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Mines Physique 2 PSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Planche à voile et vagues

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Faisable en partie en PCSI : 12 questions sur 30. Autres questions faisables en PCSI

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Présentation du sujet

Accessible
Planche à voile et vagues : propulsion par le vent et théorie linéaire des vagues
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Le sujet comporte deux parties indépendantes consacrées à la physique des sports de voile. La première étudie la propulsion d'une planche à voile, d'abord par vent arrière avec un modèle de collisions, puis au près avec les forces de portance et de traînée, pour discuter l'orientation optimale. La seconde construit la théorie linéaire des vagues à partir des équations locales de la mécanique des fluides, puis étudie l'effet de la profondeur sur leur propagation.

  1. 1Partie I : étude de la planche à voileForce propulsive du vent, vent apparent par composition des vitesses, bilan des forces en mouvement uniforme et conditions pour dépasser la vitesse du vent.
  2. 2Partie II : physique des vaguesConservation de la masse, écoulement potentiel, relation d'Euler et de Bernoulli, conditions aux limites, relation de dispersion, vitesses de phase et de groupe, puis réfraction et amplitude des vagues à l'approche du rivage.

Accessible. Le jury juge la totalité du sujet accessible et de longueur raisonnable, tout en notant que le temps a manqué à beaucoup de candidats en fin de seconde partie.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,87 / 20 · écart-type 4,43 · 3 590 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
11,87/ 20
Écart-type
4,43
Présents
3 590
Coefficient
4
Durée
4 h
moyenne 11,8705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 5 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Égalités entre vecteur et scalaire · Géométrie de la voile et schémas · Mauvaise lecture de l'énoncé
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Chaque question a été traitée, mais de nombreux candidats ont délaissé presque toute une partie, le plus souvent la première. Les raisonnements sont dans l'ensemble corrects mais trop souvent mal rédigés, avec des copies peu soignées, des conclusions absentes et des schémas manquants. Les copies bien présentées, justifiées et complètes ont été particulièrement valorisées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Égalités entre vecteur et scalaire

    Dans l'étude de la force propulsive, le jury a sanctionné des égalités mélangeant vecteurs et scalaires et des résultats non homogènes qu'une analyse dimensionnelle aurait permis de corriger.

    « le jury a sanctionné de nombreuses fois l’écriture d’égalité entre un vecteur et un scalaire. »
  2. 2
    Géométrie de la voile et schémas

    Le calcul des surfaces de la voile révèle des difficultés de géométrie, l'unité de l'angle manque souvent et l'orientation des vecteurs sur la figure à compléter a posé problème à beaucoup.

  3. 3
    Mauvaise lecture de l'énoncé

    De nombreuses copies ont comparé la vitesse du vent apparent à celle de la planche au lieu de comparer la vitesse de la planche à celle du vent.

  4. 4
    Raisonnements partant du résultat

    Lorsque le résultat est donné, beaucoup partent de la conclusion ou forcent une démonstration fausse, en mécanique de la planche comme pour la séparation des variables.

    « Beaucoup de raisonnements partent du résultat, ce qui n’est pas admissible. »
  5. 5
    Bilan de masse et analyse vectorielle

    L'équation locale de conservation de la masse est rarement justifiée en trois dimensions ; des relations d'analyse vectorielle inutiles et souvent fausses sont utilisées, et le terme de pesanteur pose problème dans la relation de Bernoulli.

  6. 6
    Surfaces d'onde méconnues

    L'interprétation des lignes orthogonales aux vecteurs d'onde a donné lieu à des commentaires sans rapport avec la physique du problème.

    « La notion de surface d’onde semble être inconnue par beaucoup de candidats. »

Ce qui a été bien réussi

  • La loi de composition des vitesses a été bien écrite dans l'ensemble, en exploitant les indications de l'énoncé.
  • La continuité de la pression à la surface libre a bien été vue et la question correspondante est bien réussie.
  • Les conditions aux limites et la résolution du système d'équations différentielles pour la vague linéaire ont été assez bien menées.
  • La relation de dispersion a été très souvent obtenue.

