = 12 cm. La vitesse du jet mesurée en sortie de l'injecteur est c^′ = 74 m.s^(− 1). A quelle dénivellation, notée H^′, cette vitesse correspondrait-elle? Exprimer et calculer le coefficient de contraction C_c = (H^′)/H. Donner quelques raisons de l'écart à l'unité de ce coefficient.
. 5 - Exprimer et calculer le débit volumique q de l'injecteur sans pertes, puis le débit massique D_m (en litres par seconde) en fonction de d, de c et de μ. Exprimer et calculer la puissance cinétique réelle P_c du jet en sortie (énergie cinétique par unité de temps, pour la vitesse de sortie c^′ et le débit associé q^′ ).
-6 - Justifier que l'on nomme puissance potentielle la quantité P_(pot) = μqgH. Exprimer et calculer le rendement de la conduite η = (P_c)/(P_(pot)) en fonction de C_c.
II-Étude de la turbine Pelton
La turbine Pelton est constituée par une roue munie d'augets. Un auget Pelton est une sorte de double godet avec une cloison au milieu (penser à deux coquilles de noix contiguës), qui dédouble le jet en deux parties identiques (Fig. 2). Les deux parties s'écoulent latéralement. L'eau, en provenance d'un injecteur identique à celui du paragraphe précédent, est propulsée sur ces augets et met la roue en mouvement. La vitesse du jet d'eau, de section s = πd^2/4, est notée c = cx^. La section de chacun des deux demi-jets est s^′ = s/2. On néglige l'effet de la pesanteur sur les jets. ◻7 - Quel intérêt y a-t-il à dédoubler le jet qui heurte l'auget?
Le référentiel du laboratoire, {L}, est galiléen; on note {L^′} le référentiel lié à l'auget frappé par le jet. La Fig. 3 présente schématiquement les paramètres de fonctionnement d'une turbine Pelton. Le rayon R du rotor est suffisamment grand
pour que l'on puisse assimiler le déplacement des augets, dans {L}, à une translation suivant l'axe Ox dans la zone d'action du jet. Sous l'action du jet, de l'air et de la force du bâti, l'auget se déplace donc à la vitesse uniforme u = ux^.
Fig. 2 - A gauche : auget Pelton, injecteur et turbine ; à droite : portion de turbine.
Fig. 3 - Portion de roue et un auget ; les vitesses sont représentées dans {L} ; Dans le référentiel lié à l'auget, la vitesse du jet incident serait c − u.
8 - Justifier que l'écoulement est permanent dans {L^′}. Exprimer, dans {L^′}, d'une part la vitesse du jet incident, notée c_(inc)^′, d'autre part celle des jets déviés dans la direction opposée à celle du jet incident, notée c_d^′. On suppose bien entendu que la puissance du jet est conservée. Quel est le sens physique de la quantité D_m^′ = μs(c − u) ? ◻9 − En considérant un système fermé Σ de fluide, évaluer dans {L^′}, la variation de quantité de mouvement dp^′ du fluide entre les instants t et t + dt, en fonction de (c − u), s, μ et dt. En déduire la composante selon Ox de la force F_b du bâti sur l'auget en fonction de c, u, μ et du débit volumique Q^′ du jet dans {L^′}; remarquer que Q^′ = q^′ de la question 5 , débit réel. ◻10 − Et maintenant, une subtilité : si l'auget était unique, une partie de la puissance du jet serait perdue en raison de l'éloignement de l'injecteur et du volume croissant du jet ; en réalité, placé sur le bâti en rotation, l'auget en question est remplacé par l'auget suivant et tout se passe comme si les augets étaient placés à distance fixe de l'injecteur ... tout en se déplaçant à la vitesse u. Pour exprimer le couple Γ du jet sur le rotor, il est donc acceptable de remplacer Q^′ par Q. Exprimer Γ dans ces conditions. ◻11 - Déterminer la puissance mécanique P reçue par le rotor dans {L}. Le jet apporte une puissance cinétique P_c = 1/2μqc^2 (cf. question 5); définir et calculer le rendement η_(rot) de la turbine en fonction de c et u. Pour quelle valeur de u/c le rendement est-il maximum? Calculer ce rendement maximum. ◻12 - Quelle est alors, pour ce rendement maximal, la vitesse c_s de sortie de l'eau dans le référentiel {L} ? En déduire la puissance cinétique de l'eau sortant de la turbine. Commenter le résultat obtenu d'un point de vue énergétique.
Photo 1 - Une roue grandeur nature.
◻13 - Le rotor tourne à la vitesse angulaire de 750 tours par minute et la vitesse de sortie du jet vaut c = 74 m.s^(− 1). Calculer le rayon R du rotor pour atteindre le rendement maximum. Le résultat est-il réaliste ? Pour un débit de 1500 litres par seconde, calculer la puissance maximale P_(max). ◻14 − Le rendement réel de la turbine est égal à 0,87 . Calculer la puissance réelle P de la turbine. Quelles sont les raisons permettant d'expliquer pourquoi on n'atteint pas le rendement maximum?
