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X-ENS 2017 - PSI

Notations

Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes.

Pour toute fonction définie sur un intervalle de $ℝ$ et tout entier $n \geq 1$ , on note $f^((n))$ la dérivée $n$ -ième de $f$ sur cet intervalle (si elle existe). Ainsi, $f^((1)) = f^', f^((2)) = f^('')$ etc. On convient que $f^((0)) = f$ .
Pour tout entier $n \geq 1$ , on note $n! = 1 \times \dots \times n$ la factorielle de $n$ . On convient que $0! = 1$ .
Pour tous $m, n \in ℕ^*, M_(n, m)(ℝ)$ désigne l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant $n$ lignes et $m$ colonnes. On pose $M_n(ℝ) = M_(n, n)(ℝ)$ . Le déterminant d'une matrice carrée $A = [a_(i, j)]_(1 \leq i, j \leq n) \in M_n(ℝ)$ sera noté $det(A)$ . Sa transposée est notée $^t A = [a_(j, i)]_(1 \leq j, i \leq n)$ . Lorsque $A = [a_(1, 1)] \in M_(1, 1)(ℝ)$ on identifie $A$ au réel $a_(1, 1)$ .
On note $ℝ[X]$ le $ℝ$ -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour tout entier $n \geq$ 0 , on désigne par $ℝ_n[X]$ le $ℝ$ -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à $n$ . Les polynômes de $ℝ[X]$ et les fonctions polynomiales associées seront notées indentiquement. Ainsi, si $P \in ℝ[X]$ est un polynôme, alors la fonction polynomiale associée est encore notée $P$ .
Etant donné un $ℝ$ -espace vectoriel de dimension finie $E$ on note $0_E$ l'élément nul de $E$ , et on note $Id_E$ l'application identité de $E$ dans lui même. On note $L(E)$ l'ensemble des endomorphismes de $E$ .
Si $L \in L(E)$ est un endomorphisme de $E$ et $n \geq 2$ un entier naturel, on note $L^n$ l'application composée de $L$ avec lui même $n$ fois : $L^n = L \circ L \circ \dots \circ L$ ( $n$ fois). Par convention, $L^0 = Id_E$ et $L^1 = L$ . Le noyau et l'image de $L$ seront notés respectivement $ker(L)$ et $Im(L)$ .
Si $F_1$ et $F_2$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$ , on note $F_1 + F_2$ la somme de ces sous-espaces. On écrira $F_1 \oplus F_2$ pour signifier que cette somme est directe. Si, de plus, $E$ est muni d'un produit scalaire, on écrira $F_1 \oplus ^⊥F_2$ pour signifier que la somme est orthogonale, c'est à dire que $F_1$ et $F_2$ sont orthogonaux entre eux. L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ sera noté $F^⊥$ . On notera $dim(F)$ la dimension de $F$ .

Partie I

Soit

m \geq 2

un entier naturel et

E

ℝ

-espace vectoriel de dimension

2m + 1

. Cet espace est muni d'un produit scalaire (.|.). Soient

T, M

deux endomorphismes de

E

vérifiant les hypothèses suivantes :
(H1)

T^(2m) \neq 0_(L(E))

T^(2m + 1) = 0_(L(E))

.
(H2)

M^2 = Id_E

.
(H3)

\forall(v, w) \in E^2, (M(v)|w) = (v|M(w))

.
(H4)

T \circ M + M \circ T = 0_(L(E))

.
On pose dans la suite

F^+ = ker(M - Id_E), F^- = ker(M + Id_E)

On considère l'application

S

E \times E

dans

ℝ

définie par

\forall(v, w) \in E^2, S(v, w) = (v|T(w)) + (T(v)|w)

et on note

G

l'ensemble des éléments

u \in E

vérifiant les deux propriétés suivantes :
(a)

u \in Im(T)

,
(b)

\forallv \in E, S(u, v) = 0

Pour tout vecteur $v \in E$ , on pose

v^+ = v + M(v), v^- = v - M(v)

(a) Montrer que

\forallv \in E, v^+ \in F^+

v^- \in F^-

.
(b) Montrer que

E = F^+ \oplus ^⊥F^-

.
(c) Montrer que

\forallv \in F^+, T(v) \in F^-

et que

\forallv \in F^-, T(v) \in Fk

En déduire que

F^+

F^-

sont stables par

T^2

.
2. Montrer que pour tout

k ∈ {0, 1, …, 2m}, Im(T^(k + 1)) ⊂ Im(T^k)

Im(T^(k + 1)) \neq Im(T^k)

.
3. En déduire que pour tout

k \in {0, \dots, 2m + 1}

, on a

dim(Im(T^k)) = 2m + 1 - k, dim(ker(T^k)) = k

En déduire aussi que $Im(T^k) = ker(T^(2m + 1 - k))$ pour $0 \leq k \leq 2m + 1$ .
Soit $k \in {1, 2, \dots, 2m + 1}$ et $z \in Im(T^k)^⊥ \cap Im(T^(k - 1))$ tel que $z \neq 0_E$ . Après avoir justifié l'existence d'un tel vecteur $z$ , montrer que $T^(2m + 1 - k)(z) \neq 0_E$ .
Montrer que pour tout nombre réel $α$ , l'endomorphisme $Id_E + αT^2$ est bijectif et que

