Mines Physique 2 PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

PHYSIQUE II - PSI

Étude physique d'un capteur de position

Figure 1 - Schéma descriptif du LVDT.

• L_p, l'inductance propre du circuit primaire,
• M_1, l'inductance mutuelle entre le circuit secondaire 1 et le circuit primaire,
• M_2, l'inductance mutuelle entre le circuit secondaire 2 et le circuit primaire.

Figure 2 - Définition des paramètres

I Étude de l'état de référence

• 1. Énoncer dans le cadre de ce régime l'équation Maxwell-Ampère reliant le vecteur excitation magnétique H⃗ et ȷ⃗, on précisera la nature de ȷ⃗. En déduire la forme générale de l'énoncé du théorème d'Ampère.
• 2. Énoncer l'équation de Maxwell-Thomson (également appelée Maxwell-Flux) et en déduire la propriété correspondante du flux du champ magnétique.
• 3. Quelle est la direction du champ magnétique en tout point du plan passant par O et orthogonal à u⃗_z ?
• 4. En un point M de coordonnées ( r, θ, z ) quelconques, que peut-on dire des coordonnées (B_r, B_θ, B_z) du champ magnétique compte tenu des symétries du problème?

• 5. Le résultat de la simulation numérique est-il compatible avec ceux des questions 3 et 4 ? On justifiera précisément la réponse.

• 6. Justifier les propriétés de parité de ces deux composantes du champ.
• 7. Représenter sommairement l'allure d'une ligne de champ. Après avoir orienté cette ligne, justifier le signe des composantes du champ magnétique observé en figure 4.

Figure 3 - Lignes de champ pour un noyau centré obtenues par simulation numérique.

Figure 4 - Composantes B_r (en grisé) et B_z (en noir) en r tel que 0 < r < a.

• 8. Justifier cette observation par un calcul littéral.

• 9. Quels éléments observés en figures 3 et 5 permettent de justifier que l'on puisse considérer le champ magnétique comme uniforme au voisinage du centre du noyau.
• 10. Quels éléments observés en figure 3 permettent d'expliquer la diminution de la composante B⃗ ⋅ u⃗_z du champ observée en figure 5 lorsqu'on se rapproche des bords du noyau?

Figure 5 - Composante B_z sur l'axe Oz.

• H_1 : si z_1 < z < z_2 et r < a, alors la composante B⃗ ⋅ u⃗_z du champ magnétique est uniformément égale à B_m, sa valeur moyenne sur l'axe Oz dans le noyau. On posera B_m = Ki_p, où K est une constante caractéristique du système;
• H_2 : si z < z_1 ou z > z_2 alors pour tout r < a on a B⃗ ⋅ u⃗_z = 0;
• H_3 : en tout point compris entre le noyau et la culasse, tels que − L < z < L, alors B⃗ ⋅ u⃗_z = 0.
• 11. Dans le cadre de ces hypothèses simplificatrices, montrer que les deux inductances mutuelles M_1 et M_2 sont identiquement égales à une même valeur notée M_0. Exprimer M_0 en fonction de S, K, n et L_(max).
• 12. Application numérique : On donne la résistance du circuit primaire R_p = 100Ω et l'inductance du circuit primaire L_p = 6mH. Pour U_p = 10 V, on mesure aux bornes de chacun des deux circuits secondaires non connectés entre eux une tension d'amplitude 1, 5 V pour une fréquence de 5 kHz . Calculer la valeur de M_0. On prendra 10π ∼ 30 et √(42.10^3) ∼ 205.

II Déplacement du noyau

Figure 6 - Lignes de champ pour un noyau décentré.

• 13. Dans le cadre de ce modèle, montrer que si |z| < L_(max) alors L_p est indépendante de z.
      ◻ − 14. Déterminer l'inductance mutuelle M_1(z) en fonction de M_0, z et L_(max).
• 15. De même, déterminer l'inductance mutuelle M_2(z) en fonction de M_0, z et L_(max).
• 16. Déduire des résultats précédents que la tension différentielle à vide du circuit secondaire s'écrit sous la forme u_s = u_2 − u_1 = λM_0 z/(L_(max))(di_p)/(dt), dans laquelle on précisera la valeur de la constante λ.
• 17. Pour un courant i_p sinusoïdal fixé, quel est le paramètre de la tension u_s, noté A, permettant de mesurer z ? Tracer l'allure des variations de A en fonction de z ? Comment peut-on discerner le cas z > 0 et z < 0 ? Connaissez-vous un procédé permettant de générer une tension proportionnelle à ce paramètre ?

III Conditionnement du signal

Figure 7 - Diagramme bloc fonctionnel du conditionneur AD598

Figure 8 - Générateur de triangle.

