Le sujet étudie le fonctionnement d'un vélo à assistance électrique hybride associant des supercondensateurs et une batterie lithium-ion. Il comporte trois parties indépendantes : le dimensionnement d'un pack de supercondensateurs et de son hacheur DC/DC, le recyclage hydrométallurgique des métaux d'une batterie lithium-ion (lixiviation puis précipitation sélective), et le calcul du couple d'un moteur synchrone piloté par un onduleur MLI. Le rapport indique un niveau de difficulté raisonnable, la note maximale étant approchée par plusieurs candidats sur les deux premières parties.

1Partie I : le pack de supercondensateursÉtude électrostatique et électrocinétique d'un supercondensateur, dimensionnement d'un pack, puis étude d'un hacheur SEPIC.
2Partie II : le recyclage de la batterie lithium-ionÉtude de la lixiviation de l'électrode NMC111 (modèle à grain rétrécissant) puis de la précipitation sélective des hydroxydes métalliques.
3Partie III : le moteur roue synchrone et son pilotageCalcul du champ magnétique et du couple maximal d'un moteur synchrone à aimants permanents, puis commande d'un onduleur MLI.

Accessible. Le rapport indique que la note maximale est approchée par plusieurs candidats dans les deux premières parties, plus rarement dans la troisième par manque de temps, ce qui témoigne d'un niveau de difficulté raisonnable des questions posées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,23 / 20 · écart-type 4,06 · 4 204 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,23/ 20
Écart-type: 4,06
Présents: 4 204
Coefficient: 15
Durée: 4 h
1er quartile: 6,2
Médiane: 9,2
3e quartile: 12,1

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 30 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Champ électrostatique d'une distribution plane mal rédigé · Association des supercondensateurs mal pensée · Hacheur DC/DC délaissé

Le jury observe une nette corrélation entre la qualité de la rédaction, de l'argumentation et la note obtenue. Seule une minorité de candidats réussit efficacement les questions portant sur le cours ou son application directe, notamment en électrostatique et en chimie des solutions, alors que les parties spécifiques au programme de PSI (hacheur, moteur synchrone) ont un succès contrasté malgré des questions souvent accessibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Champ électrostatique d'une distribution plane mal rédigéQ1
À la question 1, seuls 5 % des candidats obtiennent l'intégralité des points et 70 % n'atteignent pas les trois quarts des points ; un schéma clair de la surface de Gauss et une justification par les symétries sont indispensables.
« seuls 5 % des candidats obtiennent l’intégralité des points, tandis que 70 % n’en atteignent pas les trois quarts »
2
Association des supercondensateurs mal penséeQ7
À la question non guidée 7, le jury s'étonne du nombre de copies proposant une association en parallèle de branches à un seul supercondensateur, qui ne permet pas d'atteindre la tension requise.
« s’étonne du nombre de copies proposant une association en parallèle de branches comportant un unique supercondensateur »
3
Hacheur DC/DC délaisséQ8 à Q14
Près d'un tiers des candidats n'abordent pas le hacheur DC/DC alors que les premières questions sont pourtant très accessibles, et la nullité de la puissance moyenne reçue par une bobine ou un condensateur est très rarement évoquée à la question 8.
4
Partie chimie délaissée par appropriation des donnéesQ15 à Q24
La phase d'appropriation des données de la lixiviation (deux équations de réaction et trois expériences) a découragé de nombreux candidats, qui ont préféré passer cette partie alors qu'elle rapportait une part significative du barème.
5
Produit de solubilité peu aboutiQ25
La question 25, bien qu'accessible, n'est traitée que par deux tiers des candidats et seuls 10 % obtiennent tous les points.
« 38 % des candidats ne la traitent pas et un sur dix parvient à la résoudre complètement »
6
Symétries du champ magnétique du rotor omisesQ29
À la question 29, peu de candidats ont suivi le conseil de modéliser chaque aimant par une spire équivalente, et la recherche des plans de symétrie ou d'antisymétrie est trop souvent omise.

Ce qui a été bien réussi

Les meilleures copies se distinguent par la clarté des réponses, une justification rigoureuse des démarches et une capacité à aller à l'essentiel.
Les candidats qui représentent le schéma du convertisseur dans ses deux états de fonctionnement déterminent aisément la valeur moyenne de la tension VC1 et tracent sans difficulté le chronogramme de la question Q10.
Le jury se réjouit de constater que certains candidats s'accrochent jusqu'au bout sur les questions 13 et 14, parfois avec un succès pleinement mérité.

