Mines Physique 1 PSI 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

CONCOURS D'ADMISSION 2005
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

(Durée de l'épreuve : 3 heures; l'emploi de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I -PSI
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 6 pages.

Les trois parties de ce problème sont largement indépendantes. La première partie concerne les non-linéarités du circuit magnétique, la deuxième partie concerne le fonctionnement proprement dit du transformateur chargé par un montage redresseur et la troisième partie, proche du cours, concerne des aspects énergétiques.
Les notations principales et des valeurs numériques utiles sont indiquées dans les tableaux en fin d'énoncé (page 6). La perméabilité magnétique du vide vaut μ_0 = 4π × 10^(− 7)H.m^(− 1).

Ce problème porte sur l'étude de transformateurs utilisés en régime permanent en électronique de puissance, tels que représenté à la figure 1, page 2. Le circuit est constitué de quatre tronçons ( 1, 2, 3 et 4) d'un matériau ferromagnétique ; ces tronçons sont séparés par quatre entrefers identiques, de longueur e. Les tronçons 1 et 3, de même section S_1, sont entourés par des bobinages, qualifiés de «primaire» pour le tronçon 1 et de «secondaire» pour le tronçon 2 ; ces tronçons sont parcourus par des courants d'intensités respectives i_p et i_s. La section commune des tronçons 2 et 4 est notée S_2. La caractéristique b(h) idéalisée dans le matériau magnétique est représentée figure 2. Elle est symétrique par rapport au point O , linéaire pour |h| ≤ H_(sat) et affine pour |h| ≥ H_(sat) Le régime saturé commence dès que
|h| ≥ H_(sat). On note h_e et b_e les grandeurs magnétiques usuelles au niveau des entrefers. On néglige les pertes par hystérésis et par courants de Foucault. Les autres hypothèses d'étude sont les suivantes :

1 - La conservation du flux du champ magnétique entraîne d'une part l'égalité b_1 = b_e, d'autre part une relation entre b_1, b_2, S_1 et S_2. Donner cette dernière relation.
◻2 - Déduire du théorème d'Ampère la relation liant h_1|_1, h_2|_2, eh_e et ε = N_p i_p − N_s i_s. Dans la suite, la grandeur ε sera nommée force magnétomotrice du circuit.

3 - Sachant que le tronçon 1 commence à se saturer pour b = B_(sat) = B_(sat)^((1)), donner l'expression et la valeur numérique de b = B_(sat)^((2)) pour lesquels le tronçon 2 commencera à se saturer lui aussi. Que représente le rapport A = (B_(sat))/(H_(sat)) = (1, 2)/(600) = 2 × 10^(− 3) T.m.A ^(− 1) ?
◻4 - Donner, en fonction de A, I_1, I_2, e, S_1, S_2, μ_0 et φ = b_1 S_1, l'expression littérale de ε en régime non saturé (0 ≤ b ≤ B_(sat)^((1))). Cette expression définit R par ε = Rφ; R est appelée réluctance équivalente à l'ensemble du circuit magnétique lorsque celui-ci n'est pas saturé, Vérifier que R s'exprime en H^(− 1) (inverse de henry) et calculer sa valeur numérique.
◻5 - On suppose ici que B_(sat 1) ≤ b ≤ B_(sat 2); préciser l'état de saturation de chacune des parties. Lorsque |h| ≥ H_(sat), on pose b = Ch + D. Préciser les dimensions res pectives de C et D. Donner l'expression littérale de ε en fonction de φ. Les valeurs numériques des constantes C et D se déduisent des données de la Fig. 2 et l'on trouve ε ≈ 1, 06 × 10^6 φ − 4860.
◻6 - On suppose maintenant que b ≥ B_(sat2). Donner l'expression littérale de ε(φ). Numériquement, on trouve ε ≈ (1, 60 × 10^6)φ − 8370.
◻7 - Quelle est, formellement, l'analogie électrocinétique de la caractéristique φ(ε) ? tra-
cer sommairement cette caractéristique pour |ε| ≤ 8 × 10^(− 3) Wb. Rassembler dans le même tableau les relations numériques ε(φ) et φ(ε) correspondant aux trois états de saturation du circuit magnétique. Préciser les valeurs numériques des coordonnées des points anguleux de cette caractéristique. On les notera ± ε^((1)), ± φ^((1)), ± ε^((2)) et ± φ^((2)).

◻8 − On pose φ = − φ_(max)cos(ωt) = − φ_(max)cos(θ), où φ_(max) = 8, 0 × 10^(− 3) Wb et θ = ωt. On ouvre le circuit de l'enroulement secondaire, de sorte que i_s = 0. La figure ci-contre donne la courbe «à vide» i_p = i_(pv)(θ) pour 0 ≤ θ ≤ π. Cette courbe se déduit de la courbe φ = φ(θ), compte-tenu de l'état de saturation du circuit. La construction graphique est représentée sur la Fig. 4a, l'arche de sinusoïde φ(θ) est en trait d'épaisseur constante et i_p(θ) est en traits d'épaisseur variable.
Expliquer cette construction et donner l'allure de i_p = i_(pv)(θ) pour 0 ≤ θ ≤ 2π.
et en ordonnée i(A) et φ( en mWb).
◻9 - Le flux φ est toujours donné par son expression de la question 8 . L'évolution de i_s(θ) est représentée Fig. 4b (signal rectangulaire). L'allure de i_(pv)(θ) est rappelée. Représenter l'allure générale de i_p(θ) pour 0 ≤ θ ≤ 2π en expliquant votre construction.

