Propriétés magnétiques et électriques de matériaux : transformateur miniaturisé, transformateur piézoélectrique et capteur fluxgate
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Le sujet étudie des dispositifs intéressants pour la miniaturisation ou la mesure de champs, en trois parties de physique. Il caractérise un transformateur miniaturisé (enroulements puis matériau magnétique), analyse le champ électrique et la propagation d'une déformation dans un transformateur piézoélectrique, puis décrit un capteur fluxgate dont la saturation périodique permet, par analyse spectrale, de mesurer un champ magnétique extérieur.
1Partie I : le transformateur miniaturisémilieux magnétiques (I.B) propres à la filière PSIRésistance et inductance d'un enroulement mesurées avec un montage à ALI, capacité parasite, puis magnéton de Bohr, aimantation et pertes dans un tore ferromagnétique.
2Partie II : le transformateur piézoélectriqueChamp électrique dans un cristal comprimé, équation de propagation d'une déformation dans un barreau, résonances et effet de la dissipation, puis exploitation de simulations.
3Partie III : mesure de champs magnétiques avec un capteur fluxgatemilieux magnétiques propres à la filière PSIChamp dans un barreau magnétique périodiquement saturé, tension induite et analyse de Fourier du signal pour remonter au champ extérieur et à la sensibilité du capteur.
Difficulté moyenne. Le jury parle de questions aux difficultés graduées, avec une meilleure réussite sur la partie I.A et la partie II guidée, mais des réponses globalement décevantes sur les milieux magnétiques (I.B et III).
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 11 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Questions de cours mal démontrées · Limites de fonctionnement de l'ALI · Lecture graphique bâclée
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La réussite est meilleure sur la partie I.A, en grande partie sans réelle difficulté, et sur la partie II, assez guidée. Les parties I.B et III, consacrées aux milieux magnétiques propres à la filière PSI, donnent des réponses décevantes, faute de rigueur et de schémas explicatifs. Les questions de cours sont majoritairement mal traitées et les questions non guidées souvent rédigées trop vite.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Questions de cours mal démontréesQ10, Q20
Moins de 4 % des candidats établissent rigoureusement le magnéton de Bohr, et moins de 10 % démontrent de façon quasi irréprochable le champ électrique de Q20.
« Les questions de cours sont majoritairement mal traitées. »
2
Limites de fonctionnement de l'ALIQ5, Q6
Seuls 25 % reconnaissent le risque de saturation en tension et 5 % expliquent l'écrêtage par une saturation en courant. Ces deux limites devaient être justifiées quantitativement.
3
Lecture graphique bâcléeQ4
Les amplitudes et l'avance de phase, avec son signe, doivent être relevées avec soin. L'argument d'un nombre complexe n'est pas toujours l'arctangente du rapport de ses parties.
4
Théorème d'Ampère sans orientationQ15, Q16, Q31, Q32
La moitié des candidats ne représente aucun contour d'Ampère orienté. Les flux calculés à travers des surfaces non orientées et les tensions induites dans un enroulement non orienté ne sont pas valorisés.
5
Conditions aux limites du barreauQ25
Le déplacement réel et sa grandeur complexe sont confondus, et seuls 12 % des candidats traduisent correctement l'extrémité libre du barreau.
6
Questions non guidées rédigées trop vite
Le jury attend dans ces questions un raisonnement structuré, des références aux documents utilisés et des mesures expliquées.
« Aligner une suite de formules ne permet pas aux correcteurs de comprendre la démarche suivie. »
Ce qui a été bien réussi
Les deux questions ouvertes de la partie I.A ont souvent été traitées.
En Q4, les candidats rigoureux qui rédigent de façon organisée ont obtenu la note maximale.
En Q7, toute stratégie pertinente et argumentée a été récompensée.
De nombreux candidats obtiennent de bonnes voire très bonnes notes en soignant la rédaction et les schémas et en ne bâclant pas les questions simples.
