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Centrale Physique Chimie 2 PSI 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Optique géométrique : lentilles minces et relations de conjugaison
  • Conversion électromécanique : machine à courant continu
  • Milieux magnétiques
  • Ondes : équation de d'Alembert, dispersion, ondes stationnaires et progressives
  • Mécanique du solide en rotation et lois du frottement
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Annales Centrale PSI Physique-ChimieCentrale PSI 2015PSI Physique-ChimiePhysique-Chimie 2015

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Objectif photographique autofocus : latitude de mise au point, moteur à courant continu et moteur piézoélectrique
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Le sujet étudie la mise au point et la motorisation d'un objectif autofocus en trois parties indépendantes de longueurs inégales. Il calcule d'abord la latitude de mise au point d'un objectif modélisé par une lentille mince, puis modélise un micromoteur à courant continu et estime sa durée de mise au point. La dernière partie, la plus longue, décrit un moteur ultrasonique à éléments piézoélectriques : ondes de flexion, ondes stationnaires puis progressives sur un anneau et dynamique du rotor entraîné par frottement.

  1. 1Partie I : latitude de mise au point et profondeur de champRelations de conjugaison d'une lentille mince, nombre d'ouverture et latitude de mise au point liée à la taille d'un pixel du capteur.
  2. 2Partie II : motorisation AF à courant continuCouple électromagnétique sur un cadre, rôle du collecteur, effet d'un rotor magnétique, force contre-électromotrice, équations électrique et mécanique, puis exploitation des caractéristiques d'un moteur réel.
  3. 3Partie III : motorisation AF USMOnde de flexion dans une barre, modes d'un anneau, onde progressive obtenue par superposition d'ondes stationnaires déphasées, puis mouvement du rotor avec lois du frottement.

Difficulté moyenne. Le jury indique un sujet moins bien réussi que ceux des années précédentes, mêlant questions de cours très simples et seulement deux tâches complexes sur une quarantaine de questions.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Schéma d'optique absent ou faux · Couple moyen nul sans justification · Propriétés magnétiques du rotor ignorées
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Le sujet a permis de distinguer les meilleurs candidats, mais aussi à des candidats qui grappillent des points d'obtenir une note honorable. Il a été moins bien réussi que les sujets des années précédentes. La présentation est satisfaisante dans la grande majorité des copies, et le jury a lu quelques excellentes copies à côté de copies au contenu très pauvre.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Schéma d'optique absent ou fauxPartie I

    Beaucoup de copies n'ont aucun schéma, ou un schéma sans axe optique, à l'envers ou avec une lentille divergente ; un schéma correct des deux positions extrêmes de la lentille rapportait déjà des points.

    « Rares étaient les constructions complètes en optique géométrique ! »
  2. 2
    Couple moyen nul sans justificationII.A.1

    Il fallait justifier la nullité du couple moyen par la moyenne nulle de la fonction cosinus.

  3. 3
    Propriétés magnétiques du rotor ignoréesII.A.3

    Très peu de candidats ont représenté le moment magnétique induit dans le noyau pour en expliquer la direction.

    « Les propriétés magnétiques du rotor n'ont que très rarement été exploitées, voire aperçues ! »
  4. 4
    Équation d'onde et vocabulaireIII.A.1

    Signes faux dans l'équation de d'Alembert, dimension de la constante γ souvent erronée, et confusion entre dispersif et dissipatif.

    « Le milieu dispersif a été confondu avec un milieu dissipatif »
  5. 5
    Déphaseur mal exploitéIII.B.2c

    La fonction de transfert du déphaseur est trouvée mais n'est pas réutilisée correctement ensuite.

    « La fonction de transfert du déphaseur a été assez souvent trouvée mais mal exploitée par la suite. »
  6. 6
    Dénombrement des segmentsIII.C.1

    Le nombre de points de contact avec le rotor est rarement trouvé, alors que la question sur les nœuds avait été réussie.

