Mines Physique 2 PSI 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

A2018 - PHYSIQUE II PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2018

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

PHYSIQUE II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude d'un transducteur électrodynamique

Figure 1 - Schéma du haut parleur électrodynamique

I. - Calcul du champ magnétique dans l'entrefer

• 2 - Le matériau ferromagnétique dans lequel l'aimant permanent a été inséré est un matériau doux de très haute perméabilité. Qu'appelle-t-on milieu magnétique linéaire? Définir la perméabilité relative μ_r d'un milieu linéaire. Quelle est son unité? Que peut-on dire de l'excitation magnétique dans un modèle où μ_r est infinie?

Figure 2 - Circuit magnétique

• ℓ_a : longueur de l'aimant selon x^′ x;
• S_a : section droite de l'aimant orthogonale à x^′ x avec S_a = π(ρ^(′2) − ρ^2);
• e : épaisseur de l'entrefer compris entre les rayons a et b = a + e;
• ℓ_e : hauteur de l'entrefer selon x^′ x.

• 3 - Comment se nomment H_1 et M_1 ? Les trois vecteurs B⃗_a, H⃗_a et M⃗_a étant parallèles, tracer le cycle B_a(H_a) correspondant. Quelles sont les valeurs du champ magnétique B_a possibles lorsque H_a = 0 ? Comment se nomment-elles? Expliquer comment est décrit ce cycle selon les variations de H_a. Peut-on définir une perméabilité magnétique relative pour ce matériau? Donner la re-

Figure 3 - Cycle M_a(H_a)

Figure 4 - Tracé des lignes de champ du champ magnétique obtenues par résolution numérique

• 4 - Comment se comportent les lignes de champ à l'interface du matériau ferromagnétique constituant le circuit magnétique et l'air? Montrer que ce comportement est compatible avec les conditions de passage que doivent satisfaire H⃗ et B⃗ en tous points de la surface séparant l'air et le matériau ferromagnétique.

• 5 - En analysant les lignes de champ représentées en figure 4, justifier que l'on peut considérer que ce flux se conserve dans le circuit magnétique. Établir une relation entre φ_0 et B_a puis entre φ_0 et B_e. En déduire la relation, notée (2), entre B_a, B_e et des paramètres géométriques du problème.
  On considère la ligne de champ magnétique ( L ) représentée en figure 2 . Au vue de la faible épaisseur de l'entrefer, on considérera que la composante radiale du champ magnétique s'écarte très peu de la valeur B_e. On note H⃗_a = H_a uˆ_x, l'excitation magnétique uniforme dans l'aimant et H⃗_e = H_e uˆ_r celle dans l'entrefer.
  ◻6 - En appliquant le théorème d'Ampère au contour formé par la ligne ( L ), établir la relation, nommée (3), entre H_a, H_e et des paramètres géométriques du problème.
  ◻7 - À l'aide des relations (1), (2) et (3) exprimer B_a en fonction de M_1 et des paramètres géométriques. Calculer le valeur numérique de B_a. On donne 16π ≃ 50.
  ◻8 - Établir de même l'expression du champ magnétique B_e dans l'entrefer puis calculer sa valeur numérique.
• 9 - Quelle condition doit satisfaire la valeur de H_1 pour que l'aimant puisse atteindre son point de fonctionnement nominal?

FIN DE LA PARTIE I

II. - Equations mécanique et électrique dans le cadre d'un modèle linéaire

Figure 5 - Orientation du courant i(t) dans une spire de la bobine

• 11 - Rappeler l'expression la plus générale de la force électromagnétique de Laplace s'exerçant sur un conducteur filiforme de longueur ℓ parcouru par un courant d'intensité i(t). En déduire l'expression de la force de Laplace F⃗_L s'exerçant sur la bobine. On posera 2πNR_b = ℓ.
• 12 - Établir l'équation différentielle reliant x(t) et i(t), nommée (4), traduisant la loi de la résultante dynamique appliquée à l'équipage mobile projetée sur uˆ_x. Le poids sera supposé orthogonal à uˆ_x.
  On désigne par e la force électromotrice totale induite dans le circuit de la bobine. On désigne par u, la tension d'alimentation de la bobine telle que le couple ( u, i ) soit en convention récepteur et par R, la résistance électrique du bobinage.
• 13 - Justifier brièvement l'existence d'une force électromotrice induite dans le circuit de la bobine. On rappelle que la loi d'Ohm généralisée appliquée au circuit de la bobine s'écrit, avec les conventions précédemment définies, u = Ri − e.

• 14 - Pour une évolution élémentaire du système constitué par le haut-parleur entre t et t + dt, on note δW_(em) = − ei dt, l'opposé du travail de la force électromotrice d'induction, δW_L = F_L x˙ dt, le travail de la force de Laplace et dE_(em) la variation d'énergie électromagnétique. En supposant que la température du système reste constante, proposer un bilan d'énergie permettant d'établir la relation δW_(em) = δW_L + dE_(em), nommée relation (5).
• 15 - En déduire l'expression de la force électromotrice d'induction. Déterminer alors l'équation électrique, nommée (6), traduisant la loi d'Ohm généralisée appliquée au circuit et reliant i, u, x˙, R, L, ℓ et B_e. On se place désormais en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω. On note x_–, la représentation complexe de x(t), u_–, celle de u(t) et i_–, celle de i(t). Traduire les deux equations (4) et (6) en représentation complexe en utilisant les seules variables u_–, i_–, x_– et les paramètres ω, ℓ, L, R, h, K, m et B_e. On notera ( 4^′ ) et ( 6^′ ) les deux nouvelles équations en représentation complexe.

