CCINP Modélisation PSI 2025Sujet et rapport du jury

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

RAPPEL DES CONSIGNES

• Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• Ne pas utiliser de correcteur.
• Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Introduction - Présentation du Mobilikit

Figure 1 - Le Mobilikit

Figure 2 - Représentation schématique du Mobilikit

Partie I - Batterie du Mobilikit

• la capacité correspondant à la charge électrique totale qu'elle peut débiter C = 9, 0 A ⋅ h;
• la tension nominale U = 25 V;
• l'énergie qu'elle est susceptible de délivrer E = 225 W ⋅ h.

Figure 3 - Évolution de la tension aux bornes d'une cellule LIR18650 lors de la décharge, pour différents courants de fonctionnement maintenus constants, à la température de 25^∘C

Partie II - Commande du vérin

Figure 4 - Hacheur de type Full-Bridge établissant le lien entre la batterie (tension U ) et le moteur à courant continu M du vérin

Partie III - Étude du moteur du vérin électrique

Figure 5 - Schéma fonctionnel du vérin électrique

• le rapport de réduction du réducteur est r = 1/10;
• le pas de la vis est p = 3, 0 mm.

Figure 6 - Courbes d'évolution de la vitesse de translation de la tige du vérin v et du courant absorbé I en fonction de la force F_(verin)

Figure 7 - Vitesse angulaire du moteur en fonction de l'intensité absorbée par le moteur

• P_e puissance électrique d'entrée,
• P_s puissance mécanique de sortie,
• P_J puissance dissipée par effet joule dans l'induit,
• P_p la puissance dissipée par les pertes fer et par tous les frottements mécaniques,
• Γ_(em) le couple électromagnétique,
• Γ_p le couple de pertes, modélisant les pertes fer et toutes les pertes par frottement mécanique,
• Γ_u le couple utile, défini par la relation P_u = Γ_u Ω_1.

Figure 8 - Schéma récapitulatif du bilan de puissance

Figure 9 - Puissances en fonction de la charge

Partie IV - Commande du soulèvement du siège et du marchepied

Figure 10 - Schéma cinématique de l'ensemble de levage du marchepied et du siège

• le corps 0(S_0), de repère associé R_0(O, x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) considéré comme fixe, le point O est situé au niveau du sol ;
• le solide 1(S_1) constitué de la tige du vérin, de repère associé R_1(A, x_1^(→−), y_1^(→−), z_0^(→−)), en mouvement de rotation par rapport au repère fixe R_0 d'axe ( A, z_0^(→−) ), tel que OA^(→−) = h_0 y_0^(→−);
• le solide 2(S_2) constitué du corps du vérin, de repère associé R_1(A, x_1^(→−), y_1^(→−), z_0^(→−)), en mouvement de translation par rapport au repère R_1 d'axe x_1^(→−), tel que AB^(→−) = λ(t)x_1^(→−);
• le solide 3(S_3) de repère associé R_3(C, x_3^(→−), y_3^(→−), z_0^(→−)), en mouvement de rotation par rapport au repère fixe R_0 d'axe ( C, z_0^(→−) ), tel que AC^(→−) = C_x x_0^(→−) et BC^(→−) = − B_x x_3^(→−);
• le solide 4(S_4) de repère associé R_4(D, x_4^(→−), y_4^(→−), z_0^(→−)), en mouvement de rotation par rapport au repère fixe R_0 d'axe ( D, z_0^(→−) ), tel que AD^(→−) = D_x x_0^(→−) − D_y y_0^(→−) et DE^(→−) = B_x x_3^(→−);
• le solide 5(S_5), marchepied, de repère associé R_5(E, x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)). Soit H un point du solide 5 , la composante selon la direction y_0^(→−) du vecteur OH^(→−) est notée h. Pour λ = λ_0, alors h = 0 et θ_(03) = 0.

Figure 11 - Simulation numérique de la variation de hauteur du marchepied

Partie V - Validation des performances du vérin

Données :

• l'action de la pesanteur agissant sur l'ensemble S est modélisée par un glisseur en G, tel que :

• M_(tot) = 100 kg et CG^(→−) = 2/3CB^(→−);
• l'action du vérin agissant sur le solide S_3 est modélisée par un glisseur en B tel que :

• AC^(→−) = C_x x_0^(→−) et BC^(→−) = − B_x x_3^(→−) avec C_x = 450 mm et B_x = 40 mm;
• θ_(13) = θ_(03) − θ_(01);
• pour le guidage du solide S_3 par rapport au corps S_0, l'ensemble est modélisé par une liaison pivot d'axe ( C, z_0^(→−) ), bloquant tous les mouvements hormis la rotation selon la direction z_0^(→−). Cette liaison est supposée sans frottement.

