L'épreuve comporte quatre parties indépendantes autour de l'émission Fort Boyard. Elle traite des bilans macroscopiques sur un fluide en écoulement (flyboard), de la chimie du milieu marin (cristallographie, enthalpie de dissolution, corrosion), d'une résolution de problème de mécanique, puis de la conversion électromécanique avec la machine asynchrone.

1Partie I : Mégagafdeuxième annéeBilans de masse et de quantité de mouvement sur un système ouvert, théorème de Bernoulli, équilibre du flyboard et puissance de la pompe avec pertes de charge.
2Partie II : milieu marinpremière et deuxième annéeStructure cristalline du chlorure de sodium, mesure calorimétrique d'une enthalpie de dissolution, puis corrosion humide et anode sacrificielle.
3Partie III : le Conseilpremière annéeRésolution de problème non décomposée sur un empilement de pièces dans un verre flottant, reposant sur la mécanique de première année.
4Partie IV : l'épreuve de la casernedeuxième annéeChamp tournant créé par le stator, inductances mutuelles, courants induits dans le rotor et bilan de puissance de la machine asynchrone.

Accessible. Le jury juge le sujet d'une longueur raisonnable, permettant de traiter chaque partie, et indique qu'il a été mieux réussi que ceux des années précédentes, avec des notes globalement meilleures.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,19 / 20 · écart-type 3,79 · 4 938 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,19/ 20
Écart-type: 3,79
Présents: 4 938
Coefficient: 9
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Bilans sur un système à deux sorties · Forces de pression oubliées et unités confondues · Sites cristallographiques et volume mal interprétés

Les candidats ont bien abordé ce sujet de longueur raisonnable et la qualité générale des copies est jugée globalement satisfaisante. Le jury insiste toutefois sur la nécessité d'étayer les réponses, de vérifier la cohérence des relations et de lire attentivement les consignes. La résolution de problème a été abordée par une grande majorité des candidats et bien réussie dans sa première partie.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Bilans sur un système à deux sortiesQ4, Q5, Q7
La conservation du débit volumique est rarement redémontrée entièrement. La présence de deux tuyères et la projection de la vitesse de sortie entraînent des erreurs de facteur 2 ou de signe.
2
Forces de pression oubliées et unités confonduesQ9, Q12, Q13
Beaucoup oublient les forces de pression dans le principe fondamental de la dynamique. En Q13, puissance et pression, toutes deux notées P, sont confondues. En Q12, l'analyse dimensionnelle est mal maîtrisée.
« les élèves ayant omis de prendre en compte les forces de pression sur le système »
3
Sites cristallographiques et volume mal interprétésQ15, Q17, Q18
Les sites tétraédriques et octaédriques sont confondus, ce qui fausse la condition de tangence. Le volume de la maille est parfois confondu avec le volume occupé par les atomes.
« une confusion entre les sites tétraédriques et octaédriques »
4
Bilan calorimétrique et loi de Van't HoffQ19, Q20, Q21
Le jury conseille de définir le système, son état initial et son état final pour éviter les erreurs de signe, de masse ou de température. Peu de candidats pensent à la loi de Van't Hoff en Q21.
« Beaucoup n’ ont pas justifié leurs résultats, ce qui n’est pas acceptable. »
5
Porteurs de charge dans l'électrolyteQ22, Q23
Dans la goutte d'eau, le courant n'est pas transporté par les électrons. En Q23, certains oublient que le dioxygène est un réactif.
« Attention, ce ne sont pas les électrons qui assurent le rebouclage du courant dans la goutte ! »
6
Machine asynchrone sans outil complexeQ34, Q36
En Q36, souvent mal traitée, il fallait passer en notation complexe ou utiliser un diagramme de Fresnel. En Q34, la relation entre forces électromotrices, résistance et inductance a créé des confusions.
« Les candidats n’ont pas pensé à passer en notation complexe ou à utiliser les diagrammes de Fresnel pour parvenir au résultat. »

Ce qui a été bien réussi

La majorité des candidats a vu que la deuxième loi de Newton ne s'applique pas à un système ouvert (Q1).
Les hypothèses du théorème de Bernoulli sont bien connues (Q6).
Les questions de cristallographie ont été plutôt bien traitées, et le terme « anode sacrificielle » est bien connu.
La première question de résolution de problème (Q25) a été bien traitée grâce à un bilan des forces sur le verre et les pièces.
Dans la partie IV, les questions Q27, Q29 à Q33, Q35 et Q38 ont reçu de nombreuses réponses correctes.

