Centrale Mathématiques 1 PSI 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Grandes déviations : suites sur-additives, majoration exponentielle et théorème de Cramer

Le problème traite du thème probabiliste des grandes déviations pour une somme de variables aléatoires discrètes indépendantes de même loi. Une première partie établit des résultats préliminaires (étude de t ↦ E(e^{tX}), inégalité de Bienaymé-Tchebychev, suites sur-additives), puis une seconde partie, de longueur comparable, définit l'exposant des grandes déviations, le majore et démontre le théorème de Cramer.

1Partie I.A : une classe de variables aléatoiresInégalité de Cauchy-Schwarz pour l'espérance, existence de E(e^{tX}) pour les lois géométrique et de Poisson, puis régularité de cette fonction par les théorèmes sur les séries de fonctions.
2Partie I.B : inégalité de Bienaymé-TchebychevMajoration de l'écart de S_n à n E(X) et limite de la probabilité que S_n/n reste dans un intervalle contenant l'espérance.
3Partie I.C : suites sur-additivesUtilisation de la division euclidienne pour montrer que u_n/n converge vers sa borne supérieure.
4Partie II.A : exposant des grandes déviationsSur-additivité du logarithme de P(S_n ≥ na) et existence de la limite γ_a.
5Partie II.B : majoration des grandes déviationsMajoration exponentielle de P(S_n ≥ na), preuve que γ_a est strictement négatif et calculs explicites pour les lois de Bernoulli et de Poisson.
6Partie II.C : théorème de CramerChangement de loi exponentiel pour montrer l'égalité entre γ_a et la borne inférieure η_a, puis application à des sommes de coefficients binomiaux et à une série de type Poisson.

Difficulté moyenne. Le jury juge la longueur raisonnable, avec une partie I largement bien traitée, mais des sous-parties II.B et II.C nettement moins réussies et des parties de difficultés inégales.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Addition d'équivalents · Théorèmes sur les séries de fonctions mal compris · Existence de l'espérance oubliée

Les candidats maîtrisent les bases des probabilités (lois usuelles, espérance, fonctions génératrices), et la sous-partie I.A a été plutôt réussie. Les séries de fonctions, les bornes inférieures et les manipulations fines de probabilités posent davantage problème. Certains candidats en ont traité près des trois quarts.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Addition d'équivalentsI.A.3b
Les équivalents sont une source fréquente d'erreurs, par exemple un terme qui disparaît indûment en I.A.3b.
« Rappelons notamment qu’il est interdit d’additionner des équivalents. »
2
Théorèmes sur les séries de fonctions mal comprisI.A.4
Les énoncés de continuité et de dérivabilité sont connus, mais le rôle des convergences uniforme et normale est rarement compris ; ces théorèmes sont aussi invoqués inutilement pour une somme finie.
« Si les énoncés sont globalement sus, le sens des convergences uniformes et normales n’est que rarement compris. »
3
Existence de l'espérance oubliée
Les candidats calculent des espérances sans vérifier leur existence, et le théorème de transfert est rarement énoncé correctement.
« Le problème de l’existence de l’espérance est la plupart du temps ignoré par les candidats. »
4
Division euclidienne incomplèteI.C.2
L'encadrement du reste, point décisif de l'argument, est presque toujours omis.
« Dans l’écriture de la division euclidienne, les étudiants négligent presque systématiquement le point clef, qui est l’encadrement du reste. »
5
Inégalités et signes
Le maniement des inégalités et de la valeur absolue manque d'assurance, en particulier la positivité nécessaire pour multiplier des inégalités.
« L’importance de la positivité pour les produits est trop souvent ignorée et conduit à des erreurs. »
6
Confusions sur les objets probabilistes
Des écritures comme P(X) ou une union de probabilités n'ont pas de sens ; l'indépendance est inutile pour E(X+Y) ; une variable bornée n'a pas forcément un univers image fini.

Ce qui a été bien réussi

La sous-partie I.A est plutôt réussie.
Les lois de Poisson et géométrique sont bien connues d'une grande majorité des candidats.
Une majorité de copies est clairement présentée, avec questions numérotées et résultats encadrés.
Le jury signale plusieurs excellentes copies.

Conseils du jury

Prendre un temps de réflexion au brouillon avant de rédiger pour éviter les erreurs grossières.
Travailler quelques exemples simples au fil de l'année pour mieux comprendre les questions et en mesurer la difficulté.
Numéroter les questions, les traiter dans l'ordre en laissant des blancs si besoin et encadrer les résultats.
Limiter les abréviations à celles d'usage courant.
Vérifier l'existence d'une espérance avant de la calculer et énoncer correctement le théorème de transfert.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Mathématiques 1

Grandes déviations

Toutes les variables aléatoires mentionnées dans ce sujet sont supposées discrètes.
La partie

I

est composée de trois sous-parties mutuellement indépendantes

A, B, C

, toutes trois utilisées dans la partie II.