    « Les neuf segments n'ont que rarement été bien dénombrés, malgré le succès de la question III.B.1. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les intégrations successives des II.A.6 à II.A.8 tiennent compte des conditions initiales chez de nombreux candidats.
  • Les positions des nœuds de vibration (III.B.1) sont trouvées par une majorité de candidats.
  • Les questions complexes III.C.3b et c ont été généreusement valorisées, même pour des réponses incomplètes.

Conseils du jury

  • Lire l'énoncé pour en retenir toutes les hypothèses, comme le couplage électromagnétique parfait ou les propriétés magnétiques du rotor.
  • Appuyer les relations demandées sur un schéma propre et légendé, en optique comme en électromagnétisme.
  • Utiliser un vocabulaire scientifique précis.
  • Respecter la précision des données et des lectures graphiques dans les applications numériques.
  • Soigner la présentation : écriture lisible, réponses mises en évidence, numéros de questions respectés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Motorisation et mise au point autofocus

L'autofocus, AF, ou mise au point automatique, permet de régler la netteté de l'image que donne un instrument d'optique. La plupart des appareils photographiques peuvent êtres couplés à des objectifs comportant une motorisation AF : un moteur (et un dispositif mécanique) va permettre de translater tout ou partie du dispositif optique le long de son axe. Or quand on regarde les caractéristiques techniques de certains objectifs de la marque Canon®, par exemple, pouvant être fixés sur un même boitier de la même marque, on constate que le type de motorisation peut être différent comme dans l'exemple donné figure 1.
L'objectif EF 50 mm 1:1.2 L USM (à gauche) possède une motorisation ultrasonique (UltraSonic Motor). Le modèle EF 50 mm 1:1.8 II (au milieu) quant à lui possède une motorisation classique avec un micromoteur à courant continu. Enfin, le modèle EF 40 mm1 : 2.8STM (à droite) possède une motorisation pas à pas (Stepper Technology Motor) et est monté sur cette image sur un appareil EOS 600D.
Figure 1 Trois objectifs autofocus
L'objet de ce problème est de déterminer en première partie la latitude de mise au point d'un objectif, d'évaluer la durée de mise au point AF avec une motorisation à courant continu en deuxième partie, puis en troisième et dernière partie, d'évaluer la durée de mise au point AF avec une motorisation ultrasonique qui sera modélisée de façon simple. Nous ne nous intéresserons pas à la technologie STM.
Toute l'étude sera faite dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

I Latitude de mise au point et profondeur de champ

On désire photographier un individu, debout, de taille 1, 80 m à l'aide d'un objectif EF 50 mm 1:1.2 L USM, assimilable à une lentille mince convergente ( L ), de distance focale image fixe f^′ = 50, 0 mm, associée à un diaphragme de rayon R réglable, supposé placé dans le plan de la lentille mince. Le capteur d'image du boitier EOS 600 D est une matrice contenant 18,7 millions de pixels identiques carrés de côté a disposés dans une matrice rectangulaire de longueur 22, 3 mm et de hauteur 14, 9 mm. Le sujet, photographié de face, est situé à une distance D du capteur et à une distance d de la lentille (L). Lorsque le photographe effectue la mise au point sur ce sujet, son image occupe toute la hauteur du capteur.
On rappelle :
  • la formule du grandissement transversal γ = (A^′ B^′^–)/(AB^–);
  • la relation de conjugaison de Descartes pour une lentille mince 1/(OA^′^–) − 1/(OA^–) = 1/(f^′);
  • la relation de conjugaison de Newton pour une lentille mince FA^– ⋅ F^′ A^′^– = − f^(′2).
    I.A - Déterminer numériquement les distances d, D et a.
    I. B - La latitude de mise au point est la distance, comptée sur l'axe optique, qui sépare les deux positions extrêmes de la lentille ( L ) entre lesquelles l'image d'un point objet formée sur le récepteur garde une netteté acceptable, c'est-à-dire ici qu'elle soit de taille inférieure à a, taille caractéristique d'un pixel.
    Le nombre d'ouverture N_O de l'objectif est défini par la relation N_O = (f^′)/(2R). Pour l'objectif considéré, il est variable dans l'intervalle [1, 2; 16].
    I.B.1) Comment faire varier N_O en pratique ?
    I.B.2) Exprimer littéralement la latitude de mise au point en fonction de D, f^′, N_O et a. Calculer sa valeur numérique pour les valeurs minimale et maximale de N_O. Commenter.
    I. C - La profondeur de champ, quant à elle, désigne la distance, comptée sur l'axe optique, qui sépare les deux positions extrêmes d'un point objet situé sur cet axe pour lesquelles l'image reste nette. On montre que la profondeur de champ est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est grand.
    Pour réaliser le portrait de l'individu, la latitude de mise au point doit être grande ou faible ?

