Centrale Physique Chimie 2 PSI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

À propos de la structure de la Terre

5,0(1 vote)

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 6 questions sur 40. Autres questions faisables en PCSI

Autres premières années : MPSI 5 · PTSI 5 · MP2I 3 · TSI1 3 · BCPST1 3 questions.

Détail par partie

Partie I : Des informations sur la structure de la Terre issues des ondes0/152e année
Partie II : Étude d'un modèle gravimétrique de la Terre1/7En partie
- Question 19
Partie III : Composition chimique de la graine4/5En partie
Partie IV : Aspects thermiques au sein du noyau de la Terre0/62e année
Partie V : Coefficient de partage et type de volcanisme1/7En partie
- Question 34

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BanqueCentrale Année2024 FilièrePSI MatièrePhysique-Chimie

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

La structure interne de la Terre : ondes sismiques, modèle gravimétrique, composition de la graine, thermique du noyau et volcanisme

Le sujet étudie plusieurs phénomènes et modèles liés à la structure interne de la Terre, en quatre parties de physique et une partie de chimie. Il passe des ondes sismiques longitudinales et transversales à un modèle gravimétrique confronté au modèle PREM, puis à la structure cristalline du fer, aux transferts thermiques dans le noyau et enfin à la cristallisation fractionnée, validée par un code Python de type Monte-Carlo.

1Partie I : informations sur la structure de la Terre issues des ondesOndes longitudinales dans les fluides et les solides, ondes transversales dans une chaîne d'atomes, relation de dispersion, puis interprétation des ondes P et S du modèle PREM (Q1 à Q15).
2Partie II : étude d'un modèle gravimétrique de la TerreAnalogie entre électrostatique et gravitation, théorème de Gauss, puis modèle noyau et manteau et profil de masse volumique (Q16 à Q22).
3Partie III : composition chimique de la graineLiaison métallique, maille cubique à faces centrées, compacité et rayon atomique du fer, puis argumentation sur documents montrant que le noyau n'est pas fait de fer pur (Q23 à Q27).
4Partie IV : aspects thermiques au sein du noyauFlux thermique conductif en géométrie sphérique, estimation de la conductivité du noyau externe, puis croissance de la graine (Q28 à Q33).
5Partie V : coefficient de partage et type de volcanismeLoi de Rayleigh pour la cristallisation fractionnée, validation par simulation Monte-Carlo en Python et exploitation de documents sur les éruptions de la Chaîne des Puys (Q34 à Q40).

Difficulté moyenne. Le jury parle d'un niveau raisonnable : toutes les questions ont été abordées et la note maximale a été approchée dans chaque section, mais le bilan de la partie III est décevant.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,32 / 20 · écart-type 4,1 · 4 159 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,32/ 20
Écart-type: 4,1
Présents: 4 159
Coefficient: 15
Durée: 4 h
1er quartile: 6,4
Médiane: 9,3
3e quartile: 12,1

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 6 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Célérité contredite juste après son calcul · Théorème de Gauss énoncé sans rigueur · Norme et composante radiale du champ

Toutes les questions ont été abordées, et la division en parties courtes a permis à de nombreux candidats d'en traiter certaines entièrement. La partie I, proche du cours, est la mieux réussie, mais les réponses manquent de soin : justifications incomplètes, notations non définies, confusion entre composante et norme d'un vecteur. Les questions non guidées, surtout des questions de synthèse sur documents, sont souvent rédigées trop vite.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Célérité contredite juste après son calculQ8
La plupart des candidats affirment que les ondes vont plus vite dans les milieux denses, en contradiction avec l'expression qu'ils viennent d'établir.
« La plupart des candidats contredisent l’expression de la célérité qu’ils viennent d’établir »
2
Théorème de Gauss énoncé sans rigueurPartie II
La surface fermée et le sens de la masse intérieure sont souvent omis, et l'application du théorème est rarement argumentée.
« de nombreux candidats énoncent le théorème de Gauss en omettant de préciser que la surface est fermée »
3
Norme et composante radiale du champQ21
Moins de 9 % des copies obtiennent au moins les trois quarts des points de Q21, principalement à cause de cette confusion.
« La principale raison est la confusion entre la norme du champ gravitationnel et sa composante radiale. »
4
Cohésion du cristal de ferQ23 à Q25
Seulement 10 % des candidats identifient la liaison métallique. La compacité et le rayon atomique du fer sont aussi peu réussis.
« Seulement 10 % des candidats identifient les liaisons métalliques »
5
Question ouverte délaisséeQ26
Plus des trois quarts des candidats n'abordent pas Q26, qui valait 8 % du total. Le jury recommande d'y consacrer 15 à 20 minutes avec un raisonnement argumenté appuyé sur les documents.
« plus des trois quarts des candidats n’abordent pas cette question, pourtant fortement valorisée dans le barème »
6
Thermique en géométrie sphériquePartie IV
Les erreurs viennent des grandeurs algébriques, de l'intégration d'une équation à variables séparables et d'un flux calculé sans surface définie ni orientée.
« peu de candidats maitrisent les transferts thermiques dans un problème à géométrie sphérique »

Ce qui a été bien réussi

La partie I, composée surtout de questions proches du cours, a été la mieux réussie.
La note maximale a été approchée par au moins un candidat dans chaque section.
De nombreux candidats se sont bien préparés et ont rendu des copies claires et précises.

