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CCINP Mathématiques PSI 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Extremums d'une fonction de deux variables, séries entières et logarithme complexe, déterminant de I + C C̄
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Le sujet comporte un exercice et deux problèmes indépendants. L'exercice étudie les extremums de f(x, y) = x³ + y³ − 3xy. Le premier problème étudie la famille de séries entières de terme général xⁿ/n^α (domaine, lien avec une fonction génératrice, logarithme complexe, équivalent en 1) ; le second démontre que det(I + C C̄) est un réel positif pour toute matrice complexe C.

  1. 1Exercice : étude d'extremums (Q1 à Q5)Points critiques, comportement au voisinage de (0, 0) et de (1, 1) en coordonnées polaires, existence d'extremums globaux.
  2. 2Problème 1, partie I : propriétés des fonctions f_α (Q6 à Q13)Rayon et domaine de convergence, signe, sommes explicites, continuité, limite en 1 et fonction génératrice d'une variable aléatoire.
  3. 3Problème 1, partie II : un logarithme complexe (Q14 à Q19)Développement en série entière de ln(1 + x), série entière d'une variable réelle à coefficients complexes et équation différentielle.
  4. 4Problème 1, partie III : équivalent de f_α en 1 (Q20 à Q24)Intégrale généralisée liée à la fonction Γ, comparaison série intégrale et équivalent.
  5. 5Problème 2, partie I : trois cas particuliers (Q25 à Q28)Matrices diagonales, matrices symétriques réelles avec le théorème spectral, déterminant du conjugué par récurrence.
  6. 6Problème 2, partie II : le cas général (Q29 à Q38)Déterminant par blocs, similitude, application semi-linéaire Ω et sous-espaces caractéristiques.

Difficulté moyenne. Le jury décrit de nombreuses questions simples et guidées, avec quelques questions difficiles en fin de partie abordées par une minorité (Q35 à Q38).

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,75 / 20 · écart-type 3,79 · 5 151 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,75/ 20
Écart-type
3,79
Présents
5 151
Coefficient
9
Durée
4 h
moyenne 9,7505101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Extremums : régularité et calculs de base · Rayon de convergence et domaine confondus · Conditions oubliées sur les paramètres
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Les copies sont dans l'ensemble bien présentées, mais la rédaction manque souvent de rigueur : arguments absents, hypothèses non vérifiées, conclusions hâtives. L'exercice sur les extremums a souvent été sauté ou mal commencé. Le premier problème révèle un manque d'aisance avec les séries entières ; la fin du second problème a permis à une poignée de candidats de se démarquer.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Extremums : régularité et calculs de baseQ1, Q2

    Le caractère C¹ de f est rarement invoqué pour justifier la recherche des points critiques et les dérivées partielles sont souvent fausses. En Q2, un seul point proche de 0 ne suffit pas.

    « La notion d'« arbitrairement proche de 0 » est souvent mal comprise. »
  2. 2
    Rayon de convergence et domaine confondusQ6, Q7, Q10

    Des domaines de définition fantaisistes apparaissent alors que le rayon est connu, et le comportement au bord de l'intervalle est oublié. L'erreur se répercute en Q10.

    « Cela montre que, pour ces candidats, la notion de rayon de convergence n'est pas comprise. »
  3. 3
    Conditions oubliées sur les paramètresQ11 à Q13

    Les calculs de Q12 et Q13 sont bien menés, mais les conditions sur α sont rarement vues. En Q11, le signe de x est négligé dans la comparaison.

  4. 4
    Logarithme complexe mal comprisQ16, Q18, Q19

    Beaucoup ne voient pas que la variable est t en Q16, ignorent que la fonction est à valeurs complexes en Q18 et écrivent exp(ln(1 + t z₀)) en Q19.

    « Cela montre que l'objectif de définir un logarithme complexe dans cette partie du sujet n'a pas été compris. »
  5. 5
    Développement du déterminant incorrectQ27

    La récurrence démarre bien, mais les formules de développement par rapport à une ligne ou une colonne sont souvent fausses.

    « on note les formules de développement fausses avec l'oubli de l'alternance des signes ou du coefficient de la matrice. »
  6. 6
    Justifications manquantes en algèbreQ28, Q29, Q31

    La commutativité de Iₙ et C est passée sous silence en Q28 et l'égalité des déterminants par blocs est mal rédigée en Q29. En Q31, certains manipulent une « base » mal définie.