(Id_E + αT^2)^(- 1) = \sum_(k = 0)^m(- 1)^k α^k T^(2k)

où

(Id_E + αT^2)^(- 1)

désigne l'endomorphisme inverse de

Id_E + αT^2

.
7. Montrer que

G

est un sous-espace vectoriel de

E

et que

G ∩ ker(T) = {0_E}

.
8. En déduire que l'application (

v, w) \in G \times G \mapsto (T(v)|T(w)

) est un produit scalaire sur

G

.
9. Soit

k \in ℕ

.
(a) Montrer que

M \circ T^k = (- 1)^k T^k \circ M

.
(b) En déduire que

Im(T^k)

ker(T^k)

sont stables par

M

.
10. Montrer que l'une des deux assertions suivantes est vraie : (i)

ker(T) \subset F^+, (ii)ker(T) \subset F^-

.
11. On suppose ici que

ker(T) \subset F^+

.
(a) Montrer que

\forallz \in F^-, T^(2m)(z) = 0_E

.
(b) Montrer que

Im(T)^⊥ \subset F^+

et que

Im(T^2)^⊥ \cap Im(T) \subset F^-

.
(c) Soit

z \in Im(T)^⊥

avec

z \neq 0_E

. Montrer que

T(z) \in G^⊥

et que

T(z) \neq 0_E

.
(d) Soit

z \in Im(T^2)^⊥ \cap Im(T)

avec

z \neq 0_E

. Montrer que

T(z) \in G^⊥

et que

T(z) \neq 0_E

.
12. On dit désormais qu'un couple

(w_1, w_2) \in E \times E

est une paire caractérisante de

G

w_1

w_2

vérifient les trois propriétés :
(A)

w_1 \in F^+, T(w_1) \in G^⊥

T(w_1) \neq 0_E

,
(B)

w_2 \in F^-, T(w_2) \in G^⊥

T(w_2) \neq 0_E

,
(C)

w_i \in Im(T^2)^⊥

pour

i = 1

i = 2

Déduire des questions précédentes l'existence d'une paire caractérisante de

G

.
13. En déduire que

dim(G) \leq 2m - 2

.
14. On suppose que

G

vérifie l'hypothèse suivantes

(H5)dim(G) = 2m - 2

Montrer que si (

w_1, w_2

) est une paire caractérisante de

G

alors (

T(w_1), T(w_2)

) constitue une base de

G^⊥

Partie II

On conserve toutes les notations de la partie I et on suppose que les hypothèses

(H1), (H2), (H3)

, (H4) et (H5) sont toutes satisfaites. Soit (

w_1, w_2

) une paire caractérisante de

G

(c'est à dire vérifiant les propriétés

(A), (B)

(C)

de la question 12

)

.
Pour tout

λ \in ℝ

, on considère le problème suivant, note

P_λ

Trouver u \in G tel que : \forallv \in G, (u|v) - λ(T(u)|T(v)) = 0

et on note

H_λ

l'ensemble des solutions

u

de ce problème. On montre facilement que

H_λ

est un sousespace vectoriel de

G

.
15. Soit

λ \in ℝ

.
(a) Montrer que si

(P_λ)

admet une solution

u \neq 0_E

, alors nécessairement

λ > 0

.
(b) Soit

u \in G

. Montrer que

u

est une solution de

(P_λ)

si et seulement si

(Id_E + λT^2)(u) \in G^⊥

En déduire qu'il existe deux nombres réels

α

β

tels que :

u = α(Id_E + λT^2)^(- 1)T(w_1) + β(Id_E + λT^2)^(- 1)T(w_2)

(P_λ)

admet une solution non nulle si et seulement si

Q_1(λ) \cdot Q_2(λ) = 0

où pour

i ∈ {1, 2}, Q_i

est le polynôme

Q_i(X) = \sum_(k = 0)^(m - 1)(- 1)^k(T^(2k + 1)(w_i)|T(w_i))X^k

(d) Supposons que

λ

est racine du polynôme produit

Q_1 Q_2

. Montrer que

dim(H_λ) = 2

λ

est racine commune de

Q_1

et de

Q_2

, et

dim(H_λ) = 1

sinon.
(e) Montrer que

∀i ∈ {1, 2}, Q_i(X) = ∑_(k = 0)^(m − 1)(− 1)^k S(w_i, T^(2k + 1)(w_i))X^k

Soit $B = (z_1, \dots, z_ℓ)$ , où $ℓ = 2m - 2$ , une base de $G$ . Pour tout élément $u$ de $G$ , on note $U$ (lettre majuscule) le vecteur colonne comportant les coordonnées de $u$ relativement à la base $B$ . On note $A = [a_(i, j)]_(1 \leq i, j \leq ℓ)$ et $B = [b_(i, j)]_(1 \leq i, j \leq ℓ)$ les deux matrices carrées dont les coefficients sont définis par

