E3A Mathématiques 1 PSI 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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Difficile

Mathématiques 1 PSI : cinq exercices indépendants sur séries, algèbre linéaire, algorithmique-arithmétique, algèbre bilinéaire et probabilités

L'épreuve est constituée de cinq exercices de profils très différents, destinés à tester plusieurs compétences en mathématiques et en informatique. Elle comporte 58 questions couvrant l'analyse des séries, un endomorphisme dans un espace de fonctions, de l'algorithmique et de l'arithmétique, de l'algèbre linéaire et bilinéaire, puis des probabilités.

1Exercice 1 : analyse sur sériesÉtude de la convergence de séries à partir d'applications directes du cours sur séries entières et suites.
2Exercice 2 : endomorphisme dans un espace de fonctionsÉtude d'une base, de la bijectivité et des éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de fonctions.
3Exercice 3 : algorithmique et arithmétiqueAnalyse de programmes mystères et d'une fonction récursive en lien avec l'arithmétique.
4Exercice 4 : algèbre linéaire et bilinéaireQuestions de cours d'algèbre linéaire suivies de questions plus discriminantes d'algèbre bilinéaire.
5Exercice 5 : probabilitésÉtude de variables aléatoires, avec tracé de graphes et restitution de formules de cours comme la loi binomiale.

Difficile. La moyenne obtenue sur les 4425 copies est de 9,59/20 avec un écart-type de 4,21, et le rapport note que les dernières questions de presque tous les exercices n'ont été que très peu abordées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,59 / 20 · écart-type 4,21 · 4 425 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,59/ 20
Écart-type: 4,21
Copies: 4 425

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Convergence confondue avec la limite nulle du terme général · Famille échelonnée confondue avec famille libre · Compréhension du return et de la boucle while

Le sujet a permis d'évaluer un niveau très hétérogène des candidats : un nombre important de copies montre une méconnaissance profonde du cours, tandis que les candidats qui le maîtrisent obtiennent de très bonnes notes. L'ajout de l'algorithmique dans une épreuve de mathématiques a permis de bien classer les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Convergence confondue avec la limite nulle du terme généralExercice 1
Un nombre croissant de candidats pense qu'une série converge dès que son terme général tend vers 0, oubliant les conditions nécessaires sur le signe ou la valeur absolue des termes.
« pense que la série converge dès que le terme général converge vers 0. »
2
Famille échelonnée confondue avec famille libreExercice 2
Certains candidats affirment à tort qu'une famille échelonnée est automatiquement libre pour justifier une base.
« la famille est échelonnée, donc libre, ce qui n'a pas de sens. »
3
Compréhension du return et de la boucle whileExercice 3
De nombreux étudiants ne comprennent pas qu'un return arrête l'exécution d'un programme et utilisent mal la boucle while avec des conditions peu pertinentes.
« un return arrête le programme et utilisent mal « while » avec des conditions souvent peu pertinentes. »
4
Diagonalisabilité supposée transmissible par le polynôme caractéristiqueExercice 4
Beaucoup de candidats pensent à tort que si deux matrices ont le même polynôme caractéristique et que l'une est diagonalisable, l'autre l'est automatiquement.
« ont le même polynôme caractéristique, que si l’une est diagonalisable, alors l’autre l’est automatiquement. »
5
Confusion entre une variable aléatoire et sa valeurExercice 5
Le rapport relève une confusion fréquente entre la variable aléatoire elle-même et une de ses valeurs, ainsi que des formules de cours restituées sans être explicitées.

Ce qui a été bien réussi

Les premières questions de l'exercice 1, applications directes du cours sur les séries, ont permis aux candidats sérieux d'obtenir des points.
La construction de la matrice de l'exercice 2 a été plutôt bien traitée.
Les questions de cours de l'exercice 4 ont globalement été bien traitées.
Le cours de probabilités de l'exercice 5 a été assez bien restitué.

Conseils du jury

Travailler régulièrement le cours tout au long de l'année plutôt qu'au dernier moment.
Justifier rigoureusement les résultats proposés, les approximations étant toujours sévèrement sanctionnées.
Répartir équitablement son temps de travail entre les différents exercices proposés.
Soigner l'orthographe et la numérotation des questions dans la copie.
Ne pas utiliser de résultats hors programme comme justification, par exemple les séries de Bertrand.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 PSI

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1.

