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Centrale Mathématiques 2 PSI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Attribution des valeurs à des séries divergentes

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Présentation du sujet

Difficile
Attribution d'une valeur à des séries divergentes, à la manière de Ramanujan
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Le sujet explore comment attribuer une valeur finie à des séries divergentes, en particulier la valeur -1/12 à la somme des entiers, théorisée par Ramanujan. Une première partie fait apparaître cette valeur dans le développement asymptotique de deux séries de fonctions. Une deuxième partie démontre et utilise la formule d'Euler-Maclaurin pour calculer les sommes de Ramanujan de séries classiques. La dernière partie introduit des développements tayloriens généralisés pour établir la formule d'Euler-Boole sur les sommes alternées.

  1. 1Partie A : deux approches pour une valeur à 1+2+...+n+...Obtention de la valeur -1/12 dans le développement asymptotique en 0 de deux sommes de séries de fonctions, via des développements limités puis une généralisation des sommes de Riemann.
  2. 2Partie B : les sommes infinies au sens de RamanujanDémonstration de la formule d'Euler-Maclaurin à l'aide des polynômes de Bernoulli, puis calcul des sommes au sens de Ramanujan des séries de 1, de n et de n².
  3. 3Partie C : développements tayloriens généralisésÉtablissement de la formule d'Euler-Boole permettant d'obtenir un développement asymptotique de sommes alternées.

Difficile. Le rapport qualifie le sujet de long et technique : moins de 1 % des candidats ont dépassé la moitié des points du barème, et la note médiane correspond à seulement une dizaine de questions correctement traitées sur les 44 que compte l'épreuve.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,28 / 20 · écart-type 4 · 4 192 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,28/ 20
Écart-type
4
Présents
4 192
Coefficient
15
Durée
4 h
1er quartile
6,5
Médiane
9,2
3e quartile
12
moyenne 9,2805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Développements limités mal maîtrisés · Dérivation terme à terme mal justifiée · Primitive non reconnue
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Le jury souligne que la grande majorité des questions demandent de démontrer des résultats déjà donnés dans l'énoncé, ce qui exige une rigueur dans la justification que beaucoup de candidats n'ont pas eue, avec des raccourcis de calcul parfois malhonnêtes intellectuellement et des résultats sortis de nulle part.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Développements limités mal maîtrisésQ3

    Les résultats ont été particulièrement catastrophiques sur cette question de développement limité, seuls 5 % des candidats ayant pris tous les points.

    « Les candidats ont rarement eu des considérations pour le o du dénominateur. La maîtrise des développements limités est encore alarmante »
  2. 2
    Dérivation terme à terme mal justifiéeQ4

    La dérivation terme à terme des séries de fonctions est trop souvent effectuée sans justification, avec une confusion fréquente entre convergence uniforme de la série et de la série des dérivées.

    « Trop souvent, la dérivation terme à terme a été effectuée sans sourciller, ou avec une mauvaise maîtrise du théorème (régulièrement »
  3. 3
    Primitive non reconnueQ9

    De nombreux candidats ont recours à une intégration par parties pour calculer une intégrale alors que la fonction était directement donnée comme primitive, ce qui a inquiété le jury.

    « Le nombre de candidats ayant eu recours à une intégration par parties pour calculer∫ K 0 ψ′(t)dt, au lieu d’utiliser directementψ comme »
  4. 4
    Récurrence mal rédigéeQ22

    Le jury rappelle de soigner la rédaction des récurrences, notamment de ne pas placer de quantificateur universel dans l'hypothèse de récurrence.

    « On rappelle aux candidats de soigner la rédaction des récurrences, de bien faire attention à ne pas mettre de quantificateur »
  5. 5
    Arguments d'intégrabilité inventésQ27

    Cette question a été très mal traitée, avec des arguments farfelus régulièrement avancés sur l'intégrabilité de fonctions.

    « Question très mal traitée (et maltraitée). Des arguments farfelus apparaissent régulièrement sur »
  6. 6
    Règle de d'Alembert mal appliquéeQ32

    Trop de candidats se sont lancés dans une règle de d'Alembert en majorant numérateur et dénominateur par la norme infinie, ce qui pose problème au dénominateur.

    « Trop de candidats se sont lancés dans une règle de d’Alembert en majorant au numérateur et au dénominateur par la »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 15 de la partie A a été relativement réussie.
  • Une majorité des candidats traite la question 21 sur les premiers polynômes de Bernoulli.
  • Beaucoup de candidats réussissent l'initialisation de la récurrence de la question 22 et l'égalité des dérivées des polynômes.

