Mines Physique 2 PSI 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Conversion de puissance électromécanique

I Moteur électrostatique à capacité variable

• □- 1. Faire un schéma du condensateur en faisant apparaître la tension u à ses bornes, les charges q et − q portées par ses armatures ainsi que le champ électrique E⃗ qui règne en son sein. On supposera u > 0 et q > 0 pour les besoins de ce schéma mais u et q seront a priori des grandeurs algébriques dans toute la partie I.

Figure 1 - Moteur électrostatique : vue de dessus pour 2 positions du rotor (à gauche) et vue de côté à droite.

• □- 3. Pour quelles valeurs respectives de θ_r la capacité C(θ_r) du condensateur atteint-elle sa valeur maximale C_(max) et sa valeur minimale C_(min) ?
  En négligeant les effets de bord, exprimer C_(max) en fonction notamment de R et d.
• □- 4. Proposer une expression de la capacité C(θ_r) du condensateur sur l'intervalle [0, π]. On exprimera C(θ_r) en fonction de C_(max), C_(min) et de θ_r.
  Tracer sa courbe représentative sur l'intervalle [0, 2π] en précisant sa période.
  On admet que le couple subi par le rotor est donné par l'expression : Γ = (∂E_(el))/(∂θ_r)|_u où E_(el) désigne l'énergie électrostatique stockée dans le condensateur.
• □- 5. Donner la relation liant le couple Γ et la dérivée de C par rapport à θ_r.
  Que doit vérifier le couple moyen ⟨Γ⟩ si l'on veut réaliser un moteur?
  Peut-on alimenter le système par une tension constante?
  On envisage d'alimenter le moteur électrostatique par une tension en créneaux oscillant entre les valeurs u = 0 et u = U > 0.
• □- 6. Préciser sur quels intervalles angulaires il convient d'appliquer la tension U.
  Tracer la courbe des variations de Γ(θ_r) et donner l'expression du couple moyen ⟨Γ⟩.
• □- 7. Le moteur fonctionnant en régime permanent de rotation à la vitesse angulaire Ω = θ˙_r, quelle est la relation entre la pulsation ω du fondamental de la tension en créneaux u(t) et Ω ?
• □- 8. En déduire que la puissance mécanique moyenne du moteur s'écrit sous la forme ⟨P_(m, el)⟩ = 1/2fU^2(C_(max) − C_(min)) où f désigne la fréquence de la tension en créneaux u(t).
  On suppose maintenant que le rotor et le stator sont constitués de p paires d'électrodes formant des portions de disque d'angle au sommet π/2p régulièrement espacés d'un angle π/2p. Le cas p = 2 est illustré sur la figure 2-(a).
• □- 9. Que devient la période de la fonction C(θ_r) ?
  Sur quels intervalles angulaires doit-on maintenant appliquer la tension U ?
  Que devient le couple moyen ⟨Γ⟩ ?
  Quelle relation la pulsation ω du fondamental de la tension en créneaux u(t) doit-elle maintenant vérifier par rapport à Ω, toujours supposée constante?
  Que peut-on dire de la puissance moyenne ⟨P⟩ du moteur ?
  On cherche maintenant à augmenter la puissance du moteur. Pour cela, on envisage la réalisation conçue et fabriquée dans l'usine Philips de Tilburg (Pays-Bas) dans les années 1960 illustrée sur la figure 2-(b).
  Le rotor est constitué de N = 14 plaques conductrices d'épaisseur 300μ m intercalées entre les N + 1 = 15 plaques conductrices constituant le stator (de même épaisseur, soit 300μ m ). Sur cet exemple, le nombre de paires d'électrodes « à chaque étage» vaut p = 3. La distance entre deux étages statorique et rotorique plus proches voisins vaut d = 150μ m. Le rayon utile des électrodes vaut R = 10 mm.
  La figure 2-© est une vue de côté du schéma de principe du moteur Philips destinée à faciliter la compréhension du dispositif, pour des raisons pratiques, il a été dessiné pour N = 7.