Conseils du jury

Lire rapidement tout l'énoncé au début, commencer par les parties les mieux maîtrisées et laisser de la place pour revenir sur les questions sautées.
Rédiger les réponses dans l'ordre de numérotation, avec une encre contrastée et sans correcteur.
Justifier chaque réponse : une simple affirmation ou un « donc » suivi d'un résultat non démontré n'est pas valorisé.
Définir clairement le système étudié avant tout bilan et vérifier la cohérence des résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

40 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE - CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre parties indépendantes.

Des données se trouvent en fin de sujet.

FORT BOYARD

Le fort Boyard est une ancienne fortification militaire située au large des côtes de La Rochelle entre l'île d'Aix et l'île d'Oléron. La construction s'achève en 1857 avec pour objectif initial de défendre la rade contre les anglais. Vite devenu inutile, il est transformé en prison avant d'être abandonné. En 1990, il retrouve une utilité grâce à l'émission Fort Boyard que l'on ne présente plus.
Ce sujet comprend quatre parties indépendantes, en lien avec l'émission Fort Boyard.

Partie I - Mégagaf

Dans cette épreuve, après une démonstration de Mégagaf (Vincent Lagaffe), un des candidats doit s'élever, à l'aide d'un flyboard, à environ cinq mètres de la surface de l'eau afin d'attraper la clé suspendue dans les airs (figure 1).

Figure 1 - Mégagaf et son flyboard

I. 1 - Présentation du système

Un flyboard est une plateforme sur laquelle les pieds d'un individu sont fixés et qui est composée:

d'un tuyau de section $S_e$ amenant jusqu'au flyboard de l'eau pompée par un jetski situé plus loin à la surface de l'eau ;
de deux tuyères de section $S_s$ évacuant l'eau à grande vitesse vers le bas dans l'air extérieur à la pression uniforme $P_0$ (indépendante de $z$ ).
Dans toute la suite, on adopte les notations et la géométrie simplifiée de la figure 2 sur laquelle le tuyau central, beaucoup plus long si on respecte l'échelle, a été tronqué par aspect pratique, mais il fait partie du système.
On ne s'intéresse pas au système de pompage (jetski) et on suppose que l'eau est propulsée depuis la surface de l'eau ( $z = 0$ ) à la vitesse $v_e\to$ et à la pression $P_e$ .
L'eau est considérée comme un fluide parfait homogène incompressible de masse volumique $μ$ .
On note :
$M_(eau)$ la masse d'eau contenue dans le dispositif flyboard (ensemble des tuyaux) ;
$M = M_c + M_(fly)$ la masse de l'ensemble {candidat + flyboard (sans l'eau qu'il contient)} ;
$v_e = ‖v_e\to‖$ la vitesse de l'eau à l'entrée du flyboard ;
$v_s = ‖v_s\to‖$ la vitesse de l'eau à la sortie du flyboard.

Figure 2 - Schématisation du flyboard

1.2 - Vitesse d'expulsion nécessaire à l'équilibre

Q1. Peut-on appliquer le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) au système {candidat + flyboard + eau qu'il contient} ? Justifier.

On désire effectuer un bilan de quantité de mouvement pour le système

Σ^∗ = {

eau contenue dans le flyboard}, grisé et délimité par les pointillés dans la figure 2. Pour ce faire, on se place en régime stationnaire et on suppose le candidat en équilibre à l'altitude

H = 5 m

.
Q2. Que signifie concrètement, pour les grandeurs

v_e, v_s, S_e

S_s

, le fait de se placer en régime stationnaire?