II Motorisation AF à courant continu

L'objectif EF 50 mm 1:1.8 II, commercialisé fin 1990, possède un micromoteur à courant continu à aimants permanents.

II.A - Principe d'une machine à courant continu à charge constante

Le rotor est constitué d'un noyau de fer doux, cylindrique, sur lequel sont enroulées N spires. Chaque spire, représentée sur la figure 2, est rectangulaire, de longueur b suivant l'axe ( Oz ) vertical ascendant et de largeur a, et est enroulée sur le noyau parallèlement dans un de ses plans de symétrie. Les N spires sont réparties uniformément sur le périmètre du noyau. L'ensemble {noyau + spires} constitue le rotor. Chaque spire, de résistance R_e, est reliée à un générateur de tension continue U par l'intermédiaire de deux électrodes A et C et est parcourue par un courant d'intensité i constante. La position du rotor est repérée par l'angle θ de la base orthonormée directe cylindrique (e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z). On notera Ω = (dθ)/(dt) la vitesse angulaire de rotation du rotor et J son moment d'inertie par rapport à ( Oz ). Le rotor est placé dans le champ magnétique stationnaire produit par les aimants permanents constituant le stator. On admettra que, dans le volume situé entre le stator et le noyau du rotor, ce champ est radial et de la forme B⃗ = B_0 cosθe⃗_r (avec B_0 > 0 ). Le fer doux sera assimilé à un matériau magnétique linéaire, de perméabilité magnétique μ = μ_r μ_0. On négligera tout phénomène d'autoinduction. Le couplage électromécanique est parfait.
On suppose que le rotor entraine une charge dont le couple résistant est Γ⃗_R = − Γ_R e⃗_z où Γ_R est une constante positive. À l'instant t = 0, on a θ(t = 0) = 0 et Ω(t = 0) = 0.
Figure 2
On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction f continue et positive sur un intervalle [a, b] est 1/(b − a)∫_a^b f(x)dx.
II.A.1) Dans un premier temps, on néglige les propriétés magnétiques du fer doux qui est alors assimilé à un milieu non magnétique.
Déterminer, en moyenne sur un tour, le moment par rapport à l'axe ( Oz ) du couple électromagnétique subi par le rotor, noté Γ_(em).
II.A.2) En fait, un système permet la commutation de A et C à chaque demi-tour du rotor, si bien que le courant i circule toujours dans le même sens. Quel est ce système ?
Pour quelles valeurs de θ y a-t-il inversion du sens du courant parcourant une spire ?
Montrer alors qu'on a Γ_(em) = K_0 i où K_0 est une constante à déterminer en fonction de a, b, N et B_0. Quelle est la dimension de K_0 ?
II.A.3) Désormais on prend en compte les propriétés magnétiques du fer doux, qui sera assimilé à un milieu magnétique linéaire de perméabilité magnétique μ = μ_r μ_0 (avec μ_r > 1 ). À l'intérieur du noyau, le champ magnétique B⃗_s créé par le stator est approximativement uniforme et est orienté selon e⃗_x; on a ainsi B⃗_s = B_s e⃗_x où B_s > 0.
Justifier que les courants rotoriques, parcourant les spires du rotor, induisent dans le noyau un moment magnétique M⃗_r orienté selon l'axe ( Oy ). En préciser le sens. Justifier que ce moment magnétique est proportionnel à l'intensité i du courant dans une spire du rotor. En déduire le couple électromagnétique subi par le rotor, noté Γ_(em)^′ et montrer qu'il est proportionnel à i.
On pose Γ_(em)^′ = Ki. Comparer les ordres de grandeur de K et de K_0.
II.A.4) Déterminer la force contre-électromotrice moyenne e induite dans le rotor en fonction de K et Ω.
II.A.5) Déterminer, en fonction de K, R_e et U, l'expression littérale de la caractéristique Ω = f(Γ_(em)^′) en régime permanent de fonctionnement et à tension d'induit U constante.
II.A.6) Déterminer la loi d'évolution Ω(t) pour t ⩾ 0. Faire de même pour la loi θ(t). On posera τ = (R_e J)/(K^2) et Ω_(lim) = U/K − (R_e Γ_R)/(K^2).
II.A.7) À la date t = t_0, un système d'asservissement vient annuler le courant : i(t = t_0) = 0, de façon à ce que le moteur puisse s'arrêter. Déterminer les lois d'évolution Ω(t) et θ(t) pour t ⩾ t_0.
II.A.8) Pour faire la mise au point, le rotor initialement immobile doit tourner d'un angle θ_(mp). À la date t_(mp), θ(t = t_(mp)) = θ_(mp) et le rotor est à l'arrêt. Exprimer θ_(mp) et la durée de mise au point t_(mp) en fonction de Γ_R, J, t_0, τ et Ω_(lim).