Conseils du jury

Définir toute notation non fournie par l'énoncé, idéalement à l'aide d'un grand schéma regroupant les grandeurs utiles.
Soigner les représentations graphiques : un schéma brouillon ou un graphe incomplet n'est pas valorisé.
Argumenter systématiquement en définissant les grandeurs, en citant les lois utilisées et en privilégiant les expressions littérales avant toute application numérique.
Sur les questions non guidées, consigner toute piste pertinente même partielle : le barème valorise fortement ce type de question.
Ne pas négliger la partie chimie : les questions y sont souvent abordables dès lors que les bases du programme sont maîtrisées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

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Le vélo hybride : toujours électrique, même sans batterie

Le problème comporte 3 parties indépendantes qui abordent le fonctionnement des éléments du vélo hybride présentés figure 1. Le formulaire et les données sont regroupés en fin d'énoncé.
Certaines questions, repérées par leur numéro souligné, ne sont pas guidées et demandent de l'initiative de la part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées par le candidat sur sa copie; si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour exploiter ces pistes et élaborer un raisonnement, il valorise ces questions de façon très significative.

Figure 1 - Les différents éléments du vélo hybride.

Le vélo étudié associe des supercondensateurs, pour une récupération rapide de l'énergie, à une petite batterie lithiumion de 80 Wh ( 650 grammes) pour améliorer l'autonomie. En ville, l'autonomie de ce vélo est celle d'un vélo classique doté d'une batterie de 400 Wh . Le vélo est équipé de roues de 26 pouces (rayon

R_r = 0, 35 m

).
L'articulation entre les supercondensateurs et la batterie lithium-ion du vélo hybride est présentée figure 2.

Figure 2 - Schéma de fonctionnement du vélo hybride.

I - Le pack de supercondensateurs

Les supercondensateurs sont conçus pour stocker et restituer rapidement de l'énergie électrique, en quantité bien supérieure aux condensateurs usuels et avec des temps de réponse et des puissances échangées bien meilleurs que ce que permettent les batteries électrochimiques classiques.

Figure 3 - Schéma du condensateur à double couche.

À la différence d'un condensateur usuel, les deux électrodes d'un supercondensateur ne sont pas séparées par un isolant mais par une solution contenant des ions. Lorsque le condensateur est déchargé, les ions sont répartis aléatoirement dans la solution. Lorsqu'il est chargé, les ions négatifs sont attirés vers l'électrode portant une charge positive et réciproquement, ce qui conduit à une accumulation d'ions au voisinage de chaque électrode formant une double couche électrochimique.
Dans toute la suite, on considère le supercondensateur comme un système purement unidimensionnel d'axe (

Ox

), de surface transverse

S

et d'épaisseur totale

2a(\sqrtS≫a)

. Les propriétés électromagnétiques du solvant de l'électrolyte sont analogues à celles du vide, mais avec une permittivité diélectrique

ε_0 ε_r

au lieu de

ε_0

I. 1 - Étude d'un supercondensateur

Compte tenu de la très faible épaisseur de la double couche électrochimique, on la modélise simplement par une distribution surfacique de charge

σ^'

, distante des électrodes d'une distance

δ≪a

(voir figure 3 ). En pratique,

δ

peut atteindre une dizaine de nanomètres alors que

a

peut difficilement être inférieure au micromètre. Ce modèle est appelé modèle de Helmholtz.

Q1. Déterminer le champ électrostatique

E_p^(\to-)

créé par un plan infini de densité surfacique de charge

σ

. En déduire le champ électrostatique

E⃗

entre les deux électrodes du condensateur double couche

(- a < x < a)

Q2. En raisonnant sur le potentiel électrostatique, montrer que

U = (2a)/(ε_0 ε_r)σ - (2(a - δ))/(ε_0 ε_r)σ^'.

Q3. Justifier qu'en régime indépendant du temps, on a

σ^' = σ

. En déduire l'expression de la capacité

C_0

du supercondensateur en régime indépendant du temps. Comparer

C_0

à la capacité d'un condensateur de même géométrie dans lequel la solution ionique serait remplacée par de l'air, de permittivité diélectrique

ε_0

I. 2 - Modèle électrocinétique du supercondensateur

Contrairement aux condensateurs usuels dont le temps de charge (ou de décharge) est essentiellement gouverné par la résistance du circuit extérieur, le temps de réponse des supercondensateurs, et donc la puissance maximale qu'ils peuvent délivrer, est dû au temps nécessaire pour former la double couche électrochimique par transport de charge au sein de l'électrolyte.
À l'instant initial

t = 0

, le supercondensateur est soumis à un échelon de tension

U

à ses bornes. Les doubles couches se forment progressivement, partant de

σ^'(t = 0) = 0

. Les expressions des champs électriques sont celles calculées à la question Q1, avec

σ^' \neq σ

a priori. On note

γ

la conductivité électrique de la solution, sachant que les doubles couches (

- a < x < - a + δ

a - δ < x < a

) ne permettent pas le déplacement d'ions et sont donc isolantes.

