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Centrale Mathématiques 1 PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Matrices nilpotentes, matrices aléatoires à coefficients ±1 et familles de vecteurs unitaires presque orthogonaux
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Le problème vise un résultat de géométrie euclidienne : l'existence, en grande dimension, de nombreux vecteurs unitaires dont le paramètre de cohérence est petit. Il passe par des propriétés des matrices nilpotentes, l'étude de matrices aléatoires à coefficients dans {-1, 1} (trace, déterminant, probabilité d'inversibilité), quelques fonctions Python, puis une preuve combinant analyse et probabilités. Les quatre parties sont largement indépendantes.

  1. 1Partie I : matrices nilpotentesTrace et produit scalaire sur les matrices, valeurs propres, trace et déterminant d'une matrice nilpotente, cas symétrique et antisymétrique.
  2. 2Partie II : matrices aléatoires à coefficients dans {-1, 1}Résultats algébriques sur les colonnes à coefficients ±1, loi de Rademacher, espérance et variance de la trace et du déterminant, minoration de la probabilité qu'une matrice aléatoire soit inversible.
  3. 3Partie III : un autre procédé de construction de matrices aléatoiresFonctions Python sur des tableaux numpy simulant une suite de matrices aléatoires et calculant un nombre moyen d'étapes.
  4. 4Partie IV : vecteurs aléatoires unitairesMajoration de ch(t), inégalité de Markov et construction d'une famille de vecteurs unitaires de paramètre de cohérence contrôlé.

Difficulté moyenne. Le jury qualifie le sujet de plutôt long, mais sa progressivité a permis à tous les candidats de traiter de nombreuses questions ; la partie IV a été moins abordée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,01 / 20 · écart-type 4,13 · 4 138 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,01/ 20
Écart-type
4,13
Présents
4 138
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,9
3e quartile
12
moyenne 9,0105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Propriétés de la trace mal utilisées · Valeur propre 0 : unicité oubliée · Binôme de Newton sans commutation
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La première partie a été traitée presque entièrement par tous, la deuxième largement mais avec moins de réussite, et la partie Python a été bien réussie par ceux qui l'ont abordée. La dernière partie, qui demandait de combiner analyse, algèbre et probabilités, a été moins abordée. Le jury note des lacunes sur des résultats de cours importants mais une bonne maîtrise de la rédaction dans une partie notable des copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Propriétés de la trace mal utiliséesQ1, Q2

    Affirmer que la trace est « clairement linéaire » ne suffit pas. Pour le produit scalaire, quatre points sont attendus ; la trace d'un produit n'est pas le produit des traces.

    « la trace d'un produit n'est en général pas égale au produit des traces! »
  2. 2
    Valeur propre 0 : unicité oubliéeQ4

    Beaucoup montrent que 0 est valeur propre d'une matrice nilpotente sans prouver que c'est la seule.

  3. 3
    Binôme de Newton sans commutationQ7, Q8

    La formule exige que M et N commutent et sa somme commence à l'indice 0. En Q8, les matrices ne commutent pas, donc (M+N)² ne se développe pas comme M² + 2MN + N².

  4. 4
    Exemple donné sans vérificationQ12

    Un exemple de matrice de trace et de déterminant nuls mais non nilpotente doit être justifié ; certains proposaient une matrice de déterminant non nul.

  5. 5
    Confusions en probabilitésQ21, Q22

    Le déterminant n'est pas une combinaison linéaire de ses coefficients, et la variance d'un produit n'est pas en général le produit des variances.

    « attention, en général, la variance d'un produit n'est pas égale au produit des variances. »
  6. 6
    Hypothèses et cas particuliers oubliésQ26, Q37, Q41

    Deux vecteurs liés ne vérifient pas forcément C' = aC si C est nul ; une famille orthogonale n'est libre que si ses vecteurs sont non nuls ; l'inégalité de Markov demande ses hypothèses et le cas t = 0.

