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CCINP Mathématiques PSI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Loi de Poisson et inégalité de Bienaymé-Tchebychev, séries de Fourier, inégalité et matrices de Hadamard
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Le sujet comporte un exercice de probabilités et deux problèmes indépendants. L'exercice affine l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à une loi de Poisson à l'aide des fonctions génératrices et de l'inégalité de Markov. Le premier problème étudie la série de Fourier d'une fonction affine par morceaux, son prolongement impair et périodique, puis démontre la convergence ponctuelle de cette série. Le second problème établit l'inégalité de Hadamard reliant le déterminant d'une matrice au produit des normes de ses colonnes, puis introduit les matrices de Hadamard qui réalisent l'égalité.

  1. 1Exercice : ProbabilitésAffinement de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable aléatoire suivant une loi de Poisson.
  2. 2Problème 1, Partie I : Calcul des coefficients de Fourier d'une fonctionConstruction du prolongement impair et périodique d'une fonction affine par morceaux et calcul de ses coefficients de Fourier.
  3. 3Problème 1, Partie II : Convergence d'une série de FourierDémonstration de la convergence ponctuelle de la série de Fourier vers la fonction étudiée.
  4. 4Problème 2, Partie I : Inégalité arithmético-géométriqueÉtablissement de l'inégalité arithmético-géométrique utilisée ensuite pour démontrer l'inégalité de Hadamard.
  5. 5Problème 2, Partie II : Inégalité de HadamardDémonstration de l'inégalité de Hadamard à l'aide du théorème spectral.
  6. 6Problème 2, Partie III : Matrices de HadamardÉtude des matrices de Hadamard réalisant le cas d'égalité et de la conjecture de Hadamard.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet permettait aux candidats d'avancer assez loin grâce à des questions élémentaires bien réparties, avec des questions de cours identifiables et très peu de copies vides, tout en comportant des questions difficiles comme les questions 7, 9 et 14.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,04 / 20 · écart-type 3,69 · 5 127 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,04/ 20
Écart-type
3,69
Présents
5 127
Coefficient
9
Durée
4 h
moyenne 10,0405101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 5 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Affirmations non justifiées · Mauvaise lecture de l'énoncé, question la moins réussie (Q9) · Théorème des bornes atteintes rarement cité (Q14)
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Le sujet comportait un exercice de probabilités et deux problèmes indépendants, avec des questions élémentaires bien réparties offrant des points d'ancrage et des dernières questions pas forcément les plus difficiles. La présentation des copies est globalement satisfaisante, mais le jury relève un manque récurrent de rigueur dans les justifications, des problèmes de logique et des raisonnements parfois mal ordonnés.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Affirmations non justifiées

    Trop de candidats affirment sans justifier, avec des expressions comme il est évident que, ce qui ne rapporte aucun point selon le jury.

    « Trop de candidats affirment sans justifier (« il est évident que... », « cela est facilement vérifiable »). »
  2. 2
    Mauvaise lecture de l'énoncé, question la moins réussie (Q9)Q9

    Cette question a été très peu réussie, notamment à cause d'une mauvaise lecture de l'expression donnée dans l'énoncé.

    « Question la moins réussie du sujet »
  3. 3
    Théorème des bornes atteintes rarement cité (Q14)Q14

    Beaucoup de candidats pensent qu'une inégalité stricte ponctuelle suffit pour prouver l'existence d'un minorant strictement positif, sans invoquer le théorème des bornes atteintes.

    « Le théorème des bornes atteintes est très rarement cité. »
  4. 4
    Interversion série-intégrale sans vérifier les hypothèses (Q17)Q17

    Peu de candidats utilisent les résultats des questions précédentes et beaucoup tentent l'interversion série-intégrale sans en vérifier les hypothèses.

    « Beaucoup tentent l’interversion série-intégrale sans vérifier les hypothèses. »
  5. 5
    Confusion sur la définition d'une matrice définie positive (Q28)Q28

    Beaucoup de candidats pensent à tort qu'une matrice définie positive est une matrice à coefficients strictement positifs.

    « Beaucoup pensent qu’une matrice définie positive est une matrice à coefficients > 0. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1, 6, 8, 10, 16, 22 et 34, plus élémentaires, ont été généralement bien réussies.
  • La présentation est globalement satisfaisante et les correcteurs saluent les efforts pour mettre en évidence les résultats.
  • Les correcteurs ont recensé très peu de copies vides.

