La mission spatiale Rosetta : orbite de la comète, chevelure et motorisation de la foreuse de Philae
Afficher ou masquer la section
Le sujet s'appuie sur la mission Rosetta. Une première grande partie étudie la trajectoire de la comète (lois de Kepler, énergie potentielle effective) puis sa chevelure et sa queue (pression de radiation, effet Poynting-Robertson). Une seconde grande partie porte sur le moteur synchrone de la foreuse du robot Philae et sur sa commande par modulation de largeur d'impulsion, analysée à l'aide des séries de Fourier. La calculatrice était interdite.
1Partie I : étude de la comète 67P Churyomov-GerasimenkoTroisième loi de Kepler, moment cinétique et planéité de la trajectoire, énergie potentielle effective, excentricité, loi des aires et assistance gravitationnelle (Q1 à Q7).
2Partie II : chevelure et queue de la comètePression de radiation et vecteur de Poynting, rayon critique d'un grain, puis effet Poynting-Robertson et temps de chute d'un grain vers le Soleil (Q8 à Q15).
3Partie III.A : essais préalables du moteur synchroneModèle d'une phase de l'induit, diagramme vectoriel, détermination de l'inductance, puissance et couple électromagnétique (Q16 à Q22).
4Parties III.B à III.D : commande MLI de l'onduleurChronogrammes d'une commande MLI simplifiée, valeur efficace, spectre de Fourier, élimination d'un harmonique et technique de surmodulation (Q23 à Q32).
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Planéité de la trajectoire par raisonnement circulaire · Vecteur de Poynting mal défini · Diagramme vectoriel de la machine synchrone
Afficher ou masquer la section
Le sujet comporte huit parties indépendantes, chacune très progressive, et de nombreuses questions classiques comme la loi de Kepler ou le moteur synchrone. La plupart des candidats l'ont traité dans l'ordre, les plus rapides abordant toutes les parties. Les neuf applications numériques, sans calculatrice, ont été valorisées mais souvent mal réussies faute de savoir estimer un ordre de grandeur à la main.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Planéité de la trajectoire par raisonnement circulaireQ1 à Q7
Le théorème du moment cinétique est attendu pour justifier que la trajectoire est plane. Supposer implicitement la trajectoire plane en passant en coordonnées polaires pour conclure qu'elle est plane ne vaut rien. La démonstration de la troisième loi de Kepler est rare.
2
Vecteur de Poynting mal définiQ8 à Q15
Une part notable des candidats ignore ou se trompe sur la définition du vecteur de Poynting et reste imprécise sur le sens de son flux. Les valeurs de α et β sont souvent données sans justification.
« ne connaisse pas ou se trompe sur la définition du vecteur de Poynting »
3
Diagramme vectoriel de la machine synchroneQ16 à Q22
Peu de candidats savent utiliser le diagramme vectoriel pour calculer l'inductance en respectant les déphasages, alors qu'il est au programme dès la première année. La notation complexe a aussi donné lieu à de nombreuses erreurs.
« peu de candidats maîtrisent le diagramme vectoriel et son utilisation pour le calcul de l’inductance »
4
Composantes de FourierQ23 à Q32
Beaucoup de candidats ignorent la notion de composante de Fourier, placent mal l'abscisse du spectre ou ne savent pas linéariser un produit de cosinus pour obtenir les composantes.
« beaucoup de candidats ne connaissent pas les notions de composante de Fourier »
5
Applications numériques sans calculatrice
Beaucoup ne savent pas estimer à la main un résultat avec un chiffre significatif. Un résultat numérique en physique ne doit pas être laissé sous forme de fraction.
« nombreux sont incapables d’effectuer à la main une évaluation numérique avec un chiffre significatif »
6
Homogénéité non vérifiée
Le jury relève des réponses clairement inhomogènes, dues à des erreurs de calcul qu'une simple vérification aurait détectées.
« des réponses manifestement inhomogènes en raison d’une erreur de calcul facilement détectable »
Ce qui a été bien réussi
La présentation des copies a souvent été soignée.
La troisième loi de Kepler et la loi des aires sont généralement connues.
Les questions faciles de la partie sur la commande MLI (Q23 à Q32) ont souvent été bien traitées.