    « il ne suffit pas de dire que la famille est orthogonale pour conclure qu'elle est libre! »

Ce qui a été bien réussi

  • Certaines questions de la partie I ont été très bien traitées.
  • Les premières questions sur les variables de Rademacher ont été très bien réussies.
  • La syntaxe Python est dans l'ensemble bien maîtrisée.
  • Beaucoup de copies sont clairement présentées, avec une logique et des calculs bien rédigés.

Conseils du jury

  • Numéroter les questions, les traiter dans l'ordre en laissant des blancs si besoin, et encadrer les résultats.
  • Limiter les abréviations et réserver les symboles ∀ et ⟺ aux assertions purement mathématiques.
  • Articuler le raisonnement avec des mots de liaison et identifier hypothèses et objectifs.
  • Pour une égalité d'ensembles ou une équivalence, démontrer les deux inclusions ou les deux implications.
  • Signaler tout résultat antérieur utilisé et rappeler le lemme des coalitions avant de s'en servir.
  • Utiliser un brouillon au lieu de rédiger aussitôt l'énoncé lu.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Notations et rappels

Pour n et p deux entiers naturels non nuls，on désigne par M_(n, p)(ℝ) l＇ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans ℝ et V_(n, p) l＇ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans { − 1, 1} ． Si M est une matrice de M_(n, p)(ℝ) ，on note M^⊤ sa transposée．
Une matrice M de M_n(ℝ) est antisymétrique si M^⊤ = − M ．
On désigne par M_n(ℝ) l＇ensemble des matrices carrées d＇ordre n à coefficients réels， I_n la matrice identité d＇ordre n et 0_n la matrice nulle d＇ordre n ．
Si M ∈ M_n(ℝ) ，on note tr(M) sa trace．
On note Gℓ_n(ℝ) le sous－ensemble de M_n(ℝ) formé des matrices inversibles．
On définit la suite des puissances de M par
{M^0 = I_n; ∀k ∈ ℕ, M^(k + 1) = MM^k
Une matrice M ∈ M_n(ℝ) est dite nilpotente s＇il existe un entier naturel k ⩾ 1 tel que M^k = 0_n ．
On note N_n le sous－ensemble de M_n(ℝ) formé des matrices nilpotentes．
Si U est une partie d＇un espace vectoriel E ，on note Vect(U) le sous－espace vectoriel de E engendré par U ．
Toutes les variables aléatoires considérées dans les parties II，III et IV sont définies sur un même espace proba－ bilisé discret（ Ω, A, P ）．
Étant donné une variable aléatoire réelle Z ，on note，sous réserve d＇existence， 𝔼(Z) son espérance et 𝕍(Z) sa variance．
On pourra utiliser，sans démonstration，le résultat suivant，connu sous le nom de lemme des coalitions ：
Si X_1, …, X_N sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes，alors，pour tout entier naturel k ∈ [ [1, N − 1] ] ，toute fonction f de ℝ^k dans ℝ et toute fonction g de de ℝ^(N − k) dans ℝ ，les variables aléatoires f(X_1, …, X_k) et g(X_(k + 1), …, X_N) sont indépendantes．
Dans la partie III，l＇espace vectoriel M_(n, 1)(ℝ) est muni de sa structure euclidienne canonique．Son produit scalaire est noté ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ ．
On note ch la fonction cosinus hyperbolique．

Objectifs du problème et articulations entre les différentes parties

Ce problème porte sur l＇étude de certains sous－ensembles de M_n(ℝ) et de M_(n, 1)(ℝ) ，où n est un entier naturel non nul．
Dans la partie I，on étudie quelques propriétés de l＇ensemble N_n ．Dans les parties II et III，on s＇intéresse à des variables aléatoires réelles et matricielles à coefficients dans { − 1, 1} ．Dans la partie IV，on établit，à l＇aide d＇outils d＇analyse et de probabilités，l＇existence d＇une famille de vecteurs unitaires de M_(n, 1)(ℝ) vérifiant certaines propriétés de nature euclidienne．
Les quatre parties du problème sont largement indépendantes les unes des autres．Cependant，le résultat de la question 9 est utilisé dans la sous－partie II．C，ceux des questions 14 et 16 sont utilisés dans la sous－partie II．D et celui de la question 19 dans la partie IV．

