Mines Physique 1 PSI 2023 - Sujet, corrigé et rapport du jury

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Physique en géométrie cylindrique : circulation capillaire, magnétron et lévitation magnétique

Le sujet réunit trois parties indépendantes décrites en coordonnées cylindriques. La première relie la viscosité du sang dans les capillaires à la puissance du cœur via la loi de Hagen-Poiseuille. La deuxième étudie le mouvement des électrons dans un magnétron, et la troisième la lévitation d'une bobine enroulée autour d'un cylindre magnétisable.

1Partie I : la circulation capillairedeuxième annéeNombre de Reynolds, estimation du débit dans un capillaire, écoulement de Poiseuille, résistance hydraulique et puissance du cœur.
2Partie II : le magnétronpremière et deuxième annéeChamp créé par un solénoïde, potentiel entre deux cylindres, mouvement plan des électrons, théorème du moment cinétique et énergie, puis prise en compte de la charge d'espace.
3Partie III : lévitation magnétiquedeuxième annéeMilieu magnétique linéaire, inductances propres et mutuelle de deux bobines, courant induit en régime harmonique et force moyenne sur la bobine mobile.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet d'un niveau robuste mais avec des points d'entrée accessibles ; les parties I et III, proches du cours, ont été convenablement traitées alors que la partie II a été très mal réussie.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,66 / 20 · écart-type 4,04 · 3 592 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 11,66/ 20
Écart-type: 4,04
Présents: 3 592
Coefficient: 3
Durée: 3 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 4 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confondre débit total et débit dans un capillaire · Applications numériques sans contrôle · Hypothèses implicites sur le potentiel

Les parties indépendantes et une correction graduée ont donné un bon étalement des notes, avec quelques copies excellentes et un nombre significatif de copies faibles. Le jury a sanctionné les formules non justifiées, les erreurs d'homogénéité non corrigées et les raisonnements incohérents. La partie sur le magnétron a été la moins réussie : moins du quart des points prévus a été obtenu sur presque toutes ses questions.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confondre débit total et débit dans un capillaireQ3
Beaucoup ont utilisé le débit global du sang au lieu de celui d'un seul capillaire, d'où un nombre de Reynolds aberrant qui aurait dû alerter.
« La confusion entre débit global et débit dans un capillaire unique a été très fréquente. »
2
Applications numériques sans contrôle
En fin de partie I, les valeurs numériques proposées s'éloignent énormément de la valeur attendue. Un résultat manifestement anormal doit conduire à rechercher l'erreur.
« les réponses fournies par les candidats s'étalent sur plus de trente ordres de grandeur de part et d'autre de la valeur attendue »
3
Hypothèses implicites sur le potentielQ12
Pour le potentiel entre cathode et anode, beaucoup ont supposé à tort un champ uniforme, une charge ponctuelle ou un laplacien réduit à une dérivée seconde.
« Cette question a donné lieu à de nombreuses réponses incorrectes, en général du fait de suppositions implicites inexactes »
4
Mouvement plan supposé au lieu d'être démontréQ13
Certains ont posé d'emblée la conservation du moment cinétique ou n'ont gardé que deux composantes de la vitesse, ce qui revient à admettre ce qu'il fallait prouver.
5
Théorème du cours énoncé de façon incomplèteQ14
Énoncer le théorème du moment cinétique impose de définir chaque terme ; des relations non universelles ou des confusions avec l'énergie cinétique ont été lues.
« lorsqu'il est demandé d'énoncer un théorème du cours, tous les termes cités doivent être définis. »
6
Réponses non argumentéesQ16
Dire que le mouvement est conservatif ou répondre oui ou non sans démonstration ni expression de l'énergie potentielle ne rapporte rien.
« À la question « le mouvement est-il conservatif », la réponse ne peut pas être un simple « oui ». »

Ce qui a été bien réussi

La plupart des candidats ont donné une expression correcte du nombre de Reynolds et souvent son interprétation physique.
L'établissement de l'écoulement de Poiseuille a été en général bien traité, par une approche locale ou par un bilan macroscopique.
Les premières questions de la partie III, proches du cours sur les milieux magnétiques et les inductances, ont été assez bien traitées.
La plupart des copies sont correctement rédigées et lisibles.