Conseils du jury

  • Vérifier l'homogénéité des résultats et donner les valeurs numériques avec une unité correcte.
  • Appuyer les raisonnements physiques sur des schémas clairs et légendés, surtout quand l'énoncé les demande.
  • Rédiger des phrases simples avec le vocabulaire adapté et conclure chaque question.
  • Préférer la notation des opérateurs à la notation nabla, qui entraîne davantage d'erreurs.
  • Introduire chaque réponse par le numéro correct de la question et barrer proprement à la règle.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

30 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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30 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

  1. Q1Exprimer le nombre de particules d'air qui entrent en collision avec la voile pendant un temps en fonction…
  2. Q2En précisant les hypothèses nécessaires, déterminer l'expression de la force associée à l'impact d'une…
  3. Q3En déduire l'expression de la force propulsive exercée dans la voile par le vent en fonction de et.
  4. Q4Établir l'expression de en fonction de et. Établir l'expression de la surface de la voile située à la droite…
  5. Q5Lorsque le planche à voile se déplace à une vitesse, quelle est l'expression de la vitesse du vent qui…
  6. Q6En supposant un mouvement uniforme de la planche à voile à la vitesse, exprimer la norme de cette vitesse en…
  7. Q7Dans le cas d'une planche qui remonte au vent, démontrer que la norme de la vitesse du vent apparent est…
  8. Q8On suppose que la vitesse de la planche à voile est constante en module et direction, en présence de la…
Voir les 22 autres questions
  1. Q9On se place dans les mêmes conditions que la question précédente (vitesse constante, force propulsive…
  2. Q10Montrer que dans le cas d'un déplacement uniforme, on a la relation dans laquelle on précisera l'expression…
  3. Q11Montrer que si alors.
  4. Q12En supposant une valeur constante pour et en utilisant la relation (5), montrer que la vitesse de la planche…
  5. Q13En supposant toujours une valeur constante pour, comment choisir la direction de navigation pour obtenir la…
  6. Q14Pour une direction de navigation fixe, comment choisir la valeur de pour obtenir la vitesse maximale ?
  7. Q15En faisant un bilan de matière dans un petit volume pendant un temps élémentaire, établir la loi de…
  8. Q16Dans le cas où le fluide est incompressible, démontrer que cette relation devient simplement
  9. Q17Montrer que le potentiel des vitesses vérifie l'équation de Laplace
  10. Q18Montrer que la relation d'Euler permet d'écrire l'équation suivante: où est une fonction que l'on ne…
  11. Q19Montrer que, sur la surface libre, on a la relation
  12. Q20Déterminer l'expression de la pression à la surface du fluide. En déduire une seconde condition de surface…
  13. Q21Montrer que les fonctions et sont solutions du système d'équations suivant: où est une constante qui ne…
  14. Q22En utilisant l'une des conditions de surface au repos montrer que les expressions résolvent le problème. On…
  15. Q23En utilisant les résultats précédents complétés par la condition (7) au fond du réservoir, montrer qu'alors…
  16. Q24En utilisant la condition de surface au repos non encore utilisée, établir la relation de dispersion de…
  17. Q25Calculer la vitesse de phase de la vague linéaire. Déterminer les deux expressions limites de lorsque la…
  18. Q26Déterminer l'expression de la vitesse de groupe de la vague linéaire en profondeur arbitraire. Montrer la…
  19. Q27Montrer que la vague résultante (surface du fluide) peut se mettre sous la forme. On donnera l'expression…
  20. Q28Que représentent les lignes pointillées orthogonales aux vecteurs d'ondes sur la figure 4 ? Montrer que la…
  21. Q29En déduire la façon dont varie la direction de propagation des vagues lorsqu'elles approchent du bord de…
  22. Q30Déterminer l'expression du rapport des amplitudes de vagues dans les deux zones en fonction du rapport des…
Ouvrir le corrigé détailléComment sont produits nos corrigés

Description

Le sujet comporte deux parties indépendantes consacrées à la physique des sports de voile. La première étudie la propulsion d'une planche à voile, d'abord par vent arrière avec un modèle de collisions, puis au près avec les forces de portance et de traînée, pour discuter l'orientation optimale. La seconde construit la théorie linéaire des vagues à partir des équations locales de la mécanique des fluides, puis étudie l'effet de la profondeur sur leur propagation.

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A2023 - PHYSIQUE II PSI

Concours commun
Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Planche à voile et vagues.

