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Centrale Mathématiques 2 PSI 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Transformation de Fourier, échantillonnage de Shannon et transformation de Laplace
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Le sujet est consacré à l'étude de la transformée de Fourier et de son application à la théorie de l'échantillonnage de Shannon, ainsi qu'à la transformée de Laplace d'une fonction intégrable. Il comporte six parties et fait appel à de très larges pans du cours d'analyse et de probabilités de deuxième année, et dans une moindre mesure à celui de première année.

  1. 1Partie I : transformation de Fourierdeuxième annéeÉtude générale de la transformée de Fourier, avec une question sur le caractère développable en série entière d'une fonction.
  2. 2Partie II : formule d'inversion de Fourierdeuxième annéeFormule d'inversion et une application.
  3. 3Partie III : transformée de Fourier à support compactdeuxième annéeÉtude du lien entre développement en série entière et fonctions infiniment dérivables.
  4. 4Partie IV : cas des fonctions périodiquesdeuxième annéeApplication des résultats précédents aux fonctions périodiques.
  5. 5Partie V : formule d'échantillonnage de Shannondeuxième annéeApplication de la transformée de Fourier à la théorie de l'échantillonnage de Shannon.
  6. 6Partie VI : transformation de Laplacedeuxième annéeÉtude de la transformée de Laplace d'une fonction intégrable.

Difficile. Le rapport indique que le sujet est assez long, seul un petit nombre de candidats très rapides et efficaces parvenant à en traiter correctement la quasi-totalité dans le temps imparti.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Question I.B sur le développement en série entière très mal traitée · Difficulté des questions de type « montrer qu'il existe » · Hypothèse de domination mal posée
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Le sujet est assez long ; les candidats précis dans la rédaction et l'utilisation des théorèmes d'analyse de seconde année ont pu obtenir une note honorable sans aborder chacune des six parties. Le jury a apprécié la qualité de certaines copies rigoureuses, claires et précises.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Question I.B sur le développement en série entière très mal traitéeI.B

    Beaucoup de candidats, même de bon niveau par ailleurs, présentent un raisonnement confus, qui se termine parfois par le prolongement en zéro d'une fonction qui y est déjà définie.

  2. 2
    Difficulté des questions de type « montrer qu'il existe »I.B

    Le problème vient souvent de la difficulté sous-jacente aux questions d'existence ; il fallait utiliser un brouillon pour analyser le problème avant d'expliciter l'objet vérifiant la propriété requise.

  3. 3
    Hypothèse de domination mal posée

    Les correcteurs regrettent de voir trop souvent des majorations de nombres complexes, ou des majorations d'un module par un nombre complexe, incohérentes avec la nature des termes comparés.

  4. 4
    Formule de Taylor confondue avec le développement en série entièreIII.B

    La formule de Taylor ne permet pas d'assurer que toute fonction infiniment dérivable est développable en série entière.

Ce qui a été bien réussi

  • Un petit nombre de candidats très rapides et efficaces sont parvenus à traiter correctement la quasi-totalité du sujet dans le temps imparti.
  • Les candidats précis dans la rédaction et l'utilisation des théorèmes d'analyse de seconde année ont obtenu une note tout à fait honorable.
  • Le jury a apprécié la qualité de certaines copies dont les auteurs dominent les parties du programme abordées et rédigent des solutions rigoureuses, claires et précises.

Conseils du jury

  • Souligner les points importants du raisonnement en plus d'encadrer les résultats, la présentation des copies laissant parfois à désirer.
  • Vérifier la cohérence de la domination obtenue (valeur absolue à gauche, fonction à valeurs positives à droite) pour éviter les erreurs de majoration.
  • Rappeler les hypothèses spécifiques lors de l'application d'un théorème de changement de variable ou d'intégration par parties en version intégrale généralisée.
  • Utiliser un brouillon pour analyser le problème avant de rédiger la réponse à une question d'existence.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
Ce problème aborde l'étude de deux transformations intégrales utilisées pour le traitement des signaux analogiques : la transformation de Fourier et celle de Laplace. Chacune d'elles permet de modéliser le comportement fréquentiel d'un signal. La partie I étudie quelques propriétés de la transformée de Fourier d'un signal analogique continu par morceaux et intégrable sur ℝ. La partie II aboutit à la formule d'inversion de Fourier qui permet de retrouver un signal à partir de sa transformée de Fourier. La partie III traite le cas particulier d'un signal dont le spectre des fréquences est limité à [ − 1/2, 1/2]. La partie IV étudie le cas particulier d'un signal périodique. Le résultat auquel elle aboutit est utilisé dans la partie V pour démontrer le théorème de l'échantillonnage de Shannon. La partie VI utilise un résultat classique de probabilité pour démontrer l'injectivité de la transformation de Laplace sur l'ensemble des fonctions continues sur ℝ_+et nulles hors d'un segment.
On note
  • E_(cpm) le ℂ-espace vectoriel des fonctions f : ℝ → ℂ continues par morceaux sur ℝ et intégrables sur ℝ;
  • S le ℂ-espace vectoriel des fonctions f : ℝ → ℂ continues sur ℝ telles que ∀k ∈ ℕ, la fonction x ↦ x^k f(x) est bornée sur ℝ.