Les candidats ont en général repéré que les questions faciles ne se trouvaient pas seulement en début de partie.
Conseils du jury
S'entraîner à évaluer à la main des ordres de grandeur, par exemple une puissance de 10 non entière ou un quotient par racine de 2.
Justifier par au moins une phrase les résultats, même pour les questions simples.
Vérifier systématiquement l'homogénéité des expressions obtenues.
Bien connaître le cours pour répondre aux questions faciles, qui ne sont pas les moins bien notées.
Privilégier un schéma clair à une longue explication.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
PHYSIQUE II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Abstract
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
La mission spatiale Rosetta
Ce sujet propose de revenir sur l'exploit réalisé par l'Agence Spatiale Européenne lors de l'accomplissement de la mission Rosetta. Cette mission consistait à rejoindre la comète 67P Churyomov Gerasimenko (rebaptisée Churry à cette occasion) sur son orbite à plusieurs centaines de millions de kilomètres de la Terre. Une fois sur place la sonde devait étudier l'environnement de Churry en se satellisant autour d'elle. Une fois ce premier exploit réalisé le 6 août 2014, la sonde Rosetta devait envoyer un robot, nommé Philæ, pour qu'il se pose sur la comète et réalise une étude in situ. Ce robot a réussi à se poser sur la comète le 12 novembre 2014, il a ensuite réalisé sa mission de façon quasinominale pendant 3 jours dans des conditions physiques extrêmes. Il a ensuite transmis les données recueillies vers Rosetta toujours en orbite autour de Churry. Rosetta les a ensuite envoyées vers la Terre où nous les avons reçues quelques dizaines de minutes plus tard.
La réalisation complète de cette mission aurait pu être présentée comme un exploit retentissant de la conquête spatiale, n'ayant rien à envier aux premiers pas de l'homme sur la Lune. Cependant, le fait que Philæ se soit posé de façon peu stable, le traitement médiatique de ce genre d'évènement, et bien d'autres facteurs plus complexes, n'ont pas permis de se rendre compte de l'incroyable performance scientifique réalisée à l'occasion de cette mission.
Ce sujet revient sur différents aspects de la problématique associé à cette mission. La première partie consiste en l'étude des propriétés orbitales de Churry, la seconde partie consiste en une étude de l'environnement des comètes du type de Churry et notamment de sa chevelure et de sa queue. La dernière partie est une étude technique de la motorisation de la foreuse de Philæ. Ces trois parties sont totalement indépendantes.
Les résultats numériques des calculs seront des ordres de grandeurs ne possédant au plus qu'un seul chiffre significatif. Les valeurs numériques utiles sont rassemblées en fin d'énoncé. Hormis le nombre j tel que j^2 = − 1, les grandeurs complexes sont soulignées. Une quantité surmontée d'un point désigne la dérivée temporelle de cette quantité : r˙ = (dr)/(dt).
I. - Etude de la comète 67P Churyomov - Gerasimenko
La comète étudiée s'appelle Churyomov - Gerasimenko, du nom des scientifiques ukrainiens M. Churyumov, l'utilisateur du télescope, et Mme Gerasimenko, la comparatrice d'images, qui l'ont codécouverte en 1969. Cette comète mesure entre 3 et 5 km de diamètre et tourne sur elle-même en une douzaine d'heures. Voilà à peu près tout ce que l'on savait sur la comète objet de Rosetta et Philae. Les estimations sur sa masse, varient, quant à elles, d'un facteur 10 et sa forme exacte restera un mystère jusqu'en juillet 2014 date de la première photo envoyée par Rosetta. Le noyau de la comète n'a pu être observé que depuis la Terre (le Very Large Telescope au Chili en lumière visible ou proche infrarouge) ou les satellites tournant autour de la Terre (Hubble en lumière visible, Spitzer en moyen infrarouge). De ces observations ont été tirées des courbes de lumière qui, elles-mêmes, ont permis de déterminer quelques unes de ses caractéristiques. ◻1 - En appliquant le principe fondamental de la mécanique à une comète de masse m en orbite circulaire de rayon R autour du Soleil, retrouver la 3^e loi de Kepler. Dans le cas d'une orbite elliptique, on peut démontrer que cette relation se généralise en remplaçant le rayon R par le demi grand axe a de l'ellipse (voir figure 1). En déduire la relation entre le demi-grand axe a de l'ellipse parcourue par la comète, la période T de la comète, la masse du Soleil M_⊙ et la constante de gravitation G. Déterminer la valeur numérique de la période T_c de la comète Churry. On donne 2πa_c = 33 ⋅ 10^(11) SI et on prendra 1 an ≃ 1/3 ⋅ 10^8 secondes.