Ce qui a été bien réussi

  • La règle de d'Alembert est bien appliquée dans la plupart des copies (Q6).
  • La question de cours sur le développement de ln(1 + x) est le plus souvent correcte (Q14).
  • L'étude de fonction de Q22 est bien traitée par une majorité.
  • Q25, Q30 et Q33 sont abordables et souvent réussies ; le produit par blocs de Q29 est correctement effectué.

Conseils du jury

  • Prouver chaque affirmation et vérifier les hypothèses des théorèmes utilisés.
  • Connaître précisément la forme du domaine de convergence d'une série entière et étudier les bords.
  • Vérifier la continuité de l'intégrande avant de conclure à la convergence d'une intégrale (Q20).
  • Citer explicitement le théorème spectral plutôt que renvoyer à une question précédente (Q26).
  • Profiter des questions indépendantes pour avancer dans le sujet.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.

EXERCICE Étude d'extremums

On considère la fonction f définie sur R^2 par: ∀(x, y) ∈ R^2, f(x, y) = x^3 + y^3 − 3xy.
L'objectif de cet exercice est d'étudier l'existence d'extremums pour f.
Q1. Déterminer les points critiques de f.
Q2. Expliciter des points (x, y) ∈ R^2 arbitrairement proches de (0, 0), tels que f(x, y) < 0.
Expliciter de même des points (x, y) ∈ R^2 arbitrairement proches de (0, 0), tels que f(x, y) > 0.
La fonction f admet-elle en (0, 0) un maximum local, un minimum local ou aucun des deux?
On considère la fonction g définie sur R^2 par: ∀(u, v) ∈ R^2, g(u, v) = f(1 + u, 1 + v) − f(1, 1).
Q3. Calculer, pour tout (u, v) ∈ R^2, g(u, v) puis, pour tout (r, θ) ∈ R^+ × R, g(rcosθ, rsinθ).
Q4. Prouver que pour tout (r, θ) ∈ R^+ × R, on a : g(rcosθ, rsinθ) ≥ 3r^2(1/2 − 2r). Que peut-on en conclure?
Q5. La fonction f possède-t'elle un ou des extremums globaux?

PROBLÈME 1
Étude d'une famille de séries entières

Dans tout le problème, α désigne un nombre réel. On note D_α l'ensemble des réels x pour lesquels la série entière ∑_(n ≥ 1)(x^n)/(n^α) est convergente et on pose, pour tout x ∈ D_α :
f_α(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(x^n)/(n^α)

Objectifs

Ce problème est composé de trois parties indépendantes.
Dans la Partie I, on étudie quelques propriétés élémentaires des fonctions f_α.
L'objectif de la Partie II est de construire un logarithme complexe.
Enfin, la Partie III permet d'obtenir un équivalent de f_α(x) lorsque x tend vers 1 , dans le cas α ∈ ]0, 1[.

Partie I - Quelques propriétés des fonctions f_α

Q6. Déterminer le rayon de convergence R commun aux séries entières définissant les fonctions f_α.
Q7. Déterminer, suivant les valeurs du réel α, le domaine de définition D_α de la fonction f_α. On distinguera les cas α ∈ ] − ∞, 0], α ∈ ]0, 1] et α ∈ ]1, + ∞[.
Q8. On suppose dans cette question α > 0. Déterminer, pour tout x ∈ D_α, le signe de f_α(x).
Q9. Expliciter f_0, f_(− 1) et f_1.
Q10. Soit α > 1. Prouver que f_α est continue sur D_α.
Q11. Soit α ≤ 1. Prouver que lim_(x → 1^−)f_α(x) = + ∞. On pourra comparer f_α à f_1.
On suppose dans les deux prochaines questions qu'il existe un réel λ ≥ 0 et une variable aléatoire X_α, définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ) et à valeurs dans N^∗, tels que la fonction génératrice G_α de X_α soit :
G_α = λf_α.
Q12. Montrer que α > 1 et λ = 1/(f_α(1)).
Q13. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la variable aléatoire X_α admette une espérance.
Déterminer cette espérance en fonction de f_α(1) et f_(α − 1)(1) seulement.