Ce sujet étudie de manière quantitative la physique des sports de voile. Dans la première partie, nous proposons une étude détaillée des différentes forces qui permettent à une planche à voile d'avancer sur l'eau en présence de vent sur une mer calme. Dans la seconde partie, on étudie la formation des vagues à la surface de la mer. Ces deux parties sont totalement indépendantes. Les vecteurs sont repérés par des flèches (v⃗) sauf s'ils sont unitaires, ils sont alors spécifiés par des chapeaux ( eˆ_x ). Les applications numériques seront fournies avec 2 chiffres significatifs.

I Étude de la planche à voile.

La première partie porte sur l'étude de la propulsion des planches à voile, dans un modèle simplifié. Afin de comprendre les différents phénomènes physiques responsables du déplacement de la planche à voile sur un plan d'eau ainsi que des changements de directions de la planche, nous allons nous intéresser tout d'abord à la force propulsive associée au vent.

I.A Navigation par vent arrière.

Dans un premier temps, on considère une planche à voile qui se déplace dans la même direction que le vent. La vitesse du vent est supposée constante, elle est caractérisée par le vecteur v⃗_v = v_v eˆ_x. La vitesse de la planche à voile est caractérisée par le vecteur v⃗_p = v_p eˆ_x, colinéaire à v⃗_v, et telle que v⃗_v ⋅ v⃗_p > 0.
La voile est assimilée à un triangle isocèle plein de surface S, dont l'un des deux côtés de longueur identique a constitue le mât de la voile. L'angle au sommet symétrique du triangle isocèle est appelé α. Le mât de la voile fait un angle θ avec la verticale. Le poids du mât sera négligé dans cette partie. Le point d'attache du mât sur la planche est noté O.
Dans cette sous-partie, nous supposerons que le plan de la voile est orthogonal à la fois à la direction du vent et au plan contenant la planche. Le plan de la planche est supposé horizontal. Ces différentes informations sont récapitulées sur la figure 1 ci-dessous.
Figure 1 - Représentation schématisée de la planche et de sa voile.
Afin d'estimer la force propulsive du vent dans la voile dans cette configuration particulière, le modèle le plus simple consiste à supposer que l'air est un gaz homogène composé de particules de masse m se déplaçant à une vitesse v⃗_v. Lors du choc avec la voile, ces particules cèdent intégralement leur quantité de mouvement à la voile. On admet que le temps caractéristique τ associé à la collision d'une particule d'air avec la voile correspond à celui du transfert de sa quantité de mouvement. On négligera les effets de bord dans ce modèle.
    1. Exprimer le nombre N de particules d'air qui entrent en collision avec la voile pendant un temps τ en fonction de m, S, v_v, τ et de la masse volumique de l'air notée ρ_a.
    1. En précisant les hypothèses nécessaires, déterminer l'expression de la force f⃗ associée à l'impact d'une molécule.
    1. En déduire l'expression de la force propulsive F⃗ exercée dans la voile par le vent en fonction de ρ_a, v_v et S.
Il existe une valeur d'angle θ = θ_d pour laquelle le mode de propulsion envisagé permet un déplacement en ligne droite dans la direction du vent, sans dérive ou changement de direction. Dans cette configuration, notée 𝒮, la force propulsive se répartit symétriquement sur les deux parties de la voile séparées par l'axe ( O, eˆ_z ).
    1. Établir l'expression de S en fonction de a et α.
Établir l'expression de la surface S^′ de la voile située à la droite de la verticale et représentée en grisé sur la vue de face de la figure 1. On exprimera S^′ en fonction de a, α et θ.
En déduire que la configuration 𝒮 est caractérisée par la relation
tanθ_d = (sinα)/(2 − cosα)
Déterminer la valeur numérique de θ_d pour une voile dont l'angle au sommet est α = 60^∘.
Le modèle simple de collision entre les molécules d'air et la voile ne donne qu'une estimation de l'ordre de grandeur de la force propulsive sur la voile. En effet, ce modèle néglige complètement la mécanique des fluides autour de la voile. En particulier, les écoulements de l'air autour de la voile ne sont pas pris en compte. Lors de la mesure de ces écoulements en soufflerie avec une voile fixe, rigide et perpendiculaire au vent, on trouve une force propulsive phénoménologique colinéaire à la direction du vent de la forme
F⃗_(pro) = 1/2ρ_a C_v Sv_v^2 eˆ_x
Dans cette relation, le coefficient sans dimension C_v dépend de plusieurs facteurs dont la courbure de la voile, son orientation par rapport à l'écoulement moyen mais aussi et dans une moindre mesure de la vitesse du vent. Nous supposerons par la suite que la force propulsive est donnée par la relation (1), avec un coefficient C_v indépendant de la vitesse du vent.
Par ailleurs, le déplacement de la planche à la surface de l'eau engendre une force résistante entre la planche et l'eau, qui dépend de la vitesse de la planche par rapport à l'eau. Nous supposerons pour simplifier que cette force est de direction opposée à la force propulsive, et que son intensité est donnée par une relation inspirée de la relation (1), soit
F⃗_(res) = − 1/2ρ_e C_p S_p v_p^2 eˆ_x
dans laquelle on a utilisé maintenant la masse volumique ρ_e de l'eau, la surface de frottement effective entre la planche et l'eau S_p et le coefficient sans dimension C_p.
    1. Lorsque le planche à voile se déplace à une vitesse v⃗_p, quelle est l'expression de la vitesse du vent qui souffle dans la voile relativement au référentiel entrainé avec la planche ? Ce vent s'appelle le vent apparent, sa vitesse est notée v⃗_(va), c'est elle qu'il faut prendre en compte dans l'expression (1) de la force propulsive.
    1. En supposant un mouvement uniforme de la planche à voile à la vitesse v⃗_p, exprimer la norme de cette vitesse en fonction de v_v et de la quantité σ = √((ρ_e C_p S_p)/(ρ_a C_v S)). Est-il possible pour la planche à voile d'aller plus vite que le vent?