Conseils du jury

  • Traiter de façon exhaustive et rigoureuse une quantité raisonnable de questions plutôt que de se précipiter sur un maximum de questions.
  • Citer précisément les questions antérieures et les théorèmes utilisés, avec leurs hypothèses, plutôt que de laisser le correcteur deviner la démarche.
  • S'entraîner aux manipulations d'inégalités, de valeurs absolues et de majorations d'intégrales avec des inégalités triangulaires.
  • S'exercer aux calculs techniques, en particulier les développements limités, qui restent un point faible récurrent.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Attribution d'une valeur à des séries divergentes

Le 23 février 1913 Srinivasa Ramanujan écrivit une lettre au mathématicien Godfrey Hardy dans laquelle il présenta une théorie selon laquelle la somme infinie 1 + 2 + ⋯ + n + ⋯ vaut − 1/(12). S'en est suivi tout un ensemble de recherches sur ce sujet...
L'objectif de ce problème est de présenter quelques situations où l'on attribue une valeur finie à "une somme infinie". On s'interesse en particulier au cas de la série de terme général n. Dans la première partie sont présentées deux situations qui dans les deux cas font apparaître la valeur − 1/(12), ce qui montre que cette valeur ne semble pas être fortuite. La deuxième partie traite plus particulièrement de la façon dont Ramunajan a étudié les sommes infinies en s'appuyant sur la formule de Euler-Maclaurin. La valeur qu'il octroie à ces sommes étant en quelque sorte un terme de compensation entre une somme et une intégrale. Enfin la troisième partie consiste à établir des développements dits tayloriens généralisés.

Notations et définition

On note, pour tout x ∈ ℝ, ⌊x⌋ la partie entière de x. On rappelle qu'il s'agit de l'unique entier qui satisfait x − 1 < ⌊x⌋ ⩽ x.
On dira qu'une fonction φ définie sur ℝ^+est à support compact dans ℝ^+lorsqu'il existe un réel K ⩾ 0 tel que pour tout t ⩾ K, φ(t) = 0.

Partie A - Deux approches pour une valeur à 1 + 2 + ⋯ + n + ⋯

I - Une première approche

Soit f la fonction définie par f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)e^(− nx), où x ∈ ℝ.
Q1. Déterminer l'ensemble de définition D_f de f puis calculer f(x) pour tout x ∈ D_f.
Q2. Montrer que f est de classe C^1 sur D_f et calculer f^′(x) pour tout x ∈ D_f.
Q3. À l'aide de développements limités en 0 , déterminer trois constantes réelles a, b et c telles qu'au voisinage de 0 (e^(− x))/((1 − e^(− x))^2) = a/(x^2) + b/x + c + o(1).
Q4. En déduire lim_(x → 0)(∑_(n = 0)^(+ ∞)ne^(− nx) − 1/(x^2)).

II - Une deuxième approche

On considère dans cette partie une fonction φ de classe C^∞ à support compact dans ℝ^+et telle que φ(0) = 1. Soit K > 0 telle que φ soit nulle sur [K, + ∞[. On pose ψ la fonction telle que pour tout t ⩾ 0, ψ(t) = tφ(t). On peut alors observer que ψ ainsi que toutes ses dérivées sont nulles sur [K, + ∞[.

II. 1 - Une généralisation du théorème des sommes de Riemann pour les fonctions de classe C^1

Dans cette sous-partie f désigne une fonction définie de classe C^1 sur un segment [a, b] et x est un réel strictement positif.
Q5. Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que a + nx ∈ ]a, b].
Q6. Montrer que pour tout L ⩾ 0, |L − ⌊L/x⌋x| ⩽ x.
Q7. Montrer que x∑_(n = 1)^(⌊(b − a)/x⌋)f(a + nx) − ∫_a^b f(t)dt = ∑_(n = 1)^(⌊(b − a)/x⌋)(∫_(a + (n − 1)x)^(a + nx)f(a + nx) − f(t)dt) − ∫_(a + ⌊(b − a)/x⌋x)^b f(t)dt.
Q8. Montrer que lim_(x → 0)x∑_(n = 1)^(⌊(b − a)/x⌋)f(a + nx) = ∫_a^b f(t)dt.