• 20. Déterminer la valeur de v_s selon les valeurs et le sens de variation de v_2, puis représenter graphiquement ces variations en reportant v_s en ordonnée et v_2 en abscisse. On fera apparaître les valeurs remarquables sur chaque axe du graphique.
      ◻ − 21. En tenant compte des trois résultats précédents, déterminer les variations de v_2 et v_s en fonction du temps. Représenter ces variations sur un même graphe.
      Laquelle des tensions v_e(t), v_1(t), v_2(t) et v_s(t) est une fonction triangulaire périodique du temps? On nomme v_t(t) cette tension. Calculer sa période T en fonction de R, C, R_1, R_2, R_3 et R_4.
• 22. En fixant R = 1kΩ et en prenant R_1 = R_2 puis, uniquement pour cette application numérique R_3 = R_4, déterminer la valeur de C permettant d'obtenir une tension v_t(t) de fréquence 2 kHz .
      Comment faire pour permettre à un utilisateur de l'AD598 de modifier à volonté cette fréquence?
      Exprimer l'amplitude E de la tension v_t(t) en fonction des données du circuit de la figure 8. Sur quels paramètres de ce circuit faut-il agir afin de modifier cette amplitude?

Figure 9 - Conversion triangle - sinus.

Figure 10 - Montage conformateur.

• 27. Déterminer la relation à imposer entre U_s et E afin que les deux pentes en θ = 0 des courbes v_t(θ) et s(θ) en fonction de θ soient identiques. On vérifiera que cette condition revient à identifier le rapport E/U_s à une fraction de π et on supposera cette relation vérifiée par la suite.
• 28. Pour v_s < U_1, quelle est l'expression de v_s en fonction de v_t puis celle en fonction de θ ? En déduire la valeur θ_1 de θ telle que v_s(θ_1) = U_1. On simplifiera cette valeur en utilisant la condition déduite à la question précédente.
      ◻ − 29. On suppose pour cette question U_1 < v_s < U_2.
      Exprimer v_s en fonction de v_t, U_s, r_1 et r_0 puis en fonction de U_s, r_1, r_0, E et θ.
      Quelle doit être la valeur du rapport ρ_1 = r_0/r_1 afin que les pentes des courbes v_s(θ) et s(θ) soient identiques lorsque θ → θ_1 par valeurs supérieures ? On exprimera ρ_1 uniquement en fonction du cosinus de 1/3.
      Cette condition étant vérifiée, exprimer v_s en fonction de U_s, ρ_1, E et θ puis déduire l'expression de θ_2 défini par v_s(θ_2) = U_2 que l'on mettra sous la forme θ_2 = αθ_1 et dans laquelle on exprimera la constante α uniquement en fonction du cosinus de 1/3.
      ◻ − 30. On suppose pour cette question U_2 < v_s < 3U_1. Déterminer l'expression de v_s en fonction de U_s, r_0, r_1, r_2, E et θ.
      La valeur du rapport ρ_2 = (r_0)/(r_2) est fixée afin que les pentes des courbes v_s(θ) et s(θ) soient identiques lorsque θ → θ_2 par valeurs supérieures. On peut alors déterminer la valeur θ_3 telle que v_s(θ_3) = 3U_1.
• 31. Montrer que v_s(θ) = 3U_1 si θ_3 < θ < 1/4.

• 32. Proposer un aménagement du montage de la figure 10 permettant de réduire les écarts entre v_s(θ) et s(θ).

Figure 11 - Tensions v_s(θ), v_t(θ) et s(θ).

IV Exemple d'utilisation de ce capteur : un accéléromètre asservi

IV.A Première étude : le boîtier est immobile

• 33. Justifier le fait que la force électromagnétique reçue par le noyau mobile lors de son déplacement est nulle.

Figure 12 - Accéléromètre asservi à masse sismique.

• 34. Lorsque le point G est en mouvement, établir l'équation différentielle vérifiée par Z(t).
• 35. Déterminer la valeur Z_0 de Z à l'équilibre. Comme dans la première partie, on note z la position du centre C du noyau mobile (voir figure 2). La position du capteur LVDT est ajustée de telle manière que z = 0 lorsque le boîtier est immobile et la masse m à l'équilibre. Quelle est la relation entre z et Z ?
• 36. On suppose qu'à l'instant t = 0, la masse m est lachée sans vitesse initiale d'une position Z_i ≠ Z_0. Quelle est la valeur minimale λ_(min) qu'il faut imposer à λ afin que la masse retrouve sa position d'équilibre sans oscillation? On supposera dans la suite que λ > λ_(min).

IV.B Etude simplifiée du boitier mobile

• 37. Dans le référentiel terrestre, exprimer la vitesse de G en fonction de v_1 et de (dZ)/(dt), puis son accélération en fonction de γ_1 et de (d^2 Z)/(dt^2). En déduire la nouvelle équation différentielle vérifiée par Z(t) ainsi que les nouvelles positions d'équilibre Z_0^′ de G et z_0^′ du capteur. Quelle information apporterait la lecture de z_0^′ au bout d'un temps infini sur l'échelle graduée de la figure 12?

FIN DE L'ÉPREUVE