I.B Navigation «au près ».

Jusqu'à présent, le déplacement de la planche à voile a été décrit dans le même sens que le vent. On considère maintenant une planche à voile qui « remonte au vent ». Cela veut dire en pratique que le produit scalaire de la vitesse du vent par celle de la planche à voile est négatif v⃗_v ⋅ v⃗_p < 0.
Afin de préciser les choses, on définit la direction de navigation comme l'angle β_0 entre la vitesse du vent et celle de la planche de telle manière que : v⃗_v ⋅ v⃗_p = − v_v v_p cosβ_0, avec 0 < β_0 < π/2, v_v = ‖v⃗_v‖ et v_p = ‖v⃗_p‖.
Cet angle β_0 est représenté sur la figure 2 ci-dessous sur laquelle on a également indiqué la présence d'une dérive sous la planche. Cette dérive, placée sur l'axe de symétrie de la planche, assure la stabilité du mouvement et permet l'appui nécessaire pour orienter la vitesse de la planche dans une direction différente de celle du vent. Son effet sera pris en compte dans notre modèle de façon effective.
Figure 2 - La planche remonte le vent.
    1. Dans le cas d'une planche qui remonte au vent, démontrer que la norme v_(va) de la vitesse v⃗_(va) du vent apparent est supérieure à celle de la vitesse v⃗_v du vent réel.
      Lorsque la planche à voile se déplace en remontant au vent, l'orientation de la voile par rapport au vent apparent influence fortement la force générée par le vent. Des mesures en soufflerie permettent de montrer que la voile se comporte dans ce cas de manière similaire à une aile d'avion : le vent génère d'une part une force dans la direction orthogonale à celle du vent apparent et d'autre part une force dans la même direction et le même sens que le vent apparent.
Ces deux forces sont appelées respectivement la force de portance et la force de traînée. Elles sont données par les deux relations ci-dessous et représentées sur la figure 3 :
F⃗_(por) = 1/2ρ_a C_(v, ⊥)(β)Sv_(va)^2 eˆ_(⊥, a) et F⃗_(tra) = 1/2ρ_a C_(v, ‖)(β)Sv_(va)^2 eˆ_(‖, a).
Les coefficients C de portance et de traînée dépendent de l'angle β entre le vent apparent et le plan moyen de la voile. Cet angle dit d'attaque est également représenté sur la figure 3. Dans ces relations, les vecteurs eˆ_(‖, a) et eˆ_(⊥, a) désignent respectivement les vecteurs unitaires associés aux directions parallèle et normale au vent apparent.
Les deux forces de portance et de traînée constituent les composantes de la force propulsive F⃗_(pro) qui s'exerce dans la voile au sein de la base ( C_E; eˆ_(⊥, a); eˆ_(‖, a) ), où C_E désigne le centre des efforts de la voile, c'est-à-dire le point d'application de la force propulsive totale.
Figure 3 - Force propulsive au près.
    1. On suppose que la vitesse de la planche à voile est constante en module et direction, en présence de la force propulsive F⃗_(pro). Que peut-on dire sur l'intensité de la force F⃗_(res) qui s'oppose au mouvement, et qui a pour origine les frottements entre la planche, sa dérive et l'eau?
