Centrale Mathématiques 2 PSI 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

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Le problème de Dirichlet est un problème aux limites bien connu en théorie du potentiel, en particulier lorsqu'on est en présence d'une symétrie de révolution.
Dans le plan

ℝ^2

, étant donnée une succession continue de valeurs sur un contour fermé (en particulier sur le cercle trigonométrique), il s'agit de déterminer une fonction (par exemple un potentiel en physique) harmonique à l'intérieur du domaine délimité par ce contour et coïncidant avec les valeurs données sur le contour. Dans le cas particulier où l'on a des valeurs polynomiales sur le contour fermé, on obtient comme solution un polynôme harmonique.
Les applications physiques liées à ce type de problème aux limites sont nombreuses, par exemple en géophysique, en physique quantique et en cristallographie.

Rappels et notations

L'espace vectoriel $ℝ^2$ est muni de sa structure euclidienne canonique et de la norme associée $‖ \cdot ‖_2$ définie par $\forall(x, y) \in ℝ^2, ‖(x, y)‖_2 = \sqrt(x^2 + y^2)$ .
Si $(x, y) \in ℝ^2$ et $r > 0$ , la notation $D((x, y), r)$ (respectivement $D¯((x, y), r)$ ) désigne le disque ouvert de centre ( $x, y$ ) et de rayon $r$ (respectivement le disque fermé de centre ( $x, y$ ) et de rayon $r$ ). En particulier la notation $D(0, 1)$ (respectivement $D¯(0, 1)$ et $C(0, 1)$ ) désigne le disque ouvert de centre $O$ de rayon 1 (respectivement le disque fermé de centre $O$ de rayon 1 et le cercle de centre $O$ et de rayon 1).
On note $Ω$ un ouvert de $ℝ^2$ .
Si $f$ est une fonction de classe $C^1$ de $Ω$ dans $ℝ, f : | Ω, \to, ℝ; (x, y), \mapsto, f(x, y)$ , $\partial_1 f$ ou $(\partialf)/(\partialx)$ (respectivement $\partial_2 f$ ou $(\partialf)/(\partialy)$ ) est la dérivée partielle du premier ordre par rapport à la première variable (respectivement par rapport à la seconde variable) dans la base canonique.
Si $f$ est de classe $C^2, \partial_(11)f$ ou $(\partial^2 f)/(\partialx^2)$ (respectivement $\partial_(22)f$ ou $(\partial^2 f)/(\partialy^2)$ ) est la dérivée partielle d'ordre 2 de $f$ par rapport à la première variable (respectivement par rapport à la seconde variable) dans la base canonique.
Si $u : Ω \to ℝ$ est une application de classe $C^2$ sur l'ouvert $Ω$ , on rappelle que le laplacien de $u$ est l'application $Δu$ définie par $Δu : | Ω, \to, ℝ; (x, y), \mapsto, \partial_(11)u(x, y) + \partial_(22)u(x, y)$
Soit $Ω$ un ouvert de $ℝ^2$ . Une application $v : Ω \to ℝ$ est dite harmonique (sur $Ω$ ) si $v$ est de classe $C^2$ sur $Ω$ et si $Δv(x, y) = 0$ pour tout $(x, y) \in Ω$ .
On appelle fonction polynomiale des deux variables $x$ et $y$ sur $ℝ^2$ (ou plus simplement polynôme de deux variables, ou encore polynôme quand il n'y a pas de confusion possible) toute application de la forme

P : | ℝ^2, \to, ℝ; (x, y), \mapsto, \sum_(k, l \in ℕ; k + l ⩽ n)α_(kl)x^k y^l

où

n

est un entier naturel fixé et les

(α_(kl))_(0 ⩽ k, l ⩽ n)

sont des coefficients réels.
Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls ; son degré est par convention