Conseils du jury
Définir toute notation non introduite par l'énoncé, idéalement sur un grand schéma.
Soigner schémas et graphes, en indiquant les coordonnées de quelques points remarquables.
Citer les lois utilisées, établir les expressions littérales avant l'application numérique et éviter les relations mi-numériques mi-littérales.
Étayer par des valeurs chiffrées tout commentaire du type grand, petit ou cohérent.
Lire tout le sujet en début d'épreuve pour repérer les parties indépendantes et mieux gérer les quatre heures.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Corrigé détaillé
39 questions
Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.
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39 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.
Le sujet étudie des dispositifs intéressants pour la miniaturisation ou la mesure de champs, en trois parties de physique. Il caractérise un transformateur miniaturisé (enroulements puis matériau magnétique), analyse le champ électrique et la propagation d'une déformation dans un transformateur piézoélectrique, puis décrit un capteur fluxgate dont la saturation périodique permet, par analyse spectrale, de mesurer un champ magnétique extérieur.
Applications des propriétés magnétiques et électriques de matériaux
La synthèse de nouveaux matériaux a permis de réaliser des dispositifs possédant des propriétés intéressantes du point de vue de la miniaturisation ou de la sensibilité aux champs électromagnétiques.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.
Cet énoncé est accompagné d'un document réponse à remettre avec la copie. Certaines données numériques utiles sont disponibles dans ce document réponse.
Notations
À toute grandeur, fonction sinusoïdale du temps, g(t) = Gcos(ωt + φ), on associe la grandeur g_–(t) = G_–e^(jωt), où j^2 = − 1 et G_– = Ge^(jφ) est appelée amplitude complexe de g.
I Le transformateur miniaturisé
Le besoin de transformateurs de plus en plus petits dans les systèmes électroniques embarqués a conduit à la conception de transformateurs miniaturisés. Les différents éléments (conducteurs, matériaux magnétiques, isolants) sont directement réalisés sur un circuit imprimé. La miniaturisation a été rendue possible grâce à l'utilisation de fréquences élevées et à l'aptitude des nouveaux matériaux à supporter de hautes températures. Un transformateur est composé de différents matériaux :
un matériau conducteur pour réaliser les enroulements (ou bobinages);
un matériau magnétique ;
un matériau isolant pour isoler les enroulements primaire et secondaire.
Figure 1 Schéma d'un enroulement en cuivre
I.A - Les enroulements
Q 1. Rappeler l'expression de la résistance électrique R d'un conducteur cylindrique de conductivité γ, de longueur L, de section S, parcouru uniformément par un courant parallèle à son axe.
Q 2. Pour l'enroulement de cuivre de la figure 1 , le courant circule de A vers B. Évaluer sa résistance électrique R_e. Citer deux inconvénients que présente l'existence de cette résistance pour un transformateur.
L'inductance propre de l'enroulement peut être mesurée grâce à un impédancemètre dont le schéma est celui de la figure 2 . On utilise le modèle de l'amplificateur linéaire intégré idéal de gain infini, alimenté en ± 15 V. La résistance R_(ref) = 1000, 0Ω est une résistance de référence, l'impédance à mesurer est Z_– = Z_r + jZ_i, où Z_r et Z_i sont des nombres réels. Le générateur impose la tension harmonique u_e(t) = U_0 cos(ωt).
Figure 2 Schéma d'un impédancemètre
Q 3. Exprimer l'amplitude complexe U_–_s en fonction de l'amplitude complexe U_–_e, de R_(ref) et de Z_–.
La figure 3a donne les graphes des tensions u_e(t) et u_s(t).
Q 4. Calculer Z_r et Z_i. En déduire la valeur L de l'inductance propre de l'enroulement ainsi que la valeur de R_e.