Les enroulements primaire et secondaire d'un transformateur possèdent respectivement N_p et N_s spires, dont on négligera la résistance. On nomme φ le flux dans une section S du circuit magnétique sur lequel ces spires sont bobinées. La caractéristique idéale du circuit magnétique ε(φ), représentée cicontre, est définie par les relations

où ε = N_p i_p − N_s i_s, a = 91, 0 × 10^3 H^(− 1), c = 2, 14 × 10^6 H^(− 1) et d = 10, 7 × 10^3 A.

Le transformateur alimente un montage redresseur (Fig. 5a) imposant un courant secondaire i_s de valeur moyenne dans le temps I_(s, moy) non nulle. L'interrupteur à semi-conducteur T_1 est idéalisé (Fig. 5b) : chute de tension u nulle à l'état pas sant, courant de fuite i nul à l'état bloqué. L'enroulement primaire est alimenté par une source de tension sinusoïdale v_p(t) = √2V_p sin(ωt).
On constate que la valeur moyenne dans le temps de φ, Φ_(moy), n'est pas nulle et l'on relève expérimen-

10 - Quelle est la valeur moyenne, I_(p, moy), du courant primaire?
11 - Exprimer ε_(moy), valeur moyenne de ε, en fonction de I_(s, moy).
◻12 - Sachant que φ(t_1) = − Φ_(sat) pour θ_1 = ωt_1 = π/3, calculer Φ_(moy) et Φ_a.
◻13 - Établir les expressions littérales de ε(t) pour 0 ≤ ωt ≤ 2π, en fonction de a, c, d, Φ_(moy) et Φ_a.

14 - Exprimer ε_(moy) en fonction de Φ_(moy), Φ_(max) et θ_1; numériquement, on trouverait que ε_(moy) est de l'ordre de (et inférieur à ) -1500 A . Donner l'expression et la valeur numérique de I_(s, moy), en convenant que ε_(moy) = − 1500 A.

15 - L'interrupteur commandé est passant pour π/6 ≤ ωt ≤ π. Donner la valeur numérique de I_(s, max).

On précise ici quelques-unes des propriétés énergétiques du circuit magnétique. La tension appliquée au primaire du transformateur est sinusoïdale : v_p(t) = V_p√2cos(ωt).

16 - Expliquer pourquoi le flux φ dans le circuit magnétique est lui aussi sinusoïdal.
17 - Le transformateur est refermé sur une charge résistive. Que peut-on dire, dans ces
conditions, sur le courant secondaire i_s ? Le courant primaire est-il sinusoïdal ?
18- Donner l'expression générale de la puissance instantanée absorbée par le transformateur. Montrer que la valeur moyenne de la puissance fournie ne fait intervenir que l'harmonique d'ordre 1, appelée fondamentale, du courant primaire.

19 - Le circuit secondaire du transformateur est ouvert. Il n'y a ni perte par hystérésis ni perte joule, ni perte par courant de Foucault. Quelle est dans ce cas la puissance absorbée par le transformateur ? Quel est le déphasage entre la tension primaire et l'harmonique 1 du courant primaire?

20 - Une caractéristique b(h) du milieu magnétique est représentée ci-contre, en unités relatives. Préciser les notions de champ coercitif et d'aimantation rémanente. Quel est l'ordre de grandeur de la valeur minimale du champ coercitif dans un matériau dit dur ? Faut-il, pour un transformateur, préférer un fer dur ou un fer mou? Pour quelle raison?
Remarque : le cycle ci-dessus est représenté par B = μ_0[μ_r H ± a(H_m^2 − H^2)], avec μ_r = 1000.

On considère désormais que les pertes énergétiques ne sont plus négligeables, c'est-à-dire que l'on tient compte des pertes fer et des pertes joule. La puissance nominale du transformateur est de 2, 2kVA.

On applique au primaire du transformateur sa tension nominale V_p = 230 V. La valeur efficace du courant appelé au primaire est I_p = 1 A; la puissance mesurée est P_(10) = 80 W.
21 - À quoi correspond cette puissance fournie au transformateur? Quel est le déphasage entre l'harmonique 1 du courant primaire et la tension appliquée au primaire ?

On applique au primaire une tension V_(pcc) (tension primaire de court-circuit) telle que le courant secondaire I_(scc) soit égal à la valeur nominale du courant que peut débiter le transformateur. Dans ces conditions, la tension au primaire est nettement plus faible que la tension nominale de fonctionnement. La puissance fournie au primaire est P_(1cc) = 75 W.

22 - À quoi correspond cette puissance fournie au primaire du transformateur?

23 - Dans les conditions nominales de fonctionnement, on fournit à la charge une puissance P_2 = 2 kW. Déduire de l'ensemble des résultats précédents le rendement du transformateur dans les conditions de l'essai réalisé.

Fin du problème
Fin de l'épreuve