      En reprenant les vecteurs utiles déjà représentés, compléter sur votre copie la figure 3 en indiquant la vitesse de la planche à voile v⃗_p (dont la norme sera choisie arbitrairement), la vitesse du vent v⃗_v ainsi que la force résistive F⃗_(res). On fera l'hypothèse que la force propulsive et la force résistive appartiennent à deux plans distincts mais parallèles à l'horizontal, en négligeant ainsi les bilans de forces dans la direction verticale.
      La force F⃗_(res) (qui s'oppose au mouvement) possède des caractéristiques similaires à celle qui propulse la planche à voile. Elle est associée à l'écoulement relatif de l'eau sur la planche, d'une part, et sur sa dérive, d'autre part.
La résultante globale comporte ainsi deux composantes dans le plan horizontal : une composante le long de la direction de déplacement dans l'eau, mais de sens opposé à la vitesse de la planche, et une autre composante dans la direction perpendiculaire.
On peut écrire ces deux composantes de la manière suivante :
F⃗_‖ = 1/2ρ_e C_(p, ‖)(β_e)S_p v_p^2 eˆ_(‖, p) et F⃗_⊥ = 1/2ρ_e C_(p, ⊥)(β_e)S_p v_p^2 eˆ_(⊥, p)
Les coefficients de proportionnalité C_(p, ‖)(β_e) et C_(p, ⊥)(β_e) dépendent de l'angle β_e entre l'axe de symétrie de la planche dans le plan horizontal et la direction du déplacement. Cet angle est représenté sur la figure 3 . On précise que C_(p, ⊥)(β_e = 0) = 0.
    1. On se place dans les mêmes conditions que la question précédente (vitesse constante, force propulsive donnée). Expliquer pourquoi un tel déplacement uniforme n'est possible que si β_e ≠ 0.
    1. Montrer que dans le cas d'un déplacement uniforme, on a la relation
v_p^2 + v_v^2 + 2v_p v_v cosβ_0 = σ_1 v_p^2
dans laquelle on précisera l'expression de σ_1 en fonction des données ainsi que des divers coefficients de portance et de traînée de la voile et de la planche.
    1. Montrer que si 0 < β_0 < π/2 alors σ_1 > 1.
La valeur précise du paramètre σ_1 dépend à la fois des caractéristiques intrinsèques de la voile et de la planche, mais aussi du navigateur. Ce dernier peut en effet ajuster l'angle entre la voile et la direction de la planche de manière à obtenir la valeur de σ_1 qui permet d'obtenir la plus grande valeur possible de la vitesse de la planche dans le régime de déplacement uniforme.
    1. En supposant une valeur constante pour σ_1 et en utilisant la relation (5), montrer que la vitesse de la planche peut être supérieure à la vitesse du vent à condition que
cosβ_0 > (σ_1 − 2)/2.
    1. En supposant toujours une valeur constante pour σ_1, comment choisir la direction de navigation β_0 pour obtenir la vitesse de la planche la plus grande possible?
      ◻ − 14. Pour une direction de navigation fixe β_0, comment choisir la valeur de σ_1 pour obtenir la vitesse maximale?

II Physique des vagues.