Figure 3 Oscillogrammes - La courbe en gras est la tension d'entrée u_e(t), la courbe en trait fin la tension de sortie u_s(t), la base de temps est 200 ns par carreau
Q 5. L'amplitude de la tension d'entrée est portée à la valeur U_0 = 30mV. Préciser l'intérêt d'une telle augmentation d'amplitude. Proposer, en la justifiant, la forme prévisible pour le signal de sortie. Expliquer pourquoi la réduction de la résistance de référence R_(ref) est à envisager si on veut garder U_0 = 30mV.
Q 6. On choisit une résistance de référence plus faible, R_(ref)^′ = 100, 00Ω. Les courbes obtenues sont représentées figure 3b. Interpréter quantitativement le phénomène observé.
Pour réaliser un transformateur, on dispose un enroulement primaire A_1 B_1 et un enroulement secondaire A_2 B_2 comme sur la figure 4a. L'enroulement primaire A_1 B_1 est identique à l'enroulement AB de la figure 1 . Les deux enroulements sont constitués de conducteurs d'épaisseurs identiques. Leur proximité, qui permet d'obtenir un couplage magnétique fort, a l'inconvénient de présenter un couplage électrostatique représenté par une capacité de couplage C_p (figure 4 b ). Le rapport de transformation pour le transformateur complet (enroulements et matériau ferromagnétique, non représenté) est m = 0, 9.
Figure 4 Enroulements et modélisation
Q 7. Estimer, en précisant la démarche, la capacité C_p à partir de l'expression de la capacité d'un condensateur plan et de la géométrie des enroulements (figure 1 et figure 4a). Le milieu magnétique qui remplit l'espace
entre les enroulements, non représenté sur la figure 4a, possède une permittivité relative ε_r = 5 × 10^4. Que penser de cette valeur de permittivité relative par rapport à celle de milieux usuels ?
La modélisation de la figure 4 b est celle d'un transformateur idéal où l'on a ajouté un condensateur.
Q 8. Établir l'expression de l'intensité i en fonction de C_p, m et (du_1)/(dt) pour une intensité de sortie nulle, i_2 = 0. En déduire l'expression de i_1 en fonction de C_p, m et (du_1)/(dt). Toujours avec le modèle du transformateur idéal, quelle serait la valeur de i_1 en l'absence de la capacité parasite si i_2 = 0 ?
La tension d'entrée est périodique, de la forme donnée figure 5.
Figure 5 Forme du signal d'entrée u_1
Q 9. Calculer la valeur de l'intensité maximale i_1 dans les conditions de la question précédente. Quels sont les effets de ce courant ? Pourquoi ce défaut est-il particulièrement important pour les variations rapides de tension?
I.B - Le matériau magnétique
Le rôle du matériau magnétique est de canaliser les lignes de champ magnétique. Cependant, il présente l'inconvénient d'être à l'origine de pertes énergétiques.
Q 10. Dans le modèle de Bohr, un électron possède une trajectoire circulaire autour d'un noyau atomique immobile. Le moment cinétique de l'électron est σ_e = ‖σ⃗_e‖ = ℏ, où ℏ est la constante de Planck réduite. Établir l'expression du moment magnétique μ_e = ‖μ⃗_e‖ de cet atome, en fonction de ℏ, de la charge élémentaire e et de la masse de l'électron m_e. Effectuer l'application numérique.
Q 11. Un matériau ferromagnétique de masse molaire M, de masse volumique ρ, est formé d'atomes de moment magnétique zμ⃗_e où z ∈ ℕ. Quelle est l'expression de l'aimantation de saturation M_(sat), valeur de l'aimantation du matériau quand tous les moments magnétiques sont alignés et de même sens? Calculer la valeur M_(sat)(Fe) pour le fer pour lequel z = 4.
Q 12. En reprenant la valeur précédente de M_(sat), quel serait le moment magnétique à saturation m_a d'un cube de fer de côté 150μ m ? Quelle serait l'intensité I parcourant une boucle circulaire de diamètre 150μ m de moment magnétique m_a ? Commenter.