Figure 2 - (a) : Schéma d'un moteur électrostatique à 2 paires d'ailettes. (b) : Une réalisation technologique avec 3 paires d'ailettes de la société Philips (Illustration tirée de Electrostatic Motors, B. Bollée, Philips Technical Review, vol. 30, 1969, n°6/7). © : Schéma d'une vue de coté du moteur électrostatique « multicouches » avec N = 7.

• □
  - 10. Quelle est la relation entre la capacité C_N(θ_r) de cette structure à N couches et la capacité C(θ_r) de la structure à une couche considérée jusqu'à présent? On justifiera la réponse. Que devient la puissance moyenne développée par le moteur électrostatique? Évaluer numériquement C_(N, max) et la puissance moyenne ⟨P⟩ développée par le moteur dans le cas N = 14. On supposera que le moteur est alimenté par un créneau positif d'amplitude U = 100 V, de rapport cyclique 50% et de fréquence f = 1kHz. Commenter.
  Un problème inhérent au moteur électrostatique étudié est la présence d'un contact glissant au niveau de l'axe du rotor qui provoque inévitablement de l'usure et des pertes par frottement. Pour pallier ce problème, on envisage la solution suivante : le rotor est isolé (et donc il n'est connecté à rien). Le stator est constitué de deux demi-stators isolés entre eux. La tension u est appliquée entre ces deux demi-stators. Le schéma de principe d'un tel moteur est réprésenté sur la figure 3.
  

  Figure 3 - Principe du moteur électrostatique « brushless »
• □- 11. Proposer un schéma électrique équivalent au moteur ainsi câblé. À quelle condition sur l'amplitude U de la tension en créneaux u(t) la puissance moyenne développée par cette nouvelle structure est-elle inchangée par rapport au système initial?

II Moteur électromagnétique monophasé à inductance variable

Figure 4 - Principe du moteur à inductance variable monophasé et définition des notations utilisées

• □- 12. Laquelle des deux simulations 1 ou 2 donne-t-elle l'intensité ‖B⃗‖ du champ magnétique? On justifiera la réponse.
• □- 13. Justifier qu'il est légitime de négliger, dans l'air, le champ magnétique en dehors des minces entrefers d'épaisseur e.
• □- 14. On suppose dorénavant la perméabilité magnétique du rotor et du stator infinies. Montrer que l'intensité du champ magnétique en un point quelconque des deux entrefers est donnée par la relation B_a = μ_0 Ni/e
  On note R le rayon de la paroi circulaire du rotor (figure 4) et ℓ la longueur du rotor et du stator, mesurée selon l'axe de rotation. On suppose ℓ≫R≫e. On introduit par ailleurs les deux angles β_r et β_s définis sur la partie droite de la figure 4. On suppose dans un premier temps que β_r = π/2 + 2ε et β_s = π/2 − ε avec ε≪1rad.

Figure 5 - Représention graphique de simulations sur le logiciel femm

• □- 15. Dessiner tout d'abord l'allure de l'entrefer pour θ_r = kπ si k ∈ ℕ, déterminer l'expression simplifiée de son volume total (minimal dans cas précis) en fonction de R, ℓ, e et ε. Dessiner maintenant l'allure de l'entrefer pour θ_r = (2k + 1)π/2 si k ∈ ℕ, déterminer alors l'expression simplifiée de son volume total (maximal dans cas précis) en fonction de e, R, et ℓ.
• □- 16. Proposer une définition énergétique de l'inductance du système.
  Déduire des questions 14 et 15 les valeurs minimale L_(min) et maximale L_(max) de l'inductance.
  Comment varie l'inductance entre ces deux valeurs extrêmes ?
  En pratique, en choisissant convenablement ε et en prenant compte les effets de bord, on obtient une courbe des variations de L(θ_r) symétrique semblable à celle représentée sur la figure 6 pour laquelle l'angle Δβ≪β_r de saturation est identique pour les valeurs maximales et minimales. On rappelle que le couple subi par le rotor est donné par l'expression Γ = (∂E_(ma))/(∂θ_r)|_i où E_(ma) désigne l'énergie magnétique stockée dans le système.
• □- 17. Exprimer le couple Γ en fonction de L et i.
  Peut-on alimenter ce système par un courant constant si l'on veut réaliser un moteur?
  On envisage d'alimenter ce moteur par un courant en créneaux oscillant entre les valeurs 0 et I > 0.

