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CCINP Mathématiques PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Intégrales de Gauss et théorème de Moivre-Laplace ; matrices de Householder et factorisation QR
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Le sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier, d'analyse et de probabilités, utilise des suites d'intégrales et le théorème de convergence dominée pour établir une étape clé du théorème de Moivre-Laplace. Le second étudie les matrices de rang 1, puis les matrices de Householder, pour prouver l'existence d'une factorisation QR.

  1. 1Problème 1, partie I : convergence d'une suiteDécroissance et relation de récurrence d'une suite d'intégrales, encadrement puis équivalent de I_{2n}.
  2. 2Problème 1, partie II : calcul d'une intégrale de GaussChangement de variable, convergence simple d'une suite de fonctions et convergence dominée pour calculer l'intégrale de Gauss.
  3. 3Problème 1, parties III et IV : majoration et vers le théorème de Moivre-LaplaceMajoration d'un reste, puis convergence simple d'une suite de fonctions en escalier construite à partir d'une loi binomiale.
  4. 4Problème 2, partie I : matrices de rang 1Écriture A = XY^T, puissances, nilpotence et diagonalisabilité en fonction de la trace.
  5. 5Problème 2, partie II : matrices de HouseholderÉtude d'un exemple en dimension 3, puis projection et symétrie orthogonales associées à un vecteur.
  6. 6Problème 2, partie III : factorisation QRRésultat préliminaire sur deux vecteurs de même norme, puis triangularisation par une matrice orthogonale et récurrence sur n.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet progressif où les résultats non démontrés pouvaient être réutilisés, mais la fin du problème d'analyse a été peu traitée et le niveau des copies est jugé décevant dans l'ensemble.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,03 / 20 · écart-type 3,75 · 5 146 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,03/ 20
Écart-type
3,75
Présents
5 146
Coefficient
9
Durée
4 h
moyenne 9,0305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 9 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Récurrences non rédigées · Équivalents et limites manipulés sans rigueur · Matrice de rang 1 mal caractérisée
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Les deux problèmes ont été abordés de façon équilibrée, avec une réussite comparable, mais la fin du problème d'analyse a été peu traitée. Le niveau des copies est jugé décevant, hormis quelques rares bonnes copies. Les copies moyennes révèlent une maîtrise fragile de notions importantes, comme les matrices de rang 1 ou les polynômes annulateurs.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Récurrences non rédigéesQ3, Q21

    Beaucoup concluent « par itération » ou « par récurrence immédiate » sans écrire la récurrence.

    « beaucoup concluent « par itération » sans écrire les récurrences »
  2. 2
    Équivalents et limites manipulés sans rigueurQ7

    Pour la limite simple de la suite de fonctions, on trouve des compositions d'équivalents par l'exponentielle non justifiées et des limites fausses.

    « cette question testait la rigueur et la maîtrise des équivalents. »
  3. 3
    Matrice de rang 1 mal caractériséeQ18, Q19

    Une partie significative des candidats la voit comme une matrice à n-1 colonnes nulles ou comme une matrice colonne, et oublie la non-nullité de X et Y.

    « la notion de matrice de rang 1 n’est pas comprise par une partie significative des candidats. »
  4. 4
    Polynôme annulateur confondu avec le polynôme caractéristiqueQ24, Q25

    Des candidats proposent des polynômes annulateurs incorrects, et certains affirment sans justification que les racines d'un polynôme annulateur sont les valeurs propres.

    « ce qui montre que la notion même de polynôme annulateur n’est pas comprise. »
  5. 5
    Base propre non orthonormaliséeQ27

    Pour obtenir une matrice orthogonale P, beaucoup invoquent le théorème spectral sans orthonormaliser la base de vecteurs propres trouvée.

  6. 6
    Matrice symétrique confondue avec matrice d'une symétrieQ30, Q31, Q32

    Être une matrice symétrique et représenter une symétrie sont deux notions différentes. De même, noyau et image ne suffisent pas à prouver qu'une application est un projecteur.

Ce qui a été bien réussi

  • Q1 est bien traitée dans l'ensemble et Q5 est réussie par la grande majorité des candidats.
  • L'étude de fonction menant à la première inégalité de Q8 est souvent bien menée.
  • Le calcul de A² en Q24 est réussi par une majorité de candidats.
  • Q22 et Q26 sont souvent bien traitées.