Partie II - Un logarithme complexe

Q14. Donner sans démonstration le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction qui à x ∈ ] − 1, 1[ associe ln(1 + x).
Pour tout nombre complexe z, tel que la série ∑_(n ≥ 1)((− z)^n)/n est convergente, on note : S(z) = − ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− z)^n)/n.
Q15. Donner le rayon de convergence R de la série entière définissant S. Pour tout x réel élément de ] − R, R[, déterminer la valeur de exp(S(x)).
Soit z_0 ∈ C tel que |z_0| < R. On considère la série entière de la variable réelle t suivante :
∑_(n ≥ 1)(− 1)^(n − 1)(z_0^n)/nt^n
En cas de convergence, on note g(t) sa somme.
On a donc, pour t ∈ R tel que la série est convergente, g(t) = S(tz_0).
Q16. Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant g.
Q17. Prouver que g est définie et de classe C^∞ sur [0, 1]. Déterminer, pour tout t ∈ [0, 1], g^′(t).
Q18. On pose h = exp ∘ g. Prouver que pour tout t ∈ [0, 1] :
h^′(t) = (z_0)/(1 + tz_0)h(t)
Q19. Résoudre l'équation différentielle de la question précédente et en déduire que :
exp(S(z_0)) = z_0 + 1

Partie III - Un équivalent de f_α(x) quand x tend vers 1, dans le cas où α ∈ ]0, 1[

Dans toute cette partie, on suppose que α ∈ ]0, 1 [. L'objectif est de donner un équivalent de f_α(x) quand x tend vers 1 .
Pour tout x ∈ ]0, 1[, on considère l'intégrale : I(x) = ∫_0^(+ ∞)(x^t)/(t^α)dt.
Q20. Justifier que, pour tout x ∈ ]0, 1[, l'intégrale I(x) est convergente.
Q21. On rappelle que la fonction Γ d'Euler est définie sur R_+^∗ par: ∀s ∈ R_+^∗, Γ(s) = ∫_0^(+ ∞)t^(s − 1)e^(− t) dt. Pour tout x ∈ ]0, 1[, déterminer une expression de I(x) faisant intervenir ln(x), α et Γ(1 − α).
Q22. Prouver que, pour tout x ∈ ]0, 1[, la fonction t ↦ (x^t)/(t^α) définie pour tout t ∈ R_+^∗ est décroissante sur R_+^∗.
Q23. En déduire, pour tout x ∈ ]0, 1[, l'encadrement :
∫_1^(+ ∞)(x^t)/(t^α)dt ≤ f_α(x) ≤ ∫_0^(+ ∞)(x^t)/(t^α)dt
Q24. En déduire un équivalent de f_α(x) quand x tend vers 1.

PROBLÈME 2

Pour tout C ∈ M_n(C), det(I_n + CC^–) ∈ R^+

Dans ce problème, n désigne un entier non nul fixé.
On note M_n(C) (respectivement M_n(R) ) l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients dans C (respectivement R ), GL_n(C) l'ensemble des matrices inversibles de taille n à coefficients dans C et M_(n, 1)(C) l'espace vectoriel des matrices colonnes de taille n à coefficients dans C.
Pour toute matrice M ∈ M_n(C), on note χ_M = det(XI_n − M) son polynôme caractéristique et Sp(M) l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On pourra utiliser librement les produits matriciels par blocs.

Objectifs

On s'intéresse dans la Partie I à trois cas particuliers.
On montre d'abord que det(I_n + CC¯) ≥ 1 dans le cas particulier des matrices diagonales complexes C, où C¯ désigne la matrice conjuguée de C, c'est-à-dire la matrice obtenue en considérant le conjugué de chaque coefficient de C.
On montre ensuite que det(I_n + C^2) ≥ 1 dans le cas particulier des matrices symétriques réelles C. On considère enfin le cas des matrices réelles C pour lesquelles on démontre que det(I_n + C^2) ∈ R^+.
La Partie II est consacrée au cas général.
On montre que pour toute matrice C de M_n(C), det(I_n + CC¯) ∈ R^+.

Partie I - Trois cas particuliers

Q25. On se place dans le cas particulier où C est une matrice de M_n(C) diagonale. Démontrer que det(I_n + CC¯) ∈ R et que :
det(I_n + CC¯) ≥ 1,
avec égalité si et seulement si C = 0_(M_n(C)).
Q26. On se place dans le cas particulier où C est une matrice de M_n(R) symétrique. Démontrer que :
det(I_n + C^2) ≥ 1,
avec égalité si et seulement si C = 0_(M_n(R)).
Q27. Démontrer par récurrence sur n que : ∀A ∈ M_n(C), det(A¯) = det(A)^–.
Q28. On suppose dans cette question que C est une matrice de M_n(R). Déduire de la question précédente que, dans ce cas, on a :
det(I_n + C^2) = |det(C − iI_n)|^2.
En déduire que det(I_n + C^2) ∈ R^+et que det(I_n + C^2) = 0 si et seulement si i ∈ Sp(C).