Q3. Définir le système fermé

Σ

correspondant au système ouvert

Σ^*

en précisant sa composition à l'instant

t

et à l'instant

t + dt

Q4. Rappeler la définition générale du débit volumique

D_v

et justifier qu'il se conserve ici le long de l'écoulement. En déduire deux expressions de

D_v

en fonction de

v_e, v_s, S_e

et de

S_s

Q5. Effectuer le bilan de quantité de mouvement en projection sur

e_z\to

. En notant

Fe_z\to

la force exercée par l'eau sur les parois intérieures du flyboard, montrer que :

F = P_e S_e + 2P_0 S_s - M_(eau)g + μD_v^2 α

où

α

est une constante dont on déterminera l'expression en fonction de

S_e

et de

S_s

.
Q6. Après avoir vérifié toutes les hypothèses nécessaires, appliquer le théorème de Bernoulli entre deux points à préciser afin d'exprimer

P_e

en fonction de

P_0, μ, g, H, D_v, S_e

et de

S_s

.
Q7. Déduire des trois questions précédentes que :

F = P_0(2S_s + S_e) - M_(eau)g + μgHS_e + μD_v^2 β

où

β

est à expliciter en fonction de

S_e

et de

S_s

.
La masse d'eau contenue dans le flyboard se décompose en deux parties :

première partie : la masse d'eau contenue dans le tube d'alimentation de hauteur $H$ et de section $S_e$ ;
deuxième partie: la masse d'eau contenue dans les tuyaux de la plateforme, à une distance $h$ sous les pieds du candidat.
Puisque l'on s'intéresse à un vol stationnaire à une altitude de cinq mètres, on a $H≫h$ et on néglige donc la masse d'eau contenue dans cette deuxième partie.

Q8. Donner l'expression de

M_(eau)

en fonction de

H

. En déduire une expression simplifiée de

F

Q9. Appliquer le PFD, toujours en projection sur

e_Z^(\to-)

, au système {candidat + flyboard à vide (sans l'eau qu'il contient)} considéré comme étant à l'équilibre à l'altitude

H

dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Montrer que le débit volumique

D_(v, eq)

permettant cet équilibre s'écrit :

D_(v, eq) = \sqrt((Mg)/(μβ))

Q10. L'application numérique donne

D_(v, eq) = 6, 0 \cdot 10^(- 2) m^3 \cdot s^(- 1)

. En déduire les valeurs numériques de

v_e

et de

v_s

0, 1 m \cdot s^(- 1)

près, avec

S_e = 80 cm^2

S_s = 25 cm^2

1.3 - Puissance de la pompe

L'eau de mer est poussée vers le flyboard à travers le tube d'alimentation par la pompe d'un jetski qui pompe de l'eau à la surface de la mer (pression

P_0

) et l'injecte à la base du tube, lui aussi à la surface de la mer, à la pression

P_e > P_0

.
On néglige les variations d'énergie cinétique, d'énergie interne, et d'énergie potentielle de pesanteur entre l'entrée et la sortie de la pompe.
On cherche à évaluer la puissance minimale de la pompe permettant la pratique du flyboard.

I.3.1 - Non prise en compte des pertes de charge dans le tuyau d'alimentation

Q11. En prenant

g = 10 m \cdot s^(- 2), H = 5, 0 m, μ = 1, 0 \cdot 10^3 kg \cdot m^(- 3)

et en reprenant les valeurs de la

Q10

pour

S_e

S_s

, déterminer par un calcul d'ordre de grandeur, la bonne valeur numérique pour

ΔP = P_e - P_0

parmi :

ΔP = 0, 09 bar ΔP = 0, 9 bar ΔP = 9 bar.

I.3.2 - Prise en compte des pertes de charge dans le tuyau d'alimentation

Le tuyau d'amenée d'eau qui va du jetski au flyboard est cylindrique. On note

ℓ

sa longueur et

d

son diamètre. Pour éviter que le tuyau ne soit tendu et retienne le sportif et pour laisser du mou au conducteur du jetski, la longueur de ce tuyau est très supérieure à la hauteur maximale que peut atteindre le flyboarder. En pratique

ℓ = 20 m

d = 10 cm

L'eau, de viscosité dynamique

η = 1, 0 \cdot 10^(- 3)Pl

, y circule avec le même débit volumique qu'à la

Q10

D_v = 6, 0 \cdot 10^(- 2) m^3 \cdot s^(- 1)

. La rugosité absolue du tuyau, quant à elle, vaut

ε = 0, 05 mm

.
On admet que la viscosité de l'eau implique une perte de charge

ΔP_c

telle que la pression en entrée du tuyau est en fait

P_e + ΔP_c > P_e

avec :

é ΔP_c = (μv_e^a ℓε^b)/(Kd^2) avec a, b \in ℚ et K un coefficient adimensionné.