Q4. Réaliser un bilan de charge entre

t

t + dt

pour le plan chargé se trouvant en

x = a - δ

et montrer que sa charge

q^'

vérifie

(dq^')/(dt) = γ(σ - σ^'(t))/(ε_0 ε_r)S.

Q5. En déduire que

(dσ^')/(dt) + (δγ)/(aε_0 ε_r)σ^' = γ/(2a)U.

Identifier un temps caractéristique

τ

d'évolution de

σ^'

. On modélise le supercondensateur par l'association d'un condensateur de capacité

C_0

en série avec une résistance

R_0

. Déterminer

R_0

en fonction des paramètres du problème.

I. 3 - Dimensionnement du pack de supercondensateurs du vélo hybride

Pour déterminer expérimentalement les paramètres

R_0

C_0

du supercondensateur, on réalise le montage de la figure 4 , dans lequel le supercondensateur est associé en série à une source idéale. On réalise un test de caractérisation dans lequel l'intensité

I

varie avec le temps comme indiqué sur la figure 5.

Q6. D'après les résultats du test de caractérisation présentés sur la figure 5 , déterminer les valeurs numériques de

R_0

C_0

. On note

V_N

la tension nominale d'une cellule.

Figure 4 - Modèle du supercondensateur.

Figure 5 - Test de caractérisation en décharge. La courbe du haut représente les variations de la tension

U

et celle du bas les variations de l'intensité

I

Bien que les supercondensateurs puissent être totalement déchargés, il est d'usage de ne pas les décharger complètement au cours de leur utilisation. En effet, les faibles niveaux de tension ainsi que les forts courants associés (à puissance constante) peuvent complexifier la gestion du pack. Classiquement, la valeur minimale de tension est choisie à la moitié de la valeur nominale.

Figure 6 - Un supercondensateur...

Masse	70 g
Hauteur	$62, 7 mm$
Diamètre	$35, 2 mm$
Courant maximal	33 A

Figure 7 - ... et quelques unes de ses caractéristiques.

Le pack de supercondensateurs doit satisfaire aux exigences suivantes :

le pack alimente un moteur synchrone à aimants permanents de 250 W sous une tension de 36 V ;
sans utiliser la batterie lithium-ion, le pack de supercondensateurs doit permettre de franchir des dénivelés de 60 m avec un niveau d'assistance faible de $50%$ (rapport de l'énergie fournie par le pack sur l'énergie fournie par le cycliste). Cela permet de se déplacer dans la grande majorité des villes de France.

Q7. En explicitant les hypothèses simplificatrices réalisées, estimer le nombre de condensateurs que le pack doit comporter pour répondre aux exigences en respectant les contraintes mentionnées. Préciser l'assemblage nécessaire (en série et/ou en parallèle). Des données numériques utiles figurent à la fin de l'énoncé.

I. 4 - Interface entre les supercondensateurs et l'ensemble onduleur-moteur synchrone

Contrairement à la batterie lithium-ion, les supercondensateurs sont soumis à de fortes variations de tension. Cela impose l'utilisation d'un hacheur pour les connecter au reste de l'électronique du vélo.
Ce convertisseur est de type SEPIC (Single Ended Primary Inductor Convertor), représenté sur la figure 8.

Figure 8 - Le convertisseur SEPIC.

On utilisera les caractéristiques de fonctionnement et hypothèses suivantes :

les interrupteurs travaillent à la fréquence de découpage $f = 300kHz$ et avec le rapport cyclique $α$ ;
sur une période de fonctionnement, l'interrupteur $K_1$ est fermé sur l'intervalle $[0, αT]$ , ouvert sur l'intervalle $[αT, T]$ et l'interrupteur $K_2$ est ouvert sur l'intervalle $[0, αT]$ , fermé sur l'intervalle $[αT, T]$ ;
chaque raisonnement sera mené dans l'hypothèse du régime périodique établi;
on considérera, sauf mention contraire, les composants de commutation comme idéaux;
la tension de sortie sera $V_s = 36 V$ ;
la tension d'entrée $V_e$ est celle aux bornes du pack de supercondensateurs. Elle est supposée constante. Sa valeur est comprise entre 27 V et 54 V ;
l'intensité du courant de sortie est considérée constante. Sa valeur est $I_s = 10 A$ ;
on tolère des ondulations relatives (par rapport aux valeurs moyennes) de $10%$ pour l'intensité du courant d'entrée $I_e$ et de $1%$ pour la tension de sortie $V_s$ .