Conseils du jury

Repérer les résultats exigibles du programme cachés dans les questions et savoir les retrouver.
Pour le théorème d'Ampère, représenter clairement le contour fermé et son orientation.
Relire chaque réponse : raisonnement clair, bons paramètres, homogénéité vérifiée, puis encadrer le résultat.
Comparer toute valeur numérique aux données du sujet et aux connaissances générales ; s'entraîner au calcul sans calculatrice.
Faire des schémas légendés et traiter le sujet dans l'ordre plutôt que de glaner des bribes de réponses.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

27 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

27 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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A2023 - PHYSIQUE I PSI

Concours commun
Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique en géométrie cylindrique

Ce sujet est consacré à l'étude de divers phénomènes physiques décrits dans le système de coordonnées cylindriques (ou cylindro-polaires) (

r, θ, z

) du point

M

rappelé sur la figure 1;

m

est le projeté orthogonal de

M

sur le plan (

Oxy

). On rappelle aussi, dans ce système de coordonnées, les expressions de plusieurs opérateurs de l'analyse vectorielle. Les vecteurs sont surmontés d'une flèche (

a⃗

) sauf s'ils sont unitaires et sont alors repérés par un chapeau (

eˆ_x

).

Figure 1 - Coordonnées cylindriques d'axe (Oz).

Les parties I, II et III sont totalement indépendantes. La partie I établit le lien entre la viscosité du sang s'écoulant dans les vaisseaux capillaires (cylindriques) et la puissance de la pompe formée par le cœur humain. La partie II décrit quelques propriétés du tube (cylindrique) des magnétrons, utilisés notamment comme émetteurs d'ondes électromagnétiques dans les fours à micro-ondes. Enfin, la partie III étudie la possibilité de la lévitation magnétique d'une bobine d'induction enroulée autour d'un cylindre formé d'un matériau magnétisable linéaire.

Pour toutes les applications numériques on pourra se contenter d'un seul chiffre significatif.

I La circulation capillaire

En 1844, le physicien et médecin français Poiseuille débute son mémoire nommé «le Mouvement des liquides dans les tubes de petits diamètres

≫

par la phrase suivante : Les physiologistes et les pathologistes se sont beaucoup occupés à rechercher les causes pour lesquelles tel viscère recevait plus de sang que tel autre.

Il poursuit en indiquant que les causes essentielles en sont l'étendue et le diamètre des petits vaisseaux qui composent le système capillaire et la pression du sang, déterminée par l'action du cœur. Dans ce qui suit, le sang sera décrit comme un fluide en écoulement incompressible de masse volumique

ρ = 1, 1 \cdot 10^3 kg \cdot m^(- 3)

et de viscosité dynamique

η = 1, 6 \cdot 10^(- 3) Pa \cdot s

. Il s'écoule en régime stationnaire le long des vaisseaux capillaires, tubes cylindriques de rayon

R

variant de 3 à

15μ m

de diamètre. On s'intéressera ici à un capillaire typique, de rayon

R = 10μ m

.

1. Rappeler l'expression et la signification physique du nombre de Reynolds $R_e$ d'un écoulement.

La physiologie humaine adulte est caractérisée par un volume sanguin total de l'ordre de 5 à 6 litres, une longueur totale du système capillaire de l'ordre de 100000 km . Le volume systolique (la quantité de sang éjectée par chaque contraction du cœur) est d'environ 100 mL ; la fréquence cardiaque de repos d'un adulte sera prise à 60 battements par minute. Enfin, la section cumulative (somme de toutes les sections) de tous les capillaires est d'environ

σ = 0, 5 m^2

.

◻ - 2

. Estimer la longueur moyenne d'un vaisseau capillaire typique.

1. Estimer le débit massique moyen $D_m$ du sang dans un capillaire typique, puis le nombre de Reynolds $R_e$ associé. Conclure.

Un capillaire typique est un tube cylindrique rigide, d'axe (

Oz

), de rayon

R = 10μ m

et de longueur

ℓ = 5 cm

, parcouru par le fluide en écoulement incompressible et visqueux qui modélise le sang. On admet que la vitesse du sang ne dépend que de la distance

r

à l'axe et de la distance

z

parcourue depuis l'entrée dans le capillaire; on l'écrit

v\to = v(r, z)eˆ_z

. On néglige les effets de la pesanteur et la pression du sang dans le tube capillaire ne dépend que de

z

.

Figure 2 - Capillaire et élément de fluide étudié.

On étudie (cf. figure 2) l'écoulement du fluide situé à une distance au plus égale à

r

de l'axe du capillaire, sur une longueur arbitraire

h < ℓ

.