Figure 1 - Orbite elliptique d'excentricité e et de demi-grand axe a.
2 - On ne suppose plus la trajectoire circulaire, et on note r⃗ le vecteur position de la comète dans le référentiel héliocentrique et r = ‖r⃗‖. Donner l'expression du moment cinétique σ⃗_s de la comète par rapport au Soleil. Montrer que la trajectoire de la comète est contenue dans un plan que l'on précisera. Déterminer l'expression de C = (‖σ⃗_s‖)/m en fonction des coordonnées polaires ( r, θ ) de la comète dans ce plan.
3 - Etablir la relation 1/2mr˙^2 = E_m − E_(eff)(r) où E_m est l'énergie mécanique supposée négative de la comète et E_(eff)(r) son énergie potentielle effective que l'on exprimera en fonction de C, G, m, M_⊙ et r. Tracer la représentation graphique de E_(eff)(r), et positionner sur ce graphique E_m, l'aphélie r_(max) et le périphélie r_(min) (voir figure 1).
4 - Montrer qu'il existe une trajectoire circulaire correspondant à r = r_(min) = r_(max) = r_0 et E_m = E_0. Déterminer l'expression de r_0 en fonction de C, G et M_⊙ puis en déduire celle de E_0 en fonction de C, G, M_⊙ et m. On note respectivement E_c(r) et E_p(r) les énergies cinétique et potentielle de la comète à la distance r du Soleil, déterminer la relation entre E_c(r_0) et E_p(r_0).
5 - Etablir l'équation du second degré en r dont r_(min) et r_(max) sont solutions, qui permet de déduire l'expression de E_m en fonction de G, m, M_⊙ et a. On donnera cette expression. Après avoir montré que son discriminant est bien positif, résoudre l'équation et déterminer la relation liant e à E_m, C, a et m.
6 - Quelle est la propriété de la vitesse aréolaire de la comète, rapport de la surface balayée par le rayon vecteur de la comète sur le temps mis par la parcourir? Quel est l'astronome qui a identifié cette propriété qui porte son nom? Sachant que l'aire d'une ellipse d'excentricité e et de demi-grand axe a est S = πa^2√(1 − e^2), déterminer la relation entre la période de la comète et le demi-grand axe de l'ellipse. Commenter le résultat obtenu.
Rosetta a bénéficié de 4 assistances gravitationnelles afin d'acquérir l'énergie nécessaire pour rejoindre la comète sur son orbite. La précision requise pour l'accomplissement de cet exploit est absolument insensée : fenêtre de quelques kilomètres entre des objets sur des orbites gravitationnelles à des vitesses de l'ordre du kilomètre par seconde, à plusieurs centaines de millions de kilomètres de la Terre. Peu de gens ont pris conscience de l'exploit réalisé par les ingénieurs de l'Agence Spatiale Européenne.
7 - Qu'entend-on par assistance gravitationnelle? On étaiera sa réponse par un schéma explicatif.
FIN DE LA PARTIE I
II. - Etude de la chevelure et de la queue de la comète
Le noyau des comètes est essentiellement composé d'une neige sale (un mélange de glace et de grains de toutes tailles) d'environ 10 km de rayon. En se rapprochant du Soleil sur une orbite elliptique, la glace située sur la surface de ce noyau se sublime et il s'entoure d'une sorte d'atmosphère de gaz et de poussière : la chevelure. La taille caractéristique de cette chevelure est de l'ordre de 10^5 km. Le matériel de cette chevelure interagit avec d'une part la lumière du Soleil et d'autre part le plasma émis par notre étoile : le vent solaire. Le produit de cette interaction est la partie la plus souvent visible d'une comète depuis la Terre : la queue. Elle est environ dix fois plus étendue que la chevelure, mais dans une seule direction. Une fois la chevelure et la queue formées, le télescope Subaru installé à plus de 4000 mètres d'altitude sur l'île d'Hawaï a pu prendre une photo de Churry mettant en évidence de nombreux détails.