Q12. Par analyse dimensionnelle, établir les valeurs numériques de

a

et de

b

.
Q13. En admettant que la puissance

P_(pompe)

fournie par la pompe est égale à la puissance des forces de pressions, exprimer

P_(pompe)

en fonction de la rehausse de pression totale qu'elle procure

P_e + ΔP_c - P_0

. On admet que l'application numérique donne

P_(pompe) = 12 kW

Commenter la faiblesse de la valeur obtenue sachant que la gamme de puissance recommandée pour le jetski pilotant le flyboard est de

75 kW - 125 kW

Partie II - Milieu marin

Le principal sel neutre dissous dans l'eau de mer est le chlorure de sodium. Il s'agit d'un composé chimique ionique de formule NaCl . II est notamment un facteur aggravant de la corrosion qui touche toutes les infrastructures construites en bord de mer ou pire, en pleine mer, comme le fort Boyard.

II. 1 - Structure cristallographique du chlorure de sodium

Le chlorure de sodium NaCl est un cristal ionique dans lequel les ions

Na^+

forment un réseau de type cubique face centrée (cfc) de paramètre de maille a, représenté figure 3. Les ions

Cl^-

, quant à eux, se logent dans les sites octaédriques.

On note

r

le rayon d'un cation

Na^+

R

le rayon d'un anion

Cl^-

Figure 3 - Structure de type cubique face centrée

Q14. Combien y a-t-il d'ions sodium par maille?
Q15. Préciser la position des centres des sites octaédriques. Combien y en a-t-il par maille ? Sont-ils tous occupés par les atomes de chlore?

On donne

r = 97pm, R = 181pm

a = 556pm

. On admet que

a\sqrt2 = 786pm

a\sqrt3 = 963pm

Q16. Préciser si les ions

Na^+

sont tangents entre eux et si oui, préciser suivant quel alignement. Préciser si les ions

Na^+

Cl^-

sont tangents entre eux et si oui, préciser suivant quel alignement.
Q17. Exprimer, en fonction de

r

et de

R

, la compacité du cristal de NaCl .
Q18. Exprimer la masse volumique

ρ_(NaCl)

du chlorure de sodium en fonction de

r

et de

R

ainsi que des masses molaires

M(Na)

M(CI)

. Indiquer ensuite la valeur numérique correcte parmi les valeurs suivantes :

ρ_(NaCl) = 2, 16 g \cdot cm^(- 3); ρ_(NaCl) = 216 g \cdot dm^(- 3); ρ_(NaCl) = 21, 6 kg \cdot m^(- 3).

II. 2 - Enthalpie de dissolution du chlorure de sodium dans l'eau

Expérience 1

On place dans un calorimètre une masse

m_1 = 300 g

d'eau ainsi qu'un thermomètre et un barreau aimanté. L'ensemble est à température ambiante

T_1 = 20^\circC

. On ajoute rapidement une quantité

m_2 = 200 g

d'eau à

T_2 = 60^\circC

. À l'équilibre, on relève une température

T_3 = 35^\circC

Expérience 2

On introduit dans le même calorimètre, toujours équipé d'un thermomètre et d'un barreau aimanté, une masse

m_3 = 500 g

d'eau. Le tout est à température ambiante

T_1 = 20^\circC

Puis on introduit rapidement une masse

m_4 = 50 g

de chlorure de sodium initialement à la température ambiante

T_1 = 20^\circC

On mesure alors une baisse brutale de température

ΔT = - 1, 5^\circC

.
On note

c_e

la capacité calorifique massique de l'eau à pression constante, supposée indépendante de la température. De plus, la capacité calorifique d'une solution sera assimilée à celle de l'eau pure qu'elle contient.

Q19. Exprimer la capacité thermique

C

du calorimètre équipé de ses accessoires (thermomètre + barreau aimanté) en fonction de

c_e, m_1, m_2, T_1, T_2

et de

T_3

Q20. Exprimer l'enthalpie massique de dissolution de NaCl dans l'eau, notée

Δ_(diss)h

, en fonction de

c_e, C, m_3, m_4

et de

ΔT

Q21. Quel est l'effet d'une augmentation de température, à pression constante, sur la solubilité du chlorure de sodium dans l'eau pure? Justifier.