Conseils du jury

Définir toute notation qui n'est pas dans l'énoncé, par exemple à l'aide d'un schéma.
Accompagner les graphes des coordonnées de points remarquables.
Établir l'expression littérale avant l'application numérique et éviter de mélanger valeurs numériques et symboles.
Ne jamais modifier une loi physique pour obtenir un résultat attendu.
Appuyer les commentaires sur des valeurs chiffrées et citer les documents ou figures utilisés.
Pour la méthode Monte-Carlo, expliquer son principe et son objectif dans le contexte au lieu de se limiter à des mots comme tirage aléatoire.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

40 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

40 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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À propos de la structure de la Terre

On considère que l'intérieur de la Terre est constitué d'une succession de couches de propriétés physiques différentes, telles que représentées à la figure 1 :

au centre, le noyau forme $17%$ du volume terrestre et se divise en :
la graine (ou le noyau interne), essentiellement constitué de fer solide,
le noyau externe, essentiellement constitué de fer liquide ;
dans la partie intermédiaire, le manteau constitue $81%$ du volume terrestre;
en surface, la croûte solide représente moins de $2%$ du volume terrestre.

Le problème aborde divers phénomènes et modèles en relation avec cette structure.

Figure 1 Structure de la Terre. D'après Wikipédia.

Croûte continentale
Croûte océanique
Manteau supérieur
Manteau inférieur (ou mésosphère)
Noyau externe
Noyau interne (ou graine)
A. Discontinuité de Mohorovicic
B. Discontinuité de Gutenberg
C. Discontinuité de Lehmann

Température aux frontières du noyau externe:

en B : $T_2 = 3800 K$ ;
en $C : T_1 = 5000 K$ .

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

On définit l'unité imaginaire i , nombre complexe tel que

i^2 = - 1

.
Un formulaire et certaines données numériques, qui complètent celles de la figure 1, sont disponibles en fin d'énoncé.

I Des informations sur la structure de la Terre issues des ondes

Des informations sur la structure interne de la Terre sont obtenues par l'analyse des ondes sismiques qui s'y propagent suite aux grands séismes qui ont lieu dans la croûte solide. Ces ondes sont de natures variées:

volumiques : elles peuvent alors être transversales (ondes S ) ou longitudinales (ondes P );
surfaciques : elles sont les plus destructrices et ne sont pas étudiées ici.

I.A - Modèles d'ondes longitudinales et transversales

I.A.1) Ondes longitudinales dans les fluides et solides homogènes

On considère une onde sonore se propageant de façon unidimensionnelle suivant un axe (

Ox

) dirigé par

e⃗_x

fixe dans un fluide homogène, de masse volumique

μ_0

et de pression

P_0

à l'équilibre. Les grandeurs caractéristiques du fluide ne dépendent que de la position

x

et du temps

t

. Lors du passage de cette onde, le fluide subit une petite perturbation locale.

On se place dans le cadre de l'approximation acoustique. La masse volumique s'écrit

μ(x, t) = μ_0 + μ_1(x, t)

, la pression

P(x, t) = P_0 + P_1(x, t)

et la vitesse

v⃗(x, t) = v_1(x, t)e⃗_x

. Les grandeurs

μ_1(x, t), P_1(x, t)

v_1(x, t)

, associées à l'onde, sont des infiniment petits du premier ordre.

L'accélération d'une particule de fluide est donnée par la dérivée particulaire

(Dv⃗)/(Dt) = (\partialv⃗)/(\partialt) + (v⃗ \cdot grad^(\to-))v⃗

. Les effets de la viscosité et de la pesanteur sont négligés et le référentiel d'étude est galiléen. L'évolution du fluide est supposée isentropique et on note

χ_s = - 1/V((\partialV)/(\partialP))_S \approx 1/(μ_0)((\partialμ)/(\partialP))_S

son coefficient de compressibilité isentropique, où

V

est le volume d'une particule de fluide.

Q 1. On rappelle que l'équation locale de conservation de la masse s'écrit

\partialμ/\partialt + div(μv⃗) = 0

. En la linéarisant par rapport aux variables

μ

v_1

dans le cadre de l'approximation acoustique, établir l'équation aux dérivées partielles liant les variations temporelles de

μ_1(x, t)

aux variations spatiales de

v_1(x, t)

Q 2. Écrire la projection sur

e⃗_x

du principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide. Toujours dans le cadre de l'approximation acoustique, la linéariser par rapport à la vitesse et à la surpression.

Q 3. Établir une relation linéaire entre

P_1(x, t)

μ_1(x, t)

.
Q 4. En déduire l'équation aux dérivées partielles, de propagation, satisfaite par

P_1(x, t)

et expliciter l'expression de la célérité

c

des ondes longitudinales de pression dans le fluide.

Q 5. Déterminer l'expression de la célérité

c_1

de ces ondes dans l'air (assimilé à un gaz parfait) en fonction de sa température

T_0

, de son rapport

γ

entre capacités thermiques à pression et volume constants, de sa masse molaire moyenne

M_(air)

et de la constante des gaz parfaits

R

. Faire l'application numérique pour

T_0 = 293 K

γ = 1, 40, M_(air) = 29, 0 g \cdot mol^(- 1)

R = 8, 31 J \cdot mol^(- 1) \cdot K^(- 1)

Q 6. Déterminer à présent la célérité

c_2

de ces ondes dans l'eau liquide à 293 K avec

χ_s = 4, 90 \times 10^(- 10) Pa^(- 1)

μ_0 = 1, 00 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

La théorie précédente s'étend aux ondes longitudinales dans les solides isotropes dans le cadre de l'élasticité linéaire. On considère un barreau solide cylindrique d'axe (

Ox

), de volume

V

constant, de longueur

ℓ

et de section

Σ

. On définit pour ce barreau:

la force par unité de surface, dite contrainte mécanique interne ( $T_c$ en Pa ), qui est l'analogue de $- P_1$ ;
le module d'Young $E$ du matériau tel que $1/E = 1/ℓ((\partialℓ)/(\partialT_c))_S$ .