Soit

(a_n)_(n \in ℕ^*)

une suite de réels.
Pour tout

n \in ℕ^*

, on pose :

b_n = n(a_n - a_(n + 1)), A_n = \sum_(k = 1)^n a_k et B_n = \sum_(k = 1)^n b_k

On prend dans cette question, pour tout $n ⩾ 1, a_n = 1/(2^(n - 1))$ .
1.1 Vérifier que la série $\sum_(n ⩾ 1)a_n$ converge et calculer sa somme.
1.2 Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_(n ⩾ 1)nx^(n - 1)$
1.3 Montrer que la série $\sum_(n ⩾ 1)b_n$ converge et calculer sa somme.
On prend dans cette question, $a_n = 1/(nln(n)), n ⩾ 2$ et $a_1 = 0$ .
2.1 Etudier la monotonie et la convergence de la suite $(a_n)_(n ⩾ 2)$ .
2.2 Quelle est la nature de la série $\sum_(n ⩾ 1)a_n$ ?
2.3 Calculer $lim_(n \to + \infty)na_n$ .
2.4 Quelle est la nature de la série $\sum_(n ⩾ 1)b_n$ ?
On suppose dans cette question que la série $\sum_(n ⩾ 1)a_n$ converge et que la suite $(a_n)_(n \in ℕ^*)$ est une suite décroissante de réels positifs.
3.1 Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n = \sum_(p = n + 1)^(2n)a_p$ . Montrer que: $\foralln \in ℕ^*, na_(2n) ⩽ u_n$ .
3.2 En déduire $lim_(n \to + \infty)na_(2n)$ .
3.3 Démontrer alors que $lim_(n \to + \infty)na_n = 0$ .
3.4 Montrer que la série $\sum_(n ⩾ 1)b_n$ converge.
3.5 A-t-on $\sum_(n = 1)^(+ \infty)a_n = \sum_(n = 1)^(+ \infty)b_n$ ?
On suppose dans cette question que la série $\sum_(n ⩾ 1)b_n$ converge et que la suite $(a_n)_(n \in ℕ^*)$ est positive, décroissante et de limite nulle.
4.1 Vérifier que: $\forallm \in ℕ^*, m ⩽ n, B_n ⩾ A_m - ma_(n + 1)$ .
4.2 En déduire que la série $\sum_(n ⩾ 1)a_n$ converge.
4.3 Peut-on en déduire que $\sum_(n = 1)^(+ \infty)a_n = \sum_(n = 1)^(+ \infty)b_n$ ?

Exercice 2.

Pour tout entier naturel

n

, on note

e_n : x \in ℝ_+ ⟼ x^n e^(- x)

.
Soient

N \in ℕ^*

E

le sous-espace vectoriel de

𝒞^1(ℝ_+, ℝ)

défini par :

E = Vect(e_0, e_1, \dots, e_N)

Montrer que $ℬ = (e_0, e_1, \dots, e_N)$ est une base de $E$ . En déduire la dimension de $E$ .
Pour tout élément $g$ de $E$ , on note $Δ(g) = g^'$ .
2.1 Démontrer que $Δ \in ℒ(E)$
2.2 Ecrire la matrice $A$ de $Δ$ dans la base $ℬ.Δ$ est-il un automorphisme de $E$ ?
2.3 Déterminer les éléments propres de $Δ$ . L'endomorphisme $Δ$ est-il diagonalisable?
Soient $k \in [ [0, N] ]$ et $x ⩾ 0$ .

Montrer que la série de terme général

w_n = e_k(x + n)

est convergente.
4.
4.1 Pour tout entier naturel

k

, on considère une suite

(u_(n, k))_(n \in ℕ)

telle que la série

\sum_(n ⩾ 0)u_(n, k)

converge .

Citer le théorème du cours qui justifie que l'on a pour tout

N \in ℕ : \sum_(n = 0)^(+ \infty)(\sum_(k = 0)^N u_(n, k)) = \sum_(k = 0)^N(\sum_(n = 0)^(+ \infty)u_(n, k))

.
4.2 Soit

f \in E

Démontrer que la série de terme général

u_n = f(n + x)

est convergente pour tout

x ⩾ 0

.
On note alors

F(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)f(n + x)

.
4.3 Justifier que la série de terme général

n^j e^(- n)

pour tout

j

fixé de

ℕ

est convergente.

On note alors

A_j = \sum_(n = 0)^(+ \infty)n^j e^(- n)

.
4.4 Exprimer

F(x)

en fonction des

A_j

pour tout

x ⩾ 0

.
4.5 En déduire que

F \in E

et que l'application

Φ : f ⟼ F

ainsi définie est un endomorphisme de

E

.
5. Ecrire la matrice de

Φ

dans la base

ℬ

en fonction des

A_j

L'endomorphisme

Φ

est-il diagonalisable?

Exercice 3.

