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Mines Mathématiques 2 PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Matrices de Hurwitz : matrices semi-simples, polynômes de Hurwitz et stabilité des systèmes différentiels linéaires
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Le sujet étudie le comportement en +∞ des solutions réelles d'un système différentiel linéaire à coefficients constants. Il caractérise les matrices réelles diagonalisables sur C par une réduction réelle diagonale par blocs, puis les endomorphismes diagonalisables par l'existence de supplémentaires stables. Il étudie ensuite les polynômes de Hurwitz et montre que, pour une telle matrice, toutes les solutions tendent vers 0 si et seulement si son polynôme caractéristique est de Hurwitz.

  1. 1Partie 1 : matrices semi-simplesMatrices réelles diagonalisables sur C et réduction sur R à une forme diagonale par blocs de similitude.
  2. 2Partie 2 : une caractérisation des matrices diagonalisables de Mn(C)Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace possède un supplémentaire stable.
  3. 3Partie 3 : polynômes de HurwitzSigne des coefficients, diviseurs, produit de polynômes à coefficients strictement positifs et critère à l'aide d'un second polynôme.
  4. 4Partie 4 : système différentiel de matrice semi-simpleChangement de variable dans un système différentiel, résolution en dimension 2 par une variable complexe et équivalence entre polynôme de Hurwitz et convergence des solutions vers 0.

Difficile. Le rapport juge le sujet plutôt long, avec plusieurs questions demandant une grande autonomie, et note que même des questions élémentaires comme Q7 et Q15 ont été très mal réussies.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,73 / 20 · écart-type 3,89 · 3 615 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,73/ 20
Écart-type
3,89
Présents
3 615
Durée
3 h
moyenne 8,7305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Bases extraites et supplémentaires · Réduire sur R et non sur C · Équivalences absurdes
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Beaucoup de candidats ont abordé les trois premières parties et le début de la quatrième. La partie 2 a révélé une compréhension très superficielle de l'algèbre linéaire, avec des erreurs graves sur les bases et les supplémentaires. En dehors des questions très classiques, le jury observe une grande difficulté à conduire un raisonnement structuré.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Bases extraites et supplémentairesQ7, Q9

    Un sous-espace n'admet en général aucune base extraite d'une base donnée de l'espace. Il n'existe pas « le » supplémentaire d'un sous-espace : il y en a plusieurs.

    « le jury ne peut être qu’agacé lorsque les candidats parlent « du » supplémentaire d’un sous-espace vectoriel »
  2. 2
    Réduire sur R et non sur CQ2, Q3, Q6

    Dans les questions 2, 3 et 6, la réduction devait se faire sur le corps des réels. L'égalité des polynômes caractéristiques ne garantit pas la similitude.

    « l’égalité des polynômes caractéristiques ne garantit en rien la similitude des matrices concernées »
  3. 3
    Équivalences absurdesQ4

    Beaucoup tentent de prouver l'équivalence de la semi-simplicité avec chacune de deux conditions pourtant incompatibles. Une matrice diagonalisable n'a pas forcément un polynôme caractéristique à racines simples.

    « tout cela démontre un manque inquiétant de bon sens logique »
  4. 4
    Justifications absentes sur des questions simplesQ7, Q8

    Il faut indiquer quelle hypothèse sert à quel moment et justifier en détail pourquoi l'intersection avec une droite est nulle.

    « Le taux de réussite de cette question est extrêmement décevant »
  5. 5
    Coefficients d'un produit de polynômesQ15

    Très peu écrivent une formule correcte pour les coefficients de AB, en complétant par des coefficients nuls. Traiter seulement le cas de deux polynômes de même degré ne suffit pas.

  6. 6
    Constante réelle dans une solution complexeQ18

    En résolvant z' = (a-ib)z, la constante multiplicative doit être prise dans C et non dans R. La reconnaissance des parties réelle et imaginaire doit être explicitée.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 affiche un taux de réussite satisfaisant.
  • La semi-simplicité de B en début de question 2 est en général bien établie.
  • La question 11 a été assez bien réussie.