Q 7. En déduire l'expression de la célérité

c_ℓ

des ondes longitudinales de compression-dilatation dans le barreau en fonction de

E

et de la masse volumique

μ

. La calculer pour le fer à 293 K et sous pression atmosphérique sachant que, dans ces conditions,

E = 196GPa

μ_(Fe) = 7, 87 \times 10^3 kg \cdot m^(- 3)

Q 8. Proposer une interprétation physique pour les différences observées entre les célérités des ondes longitudinales

c_1, c_2

c_ℓ

I.A.2) Ondes transversales dans un solide homogène

On étudie ici les ondes élastiques de déformation transverse se propageant suivant l'axe (

Ox

) d'un solide cristallin réduit à deux dimensions dans un plan (

Oxz

), comme représenté à la figure 2 . On considère les vibrations élastiques transversales de plans atomiques parallèles supposés identiques et de masse

m

. On note

d

la distance suivant l'axe (

Ox

) entre deux plans atomiques successifs. On suppose qu'au passage de l'onde transversale, chaque plan se déplace en bloc dans la direction (

Oz

). On note alors

ξ_n

l'écart du plan de rang

n

à sa position d'équilibre.

On admet, pour simplifier, que le plan de rang

n

est soumis uniquement aux forces de rappel élastique de la part de chacun de ses deux plans plus proches voisins. La force exercée par le plan de rang

n + 1

sur le plan de rang

n

est ainsi de la forme :

F⃗_(n + 1 \to n) = C(ξ_(n + 1)(t) - ξ_n(t))e⃗_z

Figure 2 Représentation schématique des déplacements atomiques.

Q 9. Établir l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle du déplacement du plan de rang

n

en fonction notamment de

ξ_(n - 1)(t), ξ_(n + 1)(t)

ξ_n(t)

On cherche des solutions de la forme

ξ_-_n(t) = A_-exp(i(nkd - ωt))

en notation complexe où

k

est une constante réelle,

ω

une constante réelle strictement positive et

A_-

une constante complexe non nulle.

k⃗ = ke⃗_z

est le vecteur d'onde et

ω

la pulsation temporelle.

Q 10. Obtenir la relation de dispersion entre

k

ω

. L'écrire sous la forme

ω = f(k, d, ω_0)

avec

ω_0 = \sqrt(C/m)

.
Q 11. Tracer l'allure de la courbe donnant

ω

en fonction de

k

pour

k \in ] - π/d, π/d[

. Montrer que le cristal se comporte comme un filtre passe-bas dont on déterminera la pulsation de coupure

ω_c

Q 12. Établir les expressions littérales de la vitesse de phase

v_φ

et de la vitesse de groupe

v_g

en fonction de

k, ω_0

d

pour

k \in ]0, π/d[

On se place à présent dans le cadre de l'approximation des milieux continus où la longueur d'onde

λ

des ondes transversales est très grande devant

d

Q 13. Déduire la célérité

c_t

des ondes transversales dans le cadre de cette approximation en fonction de

d

C

m

La célérité

c_t

peut également être explicitée dans le cadre de la théorie de l'élasticité linéaire selon la relation

c_t = \sqrt(L/μ)

où interviennent des grandeurs macroscopiques du solide : son module de cisaillement

L \approx 0, 4E

(en Pa) et sa masse volumique

μ

Q 14. Discuter la relation

c_t = \sqrt(L/μ)

compte tenu du résultat de la question précédente. Calculer

c_t

pour le fer à 293 K et à pression atmosphérique.

I.B - Ondes $P$ et $S$ dans la Terre et modèle PREM

Les ondes de volume dans la Terre, modélisée comme un milieu tridimensionnel élastique linéaire, sont de deux types:

les ondes P de compression-dilatation de nature longitudinale. Elles peuvent se propager dans les milieux solides et fluides. Leur vitesse est donnée par $v_P = \sqrt((K + 4L/3)/μ)$ où $μ$ est la masse volumique et $K$ et $L$ sont deux coefficients positifs appelés respectivement module d'incompressibilité et module de cisaillement (exprimés en Pa ). Ces trois grandeurs sont caractéristiques du milieu traversé. Le module de cisaillement est généralement considéré comme nul dans les fluides où il est négligeable devant le module d'incompressibilité ;
les ondes S de cisaillement. Elles ne se propagent effectivement que dans les solides. Leur vitesse est donnée $parv_S = \sqrt(L/μ)$ .

L'analyse de temps de parcours des ondes P et S , enregistrées en différents points du globe après de grands séismes, a permis de calibrer un modèle radial de la Terre dit modèle PREM (Preliminary Reference Earth Model). Il permet notamment de préciser, en fonction de la distance au centre de la Terre, les vitesses

v_P

v_S

et la masse volumique

μ

Figure 3 Profils de la masse volumique et des vitesses des ondes P et S dans le modèle PREM. D'après Dziewonski A. M., Anderson D. L., 1981. Preliminary reference Earth model. Physics of the Earth and Planetary Interiors. Vol. 25, n

^\circ4

, p. 297-356.

Q 15. En explicitant la démarche, attribuer aux vitesses des ondes

P

S

les profils en tirets ou en pointillés de la figure 3. Discuter la cohérence de cette figure avec la structure interne de la Terre décrite dans l'introduction du sujet.