Conseils du jury

  • Ne rien indiquer plutôt que d'affirmer sans justification, la malhonnêteté intellectuelle étant toujours sanctionnée.
  • Réutiliser les résultats des questions précédentes en précisant rigoureusement leurs conditions d'application.
  • Savoir identifier les questions abordables en fin de sujet pour gérer stratégiquement son temps.
  • Organiser son raisonnement au brouillon avant de rédiger une réponse claire et structurée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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PSI1M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.

EXERCICE

Probabilités

On considère un espace probabilisé (Ω, T, P). Soit λ ∈ ℝ_+^∗ et X : Ω → ℝ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ.
On note G_X : t ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)P(X = n)t^n la fonction génératrice de X.
L'objectif de cet exercice est d'affiner une majoration donnée par l'inégalité de BienayméTchebychev appliquée à une loi de Poisson.
Q1. Sans démonstration, donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire X.
Q2. En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une majoration de P(|X − λ| ⩾ λ).
Q3. Justifier que l'événement {X ⩾ 2λ} est inclus dans l'événement {|X − λ| ⩾ λ}.
Q4. En déduire la majoration suivante :
P(X ⩾ 2λ) ⩽ 1/λ.
Q5. Donner l'ensemble de définition de G_X.
Q6. Montrer que pour tout t ∈ ℝ, G_X(t) = e^(λ(t − 1)).
Q7. On suppose que t ⩾ 1. Montrer que pour tout α ∈ ℝ, on a :
P(X ⩾ α) ⩽ (G_X(t))/(t^α).
Q8. En déduire que :
P(X ⩾ 2λ) ⩽ (e/4)^λ.
Q9. On admet que e ⋅ (ln(4) − 1) ⩾ 1, 05. Quelle majoration (1) ou (2) de P(X ⩾ 2λ) est la plus précise?

PROBLÈME 1

Séries de Fourier

Dans ce problème, on introduit les notions de coefficients de Fourier réels et de série de Fourier d'une fonction réelle continue par morceaux et 2π-périodique. On étudie l'exemple d'une fonction pour laquelle on calcule les coefficients de Fourier réels (partie I) et on montre que la fonction coïncide en tout point avec la somme de sa série de Fourier (partie II).

Partie I - Calcul des coefficients de Fourier d'une fonction

Soit f : ℝ → ℝ une fonction continue par morceaux sur [ − π; π] et 2π-périodique. Pour tout n ∈ ℕ, on pose :
a_n(f) = 1/π∫_(− π)^π f(t)cos(nt)dt, b_n(f) = 1/π∫_(− π)^π f(t)sin(nt)dt
Les réels a_n(f) et b_n(f) sont appelés coefficients de Fourier réels de la fonction f.
Q10. Montrer que si f est paire, alors ∫_(− π)^π f(t)dt = 2∫_0^π f(t)dt et que si f est impaire, alors ∫_(− π)^π f(t)dt = 0.
Q11. Soit une fonction g : ℝ → ℝ telle que pour tout x ∈ ]0; π] :
g(x) = (π − x)/2.
Montrer qu'il existe une manière unique de définir g sur ℝ telle que g soit continue par morceaux, impaire et 2π-périodique sur ℝ.
Déterminer en particulier g(0) et tracer l'allure de la courbe représentative de g sur [ − 4π; 4π] dans un repère orthogonal.
Q12. Montrer que a_0(g) = b_0(g) = 0 et que pour tout n ∈ ℕ^∗, a_n(g) = 0 et b_n(g) = 1/n.

Partie II - Convergence d'une série de Fourier

On appelle série de Fourier d'une fonction f : ℝ → ℝ continue par morceaux, 2π-périodique, la série de fonctions ∑_(n ⩾ 0)U_n(f) définie à l'aide des coefficients de Fourier réels de f par :
  • U_0(f) est la fonction constante x ↦ 1/2a_0(f);
  • pour tout n ∈ ℕ^∗, U_n(f) : x ↦ a_n(f)cos(nx) + b_n(f)sin(nx).
On admet que la série de Fourier de la fonction g définie à la question Q11 converge simplement sur ℝ et on note S_g sa somme.
D'après la question Q12 :
∀x ∈ ℝ, S_g(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin(nx))/n.
L'objectif de cette partie est de montrer que pour tout x ∈ ℝ, S_g(x) = g(x).
Q13. Déterminer l'ensemble des (x, t) ∈ ℝ × [0; 1] tels que |1 − te^(ix)| = 0.
Q14. Soient (a, b) ∈ ℝ^2 tel que 0 < a < b < π et x ∈ [a; b]. Montrer qu'il existe m ∈ ℝ_+^∗ tel que pour tout t ∈ [0; 1] :
|1 − te^(ix)| ⩾ m
Q15. En déduire que pour tout x ∈ ]0; π[, on a :
lim_(n → + ∞)∫_0^1(t^n)/(|1 − te^(ix)|)dt = 0
Q16. Soit N ∈ ℕ^∗. Montrer que pour tout x ∈ ]0; π[ et t ∈ [0; 1], on a :
∑_(n = 1)^N t^(n − 1)e^(inx) = e^(ix)(1 − t^N e^(iNx))/(1 − te^(ix))
Q17. En déduire que pour tout x ∈ ]0; π[, la série ∑_(n ⩾ 1)(e^(inx))/n converge et que l'on a :
∫_0^1(e^(ix))/(1 − te^(ix))dt = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(e^(inx))/n
Pour tout λ ∈ ] − 1; 1[, on pose I(λ) = ∫_0^1(dt)/(t^2 − 2λt + 1).
Q18. Justifier l'existence de I(λ) et montrer que :
I(λ) = 1/(√(1 − λ^2))(arctan((1 − λ)/(√(1 − λ^2))) + arctan(λ/(√(1 − λ^2)))).
Q19. En déduire que, pour tout x ∈ ]0; π[, on a :
∫_0^1(dt)/(1 − 2tcos(x) + t^2) = 1/(sin(x))(π − x)/2
Q20. Conclure.