Conseils du jury

  • Rédiger précisément les récurrences au lieu d'écrire « par récurrence immédiate ».
  • Citer les propriétés utilisées, comme la croissance de l'intégrale, et justifier les hypothèses des théorèmes appliqués.
  • Ne pas conclure qu'un résultat est obtenu quand la preuve n'aboutit pas : le bluff est repéré et sanctionné.
  • Utiliser les résultats des questions précédentes, même non démontrées, le sujet étant construit pour le permettre.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

PROBLÈME 1

Intégrales de Gauss et théorème de Moivre-Laplace

Présentation

Le théorème de Moivre-Laplace permet d'approcher les calculs de probabilité pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n ∈ ℕ^∗ et p ∈ [0; 1] par des calculs d'intégrales de fonctions gaussiennes. Une première démonstration a été donnée en 1733 par Abraham de Moivre pour le cas où p = 1/2.
La partie I permet d'obtenir un résultat de convergence. La partie II aboutit à un calcul exact d'une intégrale de fonction gaussienne dite " intégrale de Gauss ". La partie III permet d'établir une majoration utile à la partie IV qui s'intéresse à la convergence simple d'une suite de fonctions vers une fonction gaussienne. Ce résultat de convergence constitue une étape clé dans une démonstration possible du théorème de Moivre-Laplace.

Partie I - Convergence d'une suite

Soit n ∈ ℕ^∗. Pour tout k ∈ [ [0, 2n] ], on pose :
a_(k, n) = (√(2n))/(2^(2n + 1))((2n)/k).
Pour tout m ∈ ℕ, on pose :
I_m = ∫_0^1(1 − t^2)^(m/2) dt
Q1. Montrer que la suite (I_m)_(m ∈ ℕ) est décroissante.
Q2. Montrer que pour tout m ∈ ℕ :
I_(m + 2) = (m + 2)/(m + 3)I_m.
Q3. En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗ :
I_(2n) = (√(2n))/(2(2n + 1)a_(n, n)) et I_(2n − 1) = π/(√(2n))a_(n, n).
Q4. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗ :
1 ≤ (I_(2n − 1))/(I_(2n)) ≤ (I_(2n − 2))/(I_(2n)).
En déduire que :
1/(1 + 1/(2n)) ≤ 2π(a_(n, n))^2 ≤ 1.
Q5. En déduire la convergence de la suite (a_(n, n))_(n ≥ 1) lorsque n tend vers l'infini, puis que :
I_(2n) ∼ _(n → + ∞)1/2√(π/n).

Partie II - Calcul d'une intégrale de Gauss

Pour tout n ∈ ℕ^∗, on pose :
J_n = ∫_0^(√n)(1 − (t^2)/n)^n dt
Pour tout n ∈ ℕ^∗ et pour tout t ∈ ℝ^+, on pose :
u_n(t) = {(1 − (t^2)/n)^n, si 0 ≤ t ≤ √n; 0, sinon.
Enfin, on considère l'intégrale de Gauss :
K = ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− (t^2)/2)1/(√(2π)) dt
Q6. À l'aide d'un changement de variable simple, déduire de la Q5 que la suite (J_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge et donner sa limite.
Q7. Montrer que la suite de fonctions (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge simplement sur ℝ^+et donner sa limite.
Q8. Montrer que pour tout x ∈ ℝ, on a 1 + x ≤ e^x et en déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗ :
∀t ∈ ℝ^+, 0 ≤ u_n(t) ≤ e^(− t^2).
Q9. Montrer que l'intégrale K est convergente, puis déduire des questions précédentes une valeur exacte de K.

Partie III - Calcul d'une majoration

Q10. Montrer qu'il existe une fonction g : [0; 1/2] → ℝ et un réel M ≥ 0, tels que :
∀x ∈ [0; 1/2], (1 − x)/(1 + x) = e^(− 2x + g(x)) et |g(x)| ≤ Mx^3.
Indication : pour obtenir la majoration, on pourra écrire g(x) sous forme d'intégrale.
Q11. Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que pour tout k ∈ [ [n + 1; 2n] ] :
(a_(k, n))/(a_(n, n)) = (∏_(i = 1)^(k − n − 1)(1 − i/n))/(∏_(i = 1)^(k − n − 1)(1 + i/n)) × n/k.
Q12. En déduire que pour tout k ∈ ℕ tel que n + 1 ≤ k ≤ (3n)/2 + 1, il existe b_(k, n) ∈ ℝ tel que |b_(k, n)| ≤ M/(n^3)(k − n − 1)^4 et :
(a_(k, n))/(a_(n, n)) = n/k × e^(b_(k, n)) × e^(− 1/n(k − n − 1)(k − n)).