II. 2 - Un développement asymptotique lorsque x tend vers 0 de ∑_(n = 1)^(+ ∞)nφ(nx)

Soit x un réel strictement positif.
On pose, pour tout k ∈ ℕ, pour tout l ∈ ℕ, R_(k, l)(x) = ∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)∫_((n − 1)x)^(nx)(∫_(nx)^t((t − s)^k)/(k!)ψ^((k + l))(s)ds)dt. On admet la formule de Taylor avec reste intégral : pour toute fonction f de classe C^(n + 1) sur I, pour tout a ∈ I, pour tout b ∈ I, f(b) = ∑_(k = 0)^n((b − a)^k)/(k!)f^((k))(a) + ∫_a^b((b − t)^n)/(n!)f^((n + 1))(t)dt.
Q9. Déterminer ∫_0^K ψ^′(t)dt ainsi que ∫_0^K ψ^(′′)(t)dt.
Q10. Déterminer lim_(x → 0)x∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)nxφ(nx) ainsi que les valeurs de lim_(x → 0)x∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)ψ^′(nx) et de lim_(x → 0)x∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)ψ^(′′)(nx).
Q11. Montrer que pour tout k ∈ ℕ, pour tout l ∈ ℕ, pour tout t ⩾ 0, ψ^((l))(t) = ∫_K^t((t − s)^k)/(k!)ψ^((l + k + 1))(s)ds.
Q12. Montrer que pour tout k ∈ ℕ, pour tout l ∈ ℕ, lim_(x → 0)1/(x^k)∫_(⌊K/x⌋x)^K ψ^((l))(t)dt = 0.
Q13. Montrer que pour tout k ∈ ℕ, pour tout l ∈ ℕ, lim_(x → 0)(R_(k, l)(x))/(x^k) = 0.
Q14. Montrer que pour tout l ∈ ℕ, pour tout p ∈ ℕ^∗,
∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)∫_((n − 1)x)^(nx)ψ^((l))(t) − ψ^((l))(nx)dt = ∑_(k = 1)^p∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)(∫_((n − 1)x)^(nx)((t − nx)^k)/(k!)ψ^((k + l))(nx)dt) + R_(p, l + 1)(x)
Q15. En déduire que
1/(x^2)∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)∫_((n − 1)x)^(nx)ψ(t) − ψ(nx)dt = − 1/2∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)ψ^′(nx) + x/6∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)ψ^(′′)(nx) + (R_(2, 1)(x))/(x^2)
Q16. Montrer que x∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)ψ^′(nx) = ∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)∫_((n − 1)x)^(nx)ψ^′(nx) − ψ^′(t)dt − ∫_(⌊K/x⌋x)^K ψ^′(t)dt.
Q17. En déduire que ∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)ψ^′(nx) = x/2∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)ψ^(′′)(nx) − (R_(1, 2)(x))/x − 1/x∫_(⌊K/x⌋x)^K ψ^′(t)dt.
Q18. Déterminer lim_(x → 0)1/(x^2)∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)∫_((n − 1)x)^(nx)ψ(t) − ψ(nx)dt.
Q19. Montrer que ∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)nφ(nx) = 1/(x^2)∫_0^K ψ(t)dt − 1/(x^2)∑_(n = 1)^(⌊K/x⌋)(∫_((n − 1)x)^(nx)ψ(t) − ψ(nx)dt) − 1/(x^2)∫_(⌊K/x⌋x)^K ψ(t)dt.
Q20. En déduire que qu'il existe un réel A ∈ ℝ tel que ∑_(n = 1)^(+ ∞)nφ(nx) = A/(x^2) − 1/(12) + o(1).

Partie B - Les sommes infinies au sens de Ramanujan

On considère une fonction f de classe C^∞ sur ℝ^+.