I Partie I

I．A－Quelques résultats préliminaires

Q 1．Démontrer que l＇application
M_n(ℝ), →, ℝ; M, ↦, tr(M)
est une forme linéaire et que
∀(A, B) ∈ (M_n(ℝ))^2, tr(AB) = tr(BA).
Q 2. Montrer que l'application
| (M_n(ℝ))^2, →, ℝ; (A, B), ↦, tr(A^⊤B)
est un produit scalaire sur M_n(ℝ).
Q 3. En déduire que si A est une matrice de M_n(ℝ) vérifiant A^⊤A = 0 alors A = 0.

I.B - Quelques propriétés de N_n

Q 4. Montrer que, si A ∈ M_n(ℝ) est nilpotente, alors 0 est une valeur propre de A et que c'est la seule valeur propre complexe de A.
Q 5. Déterminer la trace et le déterminant d'une matrice nilpotente de M_n(ℝ).
Q 6. Montrer que, si M ∈ M_n(ℝ) est nilpotente, alors M^2 est nilpotente.
Q 7. On suppose que M et N sont deux matrices nilpotentes qui commutent. Montrer que MN et M + N sont nilpotentes.
Q 8. On suppose que M, N et M + N sont nilpotentes. En calculant (M + N)^2 − M^2 − N^2, montrer que tr(MN) = 0.
Q 9. Démontrer qu'une matrice M de M_2(ℝ) est nilpotente si et seulement si det(M) = tr(M) = 0.
Q 10. Montrer que la seule matrice réelle nilpotente et symétrique est la matrice nulle.
Q 11. Soit A une matrice antisymétrique réelle et nilpotente. Montrer que A^⊤A = 0_n, puis que A = 0_n.
Q 12. On suppose n ⩾ 3. Donner un exemple de matrice de M_n(ℝ) de trace nulle et de déterminant nul, mais non nilpotente.

II Matrices aléatoires à coefficients dans { − 1, 1}

II.A - Quelques résultats algébriques

Soit (E_1, …, E_n) la base canonique de M_(n, 1)(ℝ). On note V = ∑_(k = 1)^n E_k.
Q 13. Pour i ∈ [ [1, n] ], exprimer E_i en fonction de V et de V − 2E_i. En déduire que M_(n, 1)(ℝ) = Vect(V_(n, 1)). (L'ensemble V_(n, p) a été défini dans les notations présentées au début du problème.)
Soient C_1, …, C_n, n matrices colonnes de M_(n, 1)(ℝ), avec C_1 non nulle.
Q 14. Démontrer que, si la famille (C_1, …, C_n) est liée, alors il existe un unique j ∈ [ [1, n − 1] ] tel que
{(C_1, …, C_j) est libre; C_(j + 1) ∈ Vect(C_1, …, C_j)
Soit d ∈ [ [1, n] ], (U_1, …, U_d) une famille libre de M_(n, 1)(ℝ) et H = Vect(U_1, …, U_d).
Q 15. Démontrer qu'il existe des entiers i_1, …, i_d vérifiant 1 ⩽ i_1 < ⋯ < i_d ⩽ n tels que l'application
| H, →, M_(d, 1)(ℝ); (x_1; ⋮; x_n), ↦, (x_(i_1); ⋮; x_(i_d))
soit bijective.
On pourra s'intéresser au rang de la matrice de M_(n, d)(ℝ) dont les colonnes sont U_1, …, U_d.
Q 16. Soit W un sous-espace vectoriel de M_(n, 1)(ℝ) de dimension d. Démontrer que
card(W ∩ V_(n, 1)) ⩽ 2^d