I Transformation de Fourier

Pour toute fonction f ∈ E_(cpm), on considère la fonction F(f) (transformée de Fourier de f ) définie par
∀ξ ∈ ℝ, F(f)(ξ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)e^(− 2πitξ) dt
I.A - On considère la fonction φ définie sur ℝ par
∀x ∈ ℝ, φ(x) = {1, si x ∈ [ − 1/2, 1/2]; 0, sinon
Justifier que φ appartient à E_(cpm) et calculer sa transformée de Fourier F(φ).
I.B - On considère la fonction ψ définie sur ℝ par
∀x ∈ ℝ^∗, ψ(x) = (sin(πx))/(πx) et ψ(0) = 1
I.B.1) Justifier que ψ est développable en série entière. Préciser ce développement ainsi que son rayon de convergence. En déduire que ψ est de classe C^∞ sur ℝ.
I.B.2) Prouver que
∀n ∈ ℕ, ∫_n^(n + 1)|ψ(x)|dx ⩾ 2/((n + 1)π^2)
En déduire que ψ n'appartient pas à E_(cpm).
I.C - Soit f ∈ E_(cpm). Montrer que la fonction F(f) est continue sur ℝ.
I.D - Soit f ∈ S.
I.D.1) Justifier que, pour tout entier naturel n, la fonction x ↦ x^n f(x) est intégrable sur ℝ.
I.D.2) Démontrer que la fonction F(f) est de classe C^∞ sur ℝ et que
∀n ∈ ℕ, ∀ξ ∈ ℝ, (F(f))^((n))(ξ) = (− 2πi)^n∫_(− ∞)^(+ ∞)t^n f(t)e^(− 2πitξ) dt
I.E - On considère la fonction θ : ℝ → ℂ définie par θ(x) = exp(− πx^2), pour x ∈ ℝ.
I.E.1) Justifier que θ appartient à S et que F(θ) est solution de l'équation différentielle
∀ξ ∈ ℝ, y^′(ξ) = − 2πξy(ξ)
I.E.2) Établir que F(θ) = θ.
On admettra que ∫_(− ∞)^(+ ∞)θ(x)dx = 1.

II Formule d'inversion de Fourier

Soit f ∈ S. On suppose que F(f) est intégrable sur ℝ. Pour tout entier naturel non nul n, on pose
I_n = ∫_(− ∞)^(+ ∞)F(f)(ξ)θ(ξ/n)dξ J_n = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t/n)F(θ)(t)dt
II. A - Montrer que lim_(n → + ∞)I_n = ∫_(− ∞)^(+ ∞)F(f)(ξ)dξ.
II.B - Calculer lim_(n → + ∞)J_n.
II. C - Prouver que ∀n ∈ ℕ^∗, I_n = J_n.
On admettra la formule de Fubini :
∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)θ(ξ/n)e^(− 2πitξ) dξ)dt = ∫_(− ∞)^(+ ∞)(∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)θ(ξ/n)e^(− 2πitξ) dt)dξ
II.D - Démontrer que f(0) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)F(f)(ξ)dξ.
En déduire, en utilisant la fonction h : t ↦ f(x + t), que
∀x ∈ ℝ, f(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)F(f)(ξ)e^(2πixξ) dξ
Cette formule permet de reconstruire le signal f à partir de sa transformée de Fourier F(f).

II.E - Une application

Démontrer que ∀x ∈ ℝ, ∫_(− ∞)^(+ ∞)(e^(2πixξ))/(1 + (2πξ)^2) dξ = 1/2e^(− |x|).