II Étude d'un modèle gravimétrique de la Terre

II.A - Préliminaire : l'analogie électrostatique-gravitation

Q 16. En utilisant l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel, montrer que ce dernier, noté

G\to

, vérifie l'équation locale

divG\to = - 4πGμ

où

G

est la constante universelle de gravitation et

μ

la masse volumique locale. En déduire l'énoncé du théorème de Gauss de la gravitation (analogue du théorème de Gauss de l'électromagnétisme).

II.B - Un premier modèle gravimétrique fruste de la Terre

Dans ce premier modèle, on assimile la Terre à une boule

T_h

de centre

O

, de rayon

R_T

et de masse

M_T

uniformément répartie en volume. Celle-ci est à l'origine d'un champ gravitationnel noté

G^-_(T_h)

. On note

μ_0

la masse volumique moyenne de la Terre (qui s'identifie ici à la masse volumique en chacun de ses points).
Q 17. Déterminer le champ gravitationnel

G\to_(T_h)

en tout point de l'espace en introduisant un système de coordonnées adapté.

Q 18. Tracer sa norme en fonction de la distance

r

au centre

O

.
Q 19. Calculer sa valeur

G_0

à la surface de la Terre.

II.C - Un second modèle gravimétrique (noyau + manteau) de la Terre

Le modèle précédent est fruste puisqu'il ne tient pas assez compte de la structure interne de la Terre. On rencontre dans la littérature un second modèle, où la Terre est toujours assimilée à une boule de centre

O

et de rayon

R_T

avec une répartition de masse à symétrie sphérique de centre

O

; mais cette répartition est cette fois-ci inhomogène de sorte que la norme

G_T

du champ gravitationnel interne en fonction de la distance

r

au centre

O

présente l'allure précisée à la figure 4 .

Figure 4 Champ de gravitation terrestre à l'intérieur de la Terre pour un modèle (noyau + manteau).

On distingue deux parties dans ce modèle (noyau + manteau) : la discontinuité de Gutenberg définie à la figure 1 correspond à la distance

r = R_2

On note toujours

μ_0

la masse volumique moyenne de la Terre.
Q 20. Justifier que la valeur de

G_0

à la surface de la Terre dans le cadre de ce modèle est inchangée par rapport à celle évaluée à la question Q 19 .

Q 21. Déterminer la distribution de masse volumique

μ(r)

pour la Terre dans ce modèle. L'exprimer en fonction de

R_T, R_2

μ_0

dans le noyau et en fonction de

R_T, M_T

r

dans le manteau.

Q 22. Tracer l'allure de cette distribution de masse volumique

μ(r)

en précisant les valeurs numériques remarquables. Discuter les similitudes et les différences de ce modèle avec le profil de masse volumique donné par le modèle PREM sur la figure 3.

III Composition chimique de la graine

Q 23. Préciser le type de liaison à l'origine de la cohésion du cristal de fer.
À pression atmosphérique, le fer existe à l'état solide sous plusieurs variétés allotropiques dont le fer

γ

pour

912^\circC < T < 1394^\circC

. Le fer

γ

cristallise dans une structure cubique à faces centrées.

Q 24. Représenter la maille du réseau cubique à faces centrées. Déterminer et calculer la compacité de la maille.

Q 25. Déterminer le rayon atomique

r_(Fe_γ)

du fer à pression ambiante pour la variété allotropique fer

γ

sachant que sa densité vaut

d_(Fe_γ) = 7, 87

À la pression régnant dans la graine (noyau interne), le fer cristallise dans une autre variété allotropique, appelée fer

ε

, de structure hexagonale compacte représentée à la figure 5 , à gauche. La maille est un prisme droit à base losange, caractérisée par les paramètres de maille

a

b

. Elle contient huit atomes aux sommets et un à l'intérieur.

La pression dans la graine varie entre 330 et 350 GPa et la température est au-delà de 5000 K . La technologie de la presse à cellule de diamant, couplée à un chauffage par laser, ainsi qu'à des ondes de chocs, permet de chauffer et comprimer un échantillon de fer pour le placer dans des conditions proches de celles régnant dans la graine (figure 5, à droite). L'échantillon est alors éclairé par un faisceau synchrotron de rayons X dont la diffraction renseigne sur sa structure cristalline, sa masse volumique et les vitesses des ondes mécaniques qui s'y propagent. Connaissant ces vitesses, on peut en déduire les modules élastiques

K

L

. Les résultats sont présentés à la figure 6 .

Figure 5 Gauche : représentation schématique de la maille hexagonale compacte. Droite : représentation schématique d'une enclume à diamants (source Wikipédia).

Q 26. En vous appuyant sur les résultats présentés à la figure 6, ainsi que sur les profils de masse volumique et de vitesses prévus par le modèle PREM en figure 3, montrer que le noyau ne peut pas être constitué que de fer pur et que la prise en compte d'éléments plus légers est nécessaire.

Un élément dont le rayon atomique est proche de celui du fer pourra se substituer à ce dernier dans la maille pour former un alliage par substitution. Au contraire, un élément dont le rayon est assez petit pour venir se loger dans un site interstitiel vacant sans déformer la maille formera un alliage par insertion. Des éléments satisfaisant à ces conditions présenteront une forte affinité pour le fer solide.

Figure 6 À gauche, modules d'incompressibilité

K

et de cisaillement

L

dans le fer

ε

en fonction de la pression. À droite, masse volumique du fer

ε

en fonction de la pression à différentes températures. D'après Mao H. et al., 1998. Elasticity and Rheology of Iron above 220 GPa and the Nature of the Earth's Inner Core. Nature. Vol. 396, p. 741-743 et d'après Fiquet G. et al., 2007. A new thermal equation of state for iron at megabar pressure. American Geophysical Union. Fall Meeting, abstract DI24A-05.