Pour mesurer la perméabilité magnétique, on utilise un impédancemètre équipé d'un dispositif de caractérisation de matériaux ferromagnétiques, sous la forme d'un bobinage de N_t spires enlaçant un tore formé de ce matériau. Le tore possède une longueur moyenne ℓ_t et une section S_t (figure 6).
Figure 6 Tore de mesure d'impédance
Le milieu ferromagnétique est étudié dans son domaine linéaire et sa perméabilité magnétique relative est notée μ_r. On suppose que les lignes de champ adoptent la symétrie de révolution du tore. L'impédancemètre génère des signaux harmoniques de pulsation ω = 2πf_0 avec f_0 = 50 Hz.
Q 13. On suppose les normes des champs d'excitation magnétique H⃗ et magnétique B⃗ uniformes dans le tore. À quelle condition sur la géométrie du tore cette hypothèse est-elle justifiée?
Q 14. En travaillant en coordonnées cylindriques, d'axe l'axe de révolution du tore, justifier que H⃗ = He⃗_θ et B⃗ = Be⃗_θ.
Q 15. Exprimer les champs H et B en fonction de μ_0, μ_r, N_t, ℓ_t et i. Préciser les orientations choisies.
Q 16. En déduire l'expression de l'impédance Z_– = (u_–)/(i_–). Y a-t-il dissipation d'énergie dans le matériau?
Pour décrire plus complètement les propriétés du matériau ferromagnétique, on généralise la relation B⃗ = μ_0 μ_r H⃗ à une relation entre champs complexes B⃗_– = μ_0 μ_r H⃗_– où μ_r est la perméabilité relative complexe et l'on pose μ_r_– = μ_r^′ − jμ_r^(′′) où μ_r^′ et μ_r^(′′) sont des réels positifs.
Q 17. Exprimer la puissance moyenne P_c consommée dans le tore en fonction de la valeur efficace I_(eff) de l'intensité i et des caractéristiques du milieu.
Q 18. Dans le cadre d'un matériau de perméabilité relative complexe, tracer l'allure du cycle B(H) du matériau ferromagnétique. Évaluer le champ magnétique rémanent B_r et l'excitation coercitive H_c. On prendra les valeurs des paramètres données en fin de problème ainsi que les valeurs μ_r^′ = 10^3, μ_r^(′′) = 4 et l'intensité maximale dans la bobine I_(max) = 12 A.
Q 19. Calculer la puissance moyenne P_(diss) dissipée dans le tore ferromagnétique. Quelle est la nature de cette perte?
II Le transformateur piézoélectrique
Aucune connaissance préalable de l'effet piézoélectrique n'est nécessaire pour répondre aux questions de cette partie.
À partir des années 1990 ont été développées des classes de transformateurs compacts de gains en tension élevés. Leur principe repose sur la piézoélectricité, une propriété de certains matériaux comme le quartz ou les céramiques de titano-zirconates de plomb (PZT).
II.A - L'effet piézoélectrique
Les matériaux piézoélectriques ont la faculté de faire apparaitre un champ électrique sous l'effet d'une déformation mécanique (effet direct). Réciproquement, ces matériaux se déforment lorsqu'ils sont soumis à un champ électrique (effet inverse).
On considère un milieu cristallin ionique, isolant, homogène à l'échelle mésoscopique, mais dont les porteurs de charge, cations et anions, forment deux réseaux se déformant différemment sous l'effet de forces de compression (figure 7). Sans contrainte (figure 7a), la densité de charge est partout nulle. La permittivité relative du milieu est notée ε_r.
Figure 7 Cristal piézoélectrique
Q 20. Quel est le signe de la charge de la face inférieure qui apparait en cas de compression (figure 7b) ? On note σ la densité surfacique de charge correspondante. Dans le cas d'un milieu illimité dans les directions orthogonales à Oz, en détaillant le raisonnement effectué, établir l'expression du champ électrique E⃗ entre les deux faces en fonction de σ et des constantes électriques.
