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Mines Mathématiques 2 PSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Distance entre deux distributions de probabilités surN

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Approximation de lois de Poisson : points fixes des permutations et distance en variation totale
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Le sujet étudie plusieurs façons d'approcher une loi de Poisson par des lois à support fini. Il détermine d'abord, par une série entière génératrice, la loi du nombre de points fixes d'une permutation aléatoire et sa convergence vers la loi de Poisson de paramètre 1. Il introduit ensuite la distance en variation totale pour quantifier cette convergence, puis l'utilise avec le produit de convolution pour comparer loi binomiale et loi de Poisson, et deux lois de Poisson entre elles.

  1. 1Partie 1 : nombre de points fixes d'une permutationDérangements, série entière génératrice et produit de Cauchy, loi, espérance et variance du nombre de points fixes, limite vers une loi de Poisson.
  2. 2Partie 2 : convergence en variation totalePropriétés de distance, calculs pour des lois de Bernoulli et estimation de la vitesse de convergence de la loi des points fixes.
  3. 3Partie 3 : autres estimations de distances en variation totaleProduit de convolution de distributions, somme de variables indépendantes, approximation binomiale-Poisson et comparaison de deux lois de Poisson.

Difficulté moyenne. Selon le rapport, le sujet pouvait être traité en entier dans le temps imparti, mais il exigeait une vérification rigoureuse des hypothèses qui a fait défaut à beaucoup de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,38 / 20 · écart-type 4,52 · 3 591 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
11,38/ 20
Écart-type
4,52
Présents
3 591
Coefficient
3
Durée
3 h
moyenne 11,3805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Rayon de convergence sans valeur absolue · Produit de Cauchy appliqué sans hypothèses · Dénombrements flous
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Le sujet pouvait être traité intégralement, et plusieurs candidats y sont presque parvenus. Le jury déplore surtout le manque de soin dans la vérification des hypothèses des théorèmes, des raisonnements de dénombrement très flous et un net relâchement dans la présentation. Les copies qui survolaient toutes les questions ont obtenu des notes très faibles, tandis que les candidats rigoureux se sont nettement détachés.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Rayon de convergence sans valeur absolueQ1, Q3

    Il faut raisonner sur le module du terme général et distinguer la série entière de sa somme ; comparer des sommes ne suffit pas à conclure sur un rayon.

    « Les questions de rayon de convergence sont rarement satisfaisantes : presque tous les candidats oublient de considérer la valeur absolue du terme général »
  2. 2
    Produit de Cauchy appliqué sans hypothèsesQ3, Q16, Q19

    Les conditions du théorème (convergence absolue, positivité des termes) sont rarement citées. Le rayon d'un produit n'est pas toujours le minimum des deux rayons.

    « une proportion très importante de candidats annoncer que le rayon de convergence du produit de Cauchy est systématiquement le minimum des rayons de convergence »
  3. 3
    Dénombrements flousQ2, Q6

    Le jury n'exige pas un formalisme lourd, mais un partitionnement clair des permutations selon leurs points fixes et le rappel que la probabilité est uniforme.

    « le jury est frappé des raisonnements souvent très vagues, et régulièrement confus, qu'il a pu lire »
  4. 4
    Indépendance supposée à tortQ7

    Les indicatrices de points fixes ne sont pas indépendantes et le nombre de points fixes ne suit pas une loi binomiale ; le calcul de la variance est ensuite rarement juste.

    « les variables Ui présentant une véritable dépendance »
  5. 5
    Inégalités mal justifiéesQ12, Q14, Q18

    Signes levés sans explication, inégalités multipliées sans citer la positivité, convexité invoquée sans préciser l'inégalité du programme utilisée.

    « ne fait que laisser planer le doute sur l'honnêteté des candidats concernés »
  6. 6
    Équivalents et formules hors de leur domaineQ13, Q14

    Une formule établie pour k compris entre 0 et n ne s'utilise pas au-delà sans explication, et un équivalent nul n'a de sens que pour une suite nulle à partir d'un certain rang.

    « Un nombre trop élevé de candidats trouve un équivalent nul sans remord visible »

Ce qui a été bien réussi

  • Le cardinal du groupe symétrique (Q1) est bien connu.
  • Beaucoup de candidats pensent à écrire le nombre de points fixes comme somme d'indicatrices (Q7), et la loi de Poisson de paramètre 1 est généralement reconnue (Q8).
  • La question 10 sur les propriétés de la distance a posé peu de difficultés.
  • La question 15 a reçu un nombre substantiel de réponses correctes, avec des méthodes variées.