III Transformée de Fourier à support compact

Soit f une fonction de S dont la transformée de Fourier F(f) est nulle en dehors du segment [ − 1/2, 1/2]. D'après la relation II.1, on a
∀x ∈ ℝ, f(x) = ∫_(− 1/2)^(1/2)F(f)(ξ)e^(2πixξ) dξ
III. A - Démontrer que F(f) est de classe C^∞ sur ℝ et que F(f) ∈ S. En déduire que f est de classe C^∞ sur ℝ.
III.B - Prouver que
∀(x, x_0) ∈ ℝ^2, ∑_(n = 0)^(+ ∞)((x − x_0)^n)/(n!)∫_(− 1/2)^(1/2)(2πiξ)^n F(f)(ξ)e^(2πix_0 ξ) dξ = f(x)
III. C - On suppose que f est nulle en dehors d'un segment [a, b]. Montrer que f = 0.

IV Cas des fonctions périodiques

Pour tout entier naturel n, on note S_n la fonction définie sur ℝ par
∀x ∈ ℝ, S_n(x) = ∑_(k = − n)^n e^(2πikx)
Soit f : ℝ → ℂ une fonction de classe C^∞ sur ℝ et 1 -périodique. On considère:
  • la fonction g définie sur [ − 1, 1] par
∀x ∈ ] − 1, 1[∖{0}, g(x) = (f(x) − f(0))/(sin(πx)) g(0) = (f^′(0))/π g(1) = g(− 1) = − g(0)
  • la suite de complexes (c_n(f))_(n ∈ ℤ) définie par
∀n ∈ ℤ, c_n(f) = ∫_(− 1/2)^(1/2)f(x)e^(− 2πinx) dx
IV.A -
IV.A.1) Montrer que la fonction g est de classe C^1 sur ] − 1, 1[∖{0} et continue sur ] − 1, 1[.
IV.A.2) Calculer la limite de g^′ en 0 . En déduire que g est de classe C^1 sur ] − 1, 1[.
On admet dorénavant que g est de classe C^1 sur [ − 1, 1].
IV. B - Soit n ∈ ℕ. Calculer l'intégrale ∫_(− 1/2)^(1/2)S_n(x)dx.
IV.C - Démontrer que
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ [ − 1/2, 1/2]∖{0}, S_n(x) = (sin((2n + 1)πx))/(sin(πx))
IV.D - Justifier que
∀n ∈ ℕ^∗, ∑_(k = − n)^n c_k(f) = f(0) + ∫_(− 1/2)^(1/2)g(x)sin((2n + 1)πx)dx
IV.E - À l'aide d'une intégration par parties, montrer l'existence d'un réel C tel que
∀n ∈ ℕ, |∫_(− 1/2)^(1/2)g(x)sin((2n + 1)πx)dx| ⩽ C/(2n + 1)
IV. F - Soit t ∈ [ − 1/2, 1/2]. On considère la fonction G_t définie sur [ − 1/2, 1/2] par
∀x ∈ [ − 1/2, 1/2], G_t(x) = f^′(x + t)sin(πx) − (f(x + t) − f(t))πcos(πx)
Établir l'existence d'un réel D, indépendant de x et de t, tel que
∀t ∈ [ − 1/2, 1/2], ∀x ∈ [ − 1/2, 1/2], |G_t(x)| ⩽ Dx^2
IV.G - Prouver l'existence d'un réel E tel que
∀t ∈ [ − 1/2, 1/2], |f(t) − ∑_(k = − n)^n c_k(f)e^(2πikt)| ⩽ E/(2n + 1)
On pourra introduire la fonction h_t : x ↦ f(x + t).

V Formule d'échantillonnage de Shannon

Soit f ∈ S dont la transformée de Fourier F(f) est nulle en dehors du segment [ − 1/2, 1/2]. On pose
∀k ∈ ℤ, ∀x ∈ ℝ, ψ_k(x) = ψ(x + k)
où ψ est définie à la question I.B.
V.A − Justifier que ∀n ∈ ℕ, (F(f))^((n))(1/2) = (F(f))^((n))(− 1/2) = 0.
V.B - Soit h la fonction définie sur ℝ, qui est 1 -périodique et qui vaut F(f) sur l'intervalle [ − 1/2, 1/2]. Montrer que h est de classe C^∞ sur ℝ.
V.C - À l'aide de l'inégalité IV.1, prouver l'existence d'une suite de nombres complexes (d_k)_(k ∈ ℤ) telle que la suite de fonctions (x ↦ ∑_(k = − n)^n d_k e^(2πikx))_(n ∈ ℕ) converge uniformément vers F(f) sur [ − 1/2, 1/2].
V.D - Démontrer que la suite de fonctions (∑_(k = − n)^n d_k ψ_k)_(n ∈ ℕ) converge uniformément vers f sur ℝ.
On notera symboliquement f = ∑_(k = − ∞)^(+ ∞)d_k ψ_k.
V.E − Établir que ∀j ∈ ℤ, f(− j) = d_j.
L'égalité f = ∑_(k = − ∞)^(+ ∞)f(− k)ψ_k traduit la reconstruction du signal f à partir de l'échantillon (f(k))_(k ∈ ℤ).