1. Montrer que le caractère incompressible de l'écoulement assure que cet élément de fluide n'est pas accéléré.
1. En déduire l'existence d'un gradient de pression $(dP)/(dz)$ constant dont on précisera l'expression en fonction, notamment, du terme de viscosité $η(\partialv)/(\partialr)$ .
1. Exprimer complètement $v(r, z)$ en fonction de $R, η$ et $(dP)/(dz)$ .
1. En déduire la résistance linéique d'écoulement $R_u$ , définie par la relation $|(dP)/(dz)| = R_u D_m$ .
1. Calculer numériquement l'écart de pression $ΔP$ de part et d'autre du capillaire en précisant en quel point la pression est la plus élevée.
1. Exprimer la puissance des forces de pression exercées sur le fluide traversant le capillaire en fonction de $ΔP, D_m$ et $ρ$ puis en fonction de $R_u, ρ, D_m$ et $ℓ$ .
1. Que peut-on en déduire concernant la puissance totale moyenne du cœur humain? On attend ici une réponse numérique.

II Le magnétron

Le magnétron est un générateur d'ondes radio (notamment utilisé pour la production des ondes de fréquence

f_0 = 2, 45GHz

utilisées dans les fours à micro-ondes). Les schéma de la figure 3 sont extraits du brevet américain № 2123728 déposé en 1938 par Telefunken.

Figure 3 - Brevets originaux du magnétron.

Le dispositif comporte un bobinage

M

, entourant le reste du dispositif et représenté sur la figure 3, qui crée un champ magnétostatique uniforme

B\to_0 = B_0 eˆ_z

et une cathode

C

cylindrique de rayon

a

, chauffée donc permettant d'émettre des électrons de faible vitesse. Ces électrons sont accélérés par la différence de potentiel avec une anode circulaire de rayon

b

(ici découpée en quatre parties

S_1, S_2, S_3

et

S_4

). L'anode est portée à une tension positive

U_0

relativement à

C

pour accélérer les électrons. Pour les applications numériques on prendra

a = 1 mm

et

b = 6 mm

. L'intérieur du dispositif est initialement vide. Un schéma de principe résumant le brevet original fait l'objet de la figure 4

Figure 4 - Schéma de principe du magnétron. Le bobinage extérieur

M

n'est pas représenté.

1. Comment choisir la géométrie du bobinage $M$ et le courant $I$ dans $M$ pour créer un tel champ magnétique?
1. Expliciter le potentiel électrostatique $V(r)$ en tout point de la cavité $a \leq r \leq b$ . On négligera tout effet de bord.

Au cours de leur mouvement, ces électrons (masse

m_e = 9, 1 \cdot 10^(- 31) kg

, charge

- e = - 1, 6 \cdot 10^(- 19)C

) passent dans la cavité entre les différentes parties de l'anode. Ils émettent une onde électromagnétique de pulsation égale à celle de leur mouvement au voisinage de l'anode. Dans un premier temps nous négligerons l'effet de la charge des électrons en mouvement sur le champ électromagnétique dans la cavité.

1. Montrer que le mouvement des électrons est plan.
1. Rappeler le théorème du moment cinétique; expliciter la vitesse angulaire $θ˙$ des électrons en fonction de $r, a$ et de $ω_c = eB_0/m_e$ .
  $◻$ - 15. Quelle valeur du champ magnétique faut-il imposer pour produire une onde de fréquence $f_0$ au voisinage de l'anode? Faire l'application numérique.

L'appareil ne fonctionne de façon satisfaisante que si les électrons atteignent en grand nombre le voisinage immédiat de l'électrode externe, mais sans jamais entrer en contact avec celle-ci.

1. Montrer que le mouvement est conservatif; en déduire l'expression de la vitesse radiale $r˙$ de l'électron en fonction de $r$ et des autres paramètres du problème.
1. Comment choisir la tension $U_0$ pour assurer le bon fonctionnement de l'appareil? On se contentera d'une expression analytique de $U_0$ en fonction de $e, m_e, B, a$ et $b$ sans faire l'application numérique.

En présence d'une densité assez élevée d'électrons, le champ électrique est modifié par leur présence. Nous ne ferons l'étude que d'une solution particulière du problème : on considère que tous les électrons tournent sur des trajectoires circulaires de rayons variables

a < r < b

à la même vitesse angulaire constante

ω

dans un champ magnétique supposé inchangé. On notera

ε_0

la permittivité du vide.

◻ - 18

. Expliciter, en fonction de

ω_c, ω, e, m_e

et

r

, le champ électrique

E⃗

présent dans la cavité et permettant un tel mouvement des électrons. On vérifiera que ce champ est fonction linéaire de

r

.

1. En déduire la différence de potentiel $U_0$ en fonction des mêmes paramètres et de $a$ et $b$ .
  $◻$ - 20. Exprimer la densité particulaire des électrons dans l'appareil en fonction de $a, b, U_0, ε_0$ et $e$ .
1. L'hypothèse consistant à considérer le champ magnétique comme inchangé est-elle raisonnable?