II. 3 - Phénomène de corrosion

Lorsqu'une goutte d'eau stagne à la surface d'un métal, noté

M

, on observe qu'un phénomène de corrosion se développe principalement au centre de la goutte (figure 4).

Figure 4 - Corrosion d'un métal par une goutte d'eau

Le métal est oxydé au centre en ions

M^(n +)

. Les électrons libérés circulent dans le métal. Ils sont récupérés par le dioxygène, plus concentré en périphérie, qui se réduit.
Q22. Quels sont les porteurs de charge qui assurent le rebouclage du courant électrique dans la goutte ? Pourquoi le phénomène de corrosion est-il plus prononcé en milieu marin que dans les terres?

Q23. On considère le phénomène d'oxydation par une goutte d'eau d'un ensemble constitué d'une pièce de ferronnerie (assimilable à du fer) reliée électriquement à une autre pièce en zinc. Écrire l'équation chimique de la réaction d'oxydo-réduction qui a lieu. Comment se nomme ce type de protection?

Q24. On note

m_(Zn)

la masse de la pièce de zinc,

M_(Zn)

la masse molaire du zinc,

F

la constante de Faraday et

I

le courant de corrosion. Exprimer la durée de protection

Δt

de la pièce de ferronnerie en fonction de

m_(zn), M_(zn), F

et de

I

Partie III - Le Conseil

Après avoir récupéré suffisamment de clés, les candidats se rendent au Conseil pour y affronter les Maîtres du temps dans plusieurs duels afin de récupérer un maximum de temps dans la salle du trésor. L'un de ces duels est baptisé l'aquarium (figure 5).

Figure 5 - Duel de l'aquarium

Dans ce duel, le candidat et le Maître du temps ajoutent chacun à leur tour un boyard (une pièce) dans un verre, initialement vide, flottant dans un aquarium. Le premier à faire couler le verre a perdu.

On suppose que :

le bocal est suffisamment profond pour que le verre puisse couler intégralement ;
le verre reste au centre du bocal et ne touche jamais les bords ;
le verre, de masse $M$ , est cylindrique de hauteur $h$ et de base circulaire d'aire $S$ ;
le fond du verre reste toujours horizontal (il ne peut pas s'incliner comme sur la figure 5) ;
les pièces ont une masse $m$ et sont toutes horizontales, empilées les unes sur les autres au fond du verre, bien alignées (pas comme sur la figure 5).
Le système ainsi modélisé est représenté figure 6 (avec $n = 3$ pièces).

Données numériques :

masse du verre : $M = 125 g$ ;
surface de la base du verre : $S = 2, 0 \cdot 10^(- 3) m^2$ ;
hauteur du verre : $h = 10 cm$ ;
masse d'une pièce : $m = 10 g$ ;
épaisseur d'une pièce : $e = 2, 0 mm$ ;
masse volumique de l'eau : $μ = 1, 0 \cdot 10^3 kg \cdot m^(- 3)$ .

Q25. Sachant que le Maître du temps joue en premier, qui remporte le duel ? S'agissant d'une question de type " résolution de problème ", un raisonnement détaillé et rigoureux est attendu. Tout élément de raisonnement correct, même partiel, sera récompensé.

Q26. Exprimer, puis calculer la variation d'altitude

Δz

du sommet de la pile de pièce par rapport à la surface de l'eau lors de l'ajout d'une pièce. Le sommet de la pile est-il monté ou descendu?

Figure 6 - Schéma du système avec 3 pièces

Partie IV - L'épreuve de la caserne

L'épreuve de la caserne (figure 7) utilise un tapis roulant motorisé par une machine asynchrone. Nous nous proposons ici d'en décrire le fonctionnement en régime permanent. Aucune connaissance préalable sur la machine asynchrone n'est requise.

Figure 7 - Épreuve de la caserne

IV. 1 - Présentation de la machine asynchrone

La machine asynchrone est constituée d'un rotor et d'un stator tous deux en fer feuilleté. Le rotor et le stator sont séparés par un entrefer de très faible largeur.