Photo 2 - Photo de la comète Churry prise avec le télescope Subaru prise le 8 mars 2016 alors que la comète se trouvait entre les orbites de Mars et de Jupiter. Le temps de pose de la photo est de 6 minutes.
II.A. - Taille critique d'un grain dans la chevelure
On considère un grain de poussière sphérique de la chevelure de la comète et on assimile la densité volumique de ces grains à celle de la chevelure notée ρ et supposée constante. On note R le rayon du grain et r sa distance au Soleil.
Les ondes électromagnétiques associées au rayonnement du Soleil exercent une pression P_r sur toute surface sur laquelle elles s'appliquent. On montre que cette pression s'écrit sous la forme P_r = (⟨Π⟩^α)/(c^β) où ⟨Π⟩ est la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting associé à ces ondes, α et β sont deux nombres entiers et c la vitesse de la lumière.
8 - Après avoir rappelé la définition du vecteur de Poynting et de son flux à travers une surface orientée, préciser les valeurs de α et β. Comment peut-on interpréter la pression de radiation?
Dans le cas du rayonnement d'une étoile, le flux total d'énergie est appelé luminosité. Elle est supposée isotrope et notée L ou L_⊙ pour le Soleil dont la valeur est précisée en fin d'énoncé. On définit également la brillance B(r), ou flux radiant, d'une étoile comme la puissance disponible par unité de surface à une distance r de l'étoile.
9 - En utilisant par exemple des arguments dimensionnels déterminer la relation entre B(r) et ⟨Π⟩ dans le cas du Soleil. En déduire l'intensité F_r de la force exercée par la pression de radiation sur un grain de section σ = πR^2.
10 - En considérant que la répartition de la masse du Soleil est à symétrie sphérique, déterminer l'expression du champ gravitationnel créé par le Soleil à l'extérieur de celui-ci. En déduire l'intensité F_g de la force de gravitation exercée par le Soleil sur le grain considéré. Exprimer le rapport ν = (F_g)/(F_r) en fonction de G, M_⊙, R, ρ, c et L_⊙. Commenter ce résultat.
11 - En prenant ρ = 3 g ⋅ cm^(− 3), déterminer l'ordre de grandeur d'un rayon critique de grain R_c permettant d'expliquer, sur la photo 2 , la présence d'une part d'une queue et d'autre part d'une traînée de poussière traçant l'orbite de la comète. Comment peut-on repérer la direction du Soleil sur la photo 2 ? On indiquera la composition de ces deux structures en fonction de R_c. Pour le calcul on prendra πG = 21 × 10^(− 11) m^3 ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 2).
II.B. - Effet Poynting-Robertson
Les grains laissés sur son orbite par une comète finissent par tomber vers le Soleil, c'est l'effet PoyntingRobertson.
Soit un grain de poussière sphérique de rayon R en orbite circulaire de rayon r dans le système solaire. Il absorbe et réémet en totalité la radiation qu'il reçoit du Soleil. Le fait que ce grain soit en mouvement rend cette réémission non isotrope et principalement selon l'axe dirigé par la direction de sa vitesse : c'est un effet relativiste appelé aberration. Cette non isotropie induit une perte de moment cinétique qui conduit au fait que le grain tombe vers le Soleil selon une trajectoire spirale.
12 - En supposant que toute la puissance absorbée par le grain est réémise, quelle serait la luminosité d'un grain de section σ à une distance r du Soleil. Faire l'application numérique pour un grain de 1 centimètre de rayon se situant entre Mars et Jupiter à une distance r = 5 × 10^8 km du Soleil.