Conseils du jury

  • Pour « montrer que si A alors B », écrire explicitement « on suppose A ».
  • Maîtriser les théorèmes de la base incomplète et de la base extraite dans leur version exacte.
  • Expliciter les notations introduites au lieu de renvoyer vaguement à celles de l'énoncé.
  • Choisir le point de vue le plus efficace, par exemple une forme factorisée quand les conditions portent sur les racines.
  • Soigner la précision du langage, qualité essentielle attendue d'un futur ingénieur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Matrices de Hurwitz

Notations

  • n désigne un entier naturel non nul.
  • K désigne R ou C.
  • M_n(K) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n et à coefficients dans K et pour une matrice M de M_n(K), on note χ_M son polynôme caractéristique.
  • K[X] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K, K_n[X] désigne le sous-espace vectoriel de K[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
  • Re^− = {z ∈ C/Re(z) < 0}.
  • On désigne par < ., . > le produit scalaire usuel de R^n et ‖. ‖sanormeassociée :
< (x_1, x_2, …, x_n), (y_1, y_2, …, y_n) >, = ∑_(i = 1)^n x_i y_i; ‖(x_1, x_2, …, x_n)‖, = √(∑_(i = 1)^n x_i^2⎷)
  • On confondra abusivement, pour le calcul matriciel, le vecteur X = (x_1, x_2, …, x_n) de K^n avec la matrice colonne X = (x_1; x_2; ⋅; ⋅; ⋅; x_n) de ses coordonnées dans la base canonique de K^n.
  • Pour X = (x_1, x_2, …, x_n) de C^n, on notera son conjugué X¯ = (x_1^–, x_2^–, …, x_n^–), sa partie réelle Re(X) = (X + X¯)/2 et sa partie imaginaire Im(X) = (X − X¯)/(2i).
  • Si M ∈ M_n(R), l'endomorphisme de R^n (respectivement C^n ) canoniquement associé à M est
R^n, → R^n; X, ↦ MX (respectivement C^n, →, C^n; X, ↦)

Rappels

  1. Deux matrices A et B de M_n(K) sont semblables dans M_n(K) si il existe une matrice P de M_n(K) inversible telle que A = PBP^(− 1).
    Deux matrices A et B de M_n(R) sont semblables dans M_n(C) si il existe une matrice P de M_n(C) inversible telle que A = PBP^(− 1).
  2. Soient R et S deux polynômes de K[X].R est un diviseur de S s'il existe un polynôme Q de K[X] tel que S = QR.
Les polynômes irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.

Objectifs

  • Il s'agit d'établir pour un système différentiel linéaire d'ordre 1, une équivalence entre des propriétés qualitatives des solutions et des conditions portant sur la nature de la matrice asssociée à ce système et de son polynôme caractéristique.
  • La partie 1 concerne l'étude de propriétés de matrices semi-simples.
  • La partie 2 propose de trouver une caractérisation de matrices diagonalisables de M_n(C).
  • La partie 3 est consacrée à l'étude des polynômes de Hurwitz.
  • Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.
  • La partie 4, sur l'équivalence anoncée pour les systèmes différentiels, utilise des résultats des parties 1 et 3 .