L'effet inverse est obtenu en appliquant un champ électrique E⃗_(ext) uniforme à un échantillon de matériau placé entre les armatures d'un condensateur. La déformation engendrée est proportionnelle au champ électrique appliqué.
La figure 8a représente un échantillon de matériau piézoélectrique parallélépipédique, d'épaisseur d, placé entre les armatures d'un condensateur. La figure 8 b représente un échantillon à deux couches : un couple d'électrodes, isolées l'une de l'autre, est inséré entre deux couches de matériau, d'épaisseur d/2.
Q 21. Exprimer le champ électrique E⃗_2 dans le cas des deux couches de la figure 8b, en fonction du champ E⃗_(ext) de la figure 8a. Généraliser au cas de N couches d'épaisseur d/N et exprimer E⃗_N. Exprimer enfin E⃗_N en fonction de la tension U, de l'épaisseur totale d et de N. Quel est l'avantage de ce système multicouche ?
Figure 8 Matériau piézoélectrique placé dans un champ électrique
II.B - Propagation de la déformation
Le champ électrique E⃗ = E_z u⃗_z appliqué au matériau provoque une variation δ de sa largeur L_a telle que
δ = βE_z,
où β est une constante dépendant du matériau. À l'inverse, une variation δ de la largeur provoque l'apparition d'une composante du champ électrique E_z (effet direct) telle que
E_z = δ/β.
Électrique vers mécanique
Mécanique vers électrique
Figure 9 Principe du transformateur piézoélectrique - Au primaire, toutes les connexions aux électrodes multicouches n'ont pas été représentées
Q 22. On considère le schéma du transformateur de la figure 9. Le primaire est formé de N couches, le secondaire d'une seule. Si l'amplitude de la déformation au secondaire est identique à celle du primaire, quel est le rapport m de transformation en tension ? Ce transformateur fonctionnerait-il pour des signaux stationnaires ?
Une tension harmonique U_p(t) = U_0 cos(ωt) entraine ainsi une déformation de même pulsation du matériau, déformation qui se propage selon l'axe Ox. Le matériau a la forme d'un barreau de section constante S. Parmi les modes de vibration possibles, on s'intéresse au mode longitudinal. La déformation longitudinale est représentée par le déplacement ξ(x, t) de la tranche située à l'abscisse x au repos (figure 10). On s'intéresse à un modèle aux faibles déformations.
Figure 10 Propagation d'une onde acoustique longitudinale dans un barreau piézoélectrique
On considère le système matériel compris entre les abscisses x et x + dx quand le milieu est au repos, de masse dm = ρS dx où ρ est la masse volumique du matériau (partie hachurée sur la figure 10). La force F⃗_−(x, t) exercée par le matériau en deçà de x + ξ(x, t) sur le système s'exprime par
F⃗_−(x, t) = − SK(∂ξ)/(∂x)(x, t)u⃗_x
où K est une constante caractéristique du matériau.
Q 23. Quelle est la dimension de la constante K ? Exprimer la force F⃗_+(x + dx, t) exercée sur le système par la partie du matériau située au-delà de x + dx. En déduire la force résultante dF⃗_r sur le système à l'ordre un en dx.
Q 24. En assimilant la quantité de mouvement du système à dm(∂ξ)/(∂t)(x, t)u⃗_x, établir l'équation de propagation
(∂^2 ξ)/(∂x^2) − 1/(c^2)(∂^2 ξ)/(∂t^2) = 0
Donner l'expression de la constante c en fonction de K et ρ. Quel est le nom de cette équation ?
Les vibrations engendrées par le déplacement en x = 0 se propagent dans le barreau, dans les deux sens, sous forme d'ondes planes harmoniques. On note k⃗ = ku⃗_x le vecteur d'onde.
L'extrémité en x = L du barreau est libre. En x = 0, l'amplitude forcée est donnée par ξ(0, t) = ξ_0 cos(ωt). La solution plane harmonique complexe s'exprime selon
et exprimer le dénominateur D_–. Donner la signification physique de chaque terme de cette expression. De quel déphasage Δφ s'accompagne la réflexion de l'onde de déplacement?