II.B - Une loi de probabilité

On dit qu'une variable réelle X suit la loi R si
X(Ω) = { − 1, 1}, ℙ(X = − 1) = ℙ(X = 1) = 1/2
Q 17. Si X suit la loi R, préciser la loi de la variable aléatoire 1/2(X + 1).
Q 18. Calculer l'espérance et la variance d'une variable suivant la loi R.
Q 19. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes, suivant chacune la loi R. Déterminer la loi de leur produit XY.

II.C - Un premier procédé de génération de matrices aléatoires à coefficients dans { − 1, 1}

Jusqu'à la fin de la partie II, n est un entier naturel non nul et m_(i, j)(1 ⩽ i, j ⩽ n) sont n^2 variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant toutes la loi R. La variable aléatoire matricielle M_n = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) est alors à valeurs dans V_(n, n).
On pose τ_n = tr(M_n) et δ_n = det(M_n).
Q 20. Calculer l'espérance et la variance de la variable τ_n.
Q 21. Calculer l'espérance de la variable δ_n.
Q 22. Démontrer que la variance de la variable δ_n est égale à n !
On pourra développer δ_n selon une rangée et raisonner par récurrence.
Dans le cas particulier n = 2, m_(11), m_(12), m_(21) et m_(22) sont quatre variables aléatoires réelles, mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi R et M_2 = (m_(11), m_(12); m_(21), m_(22)).
Q 23. Calculer la probabilité de l'événement M_2 ∈ N_2.
Q 24. Calculer la probabilité de l'événement M_2 ∈ Gℓ_2(ℝ).

II.D - Une généralisation

L'objectif de cette sous-partie est de prolonger le dernier résultat de la partie précédente, en trouvant, dans le cas général où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 , un minorant de la probabilité de l'évènement M_n ∈ Gℓ_n(ℝ).
II.D.1) On considère 2n variables aléatoires réelles c_1, c_2, …, c_n et c_1^′, c_2^′, …, c_n^′ mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi R.
Q 25. Soit (ε_1, …, ε_n) ∈ { − 1, 1}^n. Calculer ℙ((c_1 = ε_1) ∩ ⋯ ∩ (c_n = ε_n)).
On considère les matrices colonnes aléatoires C = (c_1; ⋮; c_n) et C^′ = (c_1^′; ⋮; c_n^′).
Q 26. Démontrer que, pour tout ω ∈ Ω, la famille (C(ω), C^′(ω)) est liée si et seulement s'il existe ε ∈ { − 1, 1} tel que C^′(ω) = εC(ω).
Q 27. En déduire ℙ((C, C^′) est liée ).
II.D.2) On rappelle que m_(i, j)(1 ⩽ i, j ⩽ n) sont n^2 variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes suivant toutes la loi R, que M_n = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) est la matrice aléatoire à valeurs dans V_(n, n) dont, pour tout (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, le coefficient situé à la ligne i et la colonne j est égal à m_(i, j).
On note
C_1 = (m_(11); ⋮; m_(n1)), …, C_n = (m_(1n); ⋮; m_(nn))
les variables aléatoires à valeurs dans V_(n, 1) constituées par les colonnes de la matrice M_n.
Pour tout j ∈ [ [1, n − 1] ], on note R_j l'événement
(C_1, …, C_j) est libre et C_(j + 1) ∈ Vect(C_1, …, C_j)
et R_n l'événement
(C_1, …, C_n) est libre.
Q 28. Montrer que (R_1, …, R_n) est un système complet d'événements.