I - La formule d'Euler-Maclaurin

On considère la famille de polynômes (B_p)_(p ∈ ℕ) de sorte que B_0 = 1, pour tout p ∈ ℕ^∗, B_p^′ = pB_(p − 1) et ∫_0^1 B_p(x)dx = 0.
On admet dans cette partie l'existence et l'unicité des polynômes B_p. On pose pour tout p ∈ ℕ, b_p = B_p(0) et B˜_p la fonction 1 -périodique de sorte que B˜_p soit égale à B_p sur [0, 1[. Autrement dit, pour tout x ∈ ℝ, B˜_p(x) = B_p(x − ⌊x⌋).
On pose, pour tout p ∈ ℕ, pour tout a ∈ ℝ, r_(p, a) = ∫_1^a(B˜_p(t))/(p!)f^((p))(t)dt.
Q21. Déterminer B_1 et B_2.
Q22. Montrer que pour tout entier naturel p, B_p(1 − X) = (− 1)^p B_p(X).
Q23. Montrer que pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2, b_p = B_p(1) et pour tout p ⩾ 3 impair b_p = 0.
Q24. Montrer que pour tout p ∈ ℕ, pour tout k ∈ ℕ,
∫_k^(k + 1)(f^((p))(t))/(p!)B~_p(t)dt = (B_(p + 1)(1)f^((p))(k + 1) − B_(p + 1)(0)f^((p))(k))/((p + 1)!) − ∫_k^(k + 1)(B˜_(p + 1)(t))/((p + 1)!)f^((p + 1))(t)dt.
Q25. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗.
f(1) + ⋯ + f(n) = ∫_1^n f(t)dt + (f(1) + f(n))/2 + r_(1, n).
Q26. Montrer que pour tout p ∈ ℕ^∗, pour tout n ∈ ℕ^∗,
f(1) + ⋯ + f(n) = ∫_1^n f(t)dt + (f(1) + f(n))/2 + ∑_(l = 1)^p(b_(2l))/((2l)!)(f^((2l − 1))(n) − f^((2l − 1))(1)) + r_(2p + 1, n).

II - La constante de Ramanujan

On suppose dans cette partie qu'il existe q ∈ ℕ tel que pour tout p ⩾ q, f^((2p + 1)) est intégrable sur ℝ^+et que f^((2p + 1))(t) ⟶ _(t → + ∞)0. On pose, sous réserve d'existence,
C_0 = (f(1))/2 − ∫_0^1 f(t)dt + ∫_1^(+ ∞)B˜_1(t)f^′(t)dt et pour tout p ∈ ℕ^∗,
C_p = (f(1))/2 − ∫_0^1 f(t)dt − ∑_(l = 1)^p(b_(2l))/((2l)!)f^((2l − 1))(1) + ∫_1^(+ ∞)(B˜_(2p + 1)(t))/((2p + 1)!)f^((2p + 1))(t)dt.
Q27. Montrer pour tout p ⩾ q que C_p est bien définie et ne dépend pas de l'entier p. On note à présent ∑_(k ⩾ 1)^R f(k) la valeur de C_p, où p ⩾ q.
Q28. Déterminer ∑_(k ⩾ 1)^R 1 ainsi que ∑_(k ⩾ 1)^R k et ∑_(k ⩾ 1)^R k^2.
Q29. On suppose dans cette question que q = 0 et que la suite ( f(n) ) converge vers 0 . Montrer que ∑_(k ⩾ 1)^R f(k) = lim_(n → + ∞)(∑_(k ⩾ 1)^n f(k) − ∫_0^n f(t)dt). Qu'obtient-on si ∫_0^(+ ∞)f(t)dt converge ?

Partie C - Développements tayloriens généralisés

On note E l'espace vectoriel normé C([0, 1]) muni de la norme uniforme. Si g ∈ E, on note ‖g‖_∞ la norme uniforme de g sur E. On admettra qu'une forme linéaire φ est continue sur E si et seulement si il existe une constante C ⩾ 0 telle que, pour tout g ∈ E, |φ(g)| ⩽ C‖g‖_∞.
On considère φ une forme linéaire continue sur E vérifiant φ(t ↦ 1) = 1. Soit (P_n) la suite de polynômes définie par P_0 = 1, pour tout n ∈ ℕ^∗, P_n^′ = nP_(n − 1) et φ(P_n) = 0. On pose de plus, sous réserve d'existence, pour tout x ∈ [0, 1], pour tout t ∈ ℝ, S(x, t) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(P_k(x))/(k!)t^k.f désigne une fonction de classe C^∞ sur ℝ.