Q 26. En déduire les fréquences f_n de résonance du barreau en fonction de c, L et d'un entier n non nul. Calculer la fréquence minimale f_0 pour une céramique PZT de longueur L = 2 cm. Que devient l'amplitude des vibrations aux fréquences de résonance ? Quel est l'inconvénient de la résonance pour un matériau solide ?
En réalité des phénomènes dissipatifs affectent la propagation de l'onde dans le milieu. On les modélise en prenant en compte une force supplémentaire
df⃗_d = − 1/τ(∂ξ)/(∂t)(x, t)dmu⃗_x
sur le système de masse dm considéré auparavant. τ est une constante.
Q 27. Établir la nouvelle équation des ondes.
Les solutions planes harmoniques complexes de l'équation précédente s'écrivent
ξ_–(x, t) = X_–_0 exp(j(ωt − k_–x))
où X_–_0 est une constante complexe et k_– = k^′ − jk^(′′) avec k^′ et k^(′′) des constantes réelles vérifiant |k^(′′)|≪|k^′|.
Q 28. Établir la relation de dispersion. Exprimer k^(′′) en notant que k^′ ≃ ω/c.
Q 29. Qualitativement, quelles sont les modifications qu'apportent les phénomènes dissipatifs sur les fréquences de résonance et sur les amplitudes à ces fréquences ?
Q 30. Dans la figure A du document réponse, sont décrites des simulations de fonctionnement d'un transformateur piézoélectrique alimentant une résistance de charge R_c. Analyser qualitativement et quantitativement ces graphes de façon à
a. donner les valeurs des puissances d'entrée et de sortie et la puissance perdue lorsque la puissance de sortie est maximale. Commenter ;
b. déterminer si les valeurs de la tension de sortie et la puissance de sortie sont en accord.
III Mesures de champs magnétiques avec un capteur Fluxgate
L'élément magnétique sensible d'un capteur Fluxgate est un noyau magnétique doux qui est saturé périodiquement par un signal fourni par une bobine d'excitation. Cette saturation périodique provoque une discontinuité du signal mesuré aux bornes d'une bobine de mesure, ce qui donne le nom de ces capteurs (Fluxgate signifie littéralement en français «vanne de flux»).
Dans toute cette partie, on se place dans l'approximation des régimes quasi stationnaires magnétique.
Figure 11 Fluxgate
La figure 11 représente les éléments essentiels du capteur. Un barreau cylindrique ferromagnétique doux, de perméabilité relative μ_r, de longueur ℓ, de diamètre D, est enlacé par deux enroulements. L'enroulement d'excitation (en trait gras), formé de N_f spires (densité linéique de spires n ), est parcouru par une intensité d'excitation sinusoïdale I_e(t) = I_(0e)cos(ωt). On mesure la tension u_s(t) aux bornes de l'enroulement de mesure (en trait fin) qui compte N_f spires également. On néglige tout effet dû à un courant minime susceptible de circuler dans cet enroulement de mesure. On suppose que les spires sont circulaires, uniformément réparties sur le cylindre et que les champs sont uniformes dans le barreau.
III. A - Dans cette sous-partie, il n'y a pas de champ extérieur.
Q 31. Exprimer le champ d'excitation magnétique H⃗ dans le barreau. On détaillera la méthode utilisée.
Q 32. Dans le cas où le milieu magnétique se comporte linéairement, exprimer le champ magnétique B⃗ en fonction de I_e, n, μ_0 et μ_r. En déduire l'expression de la tension u_s(t) en fonction de I_(0e), ω, n, N_f, D et des constantes du milieu.
Le matériau ferromagnétique est caractérisé par la courbe d'aimantation M(H) simplifiée donnée sur la figure 12. On pose (M_(sat))/(H_0) = μ_r − 1 et μ_r = 4000.