Partie IV - Vers le théorème de Moivre-Laplace

On considère une suite de variables aléatoires (X_n)_(n ≥ 1) définies sur un espace probabilisé (Ω, Σ, P). On suppose que pour tout n ∈ ℕ^∗, la variable aléatoire X_n suit une loi binomiale B(2n, 1/2) et on pose :
Z_n = (2X_n − 2n)/(√(2n))
Pour tout k ∈ [ [0, 2n] ], on pose t_(k, n) = (2k − 2n)/(√(2n)) et J_(k, n) = [t_(k, n) − 1/(√(2n)), t_(k, n) + 1/(√(2n))]. On admet que les intervalles J_(k, n), pour k ∈ [ [0, 2n] ], sont disjoints deux à deux et que :
[ − √(2n) − 1/(√(2n)); √(2n) + 1/(√(2n))[ = ⋃_(k = 0)^(2n)J_(k, n)
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on définit une fonction h_n : ℝ → ℝ en escalier de la manière suivante :
h_n : t ↦ {(√(2n))/2P(X_n = k), s'il existe k ∈ [ [0; 2n] ] tel que t ∈ J_(k, n); 0, sinon.
Q13. Soit n ∈ ℕ^∗. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire Z_n.
Q14. Proposer une représentation graphique de la fonction h_2.
Q15. Soit n ∈ ℕ^∗. Vérifier que la fonction h_n possède un maximum sur ℝ et déterminer pour quelles valeurs ce maximum est atteint.
Q16. Soit x ∈ ]0; + ∞[. Montrer qu'il existe n_0 ∈ ℕ, tel que pour tout n ∈ ℕ, vérifiant n ≥ n_0, il existe k_n ∈ ℕ, tel que x ∈ J_(k_n, n). Vérifier qu'alors :
k_n − n ∼ _(n → + ∞)(x√(2n))/2; t_(k_n, n) ∼ _(n → + ∞)x; k_n→−_(n → + ∞)^∼n.
Q17. Soit n ∈ ℕ^∗. Vérifier que pour tout k ∈ [ [0; 2n] ], h_n(t_(k, n)) = a_(k, n). Montrer ensuite, en utilisant les résultats des Q5, Q12, Q16, que la suite de fonctions (h_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge simplement sur ℝ et préciser sa limite.
La convergence simple de cette suite de fonctions (h_n)_(n ∈ ℕ^∗) est une étape importante permettant de démontrer un cas particulier du théorème de Moivre-Laplace :

Théorème

Pour tous réels a ∈ ℝ, b ∈ ℝ, tels que a < b :
lim_(n → + ∞)P(a ≤ Z_n ≤ b) = ∫_a^b e^(− (t^2)/2)1/(√(2π)) dt

PROBLÈME 2

Factorisation QR

Présentation

Ce problème s'intéresse dans la partie I à des propriétés des matrices de rang 1. Certaines de ces matrices sont ensuite utilisées dans la partie II pour construire des matrices orthogonales permettant dans la partie III de prouver l'existence d'une factorisation QR pour une matrice carrée quelconque.

Notations

Pour tous n, p ∈ ℕ^∗, on note M_(n, p)(ℝ) l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans ℝ. L'ensemble des matrices réelles carrées de taille n est noté M_n(ℝ). Soit A ∈ M_n(ℝ) : on note également A l'endomorphisme de M_(n, 1)(ℝ) qui à X associe AX. Pour tout A ∈ M_(n, p)(ℝ), A^T désigne la matrice transposée de A. Une matrice A ∈ M_n(ℝ) est dite nilpotente s'il existe un entier k ∈ ℕ^∗, tel que A^k = 0. L'ensemble M_(n, 1)(ℝ) est muni de son produit scalaire canonique ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ et de la norme associée ‖ ⋅ ‖. En identifiant M_1(ℝ) et ℝ, on a pour tous X, Y ∈ M_(n, 1)(ℝ) :
⟨X, Y⟩ = X^T Y et ‖X‖^2 = ⟨X, X⟩.
On suppose dans tout ce problème que n ∈ ℕ est un entier naturel vérifiant n ≥ 2.