Q8. À partir d'un bilan de puissance, calculer la valeur moyenne maximale du courant d'entrée :

I_(e, max)

.
Q9. Montrer que les valeurs moyennes de

V_(L_1)

V_(L_2)

sont nulles. En déduire la valeur moyenne

< V_(C_1) >

de la tension aux bornes du condensateur de capacité

C_1

Pour la suite, on considère que

V_(C_1)(t) ≃ ⟨V_(C_1)⟩

.
Q10. En utilisant les hypothèses précédentes, tracer le chronogramme de la tension aux bornes de la bobine d'inductance

L_2 : V_(L_2)(t)

Q11. En déduire le gain du convertisseur

(V_s)/(V_e)

en fonction de

α

. Quel est l'intérêt du convertisseur SEPIC?
En réalité, ce gain est limité par les résistances internes des différents composants. En tenant compte de la résistance interne

R_L = 0, 1R_c

de la bobine d'inductance

L_1

, le gain devient

(V_s)/(V_e) = α/((1 - α)(1 + (R_L)/(R_c)1/((1 - α)^2)))

Figure 9 - Gain en fonction du rapport cyclique.

Q12. Calculer les deux valeurs extrêmes du rapport cyclique

α

pour les valeurs extrêmes de la tension d'entrée

V_e

. Commenter ces résultats. Que se passerait-il si on laissait les supercondensateurs se décharger totalement?

Dans les deux questions suivantes, on prendra les valeurs approchées

α = 0, 4

pour

V_e = 54 V

α = 0, 6

pour

V_s = 27 V

Q13. Calculer la valeur minimale de l'inductance

L_1

permettant que l'ondulation du courant d'entrée soit inférieure à

10%

de sa valeur moyenne

I_e

, quelle que soit la valeur de la tension d'entrée dans l'intervalle

[27 V; 54 V]

Q14. En supposant le courant de sortie

I_s

constant, calculer la valeur minimale de

C_2

permettant de limiter l'ondulation maximale de la tension de sortie

V_s

1%

de sa valeur moyenne, prise égale à 36 V , pour une tension d'entrée

V_e = 36 V

II - Le recyclage de la batterie lithium-ion

Grâce à l'utilisation des supercondensateurs et la récupération d'énergie, il n'y a plus besoin d'une énorme batterie. Celle du vélo hybride est ultra-compacte. L'intérêt écologique est de limiter le recours aux ressources rares. Le vélo hybride utilise 5 fois moins de lithium, nickel, cobalt et manganèse qu'un vélo électrique classique. La capacité de la batterie est limitée à 80 Wh contre 400 Wh pour un vélo sans supercondensateur.
Les métaux présents dans les batteries sont sujets à de fortes tensions sur le marché selon la situation géopolitique pouvant conduire à des risques majeurs d'approvisionnement. Il faut donc économiser leur utilisation mais aussi préparer le recyclage de la grande quantité de batteries lithium-ion des véhicules électriques qui arriveront sur le marché d'ici une dizaine d'années.
Plusieurs procédés de recyclage existent aujourd'hui, mais ils reposent sur la pyrométallurgie qui ne permet pas de récupérer tous les métaux et qui consomme beaucoup d'énergie.
Cette partie va s'intéresser à une voie nouvelle qui permettra de séparer les métaux : l'hydrométallurgie.
Le composant le plus difficile à recycler est l'électrode positive de type NMC111 de la batterie.
Sa formule chimique est

LiNi_(1/3)Mn_(1/3)Co_(1/3)O_2(s)

II. 1 - La lixiviation

La première étape appelée «lixiviation» vise à mettre en solution l'électrode solide. Il convient d'en comprendre le mécanisme afin de l'optimiser.
On admet que

Ni, Mn

, et Co se comportent de la même manière, et qu'une phase intermédiaire

Li_(1/m)MO_2(s)(m > 1

M = Ni, Mn

ou Co ) se forme dans un mécanisme à deux étapes. Le NMC 111 est noté

LiMO_2(s)

par la suite. Les notations

HCl(aq), LiCl(aq)

MCl_2(aq)

désignent respectivement les espèces ionisées

(H_3 O^+ + Cl^-), (Li^+ + Cl^-)

(M^(2 +) + 2Cl^-)

Première étape de délithiation :