Dans la machine asynchrone diphasée, le stator est analogue au stator de la machine synchrone diphasée. Il se compose de deux enroulements décalés spatialement d'un angle de

π/2

et alimenté par des courants sinusoïdaux en quadrature de phase. Ces enroulements seront identifiés, dans toute la suite du problème, par les dénominations

S_1

S_2

.
Le rotor se compose également de deux enroulements, décalés spatialement d'un angle de

π/2

. Ils ne sont reliés à aucune alimentation mais refermés sur eux-mêmes et donc en court-circuit. Ces enroulements seront identifiés dans toute la suite du problème par les dénominations

R_1

R_2

On définit la base (

e_x^(\to-), e_y\to, e_z\to

) liée au référentiel fixe, donc au stator. Le vecteur

e_x^(\to-)

est normal à l'enroulement

S_1

. Le vecteur

e_z\to

coïncide avec l'axe longitudinal de la machine.

IV. 2 - Étude du stator

On s'intéresse d'abord au seul enroulement

S_1

du stator.
On a représenté (figure 8) les lignes de champ magnétique créées par la spire centrale de l'enroulement

S_1

du stator, de vecteur normal

e_x^(\to-)

, parcourue par un courant

i_(S_1)(t)

. Cette spire centrale est représentée en coupe par son conducteur " aller ", orienté suivant le vecteur

e_Z^(\to-)

, et son conducteur " retour ", orienté suivant -

e_Z^(\to-)

Figure 8 - Champ magnétique créé par la spire centrale de l'enroulement

S_1

du stator.

On définit la base (

e_r\to, e_θ\to, e_Z^(\to-)

) des coordonnées cylindriques (figure

9

), où

e_Z^(\to-)

coïncide avec l'axe longitudinal de la machine. Un point

M

de l'entrefer est repéré par ses coordonnées (

r, θ, z

). On a ainsi

OM^(\to-) = re_r\to

Figure 9 - Repérage d'un point de l'entrefer

Dans un modèle simple, on considère que la norme du champ magnétique est uniforme dans l'entrefer.

On désigne par

B⃗_(spire)(θ, t) = B_(spire)(θ, t)e_r\to

le champ magnétique créé par cette spire centrale de l'enroulement

S_1

en un point

M(r, θ)

de l'entrefer.

On donne figure 10 la représentation graphique de la fonction

B_(spire)(θ, t)

pour

i_(s_1) > 0

θ \in [ - π, π]

Figure 10 - Modélisation simplifiée du champ créé par une seule spire de

S_1

dans l'entrefer

L'enroulement

S_1

du stator, parcouru par le courant

i_(S_1)(t)

, n'est pas constitué d'une seule spire mais de

n

spires décalées les unes par rapport aux autres. Le champ magnétique créé par l'ensemble des spires de l'enroulement

S_1

du stator est noté

B⃗_(S_1)(θ, t) = B_(S_1)(θ, t)e_r\to

.
On donne figure 11 la représentation de la fonction

B_(S_1)(θ, t)

pour

i_(S_1) > 0

et pour

θ \in [ - π, π]

Figure 11 - Modélisation simplifiée du champ créé par l'ensemble des spires de l'enroulement

S_1

dans l'entrefer

Q27. Préciser le nombre

n

de spires de l'enroulement

S_1

, décalées les unes par rapport aux autres, qui permettent de créer le champ magnétique

B⃗_(S_1)(θ, t)

de la figure 11.

Dans la suite du problème, on admettra que les enroulements

S_1

S_2

du stator créent dans l'entrefer les champs magnétiques :

{B⃗_(S_1)(θ, t) = K_S i_(S_1)(t)cos(θ)e_r→; B⃗_(S_2)(θ, t) = K_S i_(S_2)(t)sin(θ)e_r→.

Par ailleurs, une alimentation électrique impose les courants :

{i_(S_1)(t) = I_(Smax)cos(ω_s t); i_(S_2)(t) = I_(Smax)sin(ω_s t)

Q28. Déterminer l'expression du champ magnétique

B⃗_S

créé par l'ensemble des deux enroulements

S_1

S_2

du stator dans l'entrefer. On posera

B_(S0) = K_S I_(S max)

. Justifier que ce champ magnétique est un champ tournant dans le référentiel du stator à une vitesse angulaire

ω

que l'on précisera.

