CCINP Mathématiques PSI 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueCCINP Année2016 FilièrePSI MatièreMathématiques

Annales CCINP PSI Mathématiques CCINP PSI 2016 PSI Mathématiques Mathématiques 2016

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai : $14h$ - $18h$

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Notations et définitions

$ℝ$ désigne l'ensemble des nombres réels et $ℂ$ l'ensemble des nombres complexes.
Si $n, m$ sont deux entiers naturels non nuls, on désigne par $M_(n, m)(ℝ)$ [respectivement $M_(n, m)(ℂ)$ ] l'espace vectoriel des matrices à $n$ lignes et $m$ colonnes à coefficients dans $ℝ$ [respectivement dans $ℂ]$ . Comme $M_(n, m)(ℝ)$ est contenu dans $M_(n, m)(ℂ)$ , une matrice à coefficients réels est aussi à coefficients complexes.
Si $n = m$ , on note $M_n(ℝ)$ [respectivement $M_n(ℂ)$ ] pour $M_(n, n)(ℝ)$ [respectivement $M_(n, n)(ℂ)$ ].
$I_n$ désigne la matrice identité de $M_n(ℝ)$ [respectivement $M_n(ℂ)$ ].
Si $(M_n)_(n \in ℕ)$ est une suite de matrices de $M_n(ℝ)$ , on dit que cette suite converge vers une matrice $L \in M_n(ℝ)$ si, pour tout couple $(i, j) \in [ [1, n] ]^2$ , la suite $(M_n(i, j))_(n \in ℕ)$ des coefficients d'indice ( $i, j$ ) de $M_n$ converge vers le coefficient, noté $L(i, j)$ , d'indice ( $i, j$ ) de $L$ .
Un vecteur $(x_1, \dots, x_n)$ de $ℝ^n$ [respectivement de $ℂ^n$ ] est identifié à l'élément $(x_1; ⋮; x_n)$ de $M_(n, 1)(ℝ)$ [respectivement $M_(n, 1)(ℂ)$ ].
Pour tout vecteur $x = (x_1, \dots, x_n) \in ℂ^n$ , on note $‖x‖_∞ = max{|x_i|; 1 ≤ i ≤ n}$ .
Pour toute matrice $A \in M_n(ℂ)$ , on désigne par $Sp(A)$ l'ensemble de toutes les valeurs propres complexes de $A$ et on note :

ρ(A) = max_(λ \in Sp(A))|λ|

On rappelle que

ρ(A)

est le rayon spectral de

A

Si $X$ est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé $(Ω, A, ℙ)$ telle que $X(Ω) = {x_1, ⋯, x_n} ⊂ ℝ$ , on identifie la loi $P_X$ de $X$ au vecteur colonne $(ℙ(X = x_1); ⋮; ℙ(X = x_n))$ .

Objectifs

L'objet de ce problème est d'étudier la suite des puissances d'une matrice stochastique. La première partie est consacrée à cette étude dans le cas où

n = 2

. Dans la seconde partie, on étudie le spectre des matrices stochastiques. Dans la troisième partie, on étudie l'existence d'une probabilité invariante par une matrice stochastique et la dernière partie est consacrée à l'étude des puissances d'une telle matrice.

Partie I

Cas $n = 2$

On suppose dans cette partie que

n = 2

et, pour

α \in [0, 1]

β \in [0, 1]

avec

(α, β) \neq (0, 0)

, on note :

A(α, β) = (1 - α, α; β, 1 - β).

Il pourra être utile de noter

λ = 1 - (α + β)

I. 1 Puissances de $A(α, β)$

Q1. Montrer que 1 est valeur propre de

A(α, β)

et déterminer le sous-espace propre associé.

Q2. Montrer que

A(α, β)

est diagonalisable dans

M_2(ℝ)

et la diagonaliser.

Q3. Calculer, pour tout entier

p \in ℕ

, la matrice

A(α, β)^p

Q4. Montrer que, pour

(α, β) \neq (1, 1)

, la suite

(A(α, β)^p)_(p \in ℕ)

converge vers une matrice

L(α, β)

que l'on précisera. Que se passe-t-il pour

(α, β) = (1, 1)

I. 2 Application

Soient

α

β

deux réels de

]0, 1[

. Un message binaire de longueur

ℓ

, c'est-à-dire une suite finie

(a_1, a_2, \dots, a_ℓ)

où pour tout

i ∈ {1, ⋯, ℓ}, a_i ∈ {0, 1}

, est transmis dans un réseau formé de relais. On suppose que, à chaque relais, un élément

x \in {0, 1}

est transmis avec une probabilité d'erreur égale à

α

pour un passage de 0 à 1 et

β

pour un passage de 1 à 0 . On note

X_0

la variable aléatoire définissant le message initial de longueur

ℓ

et, pour

n \in ℕ^*

, au

n

-ième relais, le résultat du transfert est noté

X_n

. On suppose que les relais sont indépendants les uns des autres et que les erreurs sur les bits constituant le message sont indépendantes.