D'autre part, les structures hexagonale compacte et cubique à faces centrées étant deux structures compactes, leurs sites interstitiels tétraédriques et octaédriques sont de mêmes dimensions.

On supposera que la phase haute pression est soumise à une pression isotrope. De fait, les paramètres de maille et les rayons atomiques sont réduits d'un même facteur. On raisonnera donc ensuite par commodité sur la maille à pression ambiante.

Hypothèse : lors de la cristallisation du noyau formant la graine, certains éléments légers seraient expulsés des cristaux de fer formés, ce qui enrichirait la base du noyau liquide en ces éléments légers

^1

Q 27. Il est communément admis que le noyau est constitué d'environ

80%

de fer pur associé à

10%

de nickel, les

10%

restant étant des éléments plus légers (essentiellement le silicium ( Si ) et l'oxygène ( O )). Montrer que l'hypothèse précédente est en adéquation avec la structure de la maille du fer à haute pression.

IV Aspects thermiques au sein du noyau de la Terre

On définit le flux géothermique moyen

Φ_Q

comme étant le flux thermique total issu de l'intérieur du globe terrestre à la surface de la Terre. Il est d'environ

4 \times 10^(13) W

et on estime qu'un quart de ce flux (soit

1 \times 10^(13) W

) est issu du noyau terrestre (le reste étant produit essentiellement dans le manteau). Ce flux thermique issu du noyau est appelé flux thermique profond et est noté

Φ_(th, pr)

. Il résulte de trois contributions :

environ $90%$ correspondent au flux thermique initial $Φ_(th, i)(9 \times 10^(12) W)$ : il est associé au refroidissement progressif du noyau profond qui libère sous forme thermique l'énergie (gravitationnelle et cinétique) accumulée pendant la phase d'accrétion initiale de la Terre;
environ $10%$ correspondent au flux thermique de différenciation, noté $Φ_(th, d)(1 \times 10^(12) W)$ : c'est l'énergie libérée par la cristallisation du noyau externe liquide à l'interface avec la graine solide.
le reste, environ $0, 06%$ , provient des désintégrations radioactives au sein du noyau (la teneur en éléments radioactifs y étant très faible).

L'étude dans cette partie sera intégralement effectuée en régime stationnaire de transferts thermiques.

IV.A - Transferts thermiques dans le noyau externe

Le noyau terrestre, constitué de la graine et du noyau externe, est assimilé à une masse sphérique. Le noyau externe est le siège de transferts thermiques modélisés uniquement par de la conduction thermique avec une conductivité thermique, notée

λ

, uniforme et constante. On pose

T(r = R_1) = T_1

la température à la surface de la graine solide et

T(r = R_2) = T_2 < T_1

la température à la surface supérieure du noyau externe. La figure 7 explicite les notations, en complément de la figure 1 qui intègre des données utiles.

Figure 7 Schématisation du noyau terrestre.

Q 28. Exprimer le flux thermique

Φ_(th)(r)

traversant par conduction, dans le sens radial croissant, la sphère de centre

O

et de rayon

r \in [R_1, R_2]

en fonction de

λ, r

(dT)/(dr)(r)

Q 29. Expliquer pourquoi il est raisonnable de considérer ce flux thermique indépendant de

r

dans le noyau externe. En déduire l'expression de la conductivité thermique

λ

en fonction de

R_1, R_2, T_1, T_2

et du flux thermique profond

Φ_(th, pr)

Q 30. Estimer la valeur de la conductivité thermique

λ

dans ce modèle.
Des mesures sur le fer liquide et ses alliages envisagés pour la constitution du noyau externe, effectuées dans ses conditions de température et de pression élevées, fournissent des valeurs de conductivité thermique d'au plus

1 \times 10^2 W \cdot m^(- 1) \cdot K^(- 1)

Q 31. Conclure à propos des mécanismes de transfert thermique réels dans le noyau externe.

IV.B - Croissance de la graine

Le noyau se refroidissant, la graine voit son rayon croître très lentement par cristallisation du liquide à sa surface.
On considère, dans le noyau externe, une pellicule sphérique d'épaisseur d

r

, au contact de la graine. Cette pellicule fluide a une température uniforme égale à la température du solide de la graine avec laquelle elle est en contact. Sa pression est supposée uniforme et constante de même que sa masse volumique qui sera prise égale à

μ_N = 1 \times 10^4 kg \cdot m^(- 3)

. On néglige tout mouvement convectif au cours du processus de cristallisation. À l'instant

t

, l'interface entre la graine et le noyau externe est repérée par

r(t) = R_1

. On suppose qu'entre

t

t + dt

, cette pellicule se cristallise, l'interface progressant ainsi, de façon homogène et isotrope, de

r

r + dr

On estime actuellement que le taux de croissance du rayon de la graine est

τ = dr/dt \approx 0, 3 mm/

an .
Q 32. Montrer que le taux de croissance de la graine s'écrit

τ = - (Φ_(th, d))/(4πR_1^2 μ_N Δ_(sol)h)

où

Δ_(sol)h

est l'enthalpie massique de solidification du fluide du noyau externe dans les conditions de température et de pression qui règnent à l'interface.