1 Matrices semi-simples

Définition 1 Une matrice de M_n(R) est dite semi-simple si elle est diagonalisable dans M_n(C).
Définition 2 Une matrice M de M_n(R) est dite presque diagonale s'il existe :
i) deux entiers naturels p et q;
ii) q réels a_1, a_2, …, a_q;
iii) q réels non nuls b_1, b_2, …, b_q;
iv) une matrice D diagonale de M_p(R) tels que p + 2q = n et M est la matrice bloc suivante :
M = (D, 0, 0, 0, …, …, 0; 0, M(a_1, b_1), 0, 0, …, …, 0; 0, 0, M(a_2, b_2), 0, …, …, 0; 0, 0, 0, ⋱, 0, …, 0; ⋮, ⋮, ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; 0, 0, …, 0, 0, ⋱, 0; 0, 0, …, 0, 0, 0, M(a_q, b_q))
où, ∀j ∈ [ [1; q] ] : M(a_j, b_j) = (a_j, b_j; − b_j, a_j). Si p = 0, la matrice D n'est pas présente dans la matrice diagonale par blocs M. De même, si q = 0, alors M = D.
Soit A la matrice de M_2(R) définie par :
A = (1, 1; − 1, 3)
1▹ La matrice A est-elle semi-simple?
Soit B la matrice de M_2(R) définie par :
B = (3, 2; − 5, 1)
2▹ Démontrer que B est semi-simple et en déduire l'existence d'une matrice Q de M_2(R) inversible et de deux réels a et b à déterminer tels que :
B = Q(a, b; − b, a)Q^(− 1)
Indication : on pourra, pour un vecteur propre V de B, introduire les vecteurs W_1 = Re(V) et W_2 = Im(V).
Soit M une matrice de M_2(R).
On suppose dans la question 3) seulement que M admet deux valeurs propres complexes μ = a + ib et μ¯ = a − ib avec a ∈ R et b ∈ R^∗.
3▹ Démontrer que M est semi-simple et semblable dans M_2(R) à la matrice :
(a, b; − b, a)
4▹ Démontrer que M est semi-simple si et seulement si l'une des conditions suivantes est satisfaite :
i) M est diagonalisable dans M_2(R);
ii) χ_M admet deux racines complexes conjuguées de partie imaginaire non nulle.
5▹ Soit N une matrice de M_n(R) semblable à une matrice presque diagonale. Démontrer que N est semi-simple.
6▹ Soit N une matrice de M_n(R). Donner la forme factorisée de χ_N dans C[X], en précisant dans les notations, les racines réelles et les racines complexes conjuguées. En déduire que si N est semi-simple alors elle est semblable dans M_n(R) à une matrice presque diagonale.

2 Une caractérisation des matrices diagonalisables de M_n(C)

Dans cette partie, E désigne un C-espace vectoriel de dimension n et u désigne un endomorphisme de E.
On suppose dans les questions 7), 8) et 9) que u est diagonalisable. On note B = (v_1, v_2, …, v_n) une base de E formée de vecteurs propres de u. Soit F un sous-espace vectoriel de E, différent de {0_E} et de E.
7▹ Démontrer qu'il existe k ∈ [ [1; n] ] tel que v_k ∉ F et qu'alors F et la droite vectorielle engendrée par v_k sont en somme directe.
On note alors
A = {H sous-espace vectoriel de E tel que u(H) ⊂ H et F ∩ H = {0_E}}
et
L = {p ∈ N^∗∃H ∈ A : p = dim(H)}.
8 - Démontrer que L admet un plus grand élément que l'on nommera r.
9▹ Démontrer que F admet un supplémentaire G dans E, stable par u.
10 - On suppose que tout sous-espace vectoriel de E possède un supplémentaire dans E, stable par u. Démontrer que u est diagonalisable. En déduire une caractérisation des matrices diagonalisables de M_n(C).
Indication : on pourra raisonner par l'absurde et introduire un sous-espace vectoriel, dont on justifiera l'existence, de dimension n − 1 et contenant la somme des sous-espaces propres de u.

3 Polynômes de Hurwitz

Définition 3 Un polynôme P ∈ R[X] est dit polynôme de Hurwitz si ses racines dans C appartiennent à Re^− = {z ∈ C/Re(z) < 0}.
Définition 4 Un polynôme P ∈ R[X] est dit à coefficients strictement positifs s'il est non nul et si, d désignant son degré, P = ∑_(k = 0)^d a_k X^k où, pour tout k ∈ [0, d], a_k > 0
11 - Soit α ∈ R. Démontrer que si α est une racine d'un polynôme P de R[X], à coefficients strictement positifs, alors α < 0.
12▹ Démontrer que tout diviseur d'un polynôme de Hurwitz est un polynôme de Hurwitz.
13▹ Soit P un polynôme de Hurwitz de R[X] irréductible et à coefficient dominant positif. Démontrer que tous les coefficients de P sont strictement positifs.
Soit n ∈ N^∗. Soient (z_1, z_2, …, z_n) ∈ C^n. On définit les deux polynômes P(X) et Q(X) de C[X] par :
P(X) = ∏_(k = 1)^n(X − z_k) et Q(X) = ∏_((k, l) ∈ [ [1; n] ]^2)(X − z_k − z_l)
14▹ On suppose n = 2 et P ∈ R_2[X]. Si les coefficients de Q sont strictement positifs, P est-il alors un polynôme de Hurwitz?
15▹ Soient A et B deux polynômes de R[X] dont tous les coefficents sont strictement positifs. Démontrer que les coefficients du produit AB sont également strictement positifs.
16▹ Démontrer que si P et Q sont dans R[X], alors on a l'équivalence : P est un polynôme de Hurwitz si et seulement si les coefficients de P et Q sont strictement positifs.