II.D.3)

Q 29. Montrer que
ℙ(M ∉ Gℓ_n(ℝ)) ⩽ ∑_(j = 1)^(n − 1)ℙ(C_(j + 1) ∈ Vect(C_1, …, C_j)).
Q 30. Justifier que, pour tout j ∈ [ [1, n − 1] ],
ℙ(C_(j + 1) ∈ Vect(C_1, …, C_j)) = ∑_((v_1, …, v_j) ∈ V_(n, 1)^j)ℙ(C_(j + 1) ∈ Vect(v_1, …, v_j))ℙ((C_1 = v_1) ∩ ⋯ ∩ (C_j = v_j)).
Q 31. En déduire que, pour tout j ∈ [ [1, n − 1] ],
ℙ(C_(j + 1) ∈ Vect(C_1, …, C_j)) ⩽ 2^(j − n)
Q 32. En déduire que
ℙ(M ∈ Gℓ_n(ℝ)) ⩾ 1/(2^(n − 1))

III Un autre procédé de construction de matrices aléatoires à coefficients dans { − 1, 1}

Soit p ∈ ]0, 1[. On définit une suite ( A_k ) de matrices aléatoires d'ordre n à coefficients dans { − 1, 1} selon le procédé suivant :
  • on note A_0 la matrice réelle d'ordre n dont tous les coefficients sont égaux à 1 ;
  • pour tout entier naturel k, on construit la matrice A_(k + 1) à partir de la matrice A_k en conservant chaque coefficient de A_k égal à -1 et en changeant en -1 avec la probabilité p chaque coefficient de A_k égal à 1 .
    Chaque coefficient égal à 1 a donc la probabilité q = 1 − p de ne pas être modifié ;
  • le processus s'arrête quand la matrice obtenue est égale à − A_0.
On suppose avoir utilisé l'instruction
import numpy as np, numpy.random as rd
pour charger les bibliothèques numpy et numpy. random. Voici quelques fonctions de ces bibliothèques qui peuvent être utiles dans cette partie:
  • np.ones( (n, n) ) crée un tableau numpy de taille n × n dont tous les éléments valent 1 ;
  • A. shape est un tuple qui contient les dimensions du tableau A;
  • A. size donne le nombre total d'éléments du tableau A;
  • A.sum() renvoie la somme de tous les éléments du tableau A;
  • rd.binomial(1, p) simule une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p.
Q 33. Écrire en Python une fonction modifie_matrice(p, A) qui prend en argument une probabilité p et un tableau numpy représentant une matrice A ∈ V_(n, n). Cette fonction modifie le tableau A selon le procédé décrit ci-dessus.
Q 34. En utilisant la fonction précédente, écrire en Python une fonction nb_tours (p, n) qui prend en argument une probabilité p et l'ordre n des matrices A_k et renvie le plus petit entier k tel que A_k = − A_0, en partant de la matrice A_0.
Q 35. Écrire en Python une fonction moyenne_tours(p, n, nbe) qui prend en argument une probabilité p, l'ordre n des matrices A_k et un nombre entier nbe et qui renvoie la moyenne, sur nbe essais effectués, du nombre d'étapes nécessaires pour passer de A_0 à − A_0.