\forall1 \leq i, j \leq ℓ, a_(i, j) = (z_i|z_j), b_(i, j) = (T(z_i)|T(z_j))

(a) Soient

u, v \in G

. Montrer que

(u|v) = ^t UAV, (T(u)|T(v)) = ^t UBV

et en déduire que

A

B

sont inversibles.
(b) Soit

λ \in ℝ

. Montrer qu'un élément

u \in G

est solution de

(P_λ)

si et seulement si

(A - λB)U = 0

En déduire que

(P_λ)

admet une solution non nulle si et seulement si

det(A - λB) = 0

.
(c) On définit la fonction

ψ

sur

ℝ

par

\forallt \in ℝ, ψ(t) = (det(A - tB))/(det(B))

Montrer que cette fonction

ψ

est indépendante du choix de la base

B

.
(d) Justifier pourquoi on peut choisir la base

B

de sorte que

B = I_ℓ

. En déduire que

ψ

est une fonction polynomiale dont on précisera le degré.
(e) Montrer que le polynôme

ψ

est scindé dans

ℝ[X]

et que ses racines sont soit simples soit doubles.
(f) Montrer que

ψ(X) = 1/(S(w_1, T^(2m - 1)(w_1))S(w_2, T^(2m - 1)(w_2)))Q_1(X)Q_2(X)

(on justifiera pourquoi nécessairement le dénominateur est non nul).
En déduire que

Q_1

Q_2

sont scindés dans

ℝ[X]

et à racines simples.

Partie III

On conserve ici les notations des parties I et II et on se place dans le cas particulier où

E = ℝ_(2m)[X]

, avec

m \geq 2

un entier naturel fixé. Cet espace vectoriel est muni du produit scalaire

\forall(P, Q) \in E^2, (P|Q) = \int_(- 1)^1 P(t)Q(t)dt

Désormais, les deux endomorphismes

T

M

E

seront définis par

\forallP \in ℝ_(2m)[X], T(P) = P^' et M(P) = P^*

où

P^*(X) = P(- X)

.
On pose pour tout

k \in ℕ

ℝ_k^0[X] = {P ∈ ℝ_k[X]/P(− 1) = 0 et P(1) = 0}

Montrer que $T$ et $M$ vérifient bien les hypothèses ( $H1$ ), ( $H2$ ), ( $H3$ ) et ( $H4$ ).
Quels sont les espaces $F^+$ et $F^-$ dans ce cas ?
Montrer que

\forall(P, Q) \in E^2, S(P, Q) = P(1)Q(1) - P(- 1)Q(- 1)

Déterminer le sous-espace $G$ . L'hypothèse $(H5)$ est-elle satisfaite?
On définit pour tout entier naturel $n$ le polynôme $R_n$ comme suit

R_n(X) = (X^2 - 1)^n

et on pose désormais

L_n(X) = 1/(2^n n!)R_n^((n))(X)

Soit

n \in ℕ

.
(a) Quel est le degré du polynôme

L_n

? Exprimer

M(L_n)

en fonction de

L_n

.
(b) Montrer que si

n \geq 1

alors

\forallP \in ℝ_(n - 1)[X], (L_n|P) = 0

k

tel que

0 \leq k \leq n

, on a

L_n^((k))(1) = ((n + k)!)/((n - k)!)1/(k!2^k)

(d) Montrer que pour tout entier naturel

k

, on a

S(L_n, L_n^((2k + 1))) = 2L_n^((2k + 1))(1)

Montrer que le couple ( $L_(2m), L_(2m - 1)$ ) est une paire caractérisante de $G$ .
Soit $λ \in ℝ$ . On considère le problème : trouver $P \in ℝ_(2m - 1)^0[X]$ tel que

\forallQ \in ℝ_(2m - 1)^0[X], \int_(- 1)^1 P(t)Q(t)dt - λ\int_(- 1)^1 P^'(t)Q^'(t)dt = 0

Montrer que ce problème admet une solution

P

non identiquement nulle si et seulement si

λ

est racine du polynôme

K(X) = (\sum_(k = 0)^(m - 1)(- 1)^k L_(2m - 1)^((2k + 1))(1)X^k) \cdot (\sum_(k = 0)^(m - 1)(- 1)^k L_(2m)^((2k + 1))(1)X^k)

Montrer que

\forallP \in ℝ_(2m - 1)^0[X], (P|P) \leq 4(P^'|P^')

avec inégalité stricte si

P

est non nul.
25. En déduire que les racines de

K

sont toutes réelles et appartiennent à l'intervalle

]0, 4[

.
26. Soit (

P_1, \dots, P_(2m - 2)

) une base quelconque de

G

. On considère les deux matrices carrées

A = [a_(i, j)]_(1 \leq i, j \leq 2m - 2)

B = [b_(i, j)]_(1 \leq i, j \leq 2m - 2)

définies par

a_(i, j) = (P_i|P_j), b_(i, j) = (P_i^'|P_j^')

Déterminer le rapport

(det(A))/(det(B))

en fonction de

m

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