Figure 6 - Courbe des variations de L(θ_r)

• □- 18. En reproduisant la courbe des variations de L(θ_r), préciser sur quels intervalles angulaires il convient d'appliquer le courant I. On représentera sur ce même schéma le créneau de courant ainsi que le couple Γ(θ_r) correspondant.
  Déterminer avec cette alimentation l'expression du couple moyen ⟨Γ⟩ en fonction de L_(max), L_(min) et I.
• □- 19. Le moteur fonctionnant en régime permanent de rotation à la vitesse angulaire Ω = θ_r˙, quelle relation la pulsation ω du fondamental du courant en créneaux i(t) doit-elle vérifier par rapport à Ω ?
• □- 20. En déduire que la puissance mécanique moyenne du moteur se met sous la forme ⟨P_(m, ma)⟩ = 1/2fI^2(L_(max) − L_(min)) où f désigne la fréquence du courant en créneaux i(t).

III Alimentation électrique du moteur monophasé à inductance variable.

• □- 21. Montrer que l'équation différentielle liant la tension u(t) et le courant i(t) se met sous la forme
  [r + Ω(dL)/(dθ_r)]i(θ_r) + ΩL(θ_r)(di)/(dθ_r) = u(θ_r)
  dans laquelle on rappelera l'expression de Ω.

Figure 7 - Montage n°1

• □- 22. Quel est l'état de la diode D lorsque le transistor T est passant ?
  Que vaut alors la tension u aux bornes du moteur?
  Que peut-on dire du signe du courant i qui le traverse ?
  Les règles d'interconnexion des sources de tension et de courant sont-elles respectées ? On justifiera la réponse.
• □- 23. Justifier qu'au cours de cette phase où T est passant, (dL)/(dθ_r) = (L_(max) − L_(min))/(π/2 − Δβ), rapport noté ρ. Écrire l'équation différentielle régissant le courant i(θ_r) au cours de cette phase. On fera intervenir les grandeurs r, ρ, Ω, L(θ_r) et U_0.

• □
  - 24. Quel est alors l'état de la diode D ?
  Quelles sont alors les valeurs successives prises par la dérivée (dL)/(dθ_r) ?
  En déduire les équations différentielles successives régissant le courant i(θ_r) lorsque T est ouvert en distinguant les domaines de variation de θ_r dans l'intervalle [π/2 − (Δβ)/2, π + (Δβ)/2].
  Les équations différentielles déterminées aux questions 23 et 24 pour le montage 1 peuvent être résolues numériquement. Les solutions correspondantes sont représentées schématiquement dans un diagramme synchrone sur la figure 8.
  

  Figure 8 - Solutions numériques pour le montage 1.

• □- 25. Interpréter qualitativement les variations plus ou moins rapides du courant i(θ_r)
• □- 26. Quel est le défaut de ce montage? À quoi est-il dû?

Figure 9 - Montage n°2

• -Phase 1 : les deux transistors T_1 et T_2 sont passants;
• -Phase 2 : les deux transistors T_1 et T_2 sont ouverts;
• -Phase 3 : le transistor T_2 est passant tandis que le transistor T_1 est ouvert.
• □
  - 27. Pour chacune des trois phases définies ci-dessus, préciser la valeur de la tension u aux bornes du moteur ainsi que l'état des deux diodes D_1 et D_2.
  Une étude non demandée ici, permet d'écrire les équations différentielles issues du nouveau montage. On peut alors les résoudre numériquement pour obtenir les solutions correspondantes qui sont représentées schématiquement dans un diagramme synchrone sur la figure 10.
  