Notations et rappels

Soient

X

une variable aléatoire discrète réelle et

(X_n)_(n ⩾ 1)

une suite de variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes, définies sur un même espace probabilisé (

Ω, A, P

), suivant toutes la loi de

X

. On pose

S_0 = 0

et, pour

n

dans

ℕ^*

S_n = \sum_(k = 1)^n X_k

Y

est une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 1, on note

E(Y)

l'espérance de

Y

.
Si

Y

est une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 2, on note

V(Y)

la variance de

Y

.
Si

Y

est une variable aléatoire à valeurs dans

ℝ^+

, on abrège «

Y

est d'espérance finie» en «

E(Y) < + \infty

».
Si

τ

est un élément de

ℝ^(+ *)

, on dit que

X

vérifie (

C_τ

) si

E(e^(τ|X|)) < + \infty

.
On pourra utiliser la propriété suivante :

é é pour Z et Y variables aléatoires réelles telles que 0 ⩽ Y ⩽ Z, E(Z) < + \infty ⟹ E(Y) < + \infty

Étant données deux variables aléatoires

Y

Z

définies sur (

Ω, A, P

), on dit que

Y

est presque surement égale à

Z

lorsque

P(Y = Z) = 1

.
On admet le résultat suivant (lemme des coalitions) : soit

(Y_n)_(n \in ℕ^*)

une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes. Soient

A

B

deux sous-ensembles de

ℕ^*

disjoints. Alors toute variable aléatoire fonction des

Y_n, n \in A

est indépendante de toute variable aléatoire fonction des

Y_n, n \in B

I Premiers résultats

I.A - Une classe de variables aléatoires

I.A.1) Soient

U

V

deux variables aléatoires sur (

Ω, A, P

) possédant un moment d'ordre 2 et telles que

V

n'est pas presque surement nulle. Montrer que

E(U^2)E(V^2) - E(UV)^2 ⩾ 0

et que

E(U^2)E(V^2) - E(UV)^2 = 0

si et seulement s'il existe

λ \in ℝ

tel que

λV + U

est presque surement nulle.

I.A.2)

a) On suppose que

X

est bornée. Justifier que

X

vérifie

(C_τ)

pour tout

τ

dans

ℝ^(+ *)

.
b) On suppose que

X

suit la loi géométrique de paramètre

p \in ]0, 1[

\forallk \in ℕ^*, P(X = k) = p(1 - p)^(k - 1)

Quels sont les réels

t

tels que

E(e^(tX)) < + \infty

? Pour ces

t

, donner une expression simple de

E(e^(tX))

.
c) On suppose que

X

suit la loi de Poisson de paramètre

λ

ù \forallk \in ℕ, P(X = k) = e^(- λ)(λ^k)/(k!) où λ \in ℝ^(+ *)

Quels sont les réels

t

tels que

E(e^(tX)) < + \infty

? Pour ces

t

, donner une expression simple de

E(e^(tX))

.
I.A.3) Soient

a

b

deux réels tels que

a < b

. On suppose

E(e^(aX)) < + \infty

E(e^(bX)) < + \infty

.
a) Montrer

\forallt \in [a, b]

e^(tX) ⩽ e^(aX) + e^(bX)

. En déduire

E(e^(tX)) < + \infty

Que peut-on en déduire sur l'ensemble

{t ∈ ℝ; E(e^(tX)) < + ∞}

?
b) Soient

k

dans

ℕ, t

dans

]a, b[

. On note

θ_(k, t, a, b)

la fonction

y \in ℝ ⟼ (y^k e^(ty))/(e^(ay) + e^(by))

Déterminer les limites de

θ_(k, t, a, b)

+ \infty

- \infty

. Montrer que cette fonction est bornée sur

ℝ

.
c) Montrer que

E(|X|^k e^(tX)) < + \infty

.
d) On reprend les notations de la question b). Soient

k

dans

ℕ, c

d

deux réels tels que

a < c < d < b

. Montrer qu'il existe

M_(k, a, b, c, d) \in ℝ^+

tel que pour tout

t \in [c, d]

et pour tout

y \in ℝ : |θ_(k, t, a, b)(y)| ⩽ M_(k, a, b, c, d)

.
I.A.4) Dans cette question,

τ

est un élément de

ℝ^(+ *)

X

vérifie

(C_τ)

.
a) Montrer que l'ensemble des réels

t

tels que

E(e^(tX)) < + \infty

est un intervalle

I

contenant

[ - τ, τ]