Figure 12 Courbe M(H), où M = M⃗ ⋅ u⃗_z et H = H⃗ ⋅ u⃗_z
Q 33. Sachant que I_(0e) est tel que la valeur maximale de l'excitation magnétique H_(max) = 2H_0, exprimer u_s(t) dans les deux domaines, linéaire et saturé.
Q 34. Représenter sur la figure B du document réponse les graphes des fonctions B(t) = B⃗ ⋅ u⃗_z et u_s(t).
III. B - Le fluxgate est désormais placé dans un champ d'excitation extérieur H⃗_(ext) = H_(ext)u⃗_z uniforme et constant créé par une source extérieure au dispositif. Le courant d'excitation I_e(t) est inchangé.
Q 35. Quelle est l'expression de H⃗ dans le barreau? À l'aide des graphes de B(t) et de u_s(t) fournies figure C du document réponse, déterminer quelle inégalité est vérifiée par la valeur de H_(ext) :
a. H_(ext) > H_0;
b. 0 < H_(ext) < H_0;
c. − H_0 < H_(ext) < 0;
d. H_(ext) < − H_0.
Q 36. Toujours à l'aide des graphes de la figure C , estimer numériquement la valeur du rapport (H_(ext))/(H_0).
La détection et la mesure de H_(ext) sont effectuées grâce à une analyse spectrale du signal u_s(t). On donne dans le tableau 1 les amplitudes complexes A_–_n(H_(ext)) pour n ∈ {1, 2, 3, 4, 5} du spectre des signaux u_s(t) dans quatre cas : H_(ext) = 0, H_(ext) = H_0/10, H_(ext) = − H_0/10 et H_(ext) = H_0/5 pour le fondamental et les harmoniques n = 2 à 5 , soit pour les fréquences f_n = nf_1. Les amplitudes sont déterminées grâce à la fonction rfft de Python qui calcule la transformée de Fourier discrète d'un échantillon de points.
fréquences
f_1
f_2
f_3
f_4
f_5
H_(ext) = 0
0,16-25,506j
− 0 + 0, 006j
− 0, 192 + 10, 198j
-0,001j
− 0, 098 + 3, 124j
H_(ext) = H_0/10
0,16-25,409j
− 0, 035 + 2, 787j
− 0, 187 + 9, 901j
0,002-0,094j
− 0, 084 + 2, 664j
H_(ext) = − H_0/10
0,16-25,41j
0,035-2,775j
− 0, 187 + 9, 903j
− 0, 002 + 0, 092j
− 0, 084 + 2, 667j
H_(ext) = H_0/5
0,158-25,113j
− 0, 069 + 5,458j
− 0, 171 + 9, 052j
0,002-0,084j
− 0, 041 + 1, 319j
Tableau 1 Amplitudes A_–_n du spectre de Fourier discret selon les fréquences pour quatre valeurs de H_(ext)
Q 37. Quel signal issu de la décomposition de Fourier discrète permet de mesurer H_(ext) avec le maximum de sensibilité ? Peut-on connaitre le signe de H_(ext) ? Le signal qui détecte la présence du champ extérieur H_(ext) lui est-il proportionnel ?
La longueur finie du barreau a une influence sur le champ d'excitation existant dans le barreau. Le champ d'excitation dans le matériau H⃗_r est donné en fonction du champ appliqué H⃗_(ext) par la relation
H⃗_r = H⃗_(ext) − 4παM⃗
où α est une fonction du rapport ℓ/D.
Q 38. Exprimer H_r = H⃗_r ⋅ u⃗_z en fonction de H_(ext), μ_r et α, dans le domaine de linéarité du matériau. En déduire l'expression de H_r en fonction du champ magnétique extérieur B_(ext), μ_0, μ_r et α.
On donne figure 13 le graphe de la fonction α(η) où η = ℓ/D et les caractéristiques d'un fluxgate dans le tableau 2 .