13 - En supposant que les photons réémis emportent une masse effective m_γ = E_γ/c^2 et en faisant par exemple un bilan de moment cinétique entre t et t + dt, montrer que l'intensité du moment cinétique orbital des grains L = mvr vérifie l'équation différentielle L˙ = − (R/(rc))^2(L_⊙)/(4m)L
14- En supposant la décroissance du moment cinétique très faible, on peut considérer que le grain est constamment sur une orbite circulaire dont le rayon diminue très doucement. En séparant les variables pour résoudre l'équation de la question précédente, déterminer dans ces conditions le temps t_⊙ mis par un grain sphérique de rayon R et de densité volumique de masse constante ρ pour tomber sur le Soleil à partir d'une distance initiale r très grande devant le rayon du Soleil r_⊙. On exprimera t_⊙ en fonction de ρ, c, R, r et L_⊙.
15 - Déterminer la taille du plus gros grain sphérique qui a pu << spiraler >> jusqu'au Soleil en partant de l'orbite de Mars depuis la formation du système solaire il y a 4,5 milliards d'années (soit 10^(17) secondes). Afin de simplifier ce calcul, on prendra pour Mars un distance moyenne de √5 millions de km et on donne 1/(45π) = 7 × 10^(− 3).
FIN DE LA PARTIE II
III. - Etude de la motorisation de la foreuse du robot Philæ
Le robot Philæ avait notamment pour mission de forer le sol de la comète sur une profondeur de 40 cm . Il n'a pu réaliser pleinement cette partie de sa mission car le site sur lequel il s'est finalement posé après trois rebonds était trop incliné. Il a cependant pu faire de très nombreuses mesures dont l'analyse permettra de mieux comprendre la formation du système solaire. Dans cette partie nous allons étudier les caractéristiques techniques du moteur de sa foreuse. Il s'agit d'un moteur synchrone associé à un onduleur de tension. Cette structure permet de concevoir un dispositif robuste de forte puissance, délivrant un fort couple et présentant une bonne durée de vie, toutes ses qualités étant ici nécessaires. Afin de simplifier l'étude, les pertes mécaniques ainsi que les pertes fer de ce moteur synchrone seront négligées. Finalement, le moteur sera assimilé à une machine synchrone diphasée dont les deux enroulements statoriques sont identiques.
III.A. - Essais préalables
L'inducteur du moteur synchrone de la foreuse de Philæ est à aimants permanents et possède 8 pôles, soit 4 paires de pôles.
Chaque bobinage du stator possède une résistance de 0, 03Ω.
L'intensité nominale du courant dans un enroulement du stator est I_N = 155 A. Pendant une durée limitée, elle peut atteindre la valeur maximale I_M = 185 A.
La machine est étudiée en convention récepteur.
Fig. 3 - Schéma électrique et diagramme vectoriel d'une phase du moteur.
Le modèle équivalent à une phase de l'induit est représenté sur la figure 3. Les tensions et courants sont supposés sinusoïdaux de pulsation ω = 2πf. Afin de déterminer les paramètres du modèle, divers essais ont été effectués :
Essai n^∘1 : sur un banc d'essais, on a entraîné la machine synchrone à vide par l'intermédiaire d'un moteur auxiliaire à la vitesse n = 1500tr ⋅ min^(− 1). Aux bornes d'une phase, on a mesuré une tension simple de 57 V .
Essai n^∘2 : avec une alimentation électrique appropriée, on a effectué un essai de la machine en moteur à 1500tr ⋅ min^(− 1) pour lequel ψ = 0, I = I_M = 185 A, et V = 72 V.
16 - On admet qu'en régime permanent de vitesse, la condition de synchronisme pour un moteur possédant p paires de pôles s'écrit ω = pΩ, où Ω désigne la vitesse de rotation du rotor en rad ⋅ s^(− 1). Déterminer la fréquence des tensions statoriques quand n = 1500tr ⋅ min^(− 1).
17-Représenter le diagramme vectoriel relatif à l'essai n^∘2. La résistance R n'étant pas négligée, en déduire la valeur de L.
18 - La valeur efficace de la force contre-électromotrice E a pour expression E = Φ_0 ω. Quelle est l'unité de la constante Φ_0 ? Que représente-t-elle? De quels paramètres de la machine dépend-elle? Montrer que E = AΩ, où A est une constante dont on précisera l'expression et la valeur numérique.
Dans toute la suite on négligera la chute de tension ohmique ainsi que les pertes par effet Joule dans les circuits statoriques.