Q 33. En déduire une estimation de la valeur de

Δ_(sol)h

. Discuter le résultat sachant que l'enthalpie massique de solidification du fer à température et pression ambiante est de

- 270 kJ \cdot kg^(- 1)

V Coefficient de partage et type de volcanisme

Les magmas sont issus de la fusion partielle des roches du manteau, qui conduit à la formation d'un premier magma appelé magma primaire. Celui-ci cristallise par un refroidissement lent dans la chambre magmatique alimentant un volcan (figure 8). Lors de la cristallisation, les éléments chimiques se répartissent entre la phase solide en formation et la phase liquide, selon leur compatibilité avec les réseaux cristallins des solides formés. Ainsi, les minéraux cristallisent graduellement en quittant le liquide magmatique résiduel et modifient localement sa composition chimique : on parle de différenciation du magma par cristallisation fractionnée.

V.A - Loi de Rayleigh

On propose de caractériser ce processus de cristallisation par le modèle suivant : on étudie l'évolution de la masse de liquide lors de l'étape de cristallisation ayant lieu entre

t

t + dt

(figure 9 ). On notera

m_L(t)

la masse de liquide restant à l'instant

t

. Par ailleurs, on note

m_L^i(t)

m_L^i(t + dt)

les masses respectives d'élément

i

Figure 8 Magnétisme et volcanisme. D'après Wikipédia.

Figure 9 Processus de cristallisation entre

t

t + dt

dans la phase liquide à

t

et à

t + dt

m_S^i(t + dt)

la masse d'élément

i

dans la masse

dm_S

de magma solide qui cristallise entre

t

t + dt

On note

w_L^i

w_S^i

les fractions massiques respectives de l'élément dans les phases liquide et solide, exprimées ici en parties par million ( ppm ) avec

1ppm = 10^(- 6) = 1mg \cdot kg^(- 1)

Q 34. Exprimer

m_L^i(t), m_L^i(t + dt)

m_S^i(t + dt)

en fonction de

w_L^i(t), w_L^i(t + dt), w_S^i(t + dt), m_L(t)

m_L(t + dt)

dm_S

On utilise la notion de coefficient de partage solide-liquide de l'élément

i

, noté

D_i

, pour caractériser ce transfert de l'élément

i

de la phase liquide vers la phase solide. Ce coefficient est d'autant plus grand que l'élément a une grande compatibilité avec le réseau cristallin de la phase solide. Il est défini par

D_i = (w_S^i(t + dt))/(w_L^i(t))

. On le suppose constant sur chaque étape de différenciation considérée.

On note

m_(L, 0)

la masse initiale de liquide magmatique avant différenciation et

f = (m_L)/(m_(L, 0))

le degré de différenciation. La fraction massique initiale de l'élément

i

dans la phase liquide est notée

w_(L, 0)^i

Q 35. En traduisant la conservation de la matière totale, puis la conservation de l'élément

i

entre les instants

t

t + dt

, établir une relation entre

D_i, (dm_L)/(m_L)

(dw_L^i)/(w_L^i)

. En déduire la loi dite de Rayleigh :

w_L^i(t) = βf^(D_i - 1)

où on exprimera

β

en fonction des données du problème.

V. $B$ - Validation de l'hypothèse d'un processus de cristallisation fractionnée

Dans la suite de cette partie, on veut valider l'hypothèse que le magma actif dans la formation des volcans de la Chaine des Puys, près de Clermont-Ferrand, suit effectivement un processus de cristallisation fractionnée.

Le volcanisme lié à la Chaine des Puys a débuté il y a environ 100000 ans et a présenté quatre périodes majeures : entre -100000 et -90000 ans ; entre -75000 et -70000 ans ; entre -45000 et -30000 ans et entre -13500 et -9000 ans. On dispose d'un ensemble d'échantillons de roches volcaniques éjectées lors de ces
périodes d'activité, chacune étant donc relative à un stade plus ou moins avancé de différenciation du magma au moment de l'éruption. Le Rubidium (Rb) et le Thorium (Th) sont présents à l'état de traces dans les liquides et les roches magmatiques. Ils se caractérisent par une forte affinité pour le liquide magmatique dans lequel ils forment des structures très stables et, au contraire, sont incompatibles avec la plupart des mailles cristallines. Leurs coefficients globaux de partage dépendent peu de la nature des phases minérales du solide qui cristallise. Il est d'autre part possible de doser la teneur en Rb et Th dans des échantillons de roches. Les résultats sont présentés dans le tableau 1.

$w(Rb)$ en ppm	5,21	6,52	6,81	8,51	12,8	13,5	15,8	17,9	21,3	22,1
$w(Th)$ en ppm	37,5	46,7	47,8	57,1	90,6	90,9	110	130	152	157

Tableau 1 Extrait des données relatives à l'évolution de la fraction massique en Rb en fonction de celle en Th en parties par million (ppm) dans différents produits volcaniques de la Chaine des Puys.
D'après Villemant B., 1985. La différenciation des séries volcaniques : géochimie des éléments tracés dans les séries du Massif Central et d'Italie centrale. Thèse de doctorat. Université Paris VI.

On suppose que le résultat de mesure est bien décrit par une variable aléatoire de densité normale avec une incertitude-type sur les fractions massiques de la forme

u(w) = Δ/(\sqrt3)w

où

Δ = 5%

Les produits volcaniques éjectés lors d'une éruption sont représentatifs de la composition du liquide magmatique dont ils sont issus à un moment donné dans l'histoire de la différenciation de ce liquide.

Q 36. Montrer que, pour deux éléments

i

j

dont les coefficients de partage vérifient

D_i≪1

D_j≪1

, le rapport

w_L^i/w_L^j

est constant.

On se propose d'utiliser une procédure Monte-Carlo pour valider l'hypothèse d'un processus de cristallisation fractionnée. Le code en langage Python correspondant est fourni en annexe 1 ; des informations complémentaires sont précisées en annexe 2.