II.B - Application au moteur à courant continu DN12M de la marque Canon®

II.B.1) En vous aidant de la figure 3, déterminer K et R_e pour le moteur mentionné ci-dessus.
Figure 3 Caractéristiques (Ω, Γ_(em)^′) et (i, Γ_(em)^′) en
régime permanent à tension d'induit U constante
II.B.2) Toujours en vous aidant de la figure 3, déterminer le couple de démarrage Γ_D du moteur.
II.B.3) On donne J = 0, 24 g ⋅ cm^2. Calculer U et τ.
II.B.4) Dans les conditions où (Γ_R)/(Γ_D) = 0, 5 et U = 3, 1 V, déterminer Ω_(lim) puis la puissance du moteur en régime permanent.
II.B.5) Pour une durée de mise au point t_(mp) de l'ordre de 100 ms (ordre de grandeur du temps de réponse d'un micromoteur à courant continu associé à un réducteur de vitesse installé dans un objectif Canon®), quel angle θ_(mp) peut-on espérer ?

III Motorisation AF USM

Apparus au début des années 80, les moteurs rotatifs à actionneurs piézoélectriques sont des alternatives aux moteurs à courant continu, moteurs synchrones ou asynchrones. Depuis 1987, Canon® intègre cette technologie. Leur principe est la génération d'une onde ultrasonore de flexion dans un solide suffisamment élastique, le stator, à l'aide d'actionneurs piézoélectriques. On peut alors montrer que le mouvement des points de la surface du stator est quasi-elliptique, si bien qu'un autre solide en contact à sa surface, le rotor, pourra «surfer » sur l'onde
et être entrainé par friction. Ces moteurs sont silencieux, précis, rapides et peu encombrants. En effet le plus petit de ces moteurs, utilisé en horlogerie, a une taille caractéristique de l'ordre de quatre millimètres.
L'objectif EF 50 mm 1:1.2 L USM, commercialisé depuis 2010, possède un moteur annulaire à actionneurs piézoélectriques.