Le rotor est repéré par sa position angulaire

θ_R

. La position

θ_R = 0

correspond à l'alignement des enroulements

S_1

du stator et

R_1

du rotor.
On définit la base

(e_u^(\to-), e_v\to, e_z\to)

liée au référentiel tournant du rotor (figure 12). Le vecteur

e_z\to

coïncide avec l'axe longitudinal de la machine. L'enroulement

R_1

est orienté par le vecteur normal

e_u^(\to-)

, l'enroulement

R_2

est orienté par le vecteur normal

e_v\to

. Par souci de clarté, seules les spires centrales des enroulements

S_1

R_1

sont représentées sur la figure 12.

Figure 12 - Repérage de la position

θ_R

du rotor

On note :

$R_S$ et $L_S$ la résistance et l'inductance propre de chaque enroulement du stator ;
$R_R$ et $L_R$ la résistance et l'inductance propre de chaque enroulement du rotor ;
$M_(S_1 R_1) = M_(SR)cos(θ_R)$ (avec $M_(SR)$ une constante) l'inductance mutuelle entre les enroulements $S_1$ du stator et $R_1$ du rotor ;
$M_(S_2 R_1) = M_(SR)sin(θ_R)$ l'inductance mutuelle entre les enroulements $S_2$ du stator et $R_1$ du rotor.

Q29. Que vaut l'inductance mutuelle

M_(S_1 S_2)

entre les enroulements

S_1

S_2

du stator? Que vaut la mutuelle

M_(R_1 R_2)

entre les enroulements

R_1

R_2

du rotor?
Q30. Exprimer l'inductance mutuelle

M_(S_1 R_2)

entre les enroulements

S_1

du stator et

R_2

du rotor en fonction de

M_(SR)

et de

θ_R

, ainsi que la mutuelle

M_(S_2 R_2)

entre les enroulements

S_2

du stator et

R_2

du rotor.

On se propose d'écrire l'équation électrique qui définit le courant

i_(R_1)(t)

associé à l'enroulement

R_1

du rotor.

Q31. Comment peut-on expliquer qu'un courant

i_(R_1)(t)

circule dans l'enroulement

R_1

alors qu'il n'est relié à aucune alimentation?
Q32. On note respectivement

φ_(S_1 R_1)

φ_(S_2 R_1)

les flux créés dans l'enroulement

R_1

du rotor par les enroulements

S_1

S_2

du stator. Exprimer le flux

φ_(S_1 R_1)

en fonction de

M_(SR), θ_R

et du courant

i_(S_1)(t)

. De même, exprimer le flux

φ_(S_2 R_1)

en fonction de

M_(SR), θ_R

et du courant

i_(S_2)(t)

On suppose que le rotor tourne à la vitesse angulaire constante

Ω⃗ = Ωe_z\to

avec

0 \leq Ω \leq ω_S

. On suppose également qu'à

t = 0, θ_R(0) = 0

de sorte que

θ_R(t) = Ωt

Q33. En remarquant que

θ_R

i_(S_1)

dépendent du temps, exprimer en fonction de

M_(SR), i_(S_1), Ω

et de

t

la force électromotrice (fem)

e_(S_1 R_1)

induite par

S_1

dans

R_1

. Faire de même pour la fem

e_(S_2 R_1)

induite par

S_2

dans

R_1

. On ne développera pas les expressions de

i_(S_1)(t), i_(S_2)(t)

et de leur dérivée dans cette réponse.
Q34. En déduire l'équation différentielle vérifiée par le courant

i_(R_1)(t)

en fonction de

R_R, L_R, M_(SR)

Ω, t

et de

i_(S_1)(t), i_(S_2)(t)

et de leur dérivée. Cette équation différentielle peut être écrite sous la forme :

L_R(di_(R_1))/(dt) + R_R i_(R_1) = Asin(ωt).

Préciser les expressions de

A

et de

ω

en fonction de

M_(SR), I_(Smax), ω_S

et de

Ω

En régime permanent, le courant

i_(R_1)(t)

est sinusoïdal ; on note

ω_R

sa pulsation et

I_(Rmax)

son amplitude maximale.

Q35. On rappelle que

ω_S > Ω

. Exprimer

ω_R

en fonction de

ω_S

et de

Ω

.
Q36. Exprimer

I_(Rmax)

en fonction de

R_R, L_R, M_(SR), I_(Smax), ω_S

et de

Ω

.
Que peut-on dire de

I_(Rmax)

pour

ω_S = Ω

?
Justifier alors le qualificatif de machine asynchrone.

