Centrale Mathématiques 1 PSI 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

Dans ce problème, nous étudions le processus de Galton-Watson qui permet entre autres de modéliser le développement d'une population. Ce processus est par exemple utilisé en biologie ou en physique nucléaire.
Dans tout le problème, on se place dans un espace probabilisé ( Ω, A, P ).
Si X est une variable aléatoire entière et positive sur cet espace, on notera G_X, série entière de rayon de convergence au moins 1, la fonction génératrice de X. On rappelle que la fonction génératrice de X est la somme de la série entière :

La fonction génératrice d'une variable aléatoire caractérise sa loi. Plus précisément, si X est une variable aléatoire à valeurs dans ℕ et si (a_n) est une suite de réels positifs tels que, pour tout t ∈ [0, 1[, G_X(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n t^n, alors, pour tout n ∈ ℕ, a_n = P(X = n).
On admettra le théorème suivant (lemme de Cesaro) : si (a_n)_(n ∈ ℕ) est une suite de nombres réels convergente vers l et si on pose, pour n ∈ ℕ^∗, b_n = 1/n(a_1 + ⋯ + a_n), alors la suite (b_n)_(n ⩾ 1) converge vers l.

On considère une fonction f de classe C^2 sur [0, 1] à valeurs dans [0, 1] telles que f^′ et f^(′′) soient à valeurs positives. On suppose f(1) = 1, f^′(0) < 1 et f^(′′)(1) > 0.
On considère de plus la suite récurrente (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par u_0 = 0 et, pour tout n ∈ ℕ, u_(n + 1) = f(u_n).
On pose m = f^′(1).

I.A.1) Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est croissante, puis qu'elle est convergente. On note l sa limite.
I.A.2) Montrer que l'équation f(x) = x admet une plus petite solution. Dans toute la suite, on la notera x_f.
I.A.3) Montrer que l = x_f.
I.B - On suppose m > 1. Montrer que x_f ∈ [0, 1[.
I.C − On suppose maintenant m ⩽ 1. Montrer que x_f = 1 et que pour tout n ∈ ℕ, u_n ≠ 1.
I.D - Dans cette question, on suppose m = 1.
I.D.1) On pose, pour n ∈ ℕ, ε_n = 1 − u_n. Montrer que lim_(n → + ∞)(1/(ε_(n + 1)) − 1/(ε_n)) = (f^(′′)(1))/2.
I.D.2) En déduire que, quand n tend vers l'infini, 1 − u_n ∼ 2/(f^(′′)(1)n).

On pourra utiliser le lemme de Cesaro admis en préambule.
I.E − On suppose maintenant m < 1 et on pose encore, pour n ∈ ℕ, ε_n = 1 − u_n.
I.E.1) Montrer que la série de terme général ε_n est absolument convergente et en déduire la convergence de celle de terme général ln((m^(− (n + 1))ε_(n + 1))/(m^(− n)ε_n)).
I.E.2) En déduire qu'il existe c > 0 tel que, quand n tend vers l'infini, 1 − u_n ∼ cm^n.

Soient (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, de même loi à valeurs dans ℕ, et T une variable aléatoire à valeurs dans ℕ indépendante des précédentes. (T, X_n)_(n ∈ ℕ^∗) est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes.
On note G_X la fonction génératrice commune à toutes les X_n.
Pour n ∈ ℕ et ω ∈ Ω, on pose S_n(ω) = ∑_(k = 1)^n X_k(ω) et S_0(ω) = 0, puis, S(ω) = S_(T(ω))(ω).
II.A - On souhaite démontrer l'égalité G_S = G_T ∘ G_X.
II.A.1) Montrer que, si X et Y sont deux variables aléatoires à valeur dans ℕ indépendantes, alors G_(X + Y) = G_X G_Y.
II.A.2) En admettant que, pour tout k ∈ ℕ, S_k est indépendante de X_(k + 1), prouver que, pour tout k ∈ ℕ, G_(S_k) = (G_X)^k.
II.A.3) En admettant que, pour tout n ∈ ℕ, T et S_n sont indépendantes, montrer que

II.A.4) Pour K ∈ ℕ et t ∈ [0, 1[, on pose R_K = ∑_(n = 0)^∞(∑_(k = K + 1)^∞P(T = k)P(S_k = n)t^n).