1. Programmes mystères

1.1 On donne les programmes python P0 et P1 suivants. Que renvoient les appels P0(5), P1(5) et P0(9), P1(9)?

Dire en une phrase ce que fait chacun des programmes P0 et P1?

def PO(N) : # N entier naturel
    if N == 1 :
        return False
    if N == 2 :
        return True
    for d in range(2,N) :
        if N % d == 0 :
            return False
        return True

def P1(N) : # N entier naturel
    if N == 1 :
        return False
    if N == 2 :
        return True
    for d in range(2,N) :
        if N % d == 0 :
            return False
    return True

1.2 En une phrase dire ce que fait le programme python, P2, qui utilise le programme P1 précédent :

def P2(N) : # N entier naturel
    L = []
    k = 0
    n = k * k + 1
    while n <= N :
        if P1(n) :
            L.append(n)
        k = k + 1
        n = k * k + 1
    return L

Que renvoie l'appel P2(127)?
1.3 Écrire une fonction nextPrime en langage python qui prend un argument entier

N

et qui retourne comme valeur le premier nombre premier qui est strictement supérieur à

N

1.4 Nombres jumeaux

On appelle couple de nombre premiers jumeaux toute liste

[p, q]

telle que

p, q

sont deux nombres premiers vérifiant

p < q

q = p + 2

. Par exemple [3,5], ou[11,13] sont des couples de nombres premiers jumeaux alors que [2,3] ne l'est pas.
1.4a Écrire à l'aide de la fonction nextPrime précédente, une fonction python nommée jumeau, prenant comme argument un entier

N

et renvoyant le couple

[p, q]

de nombres premiers jumeaux tel que

p

strictement supérieur à

N

et le plus petit possible.

Par exemple, >>> jumeau(5), renvoie comme valeur : [11, 13]
1.4b Écrire avec les mêmes consignes une fonction, lesJumeaux, prenant en argument un entier

N

et renvoyant la liste de tous les couples de nombres premiers jumeaux

[p, q]

tels que

q

soit inférieur ou égal à

N

Par exemple, >>> lesJumeaux (18), retourne : [ [3, 5], [5, 7], [11, 13]] (le couple [17, 19] n'en fait donc pas partie.)

2. Fonction récursive

On considère la fonction définie comme suit en python :

def M(n) :
    if n > 100 :
        return n - 10
    else :
        return M (M (n + 11))

2.1 Que fait l'appel M(101) ?
2.2 Plus généralement, que fait l'appel

M(N)

N > 100

?
2.3 Que renvoient l'appel M(100) ? Puis M(99), M(98) ?
2.4 Conjecturer ce que renvoie l'appel

M(N)

où

N ⩽ 100

, entier naturel, puis le démontrer.

Exercice 4.

Dans tout l'exercice $n$ est un entier naturel non nul.

Préliminaires

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ .

Le sous-espace

Im(u)

est-il stable par l'endomorphisme

u

? Justifiez votre réponse.
2. Soit

u

l'endomorphisme de

E = ℝ^4

défini dans la base canonique

ℬ = (e_1, e_2, e_3, e_4)

E

par :

u(e_1) = e_3, u(e_2) = e_4, u(e_3) = u(e_4) = 0

2.1 Déterminer

Im(u), Ker(u), rg(u)

. A-t-on

E = Ker(u) \oplus Im(u)

?
2.2 L'endomorphisme

u

est-il diagonalisable?
2.3 Ecrire dans une base de

Im(u)

la matrice de l'endomorphisme induit par

u

sur

Im(u)

.
3. Soit

A \in ℳ_n(ℝ)

λ

une valeur propre de

A

Que peut-on dire de la dimension du sous-espace vectoriel

Ker(A - λI_n)

où

I_n

désigne la matrice identité de

ℳ_n(ℝ)

?
4. On suppose que

A \in ℳ_n(ℝ)

possède

n

valeurs propres distinctes. Donner, en le justifiant, l'ordre de multiplicité de chacune de ces valeurs propres dans le polynôme caratéristique.

Dans tout l'exercice:

on identifie le vecteur $V$ de $ℝ^n$ et la matrice colonne de ses composantes dans la base canonique de $ℝ^n$ .
on munit l'espace $ℝ^n$ du produit scalaire usuel : $(X|Y) = ^t XY$ où $^t X$ désigne la transposée de la matrice $X = (x_1; ⋮; x_n)$ .
$M$ est une matrice de $ℳ_n(ℝ)$ possédant $n$ valeurs propres réelles distinctes, $λ_1, \dots, λ_n$ .

Pour tout

k \in [ [1, n] ]

, on choisit un vecteur

V_k

non nul de

E_k = Ker(M - λ_k I_n)

Montrer que la matrice $^t M$ , transposée de $M$ , est diagonalisable dans $ℳ_n(ℝ)$ et admet les mêmes valeurs propres que $M$ .