Q5. $Casℓ = 1$

Montrer que pour tout entier

n \geq 0

((P(X_(n + 1) = 0))/(P(X_(n + 1) = 1))) = (1 - α, β; α, 1 - β)((P(X_n = 0))/(P(X_n = 1))).

Calculer, pour

n > 0, ℙ(X_n = 0|X_0 = 0)

ℙ(X_n = 1|X_0 = 1)

.
Si

r = min(α/(α + β), β/(α + β))

, montrer que la probabilité pour que

X_n

soit conforme à

X_0

est supérieure ou égale à :

r + (1 - r)(1 - α - β)^n.

Q6. Cas $ℓ > 1$

On pose

X_n = (X_n^1, \dots, X_n^ℓ)

où, pour

k ∈ {1, ⋯, ℓ}, X_n^k

est le résultat de la transmission du

k

-ième bit au

n

-ième relais. Soit

Q_n

la probabilité pour que le message

X_n

soit conforme au message initial. Montrer que

Q_n

vérifie :

Q_n \geq (r + (1 - r)(1 - α - β)^n)^ℓ

Q7. On suppose dans cette question que

α = β

. Que peut-on dire dans ce cas de l'inégalité précédente?

Pour tout

ε \in ]0, 1[

, déterminer un entier

n_c

tel que la probabilité d'obtenir un message erroné au

n

-ième relais soit supérieure ou égale à

ε

(on dit que

n_c

est la taille critique du réseau).

Partie II

Spectre des matrices stochastiques

Dans cette partie, les matrices considérées sont carrées et d'ordre

n \geq 2

. On dit qu'une matrice

A = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n) \in M_n(ℝ)

est stochastique [respectivement strictement stochastique] si et seulement si elle est à coefficients positifs [respectivement strictement positifs] et :

∀i ∈ {1, ⋯, n}, ∑_(j = 1)^n a_(ij) = 1

II. 1 Coefficients

Q8. Soit

A = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n) \in M_n(ℝ)

une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique]. Montrer que pour tous

i, j

compris entre 1 et

n

on a:

0 \leq a_(ij) \leq 1 [respectivement 0 < a_(ij) < 1]

Q9. Montrer qu'une matrice

A

à coefficients réels positifs est stochastique si et seulement si 1 est valeur propre de

A

et le vecteur

e

de coordonnées

(1, \dots, 1)

est un vecteur propre associé.

Q10. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques [respectivement strictement stochastiques] est une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique].

II. 2 Valeurs propres

Soit

A \in M_n(ℝ)

une matrice stochastique.

Q11. Montrer que

\forallx \in ℂ^n, \forallp \in ℕ, ‖A^p x‖_\infty \leq ‖x‖_\infty

Q12. Montrer que

ρ(A) = 1

II. 3 Diagonale strictement dominante

Une matrice

A \in M_n(ℂ)

est dite à diagonale strictement dominante si et seulement si

∀i ∈ {1, ⋯, n}, |a_(ii)| > ∑_(j = 1; j ≠ i)^n|a_(ij)|

Q13. Soit

A

une matrice quelconque dans

M_n(ℂ)

et soit

λ \in ℂ

une valeur propre de

A

. Montrer qu'il existe un indice

i \in {1, 2, \dots, n}

tel que :

|λ - a_(ii)| \leq \sum_(j = 1; j \neq i)^n|a_(ij)|

Q14. Montrer qu'une matrice

A \in M_n(ℂ)

à diagonale strictement dominante est inversible.

II. 4 Valeur propre de module maximal

Soit

A = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n) \in M_n(ℝ)

une matrice strictement stochastique.
Q15. On désigne par

A_1 = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n - 1) \in M_(n - 1)(ℝ)

la matrice extraite de

A

en supprimant sa dernière ligne et sa dernière colonne. Montrer que la matrice

A_1 - I_(n - 1)

est à diagonale strictement dominante. Que peut-on en déduire quant au rang de

A - I

Q16. Montrer que

ker(A - I_n)

est de dimension 1 .

Q17. Soit

λ \in Sp(A)∖{1}

. Montrer que

|λ| < 1

Partie III

Probabilité invariante

On considère quatre points dans le plan numérotés de 1 à 4 . Une particule se déplace chaque seconde sur l'ensemble de ces points de la façon suivante : si elle se trouve au point

i

, elle reste au point

i

avec une probabilité égale à

1/(10)

ou passe en un point

j \neq i

de façon équiprobable.