On suppose que les courants

i_(R_1)(t)

i_(R_2)(t)

sont de la forme :

{i_(R_1)(t) = I_(Rmax)sin(ω_R t − φ); i_(R_2)(t) = − I_(Rmax)cos(ω_R t − φ) avec φ = arctan((L_R ω_R)/(R_R)).

Les enroulements

R_1

R_2

du rotor créent respectivement, dans l'entrefer, des champs exprimés dans le référentiel fixe (celui du stator) de la forme :

{B⃗_(R_1)(θ, t) = K_R i_(R_1)(t)cos(θ − θ_R)e_r→; B⃗_(R_2)(θ, t) = K_R i_(R_2)(t)sin(θ − θ_R)e_r→.

Q37. Dans le référentiel fixe (lié au stator), à quelle vitesse angulaire tourne le champ créé par le rotor? Commenter.
Q38. Dans une machine à courant continu, le champ statorique est stationnaire. Les champs statorique et rotorique sont-ils synchrones quelle que soit la vitesse de rotation du rotor ? Si oui, expliquer brièvement comment est assurée cette synchronisation.

Le couple délivré par la machine est de la forme

Γ⃗ = Γ_z e_z\to

, avec:

Γ_z = (\partialM_(S_1 R_1))/(\partialθ_R)i_(S_1)i_(R_1) + (\partialM_(S_1 R_2))/(\partialθ_R)i_(S_1)i_(R_2) + (\partialM_(S_2 R_1))/(\partialθ_R)i_(S_2)i_(R_1) + (\partialM_(S_2 R_2))/(\partialθ_R)i_(S_2)i_(R_2)

Le calcul étant fastidieux, on admettra pour la suite que :

Γ_z = (M_(RS)^2 I_(Smax)^2 R_R(ω_S - Ω))/(R_R^2 + L_R^2(ω_S - Ω)^2)

On définit le glissement de la machine par :

g = (ω_S - Ω)/(ω_S) avec 0 \leq g \leq 1

La puissance électromagnétique moyenne transmise par le stator au rotor est donnée par :

P_S = Γ_z ω_S

Enfin, on note

P_(JR)

la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le rotor.

Q39. Relier

P_S, P_(JR)

g

.
Q40. Que vaut

g

au démarrage de la machine ? Le rendement de la machine est-il meilleur lorsque

g

est proche de 0 ou de 1 ? Justifier.

Données

Potentiels standards à 298 K

$E^\circ(O_2/H_2 O) = 1, 23 V$
$E^\circ(H^+/H_2) = 0, 00 V$
$E^\circ(Fe^(2 +)/Fe) = - 0, 44 V$
$E^\circ(Zn^(2 +)/Zn) = - 0, 76 V$

Masses molaires

$M(Na) = 23 g \cdot mol^(- 1)$
$M(Cl) = 35, 5 g \cdot mol^(- 1)$

Formules trigonométriques

$cos(a + b) = cosacosb - sinasinb$
$cos(a - b) = cosacosb + sinasinb$
$sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa$
$sin(a - b) = sinacosb - sinbcosa$

Constantes fondamentales

$N_A = 6, 02 \cdot 10^(23) mol^(- 1)$

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Physique-Chimie PSI 2024 ?

Il porte sur les bilans macroscopiques en mécanique des fluides, la cristallographie, la thermochimie, l'oxydo-réduction et la corrosion, la mécanique de première année et la machine asynchrone. Selon le rapport, la physique de deuxième année couvrait environ 65 % du barème.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en CCINP Physique-Chimie PSI 2024 ?

Des erreurs de facteur 2 et de signe dans les bilans sur le flyboard, l'oubli des forces de pression, la confusion entre sites tétraédriques et octaédriques, l'idée que les électrons portent le courant dans l'électrolyte et des réponses non justifiées.

Le sujet CCINP Physique-Chimie PSI 2024 était-il plus facile que les années précédentes ?

Le jury indique qu'il a été mieux réussi que ceux des années précédentes et que les notes sont globalement meilleures. Il le juge d'une longueur raisonnable.

Comment aborder la résolution de problème du CCINP Physique-Chimie PSI 2024 ?

La partie III est une résolution de problème de mécanique de première année. Un bilan des forces sur le verre et les pièces permettait de conclure, et la plupart des candidats l'ont réussie.

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