Partie I-Matrices de rang 1

1.1 - Une expression des matrices de rang 1

Q18. Soit A ∈ M_n(ℝ) une matrice de rang 1 . Montrer qu'il existe X, Y ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0} tels que A = XY^T.
Q19. Réciproquement, soient X, Y ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}. Montrer que la matrice XY^T est de rang 1 .

1.2 - Quelques propriétés

Soit A ∈ M_n(ℝ) une matrice de rang 1 .
Q20. Montrer que A^2 = tr(A)A.
Q21. En déduire, par récurrence sur k, une expression de A^k en fonction de A pour tout k ∈ ℕ^∗.
Q22. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la trace de A pour que A soit nilpotente.
Q23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la trace de A pour que A soit diagonalisable.

Partie II - Matrices de Householder

II. 1 - Un exemple

On définit :
A = 1/3(1, − 2, 2; − 2, 1, 2; 2, 2, 1) ∈ M_3(ℝ)
Q24. Calculer A^2. En déduire un polynôme annulateur de A.
Q25. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
Q26. Montrer que les sous-espaces propres de A sont orthogonaux.
Q27. Déterminer une matrice P ∈ O_3(ℝ) et une matrice diagonale D ∈ M_3(ℝ), telles que P^T AP = D.
Q28. Interpréter géométriquement l'endomorphisme A de M_(3, 1)(ℝ).

II. 2 - Matrices de Householder

Soit V ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}. On définit P_V, Q_V ∈ M_n(ℝ) par :
P_V = 1/(‖V‖^2)VV^T et Q_V = I_n − 21/(‖V‖^2)VV^T.
Q29. Montrer que ImP_V = Vect(V) et que KerP_V = Vect(V)^⊥.
Q30. Montrer que P_V est la projection orthogonale sur la droite Vect(V).
Préciser le rang et la trace de la matrice P_V.
Q31. Montrer que Q_V est symétrique et orthogonale.
Q32. Montrer que Q_V est la symétrie orthogonale par rapport à Vect(V)^⊥.

Partie III - Factorisation QR

III. 1 - Un résulat préliminaire

Soient U, V ∈ M_(n, 1)(ℝ), tels que ‖U‖ = ‖V‖. On note D = Vect(U − V).
Q33. Montrer que D^⊥ est l'ensemble des X ∈ M_(n, 1)(ℝ), tels que ‖X − U‖ = ‖X − V‖.
Q34. Donner la décomposition de U sur la somme directe M_(n, 1)(ℝ) = D ⊕ D^⊥.
Q35. On suppose U et V non colinéaires. Calculer Q_(U − V)U où Q_(U − V) est définie en (1).
Q36. En déduire que pour tous U˜, V˜ ∈ M_(n, 1)(ℝ), il existe une matrice orthogonale Q, telle que QU˜ est colinéaire à V˜.

III. 2 - Factorisation QR

Q37. Soit A ∈ M_n(ℝ). Montrer qu'il existe une matrice orthogonale Q_1, telle que Q_1 A soit de la forme :
Q_1 A = (α, ∗, ⋯, ∗; 0; ⋮, C_1; 0) où α ∈ ℝ et C_1 ∈ M_(n − 1)(ℝ).
Q38. En raisonnant par récurrence sur n, montrer que pour tout A ∈ M_n(ℝ), il existe une matrice Q orthogonale, telle que QA soit triangulaire supérieure.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Maths PSI 2022 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Maths PSI 2022 ?

Le premier problème porte sur les intégrales, les suites de fonctions, la convergence dominée et la loi binomiale. Le second porte sur les matrices de rang 1, la réduction, le théorème spectral, les projections et symétries orthogonales et la factorisation QR.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en CCINP Maths PSI 2022 ?

Une caractérisation fausse des matrices de rang 1, la confusion entre polynôme annulateur et polynôme caractéristique, des récurrences non rédigées et des manipulations d'équivalents non justifiées.

Quelles questions du CCINP Maths PSI 2022 ont été peu traitées ?

La fin du problème d'analyse (questions 14 à 17 notamment) et la fin du problème d'algèbre (questions 36 à 38) ont été abordées par très peu de candidats.

Comment le jury juge-t-il le niveau des copies en CCINP Maths PSI 2022 ?

Il le juge décevant dans l'ensemble, hormis quelques rares bonnes copies, et relève une maîtrise trop fragile de notions importantes du programme.

Pas de description pour le moment