Pour

t

dans

I

, on note

φ_X(t) = E(e^(tX))

.
b) Montrer que si

X(Ω)

est fini,

φ_X

est continue sur

I

et de classe

C^\infty

sur l'intérieur de

I

.
c) On suppose maintenant que

X(Ω)

est un ensemble infini dénombrable. On note

X(Ω) = {x_n; n ∈ ℕ^∗}

où

(x_n)_(n \in ℕ^*)

est une suite de réels deux à deux distincts et on pose pour tout

n \in ℕ^*, p_n = P(X = x_n)

.
En utilisant les résultats établis à la question I.A. 3 et deux théorèmes relatifs aux séries de fonctions que l'on énoncera complètement, montrer que

φ_X

est continue sur

I

et de classe

C^\infty

sur l'intérieur de

I

.
d) Vérifier que pour

t

dans l'intérieur de

I

k

dans

ℕ, φ_X^((k))(t) = E(X^k e^(tX))

.
e) Soit

ψ_X = (φ_X^')/(φ_X)

Montrer que

ψ_X

est croissante sur

I

et que, si

X

n'est pas presque surement égale à une constante,

ψ_X

est strictement croissante sur

I

I.B - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

On suppose que

X

admet un moment d'ordre 2 .
I.B.1) Soit

δ

un élément de

ℝ^(+ *)

. Montrer que, pour

n

dans

ℕ^*

P(|S_n - nE(X)| ⩾ nδ) ⩽ (V(X))/(nδ^2)

I.B.2) Si

u

v

sont deux nombres réels tels que

u < E(X) < v

, déterminer la limite de la suite

(π_n)_(n \in ℕ^*)

définie par

\foralln \in ℕ^*, π_n = P(nu ⩽ S_n ⩽ nv)

I.C - Suites sur-additives

Soit

(u_n)_(n ⩾ 0)

une suite réelle telle que:

\forall(m, n) \in ℕ^2, u_(m + n) ⩾ u_m + u_n

.
On suppose que l'ensemble

{(u_n)/n, n ∈ ℕ^∗}

est majoré et on note

s

sa borne supérieure.
I.C.1) Soient

m, q

r

des éléments de

ℕ

. On pose

n = mq + r

. Comparer les deux nombres réels

u_n

qu_m + u_r

et montrer que

u_n - ns ⩾ q(u_m - ms) + u_r - rs

.
I.C.2) On fixe

m

dans

ℕ^*

ε

dans

ℝ^(+ *)

. En utilisant la division euclidienne de

n

par

m

, montrer qu'il existe un entier

N

tel que pour tout

n > N

(u_n)/n ⩾ (u_m)/m - ε

I.C.3) Montrer

lim_(n \to \infty)(u_n)/n = s

II Le théorème des grandes déviations

Soit

a

un nombre réel.
II.A - Exposant des grandes déviations
II.A.1) Montrer

P(X ⩾ a) = 0 \Leftrightarrow \foralln \in ℕ^*, P(S_n ⩾ na) = 0

.
II.A.2) Soient

m

n

dans

ℕ

.
a) Montrer que

S_(m + n) - S_m

S_n

ont même loi.
b) Soit

b

un nombre réel. Montrer

P(S_(m + n) ⩾ (n + m)b) ⩾ P(S_n ⩾ nb)P(S_m ⩾ mb)

On suppose dans toute la suite du problème

P(X ⩾ a) > 0

.
II.A.3) Montrer que la suite

((ln(P(S_n ⩾ na)))/n)_(n ⩾ 1)

est bien définie et admet une limite

γ_a

négative ou nulle vérifiant

\foralln \in ℕ^*, P(S_n ⩾ na) ⩽ e^(nγ_a)

Dans toute la suite du problème, on suppose que

X

vérifie

(C_τ)

pour un certain

τ > 0

et n'est pas presque surement constante. On suppose également que

a

est strictement supérieur à

E(X)

On se propose d'établir que

γ_a < 0

(ce qui montre que la suite

(P(S_n ⩾ na))_(n ⩾ 1)

converge géométriquement vers 0

)

puis de déterminer

γ_a

II.B - Majoration des grandes déviations

L'intervalle

I

et la fonction

φ_X

sont définis comme dans la question I.A.4.
II.B.1) Montrer que, pour

n

dans

ℕ^*

t

dans

I \cap ℝ^+

E(e^(tS_n)) = (φ_X(t))^n, P(S_n ⩾ na) ⩽ (φ_X(t)^n)/(e^(nta))