I - Les formules de Taylor généralisés

Q30. Montrer que la suite ( P_n ) existe bien et est unique.
Q31. Montrer qu'il existe C ∈ ℝ^+telle que pour tout n ∈ ℕ, ‖P_(n + 1)‖_∞ ⩽ (n + 1)(1 + C)‖P_n‖_∞.
Q32. Montrer qu'il existe R > 0 telle que pour tout x ∈ [0, 1], pour tout t ∈ ] − R, R[, S(x, t) existe.
Q33. Montrer que pour tout t ∈ ] − R, R[, x ⟼ S(x, t) est de classe C^1 sur [0, 1].
Q34. Montrer que pour tout t ∈ ] − R, R[ il existe un réel α(t) tel que pour tout x ∈ [0, 1], S(x, t) = α(t)e^(tx).
Q35. Montrer que pour tout t ∈ ] − R, R[, φ(x ↦ S(x, t)) = 1. En déduire la valeur de α(t).
Q36. Justifier que la famille de polynômes ( B_n ) définie en B-I existe et est unique et montrer que pour tout x ∈ [0, 1], la fonction g : t ↦ {(te^(tx))/(e^t − 1) si t ≠ 0; 1 sinon est développable en série entière au voisinage de 0 et que ce développement est g(t) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(B_k(x))/(k!)t^k.
Q37. Montrer que pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, pour tout p ∈ ℕ,
f(x) = f(y) + ∑_(k = 1)^p((P_k(x))/(k!)f^((k))(y) − (P_k(y))/(k!)f^((k))(x)) + ∫_y^x(P_p(x + y − t))/(p!)f^((p + 1))(t)dt.
Q38. Montrer que pour tout x ∈ ℝ, pour tout p ∈ ℕ,
f(x) = ∑_(k = 0)^p(P_k(x))/(k!)φ(y ↦ f^((k))(y)) + φ(y ↦ ∫_y^x(P_p(x + y − t))/(p!)f^((p + 1))(t)dt)
Q39. Justifier que l'application linéaire φ : g ↦ g(0) est continue sur E. Qu'obtient-on pour cette application?
Q40. Soit j ∈ ℕ. À l'aide de la fonction x ↦ f(x + j) montrer que pour tout p ∈ ℕ,
f(j) = ∑_(k = 0)^p(P_k(0))/(k!)φ(y ↦ f^((k))(y + j)) − φ(y ↦ ∫_j^(y + j)(P_p(y − t + j))/(p!)f^((p + 1))(t)dt).

II - Formule d'Euler-Boole

Dans la suite φ est définie par, pour tout g ∈ E, φ(g) = 1/2(g(0) + g(1)). Les polynômes P_n sont alors notés E_n et sont appelés polynômes d'Euler. On note pour tout n ∈ ℕ, e_n = E_n(0).
Q41. Montrer qu'il existe R > 0 tel que pour tout t ∈ ] − R, R[, pour tout x ∈ [0, 1], (2e^(tx))/(e^t + 1) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(E_k(x))/(k!)t^k.
Q42. En déduire que pour tout n ∈ ℕ, E_n(1 − X) = (− 1)^n E_n(X).
Q43. Montrer que pour tout j ∈ ℕ, pour tout p ∈ ℕ, f(j) = ∑_(k = 0)^p(1/2(f^((k))(j) + f^((k))(j + 1))(e_k)/(k!)) − 1/2∫_j^(j + 1)((− 1)^p E_p(t − j))/(p!)f^((p + 1))(t)dt.
Q44. On pose pour tout x ∈ ℝ, E_n˜(x) = (− 1)^(⌊x⌋ + n)E_n(x − ⌊x⌋). Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, pour tout p ∈ ℕ, f(1) − f(2) + ⋯(− 1)^(n − 1)f(n) = 1/2∑_(k = 0)^p f^((k))(1)(e_k)/(k!) + ((− 1)^(n − 1))/2∑_(k = 0)^p f^((k))(n + 1)(e_k)/(k!) + 1/2∫_1^(n + 1)(E˜_p(t))/(p!)f^((p + 1))(t)dt.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Centrale PSI 2025 ?
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Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 Centrale PSI 2025 ?

Le sujet porte sur l'attribution d'une valeur finie à des séries divergentes, en particulier la valeur -1/12 à la somme des entiers théorisée par Ramanujan, via la formule d'Euler-Maclaurin puis des développements tayloriens généralisés.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Centrale PSI ?

Des développements limités très mal maîtrisés, une dérivation terme à terme de séries de fonctions injustifiée, des récurrences mal rédigées et des arguments d'intégrabilité inventés sans justification.

Le sujet de mathématiques 2 Centrale PSI 2025 est-il difficile ?

Oui, le rapport le décrit comme long et technique : moins de 1 % des candidats ont dépassé la moitié des points du barème et la note médiane correspond à environ une dizaine de questions traitées correctement.

Faut-il bien maîtriser les séries de fonctions pour ce sujet de maths 2 Centrale PSI ?

Oui, la première partie repose sur la dérivation et les développements limités de séries de fonctions, et l'ensemble du sujet exige une bonne maîtrise de l'intégration et des séries entières.

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