Figure 13 Coefficient α en fonction de η, rapport de la longueur sur le diamètre d'un barreau
Diamètre du barreau
2, 25 mm
Longueur du barreau
13, 0 mm
Nombre de spires
646
Bruit i_b de l'intensité d'excitation
55 nA
Tableau 2 Caractéristiques d'un fluxgate
Q 39. En considérant qu'un signal est détectable si |H_r| dépasse de 10% le champ d'excitation H_b provoqué par le bruit i_b de l'intensité d'excitation I_e, quelle est la plus petite valeur B_(min) du champ magnétique extérieur détectable par le fluxgate dont les caractéristiques sont données dans le tableau 2 ?
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC
Nom
Рге́поп
Épreuve : Phusique-chimie ᄅ PSI
Ne rien porter sur celte feuille avant d'avoir complètement rempli l'entête
Feuille ◻ / ◻
Données
Constantes générales
Constante de Planck réduite
Constante d'Avogadro
Charge élémentaire
Masse de l'électron
Permittivité diélectrique du vide
Perméabilité magnétique du vide
Propriétés physiques
Conductivité du cuivre
Masse volumique du fer
Masse molaire du fer
Masse volumique du PZT
Constante K du PZT
Données pour la partie I
Nombre de spires du bobinage torique
Section du tore
Longueur moyenne du tore
Sur la figure A, sont représentés la puissance, le rendement, la tension efficace de sortie et l'intensité efficace d'entrée en fonction de R_c pour une tension en entrée d'amplitude efficace 20 V . Pour chaque résistance R_c, on cherche la fréquence de résonance donnant le maximum de puissance et on détermine les autres grandeurs (tension, rendement, intensité) à cette fréquence.
Les pertes se traduisent aussi dans le niveau de puissance atteignable en sortie du transformateur. Nous avons mesuré ainsi une puissance maximale de sortie de 4, 5 mW qui correspond ainsi à une densité de puissance de 3, 6 mW ⋅ cm^(− 3).
D'après Thomas Martinez. Étude d'un transformateur piézoélectrique à onde progressive et de son application aux convertisseurs de puissance. Autre. Université Paris Saclay (COmUE), 2019. Français. NNT: 2019SACLN047. tel0240618.
Figure A Dépendance de la puissance de sortie, du rendement, de la tension de sortie et du courant d'entrée à la valeur de la résistance de charge R_c pour une tension d'entrée de 20 V (amplitude efficace)
Question 34
Figure B Graphes à compléter
Questions 35 et 36
Figure C Graphes en présence d'un champ magnétique extérieur
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Physique-chimie 2 PSI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Physique-chimie 2 PSI 2023 ?
+
Sur l'électrocinétique avec ALI, les milieux magnétiques et le ferromagnétisme, le théorème d'Ampère et l'induction, l'électrostatique, la propagation d'ondes mécaniques dans un solide et l'analyse spectrale.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Physique-chimie 2 PSI 2023 ?
+
Des questions de cours mal démontrées, des limites de l'ALI non identifiées, des lectures graphiques imprécises, un théorème d'Ampère appliqué sans contour orienté et des conditions aux limites mal écrites en Q25.
Quelle partie de Centrale Physique-chimie 2 PSI 2023 a été la mieux réussie ?
+
La partie I.A sur les enroulements et la partie II, assez guidée, sur le transformateur piézoélectrique. Les parties sur les milieux magnétiques ont donné des résultats décevants.
Les questions sur le fluxgate de Centrale Physique-chimie 2 PSI 2023 rapportaient-elles beaucoup ?
+
Oui : selon le jury, le barème a bien doté les questions Q33 à Q36 pour récompenser ceux qui ont réfléchi à la saturation périodique du noyau magnétique.
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Même année, CCINPCCINP Physique Chimie PSI 2023CCINP · 2023Corrigé
Même année, E3AE3A Physique Chimie PSI 2023E3A · 2023Corrigé
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