III.A - Propagation d'une onde progressive de flexion dans un solide

III.A.1) On considère le dispositif représenté en figure 4 : une barre solide cylindrique d'axe ( Ox ), de longueur L, de section très petite, négligeable, repose sur deux supports identiques fixes, situés en ses extrémités avec lesquels le contact, quasi-ponctuel, se fait de façon permanente. L'axe vertical ascendant est l'axe (Oz). Le problème étant supposé invariant dans tout plan vertical parallèle à l'axe de la barre, toute l'étude se fera dans le plan ( Oxz ), si bien que le couple de coordonnées ( x, z ) d'un point M appartenant à la barre est suffisant pour décrire les phénomènes observés.
Figure 4 Barre étudiée disposée sur ses supports
Lorsque la barre est au repos et n'est le siège d'aucun phénomène vibratoire, z = 0 pour tout point M de la barre. Sous l'effet d'une onde mécanique transversale, dite onde de flexion, générée dans la barre, un point M lui appartenant peut être amené à se déplacer verticalement. Dès que la barre se met à vibrer transversalement, on admet que l'équation différentielle vérifiée par z(x, t) s'écrit :
(∂^4 z)/(∂x^4) + γ^2(∂^2 z)/(∂t^2) = 0
où γ est une constante réelle positive.
a) Si la barre était une corde infiniment souple, comment s'écrirait l'équation (III.1) ? Comment appelle-t-on ce genre d'équation? Rappeler l'expression de sa solution générale.
b) Quelle(s) propriété(s) du matériau fait (font) que l'équation (III.1) est différente de celle demandée à la question précédente?
c) Déterminer la dimension et l'unité de la constante γ.
d) À quelle condition une onde plane progressive harmonique, de pulsation ω, de nombre d'onde k et se propageant vers les x croissants, écrite sous forme complexe z_–(x, t) = Z_–exp(j(ωt − k_–x)) peut-elle exister ?
e) La barre est-elle un milieu dispersif ?
f) Pourquoi est-il impossible de réaliser une onde plane progressive dans cette barre ?
III.A.2) Au lieu d'une barre rectiligne, on étudie maintenant un anneau de section très petite. Cet anneau filiforme est de centre O, de rayon R, donc de longueur L = 2πR. Un point M de l'anneau sera repéré par son abscisse curviligne s = Rθ. Au repos, cet anneau est plan et contenu dans le plan Oxy. Sous l'effet d'une onde de flexion, il peut vibrer dans la direction Oz. On note z(s, t) la cote du point M à l'instant t. Par analogie avec la barre rectiligne étudiée à la question III.A.1, l'équation différentielle vérifiée par z(s, t) s'écrit
(∂^4 z)/(∂s^4) + γ^2(∂^2 z)/(∂t^2) = 0
On fait propager une onde progressive z_–(s, t) = Z_–e^(j(ωt − ks)) dans cet anneau.
a) Quelle condition doit satisfaire sa longueur d'onde λ par rapport à la longueur L ?
b) En déduire que le nombre d'onde k et la pulsation ω sont quantifiés.
La solution caractérisée par le couple ( k_n, ω_n ) est appelée mode propre de flexion d'indice n. Exprimer les valeurs possibles, k_n et ω_n, du nombre d'onde et de la pulsation.

III.B - Moteur piézoélectrique rotatif

Dans les moteurs rotatifs (figure 5), le stator est formé d'un anneau composé de deux parties: une couche annulaire de céramiques piézoélectriques collée sous un disque métallique dentelé (l'anneau statorique). Entre le rotor et le stator, on insère une couche de polymère pour augmenter la friction et donc le couple d'entrainement du moteur. Le rotor et le stator sont maintenus en contact à l'aide d'un ressort de précontrainte.
Figure 5 Vue éclatée d'un moteur piézoélectrique rotatif
On désigne par s l'abscisse curviligne d'un point M situé le long du périmètre moyen de l'anneau statorique, de longueur L. Nous allons montrer qu'il est possible de générer dans l'anneau des ondes de flexion, d'abord une onde stationnaire, puis une onde progressive.