PROBLÈME 2

Inégalité et matrices de Hadamard

L'objectif de ce problème est d'établir l'inégalité de Hadamard reliant le déterminant d'une matrice et le produit des normes euclidiennes de ses vecteurs colonnes. Nous étudierons ensuite quelques propriétés de la famille des matrices de Hadamard qui réalisent l'égalité dans cette inégalité.
Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 1 . On désigne par M_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients réels et M_(n, 1)(ℝ) l'espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes et à coefficients réels.
Pour tout (X, Y) ∈ M_(n, 1)(ℝ)^2, on note ⟨X, Y⟩ = X^⊤Y le produit scalaire canonique de X et Y.
Étant donné n nombres réels α_1, …, α_n, la matrice diagonale, dont les coefficients diagonaux sont formés par les réels α_1, …, α_n, est désignée par diag (α_1, …, α_n).
On note S_n^+(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques positives à coefficients réels et S_n^(+ +)(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques définies positives à coefficients réels.

Partie I - Inégalité arithmético-géométrique

Soit (λ_1, …, λ_n) ∈ (ℝ^+)^n. On pose A = 1/n∑_(i = 1)^n λ_i et G = (∏_(i = 1)^n λ_i)^(1/n). Dans cette partie, nous allons montrer que G ⩽ A, avec égalité si et seulement si λ_1 = λ_2 = ⋯ = λ_n.
On remarque que dans le cas où λ_1, ⋯, λ_n sont tous nuls, l'égalité est immédiate. On suppose donc dans la partie I que les λ_1, ⋯, λ_n sont non tous nuls.
Q21. Montrer que pour tout x ∈ ℝ, exp(x) ⩾ 1 + x, avec égalité si et seulement si x = 0.
Q22. Montrer que pour tout i ∈ [ [1; n] ] :
(λ_i)/A ⩽ exp((λ_i)/A − 1)
Q23. En déduire que G ⩽ A.
Q24. Montrer que G = A si et seulement si λ_1 = λ_2 = ⋯ = λ_n.

Partie II - Inégalité de Hadamard

L'objectif de cette partie est de démontrer que pour toute matrice M = (m_(i, j)) ∈ M_n(ℝ) :
|det(M)| ⩽ (∏_(j = 1)^n(∑_(i = 1)^n m_(i, j)^2))^(1/2).
Cette inégalité est appelée inégalité de Hadamard.
Dans les questions Q25 à Q30, on considère S = (s_(i, j)) ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
Q25. Justifier que S est diagonalisable dans M_n(ℝ) et rappeler la relation qui lie det(S) et les valeurs propres de S, puis Tr(S) et les valeurs propres de S.
Q26. En déduire que :
(det(S))^(1/n) ⩽ 1/nTr(S)
Q27. Montrer que (det(S))^(1/n) = 1/nTr(S) si et seulement s'il existe λ > 0, tel que S = λI_n.
Q28. Montrer que pour tout j ∈ [ [1; n] ], s_(j, j) > 0.
On considère la matrice diagonale D = diag(√(s_(1, 1)), …, √(s_(n, n))).
Q29. Montrer que la matrice D^(− 1)SD^(− 1) a pour coefficient général ((s_(i, j))/(√(s_(i, i)s_(j, j)))) avec (i, j) ∈ [ [1; n] ]^2. En déduire que D^(− 1)SD^(− 1) est symétrique définie positive et que ses éléments diagonaux valent 1.
Q30. En utilisant la question Q29, montrer que :
det(S) ⩽ ∏_(j = 1)^n s_(j, j),
avec égalité si et seulement si S est diagonale.
Q31. Soit M ∈ M_n(ℝ) une matrice inversible. Montrer que M^⊤M ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
Q32. Soit M ∈ M_n(ℝ) une matrice qu'on ne suppose pas inversible. On note C_1, ⋯, C_n les colonnes de M. Déduire des questions précédentes que l'inégalité (3) est valide pour M, avec égalité si et seulement si les vecteurs colonnes C_1, ⋯, C_n sont orthogonaux deux à deux pour le produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩.
Q33. Soit M = (m_(i, j)) ∈ M_n(ℝ) telle que, pour tout (i, j) ∈ [ [1; n] ]^2, |m_(i, j)| ⩽ 1. Montrer alors que :
|det(M)| ⩽ n^(n/2),
avec égalité si et seulement pour tout (i, j) ∈ [ [1; n] ]^2, |m_(i, j)| = 1 et M^⊤M = nI_n.