LiMO_2(s) + (4 m - 4)/(2 m - 1)HCl(aq) ⟶ (2 m - 2)/(2 m - 1)LiCl(aq) + (m - 1)/(2 m - 1)MCl_2(aq) + m/(2 m - 1)Li_(1/m)MO_2(s) + (2 m - 2)/(2 m - 1)H_2 O(ℓ)

Seconde étape de dissolution :

Li_(1/m)MO_2(s) + 4HCl(aq) ⟶ 1/mLiCl(aq) + MCl_2(aq) + 2H_2 O(ℓ) + (1 - 1/(2 m))Cl_2(g)

Ces deux réactions sont totales.
On note :

$x_0 = (n_0(HCl))/(n_0(NMC111))$ le rapport entre les quantités initiales de HCl et de NMC111;
$s/l$ le rapport initial solide/liquide pour le NMC111 dans le solvant aqueux. Ce rapport est exprimé, par la suite, en $g \cdot L^(- 1)$ avec $s$ la masse initiale de NMC111 solide exprimée en gramme et $l$ le volume de la phase aqueuse exprimé en litre.

Le rendement de lixiviation pour un réactif est le rapport entre la quantité de matière dissoute sous forme LiCl ou

MCl_2

après réaction et la quantité de matière initiale de

LiMO_2(s)

On réalise trois expériences en faisant varier les quantités initiales de NMC111 et HCl et donc le rapport

x_0

. Les résultats sont rassemblés dans les figures 10,11 et 12 .

Figure 10 - Expérience A.

s/l = 20 g \cdot L^(- 1), [HCl]_0 = 4 mol \cdot L^(- 1)

T = 54^\circC

Figure 11 - Expérience B.

s/l = 120 g \cdot L^(- 1), [HCl]_0 = 4 mol \cdot L^(- 1)

T = 54^\circC

Figure 12 - Expérience C.

s/l = 80 g \cdot L^(- 1), [HCl]_0 = 1 mol \cdot L^(- 1)

T = 54^\circC

Q15. Justifier que les résultats expérimentaux indiquent que la première étape est instantanée et que la seconde est lente.

Q16. Justifier que l'on a

m \approx 2, 1

.
Q17. Exprimer

x_0

en fonction de la concentration initiale en acide chlorhydrique

[HCl]_0

, de la masse molaire

M_(NMC111)

et du rapport

s/l

.
Calculer

x_0

pour chaque expérience.
Q18. Déterminer la valeur critique

x_1

telle que si

x_0

est inférieur à

x_1

, la seconde étape ne se produit pas. Pour laquelle des trois expériences cette condition s'applique-t-elle? Calculer les rendements en lithium Li et en M pour cette expérience.

On étudie la cinétique de la seconde étape de dissolution. Il s'agit d'une réaction à solide consommable.

HCl est noté

A(aq)

et le

Li_(1/n)MO_2(s)

est noté

B(s)

par la suite. Le bilan de cette étape est symbolisé par la réaction ci-dessous, dans lequel

ν

représente un coefficient stœchiométrique :

A(aq) + νB(s) \to produits

Figure 13 - Profil de concentration du réactif aqueux autour du grain consommable en fonction de

r

(des coordonnées sphériques).

Les éléments du modèle utilisé sont schématisés sur la figure 13. Les phénomènes physiques et chimiques mis en jeu lors de la réaction sont :

le transport du réactif aqueux à travers le film externe limite des particules, généralement par convection;
la réaction chimique qui est localisée au niveau du front de réaction;
le transport des produits aqueux à travers le film externe limite.

Le modèle qui permet de représenter ces phénomènes porte le nom de modèle à grain rétrécissant. Dans une version simple, on suppose que tous les grains de solide sont des sphères de même rayon de départ

R_0 = 15, 0μ m

et l'on étudie la décroissance de ce rayon

R(t)

au cours du temps.
Dans le cas général, la consommation des grains est contrôlée par les deux premiers phénomènes cités précédemment. Cependant, dans certains cas limites, il se peut que l'un des deux phénomènes soit beaucoup plus lent que l'autre et qu'il impose la vitesse de consommation des particules. On parle alors de phénomène limitant. Par exemple, si la réaction chimique est très lente par rapport au phénomène de convection, ce sera le phénomène limitant. La vitesse de consommation des particules sera contrôlée par la réaction chimique et on parlera de régime chimique.
On note

F_A

le flux molaire de A à travers le film externe limite parvenant au front de réaction. Ce flux s'exprime selon la loi phénoménologique de transfert

F_A = k_D S(C_A - C_(Af))

où

$C_A$ désigne la concentration molaire du réactif aqueux A en dehors de la couche limite, supposée constante durant toute la dissolution du solide B ;
$C_(Af)$ désigne la concentration en réactif aqueux A au niveau du front de réaction en $r = R$ ;
$k_D$ est la conductance de transfert à travers le film externe limite (exprimée en $m \cdot s^(- 1)$ ). En général, $k_D$ augmente pour les grains de petite taille. On trouve dans la littérature la relation $k_D = D/(R(t))$ , avec $D = 1, 25 \times 10^(- 5) m^2 \cdot s^(- 1)$ ;
$S$ est la surface de la sphère de rayon $R(t)$ du front de réaction.