On considère un fluide étudié dans un référentiel galiléen {O, eˆ_x, eˆ_y, eˆ_z}.
Un point de ce fluide, repéré par le vecteur r⃗ = xeˆ_x + yeˆ_y + zeˆ_z, est caractérisé par une masse volumique ρ(r⃗, t) et un champ de vitesse u⃗(r⃗, t). La pression au sein du fluide est notée p(r⃗, t). Pour simplifier l'étude, nous supposerons que le système est invariant par translation dans la direction (O, eˆ_y), de telle sorte que la densité, la pression et la vitesse ne dépendent, en plus du temps t, que des deux coordonnées spatiales x et z. En particulier, la vitesse du fluide dans la direction y est nulle.
Pour établir les équations qui permettront de décrire les vagues de surface, nous procéderons par étapes. Dans un premier temps, nous établirons les équations générales décrivant le champ de vitesse du fluide accompagnées des conditions aux limites particulières du problème. Nous chercherons, dans un second temps, la solution qui décrit les vagues en nous limitant aux régimes des faibles vitesses et des faibles amplitudes.

II.A Les équations de la vague linéaire.

◻ - 15. En faisant un bilan de matière dans un petit volume dτ = dx dy dz pendant un temps élémentaire dt, établir la loi de conservation de la matière reliant ρ(x, z, t), u_x(x, z, t) et u_z(x, z, t), où u_x = u⃗ ⋅ eˆ_x et u_z = u⃗ ⋅ eˆ_z.
◻ − 16. Dans le cas où le fluide est incompressible, démontrer que cette relation devient simplement
(∂u_x)/(∂x) + (∂u_z)/(∂z) = 0
On suppose dorénavant que l'écoulement est irrotationnel, c'est-à-dire que rot (u⃗) = 0→.
Cette hypothèse permet de définir un potentiel des vitesses φ(x, z, t) associé au champ de vitesse et qui vérifie u⃗ = grad^(→−)(φ)
◻ − 17. Montrer que le potentiel des vitesses vérifie l'équation de Laplace
Δφ = 0
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide de volume infinitésimal dτ permet d'établir une équation décrivant la dynamique du fluide.
Dans le cadre de cette description, la dérivée totale d'un champ scalaire quelconque A(x, z, t) par rapport au temps s'écrit :
(dA)/(dt) = (∂A)/(∂t) + u⃗ ⋅ gradA
Par conséquent, en négligeant les effets de viscosité dans le fluide et en supposant que le mouvement du fluide est irrotationnel, le principe fondamental de la dynamique dans un champ de pesanteur g⃗ = geˆ_z s'écrit :
ρ[(∂u⃗)/(∂t) + 1/2grad(u⃗ ⋅ u⃗)] = − ρgeˆ_z − grad(p).
Cette relation est appelée relation d'Euler en mécanique des fluides. Le terme de gauche désigne l'accélération de la particule de fluide, prenant en compte en particulier la dérivée particulaire, le premier terme de droite désigne la force de pesanteur, et le dernier terme désigne la contribution des forces de pression.
◻ − 18. Montrer que la relation d'Euler permet d'écrire l'équation suivante :
(∂φ)/(∂t) + 1/2u⃗ ⋅ u⃗ + gz + p/ρ = f(t)
où f(t) est une fonction que l'on ne cherchera pas à déterminer mais qui ne dépend que du temps.
Quel résultat classique retrouve-t-on dans le cas d'un écoulement stationnaire?
Nous admettrons par la suite qu'il est possible de choisir une fonction f(t) = f_0 qui est indépendante du temps sans perte de généralité. On choisit f_0 = p_0/ρ, où p_0 est la pression atmosphérique immédiatement au-dessus de la surface du fluide. Nous supposerons que la pression atmosphérique est constante dans l'espace et dans le temps.
À ce stade, il est possible de spécifier quelques conditions aux limites du problème.
Le fluide est contenu dans un réservoir. La surface libre du fluide est caractérisée par un profil de hauteur z = η(x, t). Le fond du réservoir est situé à une altitude z = − H, de telle sorte que le plan z = 0 correspond à la surface du fluide au repos, sans la présence de vague. La vitesse du fluide dans la direction verticale est nulle sur le fond du réservoir :
u_z(x, z = − H, t) = (∂φ)/(∂z)|_(z = − H) = 0
◻ − 19. Montrer que, sur la surface libre z = η(x, t), on a la relation