II.B.2) On définit la fonction

χ : | I \to ℝ; t \mapsto ln(φ_X(t)) - ta

a) Montrer que la fonction

χ

est minorée sur

I \cap ℝ^+

On note

η_a

la borne inférieure de

χ

sur

I \cap ℝ^+

.
b) Donner un équivalent de

χ(t)

lorsque

t

tend vers 0 . En déduire

η_a < 0

.
c) Montrer

\foralln \in ℕ^*, P(S_n ⩾ na) ⩽ e^(nη_a)

En déduire que

γ_a < 0

.
d) Dans chacun des deux cas suivants, déterminer l'ensemble des nombres réels a vérifiant les conditions

P(X ⩾ a) > 0

a > E(X)

; puis, pour

a

vérifiant ces conditions, calculer

η_a

.
i.

X

suit la loi de Bernoulli

B(p)

avec

0 < p < 1

.
ii.

X

suit la loi de Poisson

P(λ)

avec

λ > 0

II.C - Le théorème de Cramer

On suppose ici que la borne inférieure

η_a

de la fonction

χ

sur

I \cap ℝ^+

est atteinte en un point

σ

intérieur à

I \cap ℝ^+

. Soient

t

un nombre réel intérieur à

I

et tel que

t > σ, b

un nombre réel tel que

b > (φ_X^'(t))/(φ_X(t))

II.C.1)

a) Calculer

\sum_(x \in X(Ω))(e^(tx))/(E(e^(tX)))P(X = x)

On admet alors (quitte à modifier (

Ω, A, P

))

qu'il existe une variable aléatoire $X^'$ sur ( $Ω, A$ ) telle que $X^'(Ω) = X(Ω)$ et dont la loi de probabilité est donnée par

\forallx \in X(Ω), P(X^' = x) = (e^(tx))/(E(e^(tX)))P(X = x)

qu'il existe une suite $(X_n^')_(n \in ℕ^*)$ de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur ( $Ω, A, P$ ) suivant toutes la même loi que $X^'$ .
b) Montrer

E(X^') = (φ_X^'(t))/(φ_X(t)), E(X^') > a

II.C.2) On admet que, si

n

dans

ℕ^*

et si

f

est une application de

X(Ω)^n

dans

ℝ^+

, on a

E(f(X_1^', \dots, X_n^')) = (E(f(X_1, \dots, X_n)e^(tS_n)))/(φ_X(t)^n)

a) Pour

n

dans

ℕ^*

, on pose

S_n^' = \sum_(k = 1)^n X_k^'

. Montrer

P(na ⩽ S_n^' ⩽ nb) ⩽ P(S_n ⩾ na)(e^(ntb))/(φ_X(t)^n)

On pourra introduire l'application f : | X(Ω)^n, → ℝ; (x_1, …, x_n), ↦ {1, si na ⩽ ∑_(i = 1)^n x_i ⩽ nb; 0, sinon

b) En utilisant les questions I.B.2, II.B.2c et le a) ci-dessus, montrer finalement que

η_a = γ_a

.
II.C.3) Dans cette question on pourra utiliser les résultats du II.B.2d.
a) Soit

α

dans

]0, 1/2[

. Pour

n

dans

ℕ^*

, on pose

A_n = {k ∈ {0, …, n}, |k − n/2| ⩾ αn}, U_n = ∑_(k ∈ A_n)(n/k)

Déterminer la limite de la suite

(U_n^(1/n))_(n ⩾ 1)

.
b) Soit

λ

dans

ℝ^(+ *), α

dans

]λ, + \infty[

. Pour

n

dans

ℕ^*

, on pose

T_n = \sum_(k \in ℕ; k ⩾ αn)(n^k λ^k)/(k!)

Déterminer la limite de la suite

(T_n^(1/n))_(n ⩾ 1)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Centrale maths 1 PSI 2017 ?

Sur les grandes déviations : après des préliminaires sur la fonction E(e^{tX}), l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et les suites sur-additives, le sujet démontre le théorème de Cramer.

Quels chapitres réviser pour Centrale maths 1 PSI 2017 ?

Les probabilités et variables aléatoires discrètes surtout, avec les séries de fonctions, l'étude de fonctions numériques et les propriétés de ℝ comme la borne supérieure.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale maths 1 PSI 2017 ?

L'addition d'équivalents, une mauvaise compréhension des convergences uniforme et normale, l'existence de l'espérance ignorée, la division euclidienne sans encadrement du reste et des inégalités mal manipulées.

Quelles parties de Centrale maths 1 PSI 2017 ont été les mieux réussies ?

La partie I a été correctement traitée dans sa grande majorité par de nombreux candidats, en particulier la sous-partie I.A. Les sous-parties II.B et II.C ont été moins réussies.

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