Q19. Justifier qualitativement la loi phénoménologique liant

F_A

k_D, S, C_A, C_(Af)

.
La réaction de consommation du produit B par réaction avec le réactif A est d'ordre 1 par rapport à l'espèce A et d'ordre 0 par rapport à l'espèce B . La quantité de matière de A consommée par unité de temps s'écrit

F_(AC) = k_C SC_(Af)

où

k_C

est une constante de vitesse de valeur

k_C = 1, 00 \times 10^(- 3) m \cdot s^(- 1)

Q20. On admet dans la suite que

F_A = F_(AC)

. Interpréter qualitativement cette relation. Montrer que

F_A = - 1/ν(dN_B)/(dt)

, où

N_B

est la quantité de matière du solide B .

Q21. Exprimer le flux

F_A

sous la forme

é F_A = (C_A)/(R_(éq))

avec

é R_(éq)

une « résistance de diffusion» que l'on exprimera en fonction de

D, k_C

R

Q22. Soit

N_B(R)

la quantité de matière du solide B comprise dans la boule de rayon

R

. Exprimer

N_B(R)

en fonction de

ρ_B, M_B

R

, avec

ρ_B

la masse volumique de B et

M_B

sa masse molaire.

Q23. Déduire des deux questions précédentes une équation différentielle à variables séparables portant sur l'évolution du rayon

R

de la sphère. Puis établir la relation suivante :

t = τ_(film)(1 - (R/(R_0))^2) + τ_(cin)(1 - (R/(R_0)))

On exprimera:

$τ_(film)$ le temps caractéristique de transport dans la couche externe limite;
$τ_(cin)$ le temps caractéristique de consommation par la réaction chimique; en fonction de $ρ_B, M_B, R_0, C_A, D, ν$ et $k_C$ .

Q24. Calculer numériquement le rapport

(τ_(cin))/(τ_(film))

. S'agit-il d'un contrôle cinétique ou convectif?

II. 2 - La précipitation sélective

On souhaite séparer les ions cobalt(II)

Co^(2 +)

et manganèse(II)

Mn^(2 +)

en réalisant une précipitation sélective des hydroxydes métalliques.

Q25. Lorsqu'on dissout dans l'eau de l'hydroxyde de manganèse(II)

Mn(OH)_2(s)

jusqu'à saturation, la solution possède un pH égal à 9,9 . Montrer que le produit de solubilité de l'hydroxyde de manganèse(II) est égal à

pK_s = 12, 6

On dispose d'une solution contenant initialement des ions cobalt(II)

Co^(2 +)

à la concentration

C_0 = 0, 069 mol \cdot L^(- 1)

et des ions manganèse(II)

Mn^(2 +)

à la même concentration

C_0

. On souhaite précipiter plus de

99%

du cobalt sans précipiter plus de

1%

du manganèse.

Q26. Écrire la condition de précipitation de chacun de ces solides. Puis exprimer le pH de début de précipitation en fonction du

pK_s

pour chacun des hydroxydes métalliques.

Q27. Effectuer l'application numérique pour chaque hydroxyde métallique et représenter les pH d'apparition des précipités sur un axe gradué.

Q28. Dans quel domaine de pH doit-on se placer pour précipiter sélectivement au moins

99%

de l'un des ions sans faire précipiter l'autre? En déduire une méthode de séparation des cations métalliques considérés. Est-il possible également de précipiter sélectivement les ions

Ni^(2 +)

III - Le moteur roue synchrone et son pilotage

Cette partie aborde l'élément central du vélo hybride. Il s'agit du moteur synchrone à aimants permanents. Il y a de nombreuses contraintes liées à l'utilisation de ce type de moteur pour cette application :

faibles dimensions;
faibles vitesses de rotation;
couple important.