(∂φ)/(∂z) = (∂η)/(∂t) + (∂φ)/(∂x)(∂η)/(∂x)
◻ − 20. Déterminer l'expression de la pression p(x, z = η, t) à la surface du fluide.
En déduire une seconde condition de surface libre :
η = − 1/g(∂φ)/(∂t)|_(z = η) − (u⃗ ⋅ u⃗)/(2g)|_(z = η).
Il n'est généralement pas possible de résoudre de façon générale les équations de la dynamique des fluides (ici conservation de la matière et Euler) avec les conditions aux limites discutées dans les questions précédentes.
Il est cependant possible de linéariser ces équations et ces conditions aux limites. On se place pour cela dans une limite de faible vitesse et de faible amplitude pour une vague de surface. Les premiers travaux en ce sens ont été menés par Joseph-Louis Lagrange dès le Xiii ^e siècle. Sous ces hypothèses, on peut linéariser les conditions de surface libre (8) et (9) qui deviennent
(∂η)/(∂t) = (∂φ)/(∂z)|_(z = 0) et η = − 1/g(∂φ)/(∂t)|_(z = 0)
et qui sont écrites sur la position de la surface libre au repos.
Pour trouver une solution décrivant la dynamique du fluide sous l'hypothèse de faible vitesse et faible amplitude, il ne reste plus qu'à trouver un potentiel de vitesse solution de l'équation de Laplace et satisfaisant ces conditions aux limites du problème. Pour ce faire, on utilise la méthode de séparation des variables en cherchant cette solution sous la forme φ(x, z, t) = X(x, t)Z(z).
◻ - 21. Montrer que les fonctions X(x, t) et Z(z) sont solutions du système d'équations suivant:
{(∂^2 X)/(∂x^2) = − μX; (d^2 Z)/(dz^2) = μZ
où μ est une constante qui ne dépend ni des coordonnées spatiales ni du temps.
On peut montrer par des arguments de symétrie que μ > 0.
La solution X(x, t) est alors de forme sinusoïdale comme il est possible de s'y attendre dans le cadre d'un modèle de vague se propageant le long de la direction x.
Pour la fonction définissant la surface libre du fluide, nous choisirons une forme d'onde plane progressive η(x, t) = Acos(kx − ωt) de nombre d'onde k, de pulsation ω et d'amplitude A, constante.
    1. En utilisant l'une des conditions de surface au repos montrer que les expressions
X(x, t) = sin(kx − ωt) et (dZ)/(dz)|_(z = 0) = γ = cste
résolvent le problème. On exprimera la constante γ en fonction de A et ω.
    1. En utilisant les résultats précédents complétés par la condition (7) au fond du réservoir, montrer qu'alors
Z(z) = ζ(cosh[k(z + H)])/(sinh(kH))
où l'on exprimera la constante ζ en fonction de A, ω et k. La solution totale correspondante φ(x, z, t) = X(x, t)Z(z) sera appelée par la suite «la vague linéaire ».
    1. En utilisant la condition de surface au repos non encore utilisée, établir la relation de dispersion de l'onde entre ω, g, k et la tangente hyperbolique de kH.
    1. Calculer la vitesse de phase v_φ de la vague linéaire.
Déterminer les deux expressions limites de v_φ lorsque la profondeur du réservoir H est petite ou grande devant la longueur d'onde de la vague linéaire. On commentera les expressions obtenues.
    1. Déterminer l'expression de la vitesse de groupe v_g de la vague linéaire en profondeur arbitraire.
      Montrer la relation v_g = (v_φ)/n[1 + nkH/sinh(2kH)] où n est un entier que l'on déterminera. En déduire les valeurs extrêmes du rapport v_g/v_φ.
      Au sein du fluide on considère deux vagues linéaires de même amplitude, mais de nombre d'onde et de pulsation distinctes : η_1(x, t) = Acos(k_1 x − ω_1 t) et η_2(x, t) = Acos(k_2 x − ω_2 t).
    1. Montrer que la vague résultante (surface du fluide) peut se mettre sous la forme η(x, t) = 2Acos(kx − ωt)cos(k^′ x − ω^′ t). On donnera l'expression des 4 paramètres k < k^′ et ω < ω^′ en fonction de k_1, k_2, ω_1 et ω_2.
      Tracer le profil cette vague résultante à un instant fixé t en représentant les longueurs d'ondes λ = 2π/k et λ^′ = 2π/k^′ sur le même schéma.

II.B De l'influence du fond.