III. 1 Une suite de variables aléatoires

On note

X_0

une variable aléatoire de loi

P_0

donnant la position du point en l'instant

n = 0, X_n

la position du point à l'instant

n

P_n = (ℙ(X_n = 1); ⋮; ℙ(X_n = 4))

la loi de

X_n

Q18. Montrer qu'il existe une matrice

Q

, que l'on déterminera, telle que :

P_1 = QP_0

Calculer

P_n

en fonction de

Q

et de

P_0

.
Q19. Montrer qu'il existe un unique vecteur

Π = (p_1; p_2; p_3; p_4)

, que l'on déterminera, tel que :

∀i ∈ {1, ⋯, 4}, p_i ≥ 0 ∑_(i = 1)^4 p_i = 1 et Π = QΠ.

III. 2 Rapidité de convergence

Q20. Montrer sans calcul que

Q

est diagonalisable sur

ℝ

Q21. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de

Q

Q22. En déduire que

(Q^p)_(p \in ℕ)

converge vers une matrice

R

que l'on précisera en fonction de

Π

et qu'il existe

r \in ]0, 1[

tel que :

‖Q^p - R‖ = O(r^p)

En déduire que

(P_n)_(n \in ℕ)

admet une limite indépendante de la loi de

X_0

et interpréter le résultat obtenu.

Partie IV

Puissances d'une matrice stochastique

Soit

A = (a_(i, j))_(1 \leq i, j \leq n) \in M_n(ℝ)

une matrice strictement stochastique. On note :

m = min_(1 \leq i, j \leq n)a_(ij).

Pour tout entier naturel non nul

p

, on note

a_(i, j)^((p))

le coefficient d'indice

(i, j)

A^p

A^p = (a_(i, j)^((p)))_(1 \leq i, j \leq n)

Enfin, pour tout entier

j

compris entre 1 et

n

, on note :

m_j^((p)) = min_(1 \leq k \leq n)a_(k, j)^((p)), M_j^((p)) = max_(1 \leq k \leq n)a_(k, j)^((p))

Q23. Encadrement

Montrer que, pour tout entier naturel non nul

p

et tout entier

j

compris entre 1 et

n

, on a :

0 < m_j^((p)) \leq m_j^((p + 1)) \leq M_j^((p + 1)) \leq M_j^((p))

Q24. Minoration

Montrer que, pour tout entier naturel non nul

p

et tout entier

j

compris entre 1 et

n

, on a :

m_j^((p + 1)) - m_j^((p)) \geq m(M_j^((p)) - m_j^((p))) et M_j^((p)) - M_j^((p + 1)) \geq m(M_j^((p)) - m_j^((p)))

Q25. Majoration

Montrer que, pour tout entier naturel non nul

p

et tout entier

j

compris entre 1 et

n

, on a :

M_j^((p + 1)) - m_j^((p + 1)) \leq (1 - 2m)(M_j^((p)) - m_j^((p)))

Q26. Convergence de ces suites

En déduire que, pour tout entier

j

compris entre 1 et

n

, les suites

(m_j^((p)))_(p \in ℕ)

(M_j^((p)))_(p \in ℕ)

sont adjacentes.

Q27. Conclusion

En déduire que la suite

(A^p)_(p \in ℕ)

converge vers une matrice

L

stochastique dont toutes les lignes sont identiques.

FIN

Pas de description pour le moment

Commentaires• CCINP Mathématiques PSI 2016

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES

Mardi 3 mai : 14h - 18h

Les calculatrices sont autorisées

Notations et définitions

Objectifs

Partie I

Cas n = 2

I. 1 Puissances de A(α, β)

I. 2 Application

Q5. Casℓ = 1

Q6. Cas ℓ > 1

Partie II

Spectre des matrices stochastiques

II. 1 Coefficients

II. 2 Valeurs propres

II. 3 Diagonale strictement dominante

II. 4 Valeur propre de module maximal

Partie III

Probabilité invariante

III. 1 Une suite de variables aléatoires

III. 2 Rapidité de convergence

Partie IV

Puissances d'une matrice stochastique

Q23. Encadrement

Q24. Minoration

Q25. Majoration

Q26. Convergence de ces suites

Q27. Conclusion

FIN

Commentaires• CCINP Mathématiques PSI 2016

Commentaires• CCINP Mathématiques PSI 2016

Mardi 3 mai : $14h$ - $18h$

Cas $n = 2$

I. 1 Puissances de $A(α, β)$

Q5. $Casℓ = 1$

Q6. Cas $ℓ > 1$