  Figure 10 - Solutions numériques pour le montage 2.
• □- 28. Comparer l'évolution du courant i(θ_r) observée avec les deux montages.

IV Comparaison des deux types de moteurs. Lois d'échelle et « downsizing ».

• □- 29. Justifier que, moyennant cette approximation, on peut écrire :
  {⟨P_(m, el)⟩ ≈ (ε_0)/2fV_(a, max)E_a^2; ⟨P_(m, ma)⟩ ≈ 1/(2μ_0)fV_(e, max)B_e^2
  où V_(a, max) et V_(e, max) désignent respectivement les volumes maximum de l'espace inter armatures du condensateur et des entrefers du moteur à inductance variable, et E_a et B_e désignent respectivement les normes du champ électrique régnant dans le condensateur et du champ magnétique régnant dans l'entrefer du moteur à inductance variable.
• □- 30. Sachant que le champ magnétique B_e est limité par la saturation du fer, et que B_(sat) ≈ 1 T, quel est l'ordre de grandeur du champ électrique E_a qu'il faudrait atteindre pour que deux moteurs capacitif et inductif de mêmes dimensions développent la même puissance?

Figure 11 - Courbe de Paschen pour l'air sec.

• □- 31. Déduire de la courbe de Paschen la valeur du champ disruptif E_d de l'air sous la pression atmosphérique. Le champ disruptif est la valeur du champ électrique au-delà de laquelle l'air s'ionise.
  Évaluer le rapport κ = ⟨P_(m, el)⟩_(max)/⟨P_(m, ma)⟩_(max) sous la pression atmosphérique.
  Conclure quant à la faisabilité de moteurs électrostatiques macroscopiques sous la pression atmosphérique.
  Sous quelle pression faudrait-il travailler pour que κ soit de l'ordre de 1 ?

• □- 32. Quelles sont les unités usuelles des constantes fondamentales ε_0 et μ_0 ?
  En déduire qu'une capacité C et une inductance L vérifient les lois d'échelle C ∼ h et L ∼ h.

• □- 33. Comment les charges sont-elles réparties sur les armatures ? En déduire que U ∼ h.
• □- 34. En considérant le théorème de l'énergie cinétique appliqué au rotor, démontrer que le temps t vérifie la loi d'échelle t ∼ h.
• □- 35. En déduire la loi d'échelle régissant ⟨P_(m, el)⟩ ainsi que celle régissant la puissance mécanique volumique moyenne ⟨𝒫_(m, el)⟩. Conclure.
  On s'intéresse maintenant aux lois d'échelle régissant le moteur électromagnétique. Celui-ci étant parcouru par un courant, il est nécessairement le siège d'un effet Joule impliquant un échauffement.
• □- 36. Donner sans démonstration l'expression de la résistance r d'un cable conducteur cylindrique en fonction de sa conductivité et de ses paramètres géométriques. En déduire que r ∼ h^(− 1).

• □- 37. Quelle est, en régime permanent, la relation liant P_(th) et la puissance moyenne P_(Joule) dissipée par effet Joule? En déduire que I ∼ h^(3/2).
• □- 38. En procédant comme à la question 34, démontrer qu'ici t ∼ h^(1/2).
• □- 39. En déduire la loi d'échelle régissant ⟨P_(m, ma)⟩ ainsi que celle régissant la puissance mécanique volumique moyenne ⟨𝒫_(m, ma)⟩. Conclure.
• □- 40. Comparer les résultats obtenus pour les deux types de moteurs. Conclure.

FIN DE L'ÉPREUVE