On choisit alors, pour tout

k \in [ [1, n] ]

, un vecteur

W_k

non nul de

Ker(^t M - λ_k I_n)

.
2. Prouver que :

\forall(i, j) \in [ [1, n] ]^2, i \neq j ⟹ ^t V_i W_j = 0

.
3. Démontrer que :

\foralli \in [ [1, n] ], ^t V_i W_i \neq 0

Pour tout

k \in [ [1, n] ]

, on note

B_k = 1/(^t V_k W_k)(V_k^t W_k)

.
4. Exemple : Soit

A = (1, 1; 0, 2)

Vérifier que

A

posssède deux valeurs propres

λ_1

λ_2

, distinctes et telles que

λ_1 < λ_2

.
Déterminer les matrices

B_1 + B_2

λ_1 B_1 + λ_2 B_2

.
5. On revient au cas général.

Soit

k \in [ [1, n] ]

. Déterminer le rang de

B_k

. Calculer

B_k^2

. La matrice

B_k

est-elle diagonalisable dans

ℳ_n(ℝ)

?
6. Déterminer

P = \sum_(k = 1)^n B_k

Q = \sum_(k = 1)^n λ_k B_k

.
7. Soit

r \in ℕ

. Déterminer

G_r = \sum_(k = 1)^n(λ_k)^r B_k

Exercice 5

Soient $x \in ℝ$ et $φ_x$ la fonction qui à tout réel $t$ associe $φ_x(t) = max(x, t)$ .
1.1 Donner une représentation graphique de $φ_x$ .
1.2 Calculer $Φ(x) = \int_0^1 φ_x(t)dt$ .
1.3 Donner une représentation graphique de $Φ$ .

Dans toute la suite de l'exercice, on considère une variable aléatoire

X

, définie sur un espace probabilisé (

Ω, 𝒜, ℙ

) et on admet que l'on définit une variable aléatoire

Y

, définie sur le même espace probabilisé par :

\forallω \in Ω, Y(ω) = \int_0^1 max(X(ω), t)dt

Dans cette question, $X$ suit une loi géométrique. Déterminer $Y(ω)$ pour tout $ω \in Ω$ .
Dans cette question, $X$ suit une loi binomiale $ℬ(n, p)$ où $n \in ℕ^*$ et $p \in ]0, 1[$ .
3.1 Donner $X(Ω), ℙ([X = x])$ où $x \in X(Ω)$ , l'espérance et la variance de $X$ .
3.2 Déterminer $Y(Ω)$ et donner la loi de probabilité de $Y$ .
On suppose dans cette question que l'on a: $X(Ω) = { - 1, 0, 1/2, 2}$ et que:

ℙ(X = - 1) = ℙ(X = 0) = 1/8, ℙ(X = 2) = 1/3

4.1 Déterminer la valeur de

ℙ(X = 1/2)

.
4.2 Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire

Y

puis calculer son espérance mathématique

E(Y)

.
4.3 On note

Z

la variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé par

Z = XY

Justifier que

Z(Ω) = { - 1/2, 0, 5/(16), 4}

.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire

Z

.
4.4 Calculer le coefficient de corrélation

ρ(X, Y)

des deux variables aléatoires

X

Y

.
s!unnoł şueunnoop şąde,a - 0zll9l - xSIOHJ NI

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques 1 E3A PSI 2016 ?

Le sujet comprend cinq exercices indépendants sur les séries, un endomorphisme d'espace de fonctions, l'algorithmique et l'arithmétique, l'algèbre linéaire et bilinéaire, et les probabilités.

Ce sujet de Mathématiques 1 E3A PSI 2016 est-il difficile ?

La moyenne obtenue est faible (9,59/20) et le rapport souligne que les dernières questions de presque chaque exercice n'ont été que très peu abordées.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet E3A Maths 1 PSI 2016 ?

Le jury relève une confusion fréquente entre convergence d'une série et limite nulle du terme général, ainsi qu'une mauvaise compréhension du fonctionnement du return et de la boucle while en algorithmique.

Faut-il bien gérer son temps sur ce sujet de Mathématiques 1 E3A PSI 2016 ?

Oui, le rapport recommande d'apprendre à répartir équitablement son temps entre les cinq exercices, le barème en tenant compte.

Pas de description pour le moment

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L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

Exercice 1.

Exercice 2.

Exercice 3.

1. Programmes mystères

1.4 Nombres jumeaux

2. Fonction récursive

Exercice 4.

Dans tout l'exercice n est un entier naturel non nul.

Préliminaires

Dans tout l'exercice:

Exercice 5

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques 1 E3A PSI 2016 ?

Ce sujet de Mathématiques 1 E3A PSI 2016 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet E3A Maths 1 PSI 2016 ?

Faut-il bien gérer son temps sur ce sujet de Mathématiques 1 E3A PSI 2016 ?

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Dans tout l'exercice $n$ est un entier naturel non nul.