III.B.1) Excitation d'une onde stationnaire dans l'anneau

L'anneau piézoélectrique, collé sous le stator, est sectorisé en sous-entités identiques mais de «polarisation alternée »: quand on soumet une entité, notée +, à une tension positive, elle se déforme dans un sens, alors que sa voisine, notée -, soumise à la même tension se déforme de manière identique mais dans un sens opposé, comme l'indique la figure 6. Les déformations sont supposées sans retard temporel par rapport à la tension excitatrice et sont alors transmises à l'anneau statorique.
Figure 6 Déformation d'un motif piézoélectrique (constitué de deux entités de polarisation opposée) soumis à une tension générée par deux électrodes
En répétant le motif représenté plus haut et en le soumettant à une tension sinusoïdale U(t), il est alors possible de générer une onde de flexion stationnaire dans l'anneau céramique qui va être transmise au stator métallique.
a) On suppose U(t) sinusoïdale. Où seront situés les nœuds de vibration?
b) L'anneau piézoélectrique, de rayon moyen R et de périmètre moyen L, est constitué et excité comme l'indique la figure 7 : la tension U(t) excite une succession de 4 motifs identiques à ceux représentés en figure 6 .
Montrer que, alimenté par une tension de pulsation ω qu'on déterminera, cet anneau piézoélectrique permet d'exciter une onde stationnaire z_n(s, t) telle que : z_n(s, t) = Z_n cos(k_n s + ψ)cos(ω_n t + φ).

III.B.2) Excitation d'une onde progressive dans l'anneau

a) Pour générer une onde harmonique progressive z(s, t) dans l'anneau, il suffit de l'exciter par deux ondes stationnaires z_1(s, t) et z_2(s, t) de même pulsation ω, de même nombre d'onde k et de même amplitude Z.
En posant z_1(s, t) = Zcos(ks + ψ_1)cos(ωt + φ_1) et z_2(s, t) = Zcos(ks + ψ_2)cos(ωt + φ_2), déterminer les relations entre les phases φ_1, φ_2, ψ_1 et ψ_2 pour que la superposition des ondes z_1 et z_2 soit une onde progressive.
b) On utilise un anneau piézoélectrique constitué et excité comme l'indique la figure 8 : la tension U_1(t) excite une première succession de 4 motifs identiques à ceux représentés en figure 6, alors que la tension U_2(t), synthétisée à l'aide du montage représenté en figure 9 , excite une autre succession de 4 motifs identiques.
Quelle doit être la longueur de l'arc moyen, exprimée en fonction de λ, de l'électrode auxiliaire ? Quelle doit être la longueur de l'arc moyen de l'électrode GND reliée à la masse, exprimée en fonction de λ ?
c) Dans le montage représenté en figure 9, l'amplificateur linéaire intégré est supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire. Montrer que ce montage va bien permettre de synthétiser la tension U_2(t) adéquate, à condition que ω, R^′ et C soient reliés par une relation que l'on déterminera.
Figure 7 Anneau excitateur constitué d'entités piézoélectriques permettant de générer une onde stationnaire dans l'anneau statorique
Figure 8 Anneau constitué d'entités piézoélectriques, collé sous l'anneau statorique
Figure 9 Montage
permettant de synthétiser U_2(t)
Ainsi une onde progressive tournante est générée à la surface du stator. Le rotor va ainsi être entrainé par friction.
d) Comment faire pour inverser le sens de rotation du rotor ?
III.B.3) Pourquoi, à votre avis, la partie haute du stator est-elle dentelée (voir figure 5) ?