19 - Tracer un diagramme vectoriel représentatif d'un point de fonctionnement quelconque dans le cas où 0 < ψ < π/2. En déduire une relation entre V, E, φ et ψ.
20 - Déterminer l'expression de la puissance électrique absorbée par le moteur P_a en fonction de V, I et φ puis en fonction de E, I et ψ. Quelle relation existe-t-il entre cette puissance électrique P_a et la puissance mécanique électromagnétique P_m reçue par le rotor?
21 - Exprimer le couple électromagnétique C développé par le moteur en fonction de A, I et ψ. Pour une intensité efficace I donnée, que doit-on faire pour maximiser le couple développé par la machine? De quelle unique variable le couple dépend-il alors? A quel autre moteur ce fonctionnement fait-il penser?
22 - On se placera sur un point de fonctionnement à ψ = 0, I = I_N, et n = 1500tr ⋅ min^(− 1). Que vaut le moment du couple C développé par le moteur? Représenter le diagramme vectoriel représentatif du fonctionnement. Placer les vecteurs représentatifs des complexes E_–, V_–, I_–. En déduire les expressions de V et φ. Calculer leurs valeurs numériques correspondantes. On pourra considérer que 1/(√3) ≃ 1/2.
III.B. - Etude simplifiée de la logique de commande MLI
Le moteur est alimenté par un onduleur à commande mli (Modulation de Largeur d'Impulsion). Nous simplifierons l'étude de l'onduleur par le schéma monophasé de la partie gauche de la figure 4 .
Fig. 4 - Schéma de l'onduleur (à gauche) et de son circuit de commande (à droite)
Les deux comparateurs à base d'ali supposés idéaux sont alimentés entre + V_(cc) et − V_(cc). La tension de sortie de ces deux comparateurs commute entre + V_(cc) et − V_(cc). Lorsque la tension de sortie d'un comparateur est au niveau + V_(cc), les interrupteurs associés sont commandés à la fermeture; quand cette tension est au niveau − V_(cc), les interrupteurs associés sont commandés à l'ouverture. Les tensions V_T et V_C sont définies sur la partie droite de la figure 4 représentant le circuit de commande de l'onduleur. Leurs chronogrammmes sont représentés sur la figure 5.
Fig. 5 - Chronogrammmes des tensions V_T et V_C.
23 - Représenter sur la copie en concordance des temps les signaux V_T, V_C ainsi que les chronogrammes de V_(13) et V_(24). Calculer la date t_1 en fonction de T, V_C et V_(T, m). ◻24 - En déduire l'allure de la tension v_(ch)(t). Déterminer l'expression du rapport cyclique α de la tension v_(ch)(t) en fonction de V_C et V_(T, m). Quel inconvénient présente ce type de commande?
La commande réelle permet d'alimenter le moteur avec une tension dont la forme est représentée sur la figure 6. Les angles α_1, α_2, α_3, α_4, α_5, α_6 compris dans l'intervalle [0, π/2] et représentés sur la figure 6 sont fixés, les suivants, situés dans les intervalles [π/2, π], [π, (3π)/2] et [(3π)/2, 2π] s'en déduisent par symétrie. ◻25 - Exprimer la valeur efficace V_(ch)^(eff) de la tension v_(ch)(t) en fonction des angles α_(i = 1, …, 6) et de la tension E.
Si l'on note f la fréquence du fondamental de v_(ch)(t), la commande MLI permet de faire en sorte que (V_(ch)^(eff))/f = cte et d'éliminer les harmoniques de tension les plus gênants.
Fig. 6 - Commande réelle d'alimentation
26 - Les symétries du signal v_(ch) permettent d'établir que seuls les harmoniques de rangs impairs figurent dans son spectre. Donner l'allure de ce spectre en précisant les positions des quatre premiers harmoniques. Montrer qualitativement que les 6 paramètres α_(i = 1, …, 6) de la commande MLI permettent d'ajuster d'une part la valeur efficace de V_(ch)^(eff) et d'autre part de faire en sorte que le premier harmonique d'amplitude non nulle ne soit que d'ordre 13.
III.C. - Etude d'une commande MLI numérique, précalculée
Fig. 7 - Signal de base.