Figure 6 - Schéma électrique équivalent (à droite) et réponse en fréquence (à gauche)

• 16 - En justifiant les approximations effectuées, déterminer par le calcul la valeur de la fréquence f_0 pour laquelle |Z_–| est maximale. On donne √(2.10^5) ≃ 450.

FIN DE LA PARTIE II

III. - Influence du rayonnement du haut-parleur

III.A. - Champ rayonné par une sphère pulsante

• 18 - Calculer numériquement la célérité des ondes acoustiques dans l'air à la pression p_0 = 1 bar et à la température T_0 = 300 K. Calculer la longueur d'onde λ de l'onde acoustique lorsque la fréquence vaut f = 200 Hz. On rappelle que la masse molaire de l'air vaut 29 × 10^(− 3) kg ⋅ mol^(− 1) et on prendra pour la constante des gaz parfait R = (25)/3 J ⋅ mol ⋅ K^(− 1). On rappelle que √3 ≃ 1, 73.

• 19 - En régime sinusoïdal établi à la pulsation ω, on exprime la représentation complexe de la pression sous la forme p_–(r, t) = (A_1)/rexp{j[ωt − k(r − R_0)]}, où A_1_– est une constante complexe et k une constante réelle. Quelle condition doit satisfaire k pour que p_–(r, t) soit solution de l'équation de d'Alembert?
• 20 - En utilisant l'équation d'Euler linéarisée, établir la relation (7) entre la représentation complexe v_–(r, t) de v(r, t), p_–(r, t), k, r, ω et ρ_0. En déduire l'expression de l'impédance acoustique définie par Z_a_– = p_–_– et commenter ses propriétés.
  ◻21 - En écrivant la continuité de la vitesse en r = R_0, déterminer l'expression de A_1_– en fonction de Q_0, ρ_0, ω, k et R_0. En déduire l'expression complète de p_–(r, t). On modélise une source sonore ponctuelle, nommée monopôle, comme une sphère pulsante de rayon R_0≪λ. Montrer que le champ de pression rayonné par un monopôle situé en O s'écrit :

• 22 - Exprimer la représentation complexe v_–(r, t) de la composante radiale du champ de vitesse de l'onde rayonnée par un monopôle situé en O. Vérifier que l'on peut écrire V_–→ = − grad[Φ_–(r, t)], où Φ_–(r, t) = (Q_0)/(4πr)exp[j(ωt − kr)] se nomme le potentiel complexe du champ des vitesses.

III.B. - Champ rayonné par un disque de rayon R_d encastré dans un plan rigide infini

Figure 7 - Décomposition du disque en monopôles

Figure 8 - Variations du facteur de directivité D en fonction de u

• 23 - On dit que la source constituée par le disque encastré est directive alors que celle constituée par un monopôle ne l'est pas. Expliquer pourquoi chacune de ces deux sources revêt ou non un caractère directif.

Figure 9 - Parties réelle et imaginaire de l'impédance de rayonnement réduite

III.C. - Puissance rayonnée par un haut-parleur en enceinte close

Figure 10 - Enceinte close

• 27 - Montrer que la prise en compte de F_i_– dans la relation (4') de la partie II revient à rajouter à la constante de raideur K un terme supplémentaire K_i, indépendant de ω, dont on calculera la valeur pour V_0 = 0, 05 m^3, R_d = 10 cm et en prenant π^2 ≃ 10. Quelle est l'influence de K_i sur la courbe de la partie gauche de la figure 6 ? On calculera la nouvelle fréquence f_1 pour laquelle |Z_–| est maximale.

• pour f < f_2, r_(ra) ≃ κ_1 ω^2 avec κ_1 = cste;
• pour f > f_2, r_(ra) ≃ κ_2 avec κ_2 = cste .
  28 - Pour R_d = 10 cm et à l'aide de la figure 9 proposer une valeur de f_2.
• 29 - Déterminer le domaine de fréquences où l'impédance électrique R + jLω de la bobine est assimilable à sa résistance.
• 30 - En assimilant l'impédance électrique de la bobine à sa résistance, exprimer v_– en fonction de u_–, ω et des paramètres utiles. On posera K_1 = K + K_i.
• 31 - L'amplitude de la tension u_– est constante. Pour chacun des deux diagrammes représentant 10log(|v_–|^2) et 10log(r_(ra)) en fonction de log(f), déterminer la pente des asymptotes ainsi que la fréquence de coupure correspondant au changement de pente.
• 32 - Déduire de la question précédente l'allure du diagramme asymptotique des variations de 10log(P_(ra)) en fonction de log(f). On ne cherchera pas à calculer des valeurs particulières de la grandeur portée en ordonnée, mais on précisera uniquement les pentes des asymptotes et les fréquences de coupure correspondant aux changements de pente. En déduire la bande passante dans laquelle le haut-parleur fonctionne correctement.

FIN DE LA PARTIE III

Données numériques et formulaire

FIN DE L'ÉPREUVE