Conseils du jury

  • S'investir réellement dans le sujet plutôt que picorer : le survol de toutes les questions mène à des notes très faibles.
  • Citer et vérifier les hypothèses de chaque théorème, en particulier pour les produits de Cauchy.
  • Citer précisément les résultats antérieurs utilisés et les questions où ils ont été obtenus.
  • Quantifier correctement les propositions et fixer les objets avant de raisonner.
  • Savoir retrouver en quelques lignes la fonction génératrice d'une loi de Poisson, qui ne peut pas être utilisée directement.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

1 Nombre de points fixes d'une permutation.

Soit n un entier naturel non nul. On note S_n l'ensemble des permutations de l'intervalle entier [ [1, n] ] = {1, 2, ⋯, n}, c'est-à-dire des bijections de [ [1, n] ] vers lui-même. Si σ ∈ S_n est une permutation, on appelle point fixe de σ tout entier i ∈ [ [1, n] ] tel que σ(i) = i.
Une permutation σ ∈ S_n est appelée un dérangement si elle n'a aucun point fixe. Pour tout n ≥ 1, on note d_n le nombre de dérangements de l'intervalle entier [[1,n]]. Par convention, on pose d_0 = 1.
On munit l'ensemble fini S_n de la probabilité uniforme notée P_n. Sur l'espace probabilisé fini (S_n, P_n), on définit la variable aléatoire X_n telle que, pour tout σ ∈ S_n, X_n(σ) est le nombre de points fixes de la permutation σ.
On introduit enfin la série entière ∑_(n ≥ 0)(d_n)/(n!)x^n, dont le rayon de convergence est noté R, et dont la somme sur l'intervalle de convergence ] - R, R [ est notée s :
∀x ∈ ] − R, R[ s(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(d_n)/(n!)x^n.
1▹ Rappeler le cardinal de S_n. En déduire que R ≥ 1.
2▹ Pour k ∈ [ [0, n] ], montrer que le nombre de permutations de [ [1, n] ] ayant exactement k points fixes est (n/k)d_(n − k).
En déduire que P_n(X_n = k) = (d_(n − k))/(k!(n − k)!).
3 - Montrer que
∀x ∈ ] − 1, 1[ s(x)e^x = 1/(1 − x)
En déduire que R = 1.
4▹ En partant de la relation (1 − x)s(x) = e^(− x) pour x ∈ ] − 1, 1[, exprimer (d_n)/(n!) pour n entier naturel, sous la forme d'une somme.
5- Montrer que la loi de la variable aléatoire X_n est donnée par
∀k ∈ [ [0, n] ] P_n(X_n = k) = 1/(k!)∑_(i = 0)^(n − k)((− 1)^i)/(i!).
6▹ Sur l'espace probabilisé fini (S_n, P_n), on définit, pour tout i ∈ [ [1, n] ]], la variable aléatoire U_i telle que, pour tout σ ∈ S_n, on ait U_i(σ) = 1 si σ(i) = i, et U_i(σ) = 0 sinon.
Montrer que U_i suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/n.
Montrer que, si i ≠ j, la variable U_i U_j suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.
7▹ Exprimer X_n à l'aide des U_i, 1 ≤ i ≤ n. En déduire l'espérance E(X_n) et la variance V(X_n).
8▹ Dans cette question, on fixe un entier naturel k. Déterminer
y_k = lim_(n → + ∞)P_n(X_n = k)
Soit Y une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), à valeurs dans N, et vérifiant
∀k ∈ N P(Y = k) = y_k
Reconnaître la loi de Y.
9▹ On note G_(X_n) et G_Y les fonctions génératrices respectives des variables X_n et Y de la question précédente. Exprimer G_(X_n)(s) sous forme de somme, pour s réel, et vérifier que
∀s ∈ R lim_(n → + ∞)G_(X_n)(s) = G_Y(s).