Montrer que 0 ⩽ R_K ⩽ 1/(1 − t)∑_(k = K + 1)^∞P(T = k).
II.A.5) Conclure.
II. B - En déduire que, si T et les X_n sont d'espérance finie, alors S aussi et E(S) = E(T)E(X_1).
II. C - Lors d'une ponte, un insecte pond un nombre aléatoire d'œufs suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0. Ensuite, la probabilité qu'un œuf donné devienne un nouvel insecte est α ∈ ]0, 1[.
II.C.1) Rappeler la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ.
II.C.2) En utilisant la relation de composition ci-dessus, déterminer la loi du nombre d'insectes issus de la ponte.

Soit μ une loi de probabilité caractérisée par la suite (p_k)_(k ∈ ℕ) de nombre réels entre 0 et 1 telle que ∑_(k = 0)^(+ ∞)p_k = 1.
Dire qu'une variable aléatoire X sur ( Ω, A, P ) suit la loi μ signifie que X(Ω) ⊂ ℕ et, pour tout k ∈ ℕ, P(X = k) = p_k.
On suppose que p_0 + p_1 < 1 (ce qui signifie qu'il existe au moins un entier k supérieur ou égal à 2 tel que p_k ≠ 0 ).
On étudie un individu qui a un certain nombre de fils. Ces fils ont également chacun (indépendamment les uns des autres) un certain nombre de fils et ainsi de suite. Afin de modéliser la situation, on se donne des variables aléatoires (X_(n, i))_((n, i) ∈ ℕ × ℕ^∗) indépendantes qui suivent toutes la loi μ, on pose Y_0 la variable certaine égale à 1 et, pour n ∈ ℕ et ω ∈ Ω,

Y_n représente le nombre d'individus à la génération n.
S'il n'y a pas d'individu à la génération n, il n'y en a pas plus à la génération suivante et sinon, le nombre de fils du i ème élément de la génération n est égal à X_(n, i).
On dit qu'il y a extinction lorsqu'il existe un entier n tel que Y_n = 0.
On note f la fonction génératrice de la loi μ (et donc de chacune des variables X_(n, i) ) et, pour n ∈ ℕ, φ_n la fonction génératrice de la variable aléatoire Y_n.
On a donc en particulier, pour t ∈ [0, 1], φ_0(t) = t.
On suppose que toute variable aléatoire suivant la loi μ possède une espérance égale à m et une variance.

III.A.1) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, φ_(n + 1) = φ_n ∘ f.
III.A.2) Exprimer, pour n ∈ ℕ, l'espérance de Y_n en fonction de m et de n.
III.A.3)
a) Vérifier que la probabilité d'extinction est égale à la limite de la suite (φ_n(0))_(n ⩾ 0).
b) Vérifier qu'on peut appliquer les résultats de la partie I à la suite (φ_n(0))_(n ⩾ 0).
III.A.4) Si m ⩽ 1, montrer que la probabilité d'extinction est égale à 1 .

On définit alors le temps T d'extinction par :

On admettra que T est une variable aléatoire.

On suppose dans cette question que m < 1.
III.B.1) Vérifier que T admet une espérance.

a) Montrer que, pour tout entier n, P(Y_n ⩾ 1) ⩽ m^n.
b) Montrer que E(T) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)P(T > n).
c) En déduire une majoration de E(T).

Dans cette question, on suppose m ⩽ 1.
On note, pour n ∈ ℕ^∗, Z_n = 1 + ∑_(i = 1)^n Y_i et Z = 1 + ∑_(n = 1)^(+ ∞)Y_n.
On admettra que Z est une variable aléatoire définie sur ⋃_(k ∈ ℕ){Y_k = 0}.
III.C.1) Montrer que Z est définie sur un ensemble de probabilité 1 .

a) Montrer que, pour tout k ∈ ℕ, (P(Z_n ⩽ k))_(n ∈ ℕ^∗) est une suite convergente. Déterminer sa limite.
b) En déduire que, pour tout k ∈ ℕ, (P(Z_n = k))_(n ∈ ℕ^∗) converge vers P(Z = k).
c) Montrer que, pour tout s ∈ [0, 1[, tout n ∈ ℕ^∗ et K ∈ ℕ,

d) En déduire que la suite de fonctions (G_(Z_n)) converge simplement vers G_Z sur [0, 1].

a) Exprimer G_(Z_1) en fonction de f.
b) On admet que, pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 2 et pour tout s ∈ [0, 1], G_(Z_n)(s) = sf(G_(Z_(n − 1))(s)).