La commande du moteur est également soumise à des contraintes. Elle doit permettre de piloter le couple délivré par le moteur en évitant les à-coups nuisibles au confort d'utilisation. Une étude mécanique montre que le moteur doit pouvoir délivrer un couple de

50 N \cdot m

III. 1 - Dimensionnement du moteur roue synchrone à aimants permanents

Pour commencer, nous étudions un moteur dont le rotor comporte 2 paires d'aimants permanents. Les vecteurs aimantations de ces quatre aimants

M_i^(\to-)

sont radiaux et ont la même norme

M_0

.
On rappelle que dans les aimants le lien entre

B⃗, H⃗

M⃗

est

B⃗ = μ_0(H⃗ + M⃗)

.
En dehors des zones aimantées, le rotor et le stator (zones hachurées de la figure 14) sont réalisés dans un matériau ferromagnétique linéaire de perméabilité magnétique relative

μ_r

infinie. Ils sont séparés par un entrefer d'épaisseur

l_e

constante et de perméabilité magnétique relative égale à 1 . Le rotor, le stator et l'entrefer ont une hauteur

h

. Cette dimension transversale est considérée suffisamment grande pour négliger les effets de bords, c'est-à-dire que dans toute la suite on considèrera une invariance par translation selon l'axe (

Oz

).
On considère tout d'abord que le rotor est fixe.

Figure 14 - Moteur synchrone outrunner à 2 paires d'aimants permanents.

Q29. On s'intéresse dans un premier temps au champ magnétique créé par le rotor. Recopier, sur la copie, le schéma du rotor et du stator. Tracer l'allure de la carte du champ magnétique, en justifiant. On orientera les lignes de champ. Pour s'aider, on pourra remplacer les quatre aimants par quatre spires de courant.

Q30. On note

B_r(θ) = B⃗ \cdot e⃗_r

la composante radiale du champ magnétique (où

e⃗_r

est le vecteur unitaire radial des coordonnées cylindriques d'axe

(Oz))

dans l'entrefer. Quelle est sa parité? Quelle est sa période ? Tracer

B_r(θ)

sur le domaine

[ - π, π]

. On note

B_M

la norme de

B_r(θ)

, considérée partout la même dans l'entrefer.

On crée un champ magnétique dans l'entrefer de norme

B_M = 1, 0 T

.
La géométrie exacte des aimants fait que l'on peut confondre

B_r(θ)

avec le terme fondamental de son développement en série de Fourier, supposé d'amplitude égale à

B_1 = 4/πB_M

. Le rotor tourne maintenant autour de l'axe (

Oz

). Sa rotation est repérée par l'angle

θ_r(t)

(

θ_r = 0

sur la figure 14).

Q31. Montrer que la valeur du champ rotorique

B_r^(\to-)

en tout point fixe de l'entrefer repéré par l'angle

θ

est donnée par

B_r^(\to-)(θ, t) = B_1 cos[2(θ - θ_r(t))]e⃗_r

Les enroulements statoriques comportent

p

paires de bobines alimentées par des courants sinusoïdaux de pulsation

ω

et créent dans l'entrefer un champ statorique tournant de la forme

B_s^(\to-)(θ, t) = B_0 cos(pθ - ωt)e⃗_r

, avec

B_0 = 1, 0 T

.
On note

V_e = 2πR_s hl_e

le volume de l'entrefer.
Q32. Calculer l'énergie magnétique

E_(em)

contenue dans l'entrefer. Pour quelle valeur de

p

cette énergie est-elle fonction de l'angle

θ_r

? On suppose que

p

garde cette valeur par la suite.

Q33. Calculer le couple des actions électromagnétiques appliquées au rotor

Γ = Γ⃗ \cdot e⃗_z = (\partialE_(em))/(\partialθ_r)

.
Q34. On suppose que le rotor tourne à la vitesse angulaire

Ω

, c'est à dire que

θ_r(t) = Ωt - α

. Pour quelle valeur de

Ω

la valeur moyenne du couple est-elle non nulle?

Q35. Calculer le couple maximal. Faire l'application numérique. Comment atteindre le couple maximal,

Γ_(max) = 50 N \cdot m

, qui est la valeur nécessaire pour atteindre les performances visées? Pour ces dimensions du moteur, on peut installer au maximum 8 paires de pôles.

Figure 15 - Vue éclatée du moteur.

III. 2 - L'onduleur MLI

Le moteur est alimenté par un onduleur à commande MLI (Modulation de Largeur d'Impulsion). Nous simplifierons l'étude de l'onduleur par le schéma monophasé de la figure 16. La charge est constituée d'une des phases du stator.

Figure 16 - Onduleur MLI.

Le fonctionnement des interrupteurs permet d'obtenir, aux bornes de la charge, la tension

v_(ch)(t) = v_(ch, γ_0)(t)

en forme de créneaux à paliers nuls, représentée sur la figure 17. Ici, le but est que le signal

v_(ch)(t)

s'approche au mieux d'un signal sinusoïdal.