IV Vecteurs aléatoires unitaires

On suppose que n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
On désigne par I un sous-ensemble de ℕ ayant au moins deux éléments et par u = (u_i)_(i ∈ I) une suite de vecteurs unitaires de M_(n, 1)(ℝ).
Q 36. Démontrer que le nombre réel
C(u) = sup{|⟨u_i|u_j⟩|, (i, j) ∈ I^2, i ≠ j}
existe et appartient à l'intervalle [0, 1].
C(u) s'appelle paramètre de cohérence de la suite (u_i)_(i ∈ I).
Q 37. Montrer que si C(u) = 0, alors l'ensemble {u_i, i ∈ I} est fini et donner un majorant de son cardinal.
On se propose de démontrer que, pour tout entier naturel N inférieur ou égal à exp ( (ε^2 n)/4 ), il existe une famille u de N vecteurs unitaires de M_(n, 1)(ℝ) vérifiant C(u) ⩽ ε où ε est un nombre réel de l'intervalle [0, 1]. On dit alors que u est une famille «presque orthogonale».
Q 38. Démontrer que, pour tout nombre réel t, ch(t) ⩽ exp((t^2)/2).
Soient X_1, …, X_n, Y_1, …, Y_n des variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi R (définie dans la sous-partie II.B). On définit les vecteurs aléatoires, X = 1/(√n)(X_1, …, X_n)^⊤ et Y = 1/(√n)(Y_1, …, Y_n)^⊤ à valeurs dans M_(n, 1)(ℝ).
Q 39. Démontrer que, pour tout nombre réel t,
𝔼(exp(t⟨X|Y⟩)) = (ch(t/n))^n.
Q 40. En déduire que, pour pour tout nombre réel t,
𝔼(exp(t⟨X|Y⟩)) ⩽ exp((t^2)/(2n))
Soient σ et λ deux nombres réels strictement positifs et Z une variable aléatoire réelle telle que exp(tZ) est d'espérance finie et vérifie
∀t ∈ ℝ, 𝔼(exp(tZ)) ⩽ exp((σ^2 t^2)/2).
Q 41. En appliquant l'inégalité de Markov à une variable aléatoire bien choisie, démontrer que
∀t ∈ ℝ^+, ℙ(Z ⩾ λ) ⩽ exp((σ^2 t^2)/2 − λt).
Q 42. En déduire que
ℙ(|Z| ⩾ λ) ⩽ 2exp(− (λ^2)/(2σ^2)).
Q 43. Avec les notations et les hypothèses de la question 39, démontrer que
ℙ(|⟨X|Y⟩| ⩾ ε) ⩽ 2exp(− (ε^2 n)/2).
N étant un entier naturel non nul, (X_j^i)_(1 ⩽ i ⩽ N, 1 ⩽ j ⩽ n) est une famille de n × N variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes de même loi R. Pour tout i ∈ [ [1, N] ], on pose X^i = 1/(√n)(X_1^i, …, X_n^i)^⊤.
Q 44. Déduire des questions précédentes que
ℙ(⋃_(1 ⩽ i < j ⩽ N)|⟨X^i|X^j⟩| ⩾ ε) ⩽ N(N − 1)exp(− (ε^2 n)/2).
Q 45. On suppose que n ⩾ 4(lnN)/(ε^2). Démontrer que
ℙ(⋃_(1 ⩽ i < j ⩽ N)|⟨X^i|X^j⟩| ⩾ ε) < 1.
Q 46. En déduire que, pour tout entier naturel N inférieur ou égal à exp((ε^2 n)/4), il existe une famille de N vecteurs unitaires de ℝ^n dont le paramètre de cohérence est majoré par ε.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 1 Centrale PSI 2022 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 1 Centrale PSI 2022 ?

Sur les matrices nilpotentes, les matrices aléatoires à coefficients dans {-1, 1} et l'existence de familles de vecteurs unitaires presque orthogonaux, avec une partie de programmation Python.

Quels chapitres réviser pour le sujet Centrale Maths 1 PSI 2022 ?

Le jury cite l'algèbre linéaire (trace, déterminant, puissances de matrices, valeurs propres), les probabilités (indépendance, espérance, variance), les espaces euclidiens et les études de fonctions.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Centrale-Supélec PSI 2022 ?

La trace d'un produit confondue avec le produit des traces, le binôme de Newton appliqué à des matrices qui ne commutent pas, la variance d'un produit prise pour le produit des variances et des hypothèses oubliées (théorème spectral, inégalité de Markov).

La partie Python de Centrale maths 1 PSI 2022 était-elle réussie ?

Oui, elle a été globalement bien réussie par les candidats qui l'ont abordée. En Q35, certains ont utilisé à tort la division entière // pour calculer une moyenne.

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