VI Transformation de Laplace

Soit f : ℝ_+ → ℂ une fonction continue et nulle en dehors d'un segment. On définit la fonction L(f) (transformée de Laplace de f ) sur ℝ par
∀x ∈ ℝ, L(f)(x) = ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(− xt) dt
On admettra que L(f) est de classe C^∞ sur ℝ et que
∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ, (L(f))^((n))(x) = (− 1)^n∫_0^(+ ∞)f(t)t^n e^(− xt) dt
Rappelons que, pour tout réel x, ⌊x⌋ désigne la partie entière de x.
VI.A - On considère (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé ( Ω, A, P ), mutuellement indépendantes et suivant la même loi de Poisson de paramètre λ > 0. On pose
∀n ∈ ℕ^∗, S_n = X_1 + ⋯ + X_n
VI.A.1) Par récurrence, démontrer que, pour tout entier n ∈ ℕ, S_n suit la loi de Poisson de paramètre nλ. On admettra que, pour tout entier n ∈ ℕ^∗, les variables S_n et X_(n + 1) sont mutuellement indépendantes.
VI.A.2) Soit ε ∈ ℝ_+^∗. Prouver que
∀n ∈ ℕ^∗, P(|S_n − nλ| ⩾ nε) ⩽ λ/(nε^2)
VI.A.3) Soit ε > 0. Justifier les deux inclusions suivantes
(S_n > n(λ + ε)) ⊂ (|S_n − nλ| ⩾ nε); (S_n ⩽ n(λ − ε)) ⊂ (|S_n − nλ| ⩾ nε)
VI.A.4) Dans toutes les questions qui suivent, on suppose x ⩾ 0.
Déduire du VI.A. 3 que
{lim_(n → + ∞)P(S_n ⩽ nx) = 0, si 0 ⩽ x < λ; lim_(n → + ∞)P(S_n ⩽ nx) = 1, si x > λ
VI.B - À l'aide de la question VI.A, montrer que
lim_(n → + ∞)∑_(0 ⩽ k ⩽ ⌊nx⌋)((nλ)^k)/(k!)e^(− nλ) = {0, si 0 ⩽ x < λ; 1, si x > λ
VI. C - Dans la suite de cette partie, on admettra que
lim_(n → + ∞)∑_(0 ⩽ k ⩽ ⌊nx⌋)((nλ)^k)/(k!)e^(− nλ) = 1/2 si x = λ
VI.C.1) Soit x ∈ ℝ_+. Démontrer que
lim_(n → + ∞)∑_(0 ⩽ k ⩽ ⌊nx⌋)(− 1)^k(n^k)/(k!)(L(f))^((k))(n) = ∫_0^x f(y)dy
VI.C.2) En déduire que l'application L : f ↦ L(f) est injective sur l'ensemble des fonctions à valeurs complexes, continues sur ℝ_+et nulles en dehors d'un segment.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte centrale maths 2 PSI 2016 ?
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Sur quels chapitres porte centrale maths 2 PSI 2016 ?

Le sujet porte sur la transformation de Fourier, son application à l'échantillonnage de Shannon, et la transformation de Laplace, en mobilisant largement le programme d'analyse de deuxième année.

Ce sujet centrale maths 2 PSI 2016 est-il long ?

Oui, le rapport indique que le sujet est assez long, et que seul un petit nombre de candidats très rapides et efficaces sont parvenus à le traiter en quasi-totalité dans le temps imparti.

Fallait-il traiter les six parties de centrale maths 2 PSI 2016 pour avoir une bonne note ?

Non, le rapport précise que les candidats précis dans la rédaction ont pu obtenir une note honorable sans avoir eu besoin d'aborder chacune des six parties.

Quelle question a été la plus mal traitée sur centrale maths 2 PSI 2016 ?

La question I.B, portant sur le caractère développable en série entière d'une fonction, a été très mal traitée d'après le rapport, y compris par des candidats de bon niveau.

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