Figure 17 - Signal de base.

Le développement en série de Fourier du signal

v_(ch, γ_0)(t)

, de période

T = (2π)/ω

, est donné par

v_(ch, γ_0)(t) = (4E)/π\sum_(p = 0)^(+ \infty)b_(2p + 1)sin[(2p + 1)ωt] avec b_(2p + 1) = 1/(2p + 1)cos[(2p + 1)γ_0] et γ_0 = 2π(t_0)/T.

Q36. Présenter sous la forme d'un tableau, les séquences possibles des états des interrupteurs

K_1, K_2, K_1^'

K_2^'

dans cet ordre, permettant d'obtenir

v_(ch)(t)

. Les états ouverts ou fermés seront systématiquement notés 0 ou 1 . Sur une période

T

, la durée totale de fermeture, ou d'ouverture, de chacun des interrupteurs est

T/2

On définit le taux global de distorsion harmonique par

τ_H = (\sqrt(V^2 - V_f^2))/(V_f)

où

V

est la valeur efficace du signal

v_(ch)(t)

V_f

celle du fondamental.
Q37. Quelle valeur de

t_0

permet d'éliminer l'harmonique de rang

3(p = 1)

. Exprimer alors

V

V_f

en fonction de

E

γ_0

puis calculer numériquement le taux de distorsion.

Ce taux de distorsion est trop important pour éliminer les à-coups dans le pédalier du vélo. Il est nécessaire d'éliminer davantage d'harmoniques du signal

v_(ch)(t)

. On adopte la commande représentée sur la figure 18 .

Figure 18 - Commande optimisée d'alimentation.

On souhaite fixer la valeur efficace de

v_(ch)(t)

V = E/(\sqrt2)

et faire en sorte que le premier harmonique non nul après le fondamental (

p = 0

) soit celui de rang

13(p = 6)

Q38. Exprimer

v_(ch)(t)

comme une combinaison linéaire des

v_(ch, γ_i)(t)

, i allant de 1 à 6 .

Figure 19 - Signal

v_(ch, γ_i)(t)

Q39. Montrer qualitativement que l'on peut choisir les 6 paramètres

γ_(i = 1, \dots, 6)

pour que l'harmonique de rang 13 soit le premier non nul et que

V = E/(\sqrt2)

. Écrire explicitement le système vérifié par les

γ_i

sans chercher à le résoudre.

Données et formulaire

Données numériques partie I

Masse du vélo	$é M_(vélo) = 20 kg$
Masse du cycliste	$M_(cycliste) = 80 kg$
Accélération de la pesanteur	$g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)$

Données numériques partie II

Constante d'Avogadro	$N_a = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)$
Constante des gaz parfaits	$R = 8, 31 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$
Produit ionique de l'eau	$K_e = 10^(- 14)$
Masse molaire du NMC111	$M_(NMC111) = 97, 0 g \cdot mol^(- 1)$

Données thermodynamiques à 298 K :

$Co(OH)_2(s)$	$pK_(s_2) = 16$
$Ni(OH)_2(s)$	$pK_(s_3) = 16$
$Li(OH)(s)$	très soluble
Produit ionique de l'eau	$pK_e = 14$

Données numériques partie III

Perméabilité du vide	$μ_0 = 4π \times 10^(- 7)H \cdot m^(- 1)$
Rayon du stator du moteur synchrone	$R_s = 4, 5 cm$
Hauteur du stator du moteur synchrone	$h = 2, 0 cm$
Largeur de l'entrefer du moteur synchrone	$l_e = 0, 7 mm$

Formulaire

2cos(a)cos(b) = cos(a + b) + cos(a - b)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique-chimie 2 Centrale PSI 2025 ?

Il porte sur l'électrostatique et l'électrocinétique des supercondensateurs et d'un hacheur SEPIC, sur la cinétique de lixiviation et la précipitation sélective d'une batterie lithium-ion, et sur le moteur synchrone piloté par un onduleur MLI.

Le sujet de physique-chimie 2 Centrale PSI 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme d'un niveau de difficulté raisonnable : la note maximale est approchée par plusieurs candidats dans les deux premières parties, plus rarement dans la troisième par manque de temps.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale physique-chimie 2 PSI 2025 ?

Le jury signale une rédaction souvent incomplète en électrostatique, un hacheur DC/DC et une partie chimie trop souvent délaissés malgré des questions accessibles, et un manque de rigueur dans l'appropriation des données et des symétries.

Faut-il traiter les trois parties du sujet physique-chimie 2 Centrale PSI 2025 dans l'ordre ?

Non, le sujet précise que les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique Chimie 2 PSI 2025

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