4 Système différentiel de matrice associée semi-simple

Soit M ∈ M_n(R). On note ( S ) le système différentiel :
(S) X^′ = MX
où X est une application de la variable t de R dans R^n, dérivable sur R.
Soit T ∈ M_n(R). On suppose que M est semblable à T dans M_n(R) et on note ( S^∗ ) le système différentiel
(S^∗) Y^′ = TY
17▹ Démontrer que les coordonnées d'une solution X de ( S ) sont combinaisons linéaires des coordonnées d'une solution Y de (S^∗).
Dans les deux questions suivantes 18) et 19), on suppose n = 2, on note alors X = (x; y) où x et y sont deux fonctions dérivables de R dans R et on pose z = x + iy.
On suppose qu'il existe a et b réels tels que M = (a, b; − b, a).
18▹ Démontrer que X est solution de (S) si et seulement si z est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 à déterminer. En déduire une expresssion, en fonction de t, des coordonnées des solutions de (S).
Résoudre le système X^′ = BX où B est la matrice de la question 2).
19▹ Soit M ∈ M_2(R) semi-simple. Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur les parties réelles et imaginaires des valeurs propres de M, pour que toute solution de (S) ait chacune de ses coordonnées qui tende vers 0 en + ∞.
On reprend le cas général n ≥ 2 et on considère les assertions suivantes :
A_1 χ_M est un polynôme de Hurwitz;
A_2 Les solutions de ( S ) tendent vers 0_(R^n) quand t tend vers + ∞;
A_3 Il existe α > 0, il existe k > 0 tels que pour toute solution Φ de (S),
∀t ≥ 0 : ‖Φ(t)‖ ≤ ke^(− αt)‖Φ(0)‖
Soit T ∈ M_n(R). On suppose que T vérifie la condition suivante :
(C) ∃β ∈ R_+^∗, ∀X ∈ R^n : < TX, X>≤ − β‖X‖^2.
20▹ Démontrer que A_3 est vraie avec k = 1 pour toute solution Φ de (S^∗).
Indication : on pourra introduire la fonction t ↦ e^(2βt)‖Φ(t)‖^2.
21▹ On suppose que M ∈ M_n(R) est semi-simple. Démontrer que les assertions A_1, A_2 et A_3 sont équivalentes.
Indication : on pourra commencer par A_3 implique A_2.

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2022 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2022 ?

Sur les matrices de Hurwitz : matrices réelles diagonalisables sur C, caractérisation des endomorphismes diagonalisables, polynômes de Hurwitz et convergence vers 0 des solutions d'un système différentiel linéaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Mines-Ponts maths 2 PSI 2022 ?

Des bases de sous-espaces supposées extraites d'une base de l'espace, des réductions faites sur C au lieu de R, des équivalences absurdes en Q4, des formules fausses pour les coefficients d'un produit de polynômes en Q15.

Les parties du sujet Mines maths 2 PSI 2022 sont-elles indépendantes ?

Oui pour les trois premières. La quatrième partie réutilise des résultats antérieurs : l'énoncé cite les parties 1 et 3, le rapport la seule partie 1.

Quelles questions du Mines maths 2 PSI 2022 étaient les plus difficiles ?

Le jury cite la question 6, où il n'a presque pas vu de réponse vraiment satisfaisante, et la fin de la dernière partie, qui demandaient une grande autonomie.

Pas de description pour le moment