Dans cette partie, nous étudierons de manière simplifiée l'influence du changement de profondeur lorsque les vagues approchent du bord de mer.
Dans le cadre de la théorie linéaire précédente, une vague est caractérisée par un profil de hauteur dépendant du temps t, de sa position latérale R⃗ = xeˆ_x + yeˆ_x, de son vecteur d'onde k⃗ et de sa pulsation ω.
Le profil est de la forme η(R⃗, t) = Acos(R⃗ ⋅ k⃗ − ωt). Nous supposerons que le nombre d'onde et la pulsation sont reliés par la relation de dispersion établie dans la partie précédente.
La zone étudiée présente une variation brutale de profondeur en passant de la profondeur H_1 à la profondeur H_2 lorsque l'abscisse x = 0 est franchie. Cette région de transition ainsi que les vecteurs d'ondes respectifs dans les zones 1 et 2 , notés k⃗_1 et k⃗_2, sont représentés sur la figure 4 ci-dessous. Dans ce modèle très simplifié on suppose qu'il n'y a pas d'onde réfléchie.
Figure 4 - Zone de changement de profondeur.
Nous supposerons que les pulsations des vagues sont identiques dans les deux milieux de profondeur différente. En notant k_(1, 2) = ‖k⃗_(1, 2)‖, on se place dans le régime pour lequel k_1 H_1≪1 et
k_2 H_2≪1. On note i_1 et i_2 les angles entre les vecteurs d'onde respectifs dans les zones 1 et 2 et la direction x, voir figure 4 .
    1. Que représentent les lignes pointillées orthogonales aux vecteurs d'ondes sur la figure 4 ? Montrer que la condition de continuité des profils de vague à l'interface impose d'une part des amplitudes identiques dans les deux zones et, d'autre part, une relation entre les angles i_1 et i_2 de la forme sini_1/sini_2 = f(H_1/H_2) où l'on précisera la fonction f.
    1. En déduire la façon dont varie la direction de propagation des vagues lorsqu'elles approchent du bord de mer, en supposant une variation continue de la profondeur.
Lorsque les vagues approchent du bord de mer, on cherche à déterminer également s'il y a un changement de l'amplitude de la vague, même dans le cadre de la théorie linéaire. Pour cela, on suppose l'absence de toute forme de dissipation dans le système. L'énergie mécanique moyenne du fluide par unité de surface horizontale s'écrit
E_m = 1/2ρgA^2.
Cette énergie est associée aux mouvements dans le fluide en présence d'une vague de surface. Il est possible de montrer que l'énergie moyenne correspondante est transportée par la vitesse de groupe de la vague dont l'intensité est notée v_g.
On considère une vague qui se propage dans la direction (O, eˆ_x). On indique que le flux d'énergie moyen pour une unité de longueur de vague d y, qui se propage dans cette direction est donnée par dP = E_m v_g dy. On considère toujours un changement de profondeur en x = 0.
    1. Déterminer l'expression du rapport des amplitudes de vagues dans les deux zones en fonction du rapport des vitesses de groupe.
      Comment varie l'amplitude de la vague à l'approche du rivage?
      Commenter ce résultat en considérant ceux de la question 28.

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines physique 2 PSI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines physique 2 PSI 2023 ?

Le sujet mobilise la mécanique et la composition des vitesses pour la planche à voile, puis la mécanique des fluides parfaits (conservation de la masse, relation d'Euler, relation de Bernoulli) et la physique des ondes pour les vagues.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines physique 2 PSI 2023 ?

Le jury relève des égalités entre vecteurs et scalaires, des résultats non homogènes, des schémas absents, des raisonnements qui partent du résultat donné et une méconnaissance de la notion de surface d'onde.

Le sujet Mines physique 2 PSI 2023 était-il long ?

Le jury le juge de longueur raisonnable et accessible, mais constate qu'à partir de la relation de dispersion le temps a manqué et que les questions simples de fin d'énoncé ont été peu abordées.

Les deux parties de Mines physique 2 PSI 2023 sont-elles indépendantes ?

Oui, l'énoncé précise que les deux parties sont totalement indépendantes. Le jury remarque que beaucoup de candidats ont délaissé presque entièrement l'une d'elles, le plus souvent la première.

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