III- Étude de l'alternateur
La turbine, dont les caractéristiques sont identiques à celles de la partie II, entraîne le rotor d'un alternateur à la vitesse angulaire Ω = 750 tours par minute (f = 12, 5 Hz). Ce rotor est assimilé à une bobine
alimentée par un courant continu I créant un champ magnétique tournant bipolaire (deux pôles magnétiques). Le stator est constitué de trois enroulements identiques E_1, E_2 et E_3 décalés l'un par rapport à l'autre de (2π)/3. On note u^_i(i = 1, 2, 3) le vecteur unitaire de l'axe porté par la bobine n^∘i. On admet que le flux de B à travers chacune des trois bobines
est sinusoïdal : Φ_i(t) = Φ_0 cos(Ωt − θ_i), avec θ_1 = 0.
Le champ B est donc dirigé selon u^_1, porté par l'axe Ox à l'instant initial t = 0. La convention d'orientation des bobines du stator est définie par les vecteurs u^_i correspondant à Φ_0 positif. ◻15 - Déterminer les forces électromotrices e_1(t), e_2(t) et e_3(t) dans les trois enroulements. Exprimer leur valeur efficace commune E en fonction de Φ_0. ◻16 - À quelle vitesse angulaire Ω~ le rotor devrait-il tourner pour que l'on puisse coupler directement cet alternateur au réseau EDF ? Montrer que cela est hors de question, ne serait-ce que parce que la vitesse de translation de chaque auget serait supérieure à la vitesse de l'eau du jet.
Fig.4-Stator de l'alternateur, ; la phase à t = 0 du flux traversant la bobine i est θ_i = 2π(i − 1)/3.
17 -Quelle modification faudrait-il apporter au rotor, de taille donnée, pour réaliser le couplage avec le réseau? ◻18 - Les trois enroulements ont une borne commune N, appelée neutre (Fig. 5). Les trois autres bornes, appelées phases, sont reliées par des fils identiques de résistance R_F à une charge formée de trois impédances identiques Z_c_– montées en étoile. L'impédance équivalente à l'association série ( R_F, Z_c_– ) est notée Z_– = Z_c_– + R_F = Z_0 exp(jφ). Le neutre est relié au centre O de l'étoile par un fil de résistance R_R. On suppose d'abord que R_F est négligeable. Exprimer en notation complexe les intensités i_1_–, i_2_– et i_3_– dans chacune des impédances. En déduire l'expression du courant i_N(t) dans le fil ON. Quel est l'avantage de ce montage par rapport à un montage où les impédances seraient reliées indépendamment à chaque enroulement (sans neutre) ?
Fig. 5 - Symboles et conventions pour enroulement et charge triphasés.
19-On ne néglige plus la résistance R_F. Exprimer les relations liant chacune des intensités i_1_–, i_2_– et i_3_– à Z_– et à R_F. En déduire la nouvelle expression de i_N(t). Commenter le résultat et exprimer les courants i_1(t), i_2(t) et i_3(t) dans chacune des phases.
20 - Exprimer la puissance électrique moyenne P_(e˙l) fournie par l'alternateur, en fonction de E, Z_0 et φ. La turbine fournit une puissance de 3, 5 × 10^6 W, le rendement de l'alternateur est égal à 0, 95, E = 5000 V et Z_0 = 18Ω; calculer le cos(φ).
21 - Chaque bobine i induit au niveau du rotor le champ magnétique uniforme : B_i = αi_i(t)u^_i, où α est une constante positive. Exprimer le champ magnétique résultant B_(ind), en séparant les calculs des composantes selon u^_x et selon u^_y. Quelles sont les caractéristiques de ce champ magnétique (axe, sens et vitesse angulaire de la rotation) ? Exprimer en particulier l'angle qu'il fait avec le champ magnétique B du rotor. ◻22 − La bobine du rotor peut être représentée par son moment magnétique M = Mu^. Préciser la direction de ce moment magnétique. Exprimer le couple Γ_(rot) exercé par le champ magnétique induit sur la bobine. Exprimer la puissance P_(rot) reçue par le rotor. En considérant un bilan de puissance, retrouver que la puissance électrique est proportionnelle à (E^2)/(Z_0)cos(φ).
FIN DU PROBLÈME
FIN DE L'ÉPREUVE
Figures originales du premier brevet Pelton (1889)
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 PSI Mines 2006 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 PSI Mines 2006 ?
+
Le sujet porte sur la relation de Bernoulli et la cavitation dans une conduite forcée, les bilans de quantité de mouvement appliqués à une turbine Pelton, et l'induction électromagnétique dans un alternateur triphasé.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique 1 PSI Mines 2006 ?
+
Le jury signale une hypothèse contradictoire de fluide au repos, un changement de référentiel mal justifié pour la turbine Pelton, l'oubli d'un facteur trois dans le calcul du facteur de puissance, et des relations électriques affirmées sans justification.
Ce sujet de physique 1 PSI Mines 2006 est-il difficile ?
+
Le jury le juge de longueur raisonnable et a lu de très bonnes copies traitant tout le sujet avec rigueur, mais beaucoup de candidats ont obtenu des notes basses par manque de rigueur plutôt qu'à cause de la difficulté du contenu.
Le sujet de physique 1 PSI Mines 2006 est-il un bon entraînement sur les bilans de quantité de mouvement ?
+
Oui, la partie sur la turbine Pelton demande un bilan de quantité de mouvement en système ouvert après changement de référentiel, ce qui en fait un bon exercice sur ce point du programme.
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Commentaires• Mines Physique 1 PSI 2006
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