Q 37. Décrire en quelques lignes le principe d'une simulation Monte-Carlo en faisant le lien avec les variables A , X , a et u_a du code proposé en annexe 1 . On commentera en particulier précisément le rôle des lignes 25,36 et 38 .

On obtient après une exécution du code Python de l'annexe 1 dans l'interpréteur l'affichage suivant :

La pente a est 0.1386273960033664 d'incertitude-type 0.0049036710758989
L'ordonnée à l'origine b est 0.2983346169365785 ppm d'incertitude-type
0.3494478625397468 ppm

On obtient également le graphique de la figure 10 où l'incertitude élargie à

95%

de confiance est donnée par

U = 2u, u

étant l'incertitude-type.

Figure 10 Tracé de

w(Rb)

en fonction de

w(Th)

avec des barres d'incertitudes élargies à

95%

de confiance.

Q 38. Expliquer en quoi ce résultat permet de conclure sur la validation de l'hypothèse de processus de cristallisation fractionnée.

V. $C$ - Caractérisation du type de volcanisme de la Chaine des Puys

Une fois ce processus de cristallisation fractionnée validé, on cherche désormais à décrire le type de volcanisme (explosif ou effusif) de la Chaine des Puys.

Les premiers cristaux à se former dans la chambre magmatique sont les olivines, qui sont riches en magnésium et en fer, et pauvres en silice. Les cristaux d'olivine se séparent du liquide magmatique, ce qui l'appauvrit en magnésium et en fer et l'enrichit en silice.

Pour les volcans soumis à des processus de cristallisation fractionnée, le magma se différencie en s'enrichissant progressivement en silice, ce qui fait augmenter sa viscosité. Au contraire, les magmas qui ne suivent pas ce processus ont des viscosités qui restent faibles. D'autre part, en profondeur, le magma à haute pression peut contenir de grandes quantités de gaz, sous forme dissoute, qui vont former des bulles de gaz lors de la remontée du magma. Pour les volcans de la Chaine des Puys, les magmas sont très riches en gaz dissous.

On distingue typiquement deux grands types d'éruptions :

les éruptions de type hawaiien, effusives, où la lave s'écoule progressivement à partir du cratère ;
les éruptions de type strombolien qui se caractérisent par une dynamique éruptive explosive produisant des coulées pyroclastiques dévastatrices (on parle de nuées ardentes comme celle qui ravagea Pompéi en 79 après J.C. lors d'une éruption du Vésuve). La figure 11 montre une nuée ardente observée sur les pentes du Stromboli.

Figure 11 Éruption de type strombolien (source : Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia).

Figure 12 D'après Parfitt E. A., Wilson L., 1995. Explosive volcanic eruptions-IX.
The transition between Hawaiian-style lava fountaining and Strombolian explosive activity. Geophysical Journal International. Vol. 121, n

^\circ1

, p. 226-232.

Q 39. En exploitant la figure 12, décrire précisément les caractéristiques du magma (taille des bulles, vitesse de remontée du magma, abondance de gaz) pour les deux types d'éruptions (stromboliens et hawaiiens).

Q 40. En déduire le lien entre la viscosité et le caractère explosif ou effusif de l'éruption, puis à quel type de volcanisme se rattachent les volcans de la Chaine des Puys.

Formulaire et données

Formulaire

Le gradient en coordonnées sphériques s'écrit :

grad^(\to-)ξ = (\partialξ)/(\partialr)e⃗_r + 1/r(\partialξ)/(\partialθ) + 1/(rsinθ)(\partialξ)/(\partialφ)e⃗_φ

La divergence en coordonnées sphériques s'écrit :

diva⃗ = 1/(r^2)\partial/(\partialr)(r^2 a_r) + 1/(rsinθ)\partial/(\partialθ)(a_θ sinθ) + 1/(rsinθ)(\partiala_φ)/(\partialφ)

Données

Masse molaire du fer	$M_(Fe) = 55, 8 g \cdot mol^(- 1)$
Masse molaire du silicium	$M_(Si) = 28 g \cdot mol^(- 1)$
Masse molaire de l'oxygène	$M_O = 16 g \cdot mol^(- 1)$
Numéro atomique du fer	$Z = 26$
Constante d'Avogadro	$N_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)$
Constante universelle de gravitation	$G = 6, 67 \times 10^(- 11) m^3 \cdot kg^(- 1) \cdot s^(- 2)$
Rayon de la Terre	$R_T = 6371 km$
Masse de la Terre	$M_T = 5, 972 \times 10^(24) kg$

Rayons atomiques à pression et température ambiantes:

Rayon atomique du nickel	$r_(Ni) = 125pm$
Rayon atomique de l'oxygène	$r_O = 60pm$
Rayon atomique du silicium	$r_(Si) = 110pm$