Partie VI - Modélisation de la vitesse de montée et de descente

Figure 12 - Courbe d'évolution de la vitesse verticale du marche pied et du siège

Partie VII - Modélisation de la commande du système de levage

Figure 13 - Schéma-bloc de la boucle de vitesse avec commande continue

Figure 15 - Différents types de signaux

• T_e la période d'échantillonnage;
  − v(kT_e) = v_k la valeur de la vitesse dans le vérin à l'instant kT_e, correspondant à la valeur au k^(ième) échantillon;
• v((k + 1)T_e) la valeur de la vitesse dans le vérin à l'instant (k + 1)T_e, correspondant à la valeur au (k + 1)^(ième) échantillon;
• u(kT_e) = u_k la valeur de l'excitation à l'instant kT_e. Cette valeur est constante pendant toute la période d'échantillonnage grâce au BOZ.

Figure 16 - Schéma-bloc de la boucle de vitesse avec commande numérique

Hypothèses:

• à l'instant initial, v(kT_e = 0) = v_0;
• un échelon d'excitation v_(ref)(kT_e) = v_(cons)u(kT_e) avec u(kT_e) échelon unitaire numérique;
• la solution k ≥ 0 à une excitation en échelon de cette équation de récurrence est la somme :
• du régime transitoire de la forme K(− A_f)^k avec K une constante qui dépend de la condition initiale;
• du régime permanent pour k → ∞ obtenu, sous réserve de convergence, à partir de l'équation de récurrence v((k + 1)T_e) = v(kT_e).

Figure 17 - Simulation de la boucle de vitesse

ANNEXE 1

Programme Python

# -*- coding: utf-8 -*-
# Bibliothèques
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy.random as rd
# fonction régression linéaire de y en fonction de x, et sa documentation
def f(x,y,ux,uy,N):
    a,b = np.polyfit(x,y,1)
    asim = np.zeros(N); bsim = np.zeros(N)
    for i in range(N):
        xsim = x + rd.normal(0,ux)
        ysim = y + rd.normal(0,uy)
        asim[i],bsim[i] = np.polyfit(xsim,ysim,1)
    ua = np.std(asim,ddof=1)
    ub = np.std(bsim,ddof=1)
    return (a,b,ua,ub)
"""
x et y sont les tableaux numpy d'entrée
ux et uy sont les incertitudes-types associées
a et b sont les résultats de la régression linéaire
a est la pente et b l'ordonnée à l'origine
ua et ub sont les incertitudes-types sur a et b
rd.normal(0,1) : nombre aléatoire tiré selon une loi gaussienne
            centrée sur 0 et d'écart type 1
np.std(tab, ddof = 1) : écart type des éléments du tableau numpy tab
"""
# Constantes
U = 24 # tension moteur
pas = 3e-3 # pas de la vis
r = 1/10 # rapport de réduction du réducteur
# Données issues des mesures expérimentales

F_verin = np.array([0,100,250,420,500,625,750,875,1000]) # force
v = 1e-3*np.array([6.8,6.5,6.0,5.6,5.4,5.2,?,4.8,4.7]) # vitesse
I = np.array([0.14,0.3,0.46,0.6,0.67,0.76,?,0.86,0.88]) # courant
n = len(v)
uv = 0.1e-3*np.ones(n) # incertitude de 0.1 mm/s sur la vitesse
ul = 0.01*np.ones(n) # incertitude de 10 mA sur le courant
# Calcul de la vitesse angulaire du moteur w1
# et de l'incertitude associée uw1
mu = ?
w1 = mu*v
uw1 = mu*uv
# Calcul de R et Phi par régression linéaire, et des incertitudes uR et
    uPhi
-> partie à compléter
print("résistance interne R=",R,"incertitude_u(R)=", uR)
print("constante de couplage Phi=",Phi,"incertitude u(Phi)=", uPhi )
# Tracé de omega en fonction de l et de la régression linéaire
plt.figure(1); plt.clf()
p|t.errorbar(l,w1,xerr = ul, yerr = uw1,capsize = 3, ecolor = 'black',\
    elinewidth = 1, capthick = 1, fmt='none', label = 'Données', zorder
        =3)
plt.xlabel("courant en A")
plt.ylabel("vitesse angulaire en rad/s")
plt.title("Régression linéaire")
plt.plot(l,a*l+b,linestyle="dotted")
# Bilan de puissance
Pe = ? ; Ps = ? ; Pj = ? ; Pp = ?
pIt.figure(2); pIt.cIf()
plt.title("Bilan de puissance", fontsize = 12)
plt.plot(F_verin,Pe, label = "Pe")
plt.plot(F_verin,Pp, label = "Pp")
plt.plot(F_verin,Pj, label = "Pj")
plt.plot(F_verin,Ps, label = "Ps")
plt.xlabel("Force en N", fontsize = 10)
plt.ylabel("Puissance en W", fontsize = 10 )
plt.legend()

ANNEXE 2

Transmission des incertitudes pour un produit ou un quotient

FIN