En déduire que, pour tout s ∈ [0, 1[, G_Z(s) = sf(G_Z(s)).
c) Montrer que Z est d'espérance finie si et seulement si m < 1. Calculer l'espérance lorsque c'est le cas.

On suppose dans cette partie que, pour tout k ∈ ℕ, p_k = 1/(2^(k + 1)).
IV. A - Exprimer, pour t ∈ [0, 1], f(t) et calculer m.
IV.B - Vérifier que, pour tout t ∈ [0, 1[, φ_n(t) ≠ 1.

On peut donc poser, a_n(t) = 1/(φ_n(t) − 1).
IV.C - Montrer que, pour t ∈ [0, 1[, la suite (a_n(t))_(n ∈ ℕ) est arithmétique.
IV.D - En déduire que, pour t ∈ [0, 1[ et n ∈ ℕ, φ_n(t) = (n + (1 − n)t)/(1 + n − nt).
IV.E - Exprimer, pour (n, k) ∈ ℕ^2, P(Y_n = k) en fonction de n et k.
IV. F - Exprimer, en fonction de n ∈ ℕ^∗, la probabilité de l'événement T > n.

La variable T admet-elle une espérance?
IV.G - Exprimer, pour s ∈ [0, 1[, G_Z(s) en fonction de s.

En déduire la loi de Z.

On suppose dans cette partie m > 1.
On étudie un problème légèrement différent : k étant un entier strictement positif fixé, on suppose qu'il y a k individus à la génération 0 ; ensuite tout se passe comme précédemment.
On note W_n le nombre d'individus à la n ième génération et on définit u_n la probabilité que la suite (W_n)_(n ∈ ℕ^∗) prenne la valeur k pour la première fois au rang n :

Pour n et r entiers naturels non nuls, on définit de même u_n^((r)) comme la probabilité pour que la suite (W_n)_(n ∈ ℕ^∗) prenne la valeur k pour la rième fois au rang n.
V.A − Vérifier que les séries ∑_(n ⩾ 1)u_n s^n et ∑_(n ⩾ 1)u_n^((r))s^n convergent quand s ∈ [ − 1, 1].
On peut donc définir, pour s ∈ [ − 1, 1], U(s) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n s^n et U_r(s) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n^((r))s^n.
V.B −
V.B.1) Montrer que P(W_1 > k) > 0.
V.B.2) Montrer que la probabilité que la suite (W_n)_(n ∈ ℕ^∗) ne prenne pas la valeur k est non nulle ; on note u cette probabilité.

On pourra étudier séparément les cas p_0 = 0 et p_0 > 0.
V.C −
V.C.1) Soit n ∈ ℕ^∗ et r un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer la relation

V.C.2) En déduire que, pour tout entier r strictement positif, U_r = U^r ( U^r désigne U × U × ⋯ × Ur fois).
V.D −
V.D.1) Montrer que la probabilité que la suite (W_n)_(n ∈ ℕ^∗) prenne la valeur k une infinité de fois est nulle.
V.D.2) Montrer qu'il en est de même pour la suite (Y_n)_(n ∈ ℕ^∗).
V.E - Soit (A_n)_(n ∈ ℕ) une suite d'évènements tous de probabilité 1.
Montrer que P(⋃_(n ∈ ℕ)A_n^–) = 0. Qu'en déduit-on pour P(⋂_(n ∈ ℕ)A_n) ?
V.F - Soit α la probabilité qu'il y ait extinction et β la probabilité que la suite ( Y_n ) diverge vers l'infini. Montrer que α + β = 1.