Partie II - Le cas général

On considère dans cette partie une matrice C de M_n(C) et on démontre que det(I_n + CC¯) ∈ R^+. Seule la Q27 de la partie I sera utile pour la suite.
Q29. En considérant le produit matriciel (I_n, − C; C¯, I_n)(I_n, 0; − C¯, I_n), démontrer que :
det(I_n + CC¯) = det(I_n, − C; C¯, I_n).
On notera désormais : C_0 = (I_n, − C; C¯, I_n).
Q30. Soient (r, s, t, u) ∈ C^4 et (e_1, e_2) la base canonique de C^2. On note φ l'endomorphisme de C^2 dont la matrice dans la base (e_1, e_2) est (r, s; t, u). Exprimer la matrice de φ dans la base (e_2, e_1).
Q31. Soit (R, S, T, U) ∈ (M_n(C))^4. En s'inspirant de la question précédente, montrer que la matrice (R, S; T, U) est semblable dans M_(2n)(C) à la matrice (U, T; S, R). Montrer de même que (R, S; T, U) est semblable à la matrice (R, − S; − T, U).
Q32. En déduire que le polynôme caractéristique de la matrice C_0 est à coefficients réels.
Pour la suite, nous écrirons les vecteurs de M_(2n, 1)(C) sous la forme (X/Y), où (X, Y) ∈ (M_(n, 1)(C))^2.
On considère l'application Ω : M_(2n, 1)(C) → M_(2n, 1)(C) définie par :
∀(X/Y) ∈ M_(2n, 1)(C), Ω((X/Y)) = ((− Y¯)/(X¯))
Q33. Démontrer les propriétés suivantes de l'application Ω :
a) Pour tout (X/Y) ∈ M_(2n, 1)(C), C_0 Ω((X/Y)) = Ω(C_0(X/Y));
b) Ω ∘ Ω = − id_(M_(2n, 1)(C));
c) Pour tout (X/Y) ∈ M_(2n, 1)(C) et tout λ ∈ C, Ω(λ(X/Y)) = λ¯Ω((X/Y)).
Q34. Soit (X/Y) ∈ M_(2n, 1)(C)∖{0_(M_(2n, 1)(C))}.
Montrer que la famille ((X/Y), Ω((X/Y))) est libre et que le plan Vect ((X/Y), Ω((X/Y))) est stable parΩ.
Q35．Soit E un sous－espace vectoriel de M_(2n, 1)(C) stable par Ω et soit (X/Y) ∈ M_(2n, 1)(C)∖E ． Montrer que ：
E ∩ Vect((X/Y), Ω((X/Y))) = {0_(M_(2n, 1)(C))}.
Pour tout λ ∈ Sp(C_0) ，on note α_λ ∈ N^∗ sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique．On peut donc écrire ： χ_(C_0) = ∏_(λ ∈ Sp(C_0))(X − λ)^(α_λ) ．On note alors，pour tout λ ∈ Sp(C_0) ：
F_λ = ker((λI_(2n) − C_0)^(α_λ)).
On admet，pour traiter la Q38 ，que pour tout λ ∈ Sp(C_0) ，on a ： dimF_λ = α_λ ．
Q36．Montrer que pour tout λ ∈ Sp(C_0) ，on a ： Ω(F_λ) = F_(λ¯) ．
Q37．Montrer que si λ ∈ Sp(C_0) ∩ R ，alors F_λ est de dimension paire．
Q38．Conclure que ： det(C_0) ∈ R^+．

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2021 ?

Fonctions de deux variables et extremums, séries entières, intégrales généralisées, fonctions génératrices, équations différentielles, déterminants et réduction des endomorphismes.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths CCINP PSI 2021 ?

Un manque de rigueur général, une confusion entre rayon de convergence et domaine de définition, des conditions oubliées sur α, un logarithme complexe mal compris et des développements de déterminant faux.

Quelles questions étaient les plus difficiles au CCINP maths PSI 2021 ?

Les questions Q35 à Q38 du second problème, très peu abordées. Aucun candidat ne les a traitées entièrement.

Comment réussir l'exercice sur les extremums du CCINP PSI 2021 ?

Justifier la recherche des points critiques par le caractère C¹, calculer soigneusement les dérivées partielles et exhiber des points arbitrairement proches de (0, 0), pas un seul point.

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