III.C - Étude dynamique simplifiée

On suppose que le rotor, de moment d'inertie J par rapport à son axe de rotation ( Oz ), est en contact avec N points matériels représentant «les crêtes » de l'onde statorique, qui décrivent, sous l'effet de l'onde progressive, un mouvement circulaire, d'axe (Oz), de rayon R_m (cf figure 10) à la vitesse angulaire de rotation constante ω_s.
Figure 10
On admet que quand on coupe le moteur (on arrête l'excitation du stator), les N points s'immobilisent en un temps négligeable : c'est la phase de freinage du rotor qui débute. La vitesse angulaire de rotation du rotor, à une date t, est notée ω_R(t). On admet que ∀t, ω_R(t) ⩽ ω_S. Chaque «crête» exerce sur le point du rotor en contact avec elle une force de friction R⃗_T = R_t e⃗_θ et une force de réaction normale R⃗_N = R_N e⃗_z avec R_N > 0, toutes deux constantes et identiques pour chaque crête. On admettra que : R_T > 0 lorsque le moteur est allumé (stator excité), R_T < 0 lorsque le moteur est arrêté, si ω_R ≠ ω_S alors ‖R⃗_T‖ = f‖R⃗_N‖ et si ω_R = ω_S alors ‖R⃗_T‖ = 0.
Le ressort de précontrainte représenté en figure 5 exerce une force F⃗_C = − F_c e⃗_z supposée constante et uniformément répartie entre les N points tournant.
Le poids du rotor est négligeable devant toutes les autres forces mises en jeu.
La charge entrainée par le rotor ainsi que d'éventuels frottements exercent un couple résistant, supposé constant, et noté Γ⃗_C = − Γ_C e⃗_z avec Γ_C > 0.
III.C.1) Que vaut N avec le montage représenté en figure 8 ?
III.C.2) Exprimer le couple moteur Γ_m en fonction de N, R_m et R_T ?
III.C.3) Pour faire la mise au point, le rotor initialement immobile doit tourner d'un angle θ_(mp). Lorsque cet angle est atteint, au bout d'une durée t_(mp) égale à la durée de mise au point, le rotor doit bien sûr être immobile.
a) À quelle condition le rotor, initialement immobile, démarre-t-il ?
b) À la date t = 0, on allume le moteur, alors qu'à la date t_0, on le coupe. Déterminer et représenter graphiquement ω_R(t) pour t ∈ [0, t_(mp)]. On posera
τ = (ω_S J)/(fR_m F_C − Γ_C) et τ^′ = (ω_S J)/(fR_m F_C + Γ_C)
et on envisagera plusieurs cas suivant la valeur grande ou faible de l'angle θ_(mp).
c) Déterminer, pour chacun des cas relatés à la question précédente, l'expression littérale de la durée de mise au point t_(mp) en fonction de ω_S, τ, τ^′ et θ_(mp).

III.C.4) Application aux moteurs ultrasoniques Canon®

Pour ces moteurs, f_S = (ω_S)/(2π) = 3, 0kHz (obtenue en réalité quand on excite le stator avec une fréquence ultrasonique de 27 kHz ) alors que l'ordre de grandeur de ω_R est de 80tr ⋅ min^(− 1). On donne R_m = 35 mm, F_C = 15 N, f = 0, 3 et J = 1 × 10^(− 6) kg ⋅ m^2. Le couple résistant Γ_C est estimé à 6 × 10^(− 2) N ⋅ m.
a) Lequel des cas évoqués aux questions III.C. 3 convient ici ?
b) Pour effectuer la mise au point, on souhaite avoir θ_(mp) = 12π. Quelle sera la durée de mise au point? Commenter.
c) La masse du moteur est de 45 g . Calculer la puissance massique utile sachant que des phénomènes non pris en compte dans ce modèle induisent une valeur réelle égale à 65% de celle calculée en théorie. Comparer avec celle d'un moteur à courant continu Canon® évaluée à 11 W ⋅ kg^(− 1).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Centrale physique-chimie 2 PSI 2015 ?
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Sur quoi porte le sujet Centrale physique-chimie 2 PSI 2015 ?

Sur un objectif photographique autofocus : latitude de mise au point en optique géométrique, motorisation par un micromoteur à courant continu, puis moteur ultrasonique piézoélectrique utilisant des ondes progressives sur un anneau.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique-chimie 2 Centrale PSI 2015 ?

Des schémas d'optique absents ou faux, les propriétés magnétiques du rotor ignorées, des signes erronés dans l'équation de d'Alembert, la confusion entre milieu dispersif et dissipatif et un dénombrement raté des segments du moteur.

Le sujet Centrale PSI 2015 physique-chimie 2 a-t-il été bien réussi ?

Moins bien que les sujets des années précédentes selon le jury. Il a toutefois permis de distinguer les meilleurs candidats, et les deux questions complexes ont valorisé ceux qui argumentaient.

Les parties du sujet Centrale physique-chimie 2 PSI 2015 sont-elles indépendantes ?

Oui, le sujet comporte trois parties indépendantes de longueurs inégales ; la troisième, sur le moteur piézoélectrique, compte le plus de questions.

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