Pour chaque angle α_(i = 1, ⋯, 6) prédéterminé par un calculateur, on fabrique un signal de base noté m_i(t) dont le chronogramme et la décomposition de Fourier sont donnés sur la figure 7 . Ces signaux de base permettent de reconstruire la tension d'alimentation du moteur.
27 - Représenter sur un même graphe les signaux m_1 et m_2 en fonction de θ puis en déduire le graphe de m_1 − m_2 en fonction de θ. En déduire l'expression de la tension v_(ch)(t) de la figure 6 en fonction des signaux de base m_(i = 1, ⋯, 6)(t).
28 - Déterminer la relation que doivent vérifier les angles α_i afin que l'on puisse éliminer l'harmonique d'ordre 5 dans le spectre de v_(ch).
III.D. - Utilisation de la technique de surmodulation
On réalise un découpage de la commande mli à fréquence élevée f_d devant la fréquence f de cette commande : f_d≫f. Par exemple, pour une fréquence f = 50 Hz, on prendra f_d = 1kHz. On note η le rapport cyclique de la tension de découpage D(t) et l'on donne sa décomposition de Fourier D(t) = A_0 + ∑_(k = 1)^∞A_k sin[kω_d t + φ_k]. Les signaux découpé et de découpe sont représentés sur la figure 8 . ◻29 - Exprimer A_0 en fonction de η.
30 - Déterminer l'expression de la valeur instantanée v_(ch, F)^∗(t) du fondamental de v_(ch)^∗(t) = v_(ch)(t) × D(t). En déduire l'expression de sa valeur efficace V_(ch, F)^(∗, eff) en fonction de E, η et des angles α_(i = 1, ⋯, 6).
31-Quel est l'intérêt d'utiliser cette technique de surmodulation?
Fig. 8 - Découpage de la commande MLi (à gauche) et signal de découpe (à droite)
32 - Représenter l'allure du spectre du signal v_(ch)^∗(t) correspondant à la tension d'alimentation du moteur de la foreuse. Conclure.
FIN DE LA PARTIE III
Données numériques
Constante de la gravitation : G = 6, 7 × 10^(− 11) m^3 ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 2)
Vitesse de la lumière : c = 3 × 10^8 m ⋅ s^(− 1).
Masse du Soleil : M_⊙ = 2 × 10^(30) kg.
Luminosité du Soleil : L_⊙ = 4 × 10^(26) W
Unité astronomique : 1ua = 1, 5 × 10^(11) m
Caractéristiques de la comète Churry
r_(max) : aphélie, distance au plus loin du Soleil : 5,70 ua
r_(min) : périhélie, distance au plus près du Soleil : 1,30 ua
Taille caractéristique : 2000 m (albédo de 4% )
Période de rotation autour de son axe principal : 12, 6 h
FIN DE L'ÉPREUVE
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 2 PSI 2017 ?
Afficher ou masquer la section
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 2 PSI 2017 ?
+
Il porte sur la mécanique en force centrale et les lois de Kepler, le vecteur de Poynting et la pression de radiation, la machine synchrone et la commande MLI d'un onduleur analysée par séries de Fourier.
La calculatrice était-elle autorisée au concours Mines Physique 2 PSI 2017 ?
+
Non. Le sujet comportait pourtant neuf applications numériques valorisées dans le barème, et le jury regrette que beaucoup de candidats ne sachent pas les mener à la main.
Quelles erreurs le jury de Mines Physique 2 PSI 2017 a-t-il le plus relevées ?
+
Des démonstrations circulaires de la planéité de la trajectoire, une définition fausse du vecteur de Poynting, un diagramme vectoriel mal maîtrisé, des composantes de Fourier mal calculées et des réponses non homogènes.
Le sujet Mines Physique 2 PSI 2017 était-il long ?
+
Le jury indique que les candidats les plus rapides ont eu le temps d'aborder toutes les parties en privilégiant les questions les plus faciles.
Pas de description pour le moment
Commentaires• Mines Physique 2 PSI 2017
Connectez-vous pour participer aux discussions
Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté
Même année, X-ENSX ENS Physique PSI 2017X-ENS · 2017Corrigé
Même année, ENSENS Physique PSI 2017, épreuve UENS · 2017Corrigé
.jpg)
.jpg)