Annexe 1 - Code Monte Carlo

# Importation des bibliothèques
import numpy as np # Commandes de calculs numériques
import numpy.random as rd # Commandes de générateurs aléatoires
import matplotlib.pyplot as plt # Commandes de tracés
# Liste des valeurs des fractions massiques w en Rb en ppm
Rb = [5.21, 6.52, 6.81, 8.51, 12.8, 13.5, 15.8, 17.9, 21.3, 22.1]
# Liste des valeurs des fractions massiques w en Th en ppm
Th = [37.5, 46.7, 47.8, 57.1, 90.6, 90.9, 110, 130, 152, 157]
# Régression linéaire
# Calcul de la pente et de l'ordonnée à l'origine
# de la droite w(Rb) = a*w(Th)+b
a, b = np.polyfit(Th, Rb, 1)
# Incertitude-types sur les fractions massiques en Rb et Th
u_Rb = [0.05*y/np.sqrt(3) for y in Rb]
u_Th = [0.05*x/np.sqrt(3) for x in Th]
NbreTirages = 10000
A, B = [], []
A_carre, B_carre = [], []
for j in range(NbreTirages):
    X = []
    for i in range(len(Th)):
        x = rd.normal(Th[i], u_Th[i], 1)[0]
        X.append(x)
    Y = []
    for k in range(len(Rb)):
        y = rd.normal(Rb[k], u_Rb[k], 1) [0]
        Y.append(y)
    a, b = np.polyfit(X, Y, 1)
    A.append(a)
    A_carre.append(a**2)
    B.append(b)
    B_carre.append(b**2)
am = sum(A)/NbreTirages
bm = sum(B)/NbreTirages
u_a = np.sqrt(sum(A_carre)/NbreTirages-am**2)
u_b = np.sqrt(sum(B_carre)/NbreTirages-bm**2)
# Affichage des résultats de la modélisation
print("La pente a est", am, "d'incertitude-type", u_a)
print("L'ordonnée à l'origine b est", bm, "ppm d'incertitude-type", u_b, "ppm")
# Tracé des données avec incertitudes élargies et du modèle affine
plt.errorbar(Th, Rb, xerr=2*np.array(u_Th), yerr=2*np.array(u_Rb), capsize=3, fmt="o")
plt.plot([0, 170], [bm, am*170+bm], 'k--')
plt.axis([0, 170, 0, 25]) # Limites du tracé
plt.xlabel("w(Th) en ppm") # Légende des abscisses
plt.ylabel("w(Rb) en ppm") # Légende des ordonnées
plt.grid() # Grille
plt.show() # Affichage

Annexe 2 - Quelques fonctions et opérations Python disponibles

Fonctions :

range(n) renvoie la séquence des n premiers entiers (de 0 à $n - 1$ );
np.sqrt(x) renvoie $\sqrtx$ .

Opérations sur les listes:

len(L) donne le nombre d'éléments de la liste L ;
L. append(e) ajoute l'élément e à la fin de la liste L ;
L[i] renvoie le i-ième élément de la liste L;
sum(L) renvoie la somme des éléments de la liste $L$ .

Opérations sur les tableaux numpy (np.array) :

len $(A)$ : taille du tableau $A$ dans sa première dimension (nombre d'éléments pour un vecteur, nombre de lignes pour une matrice) ;
np.random.normal(a, u_a, N) renvoie un tableau unidimensionnel de taille $N$ contenant $N$ valeurs aléatoires suivant une loi normale de valeur moyenne a et d'écart-type u_a;
np.polyfit(L1, L2, 1) renvoie un tuple contenant la pente et l'ordonnée à l'origine issues d'une modélisation affine des éléments de L2 en fonction de ceux de L1.

$^1$ On rend compte de ce processus, comme dans la partie $V$ , par la notion de coefficient de partage des éléments légers entre les phases liquide et solide du fer, ce qui traduit l'affinité qu'a l'élément pour le fer solide ou le fer liquide.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Physique-Chimie 2 PSI 2024 ?

Il mobilise les ondes mécaniques et la dispersion, le champ gravitationnel et le théorème de Gauss, la cristallographie, la diffusion thermique en géométrie sphérique et une simulation Monte-Carlo en Python.

Le sujet Centrale Physique-Chimie 2 PSI 2024 était-il difficile ?

Le jury juge son niveau raisonnable : toutes les questions ont été abordées et la note maximale a été approchée dans chaque section. La partie III sur la composition de la graine a toutefois donné un bilan décevant.

Quelles erreurs le jury de Centrale Physique-Chimie 2 PSI 2024 a-t-il le plus relevées ?

La confusion entre norme et composante d'un vecteur, un théorème de Gauss énoncé sans rigueur, une liaison métallique rarement identifiée et des transferts thermiques sphériques mal maîtrisés.

Faut-il traiter les questions ouvertes du sujet Centrale Physique-Chimie 2 PSI 2024 ?

Oui. La question Q26, peu abordée, pesait 8 % du barème. Le jury conseille d'y passer 15 à 20 minutes avec un raisonnement argumenté qui cite les documents.

Pas de description pour le moment

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À propos de la structure de la Terre

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I.A.1) Ondes longitudinales dans les fluides et solides homogènes

I.A.2) Ondes transversales dans un solide homogène

I.B - Ondes P et S dans la Terre et modèle PREM

II Étude d'un modèle gravimétrique de la Terre

II.A - Préliminaire : l'analogie électrostatique-gravitation

II.B - Un premier modèle gravimétrique fruste de la Terre

II.C - Un second modèle gravimétrique (noyau + manteau) de la Terre

III Composition chimique de la graine

IV Aspects thermiques au sein du noyau de la Terre

IV.A - Transferts thermiques dans le noyau externe

IV.B - Croissance de la graine

V Coefficient de partage et type de volcanisme

V.A - Loi de Rayleigh

V. B - Validation de l'hypothèse d'un processus de cristallisation fractionnée

V. C - Caractérisation du type de volcanisme de la Chaine des Puys

Formulaire et données

Formulaire

Annexe 1 - Code Monte Carlo

Annexe 2 - Quelques fonctions et opérations Python disponibles

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Physique-Chimie 2 PSI 2024 ?

Le sujet Centrale Physique-Chimie 2 PSI 2024 était-il difficile ?

Quelles erreurs le jury de Centrale Physique-Chimie 2 PSI 2024 a-t-il le plus relevées ?

Faut-il traiter les questions ouvertes du sujet Centrale Physique-Chimie 2 PSI 2024 ?

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