Partie III - Matrices de Hadamard

Dans cette partie, nous étudions l'ensemble H_n des matrices de Hadamard de taille n défini par:
H_n = {M ∈ M_n(ℝ)/M^⊤M = nI_n et ∀(i, j) ∈ [ [1; n] ]^2, |m_(i, j)| = 1}.
Par exemple, la matrice N = (1, 1; 1, − 1) est un élément de H_2.
Notons H = {n ∈ ℕ^∗/H_n ≠ ∅}. L'ensemble H n'est pas connu actuellement. L'un des objectifs de cette partie est de donner une condition nécessaire sur n pour que n ∈ H.
On admet que si un ensemble H_n est non vide, alors il contient au moins une matrice de Hadamard dont la première colonne et la première ligne sont constituées uniquement de 1.
Soit n ∈ H et soit M ∈ H_n.
Q34. Montrer que M est inversible et déterminer M^(− 1). A-t-on M^(− 1) ∈ H_n ?
Q35. Montrer que la matrice définie par blocs (M, M; M, − M) appartient à H_(2n). En déduire que pour tout p ∈ ℕ, 2^p ∈ H.
On suppose désormais que n > 2 et que la première colonne et la première ligne de M ne sont constituées que de 1.
On note C_1, ⋯, C_n les colonnes de la matrice M. On a en particulier C_1 = (1; 1; ⋮; 1) ∈ M_(n, 1)(ℝ).
Q36. En considérant ⟨C_1, C_2⟩, montrer que n est pair.
Q37. On note :
x = Card{i ∈ [ [1; n] ], m_(i, 2) = 1 et m_(i, 3) = 1};; y = Card{i ∈ [ [1; n] ], m_(i, 2) = 1 et m_(i, 3) = − 1};; z = Card{i ∈ [ [1; n] ], m_(i, 2) = − 1 et m_(i, 3) = 1};; t = Card{i ∈ [ [1; n] ], m_(i, 2) = − 1 et m_(i, 3) = − 1}.
Exprimer ⟨C_1, C_2⟩, ⟨C_1, C_3⟩ et ⟨C_2, C_3⟩ en fonction de x, y, z et de t.
En déduire un système linéaire de 4 équations d'inconnues x, y, z, t.
Q38. En déduire que n est un multiple de 4 .
Nous venons de démontrer que :
  • si n est une puissance de 2 , alors n appartient à H;
  • si n > 2 et n n'est pas un multiple de 4 , alors n n'appartient pas à H.
Hadamard a conjecturé que n ∈ H si et seulement si n est un multiple de 4 .
La question est encore ouverte aujourd'hui.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PSI du CCINP 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PSI du CCINP 2025 ?

L'exercice porte sur la loi de Poisson et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, le premier problème sur les séries de Fourier, et le second sur l'inégalité et les matrices de Hadamard.

Le sujet de mathématiques PSI CCINP 2025 est-il difficile ?

Le rapport décrit un sujet permettant d'avancer assez loin grâce à des questions élémentaires bien réparties, avec quelques questions difficiles comme les questions 7, 9 et 14.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Le jury signale des affirmations non justifiées, une mauvaise lecture de l'énoncé sur la question la moins réussie du sujet, l'oubli du théorème des bornes atteintes, une interversion série-intégrale non justifiée et une confusion sur la définition d'une matrice définie positive.

Quelles sont les parties du sujet de mathématiques PSI CCINP 2025 ?

Le sujet comporte un exercice de probabilités, un problème sur les séries de Fourier en deux parties, et un problème sur l'inégalité et les matrices de Hadamard en trois parties.

Pas de description pour le moment