III Lévitation magnétique

On dispose (voir figure 5) deux spires plates, formées respectivement de

N_1

et

N_2

spires circulaires de rayon

R

et d'axe (

Oz

); elles entourent toutes les deux un cylindre de rayon très légèrement inférieur à

R

, de hauteur

ℓ

, formée d'un matériau magnétisable; on note

M^(\to-)

l'aimantation du matériau (moment dipolaire magnétique par unité de volume) et on supposera le milieu linéaire de susceptibilité magnétique

χ : M^(\to-) = χH\to

où

H\to

est l'excitation magnétique.

1. Déterminer la dimension de $χ$ .

Quelle relation lie

H⃗

et le champ magnétique

B⃗

?
Définir puis exprimer la perméabilité magnétique relative

μ_r

du milieu.
On admet que les lignes de champ des vecteurs

H\to, B\to

et

M^(\to-)

à l'intérieur du milieu magnétique sont des droites parallèles à

(Oz)

. On notera

B\to = B_0(z)eˆ_z

Figure 5 - Système de deux bobines.

1. Montrer que ces trois champs sont uniformes dans ce milieu.

En négligeant le champ magnétique à l'extérieur du milieu magnétique, exprimer

B_0

en fonction de

μ_r, μ_0, N_1, N_2, ℓ

et des courants

I_1

et

I_2

dans les deux bobines.

◻ - 24

. En déduire les inductances propres

L_1

et

L_2

des deux bobines et leur inductance mutuelle

M_0

.
Dans ce qui suit, la bobine

N^\circ1

est fixe à la base

z = 0

du cylindre et l'on considère que

C_1

se situe à l'origine

O

de l'axe (

Oz

). La bobine

N^\circ2

est mobile; on note

z

l'abscisse de son centre

C_2

. On suppose enfin que l'inductance mutuelle

M(z)

est une fonction positive monotone décroissante de

z

qu'on écrira sous la forme

M(z) = M_0 f(z)

.

Le courant électrique

I_1(t) = Icos(ωt)

est imposé par un générateur que l'on ne précisera pas. La spire

N^\circ2

est fermée sur elle-même et on nomme

G

sa conductance électrique.

1. Déterminer, en régime harmonique forcé et à altitude $z$ fixée, l'expression du courant induit sous la forme $I_2(z, t) = I[β(z)sin(ωt) - α(z)cos(ωt)]$ . On exprimera les fonctions $β(z)$ et $α(z)$ en fonction de $G, M(z), ω$ et $L_2$ .
1. Montrer que, dans des conditions d'approximation à préciser, l'expression de la composante radiale du champ $B\to_(1 \to 2)$ créé par la bobine $N^o 1$ au niveau de la bobine $N^o 2$ , s'écrit

B_r = eˆ_r \cdot B^(\to-)_(1 \to 2) ≃ - (μ_0 μ_r N_1 R)/(2ℓ)I_1(t)(df)/(dz).

◻ - 27

. En déduire la valeur moyenne, sur une période, de la force exercée sur la bobine

N^\circ2

. Commenter son signe et l'influence de

z

sur cette force.

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines-Ponts Physique 1 PSI 2023 ?

Il mobilise la mécanique des fluides visqueux (loi de Hagen-Poiseuille), l'électrostatique et la magnétostatique, la mécanique du point avec la force de Lorentz, ainsi que les milieux magnétiques et l'induction.

Quelle partie de Mines Physique 1 PSI 2023 a été la moins réussie ?

La partie II sur le magnétron : le jury a attribué moins du quart des points prévus à toutes ses questions sauf la première.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Physique 1 PSI 2023 ?

La confusion entre débit global et débit dans un capillaire, des applications numériques absurdes non corrigées, des hypothèses implicites fausses sur le potentiel, et des théorèmes énoncés sans définir leurs termes.

Mines Physique 1 PSI 2023 est-il faisable en première année ?

En partie seulement. Le jury rattache la partie sur le magnétron à des capacités de première et de deuxième année, et les parties I et III au programme de PSI.

Mines Physique 1 PSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Faisable en sup ?

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A2023 - PHYSIQUE I PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.
Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

Physique en géométrie cylindrique

I La circulation capillaire

II Le magnétron

III Lévitation magnétique

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mines-Ponts Physique 1 PSI 2023 ?

Quelle partie de Mines Physique 1 PSI 2023 a été la moins réussie ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Physique 1 PSI 2023 ?

Mines Physique 1 PSI 2023 est-il faisable en première année ?

Commentaires• Mines Physique 1 PSI 2023

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II Le magnétron

III Lévitation magnétique

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Sur quels chapitres porte le sujet Mines-Ponts Physique 1 PSI 2023 ?

Quelle partie de Mines Physique 1 PSI 2023 a été la moins réussie ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Physique 1 PSI 2023 ?

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