2 Convergence en variation totale

Dans la suite du problème, on appelle distribution (de probabilités) sur N toute application x : N → R_+telle que
∑_(k = 0)^(+ ∞)x(k) = 1
On note D_N l'ensemble des distributions de probabilités sur N.
Si x et y sont deux distributions sur N, on définit la distance en variation totale entre x et y par
d_(VT)(x, y) = 1/2∑_(k = 0)^(+ ∞)|x(k) − y(k)|
10▹ Soient x, y, z trois distributions sur N. Prouver les propriétés :
0 ≤ d_(VT)(x, y) ≤ 1;; d_(VT)(x, y) = 0 ⟺ x = y;; d_(VT)(y, x) = d_(VT)(x, y);; d_(VT)(x, z) ≤ d_(VT)(x, y) + d_(VT)(y, z).
Si X est une variable aléatoire à valeurs dans N, définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ), on note p_X la distribution de probabilités de X. Ainsi, p_X est l'application de N vers R_+définie par
∀k ∈ N p_X(k) = P(X = k).
Il est clair que p_X ∈ D_N.
En particulier, si λ est un réel strictement positif, on appelle distribution de Poisson de paramètre λ l'application π_λ : N → R_+telle que
∀k ∈ N π_λ(k) = e^(− λ)(λ^k)/(k!).
11▹ Soient X et Y deux variables de Bernoulli, ayant respectivement pour paramètres λ ∈ ]0, 1[ et μ ∈ ]0, 1[. Calculer d_(VT)(p_X, p_Y).
12▹ Soit X une variable de Bernoulli de paramètre λ ∈ ]0, 1[. Montrer que
d_(VT)(p_X, π_λ) = λ(1 − e^(− λ))
En déduire que
d_(VT)(p_X, π_λ) ≤ λ^2
On considère de nouveau les variables aléatoires X_n introduites dans la partie 1 . Les questions 8. et 9. semblent montrer une certaine "convergence" des lois des variables X_n vers la loi de Poisson de paramètre 1. Le but de la fin de cette partie est de montrer que
d_(VT)(p_(X_n), π_1) ⟶ _(n → + ∞)0
et que cette convergence est assez rapide.
13▹ Vérifier la relation, pour tout n entier naturel non nul,
2d_(VT)(p_(X_n), π_1) = ∑_(k = 0)^n 1/(k!)|∑_(i = n − k + 1)^(+ ∞)((− 1)^i)/(i!)| + e^(− 1)∑_(k = n + 1)^(+ ∞)1/(k!).
14▹ Pour n entier naturel, on pose r_n = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)1/(k!). Prouver la majoration
r_n ≤ 1/((n + 1)!)∑_(k = 0)^(+ ∞)1/((n + 2)^k)
En déduire un équivalent simple de r_n lorsque n tend vers + ∞.
15▹ En continuant de majorer le second membre de l'égalité de la question 13., établir l'estimation
d_(VT)(p_(X_n), π_1) = _(n → + ∞)O((2^n)/((n + 1)!))
On pourra faire intervenir des coefficients binomiaux.

3 Autres estimations de distances en variation totale

Si x et y sont deux distributions de probabilités sur N, on définit l'application x∗y : N → R_+par
∀k ∈ N (x∗y)(k) = ∑_(i = 0)^k x(i)y(k − i) = ∑_(i + j = k)x(i)y(j).
16▹ Montrer que x∗y est une distribution sur N.
17▹ Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans N, définies sur un même espace probabilisé ( Ω, A, P ). Prouver la relation
p_(X + Y) = p_X∗p_Y
18▹ Soient (x, y, u, v) ∈ (D_N)^4. Montrer que, pour tout k entier naturel,
|(x∗y)(k) − (u∗v)(k)| ≤ ∑_(i + j = k)y(j)|x(i) − u(i)| + ∑_(i + j = k)u(i)|y(j) − v(j)|.
19▹ Avec les notations de la question précédente, établir l'inégalité
d_(VT)(x∗y, u∗v) ≤ d_(VT)(x, u) + d_(VT)(y, v)
20▹ Soit U une variable binomiale de paramètres n ∈ N^∗ et λ ∈ ]0, 1[. Prouver l'inégalité
d_(VT)(p_U, π_(nλ)) ≤ nλ^2.
21▹ Soit α un réel strictement positif. Pour tout entier naturel n tel que n > ⌊α⌋, on note B_n une variable binomiale de paramètres n et α/n. Pour tout k entier naturel, déterminer
lim_(n → + ∞)P(B_n = k).
On pourra utiliser la question précédente.
22▹ Soient α et β deux réels strictement positifs. En utilisant les résultats et les méthodes qui précèdent, montrer que
d_(VT)(π_α, π_β) ≤ |β − α|

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2023 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2023 ?

Sur l'approximation des lois de Poisson : loi du nombre de points fixes d'une permutation aléatoire, distance en variation totale, produit de convolution et approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 PSI Mines-Ponts 2023 ?

Des rayons de convergence traités sans valeur absolue, des produits de Cauchy appliqués sans hypothèses, des dénombrements flous, une indépendance supposée à tort en Q7 et des inégalités multipliées sans vérifier la positivité.

Le sujet Mines-Ponts maths 2 PSI 2023 était-il trop long ?

Non : selon le rapport, il pouvait être traité intégralement dans le temps imparti, et plusieurs candidats y sont presque parvenus. En dehors des premières questions et des questions 6, 8, 10 à 12, 16 et 17, le reste a été moins souvent abordé.

Faut-il aborder toutes les questions du Mines maths 2 PSI 2023 ?

Le jury déconseille fortement le picorage. Les copies qui survolaient toutes les questions ont en général reçu une note très faible.

Pas de description pour le moment