- \infty

.
De plus, pour tout polynôme

P

non nul, le degré de

P

est l'entier naturel

d(P)

défini par

d(P) = max{k + l/α_(kl) ≠ 0}

.
On note

P

l'ensemble des polynômes à deux variables et pour tout

m \in ℕ, P_m

l'ensemble des polynômes à deux variables de degré inférieur ou égal à

m

. On admettra dans tout le problème que

P

est un

ℝ

-espace vectoriel pour les lois usuelles et que

P_m(m \in ℕ)

en est un sous-espace vectoriel.
Enfin, un polynôme est dit harmonique s'il définit en plus une application harmonique sur

ℝ^2

Objectifs

Dans la partie I, on donne quelques propriétés simples des polynômes et des polynômes harmoniques.
La partie II étudie certaines applications harmoniques ; les résultats obtenus seront utilisés dans la partie III.
La partie III s'intéresse au problème de Dirichlet sur le disque unité, puis la partie IV se focalise sur le problème de Dirichlet dans le cas où la condition au bord est polynomiale. On détermine pour finir la dimension de sous-espaces vectoriels de polynômes harmoniques.

I Résultats préliminaires

I.A

Soient

Ω

un ouvert non vide de

ℝ^2

P

un polynôme de deux variables, tel que

P(x, y) = 0

pour tout

(x, y) \in Ω

.
I.A.1)
a) Montrer que pour tout

(x, y) \in Ω

, l'ouvert

Ω

contient un sous-ensemble de la forme

I \times J

, où

I

J

sont des intervalles ouverts non vides de

ℝ

contenant respectivement

x

y

L'utilisation d'un dessin sera appréciée ; ce dessin ne constituera cependant pas une preuve.
b) En déduire que

P

est le polynôme nul.

On pourra se ramener à étudier des fonctions polynomiales d'une variable.
I.A.2) Ce résultat subsiste-t-il si l'ensemble

Ω

admet une infinité d'éléments mais n'est pas supposé ouvert ?
I.B -
I.B.1) Soit

m \in ℕ

. Justifier que l'espace vectoriel

P_m

est de dimension finie et déterminer sa dimension.
I.B.2) Déterminer un polynôme harmonique de degré 1, puis de degré 2.
I.B.3)
a) Montrer que l'ensemble des polynômes harmoniques est un sous-espace vectoriel de

P

.
b) Pour tout

m ⩾ 2

, on note

Δ_m

la restriction de

Δ

P_m

. Montrer que

dim(kerΔ_m) ⩾ 2m + 1

.
c) Que peut-on déduire pour la dimension de l'espace vectoriel des polynômes harmoniques?
I.

C

- Déterminer, dans chacun des cas suivants, un polynôme harmonique

H

qui vérifie

H(x, y) = f(x, y)

pour tout

(x, y) \in C(0, 1)

:
I.C.1)

f(x, y) = xy

;
I.C.2)

f(x, y) = x^4 - y^4

II Quelques exemples d'applications harmoniques

Soit

Ω

un sous-ensemble ouvert inclus dans

ℝ^2

. On définit, pour tout

λ \in ℝ^*

et tout couple

(x_0, y_0) \in ℝ^2

Ω_(x_0, y_0, λ) = {λ(x, y) + (x_0, y_0)|(x, y) ∈ Ω}

II.

A

- On prend pour

Ω

(uniquement dans cette question) l'intérieur du triangle équilatéral de sommets

(1, 0), (- 1/2, \sqrt3/2)

(- 1/2, - \sqrt3/2)

. Faire un dessin sur lequel apparaissent

Ω

Ω_(2, 1, 1/2)

.
II.B - Soient

λ \in ℝ^*

(x_0, y_0) \in ℝ^2

fixés.
II.B.1) Soit

f : Ω \to ℝ

une application harmonique de classe

C^2

telle que

\partial_1 f

\partial_2 f

sont de classe

C^2

sur

Ω

. Montrer que les applications

\partial_1 f

\partial_2 f

sont également harmoniques sur

Ω

.
II.B.2) Par quelle(s) transformation(s) géométrique(s) l'ensemble

Ω_(x_0, y_0, λ)

est-il l'image de

Ω

? Justifier que

Ω_(x_0, y_0, λ)

est un ouvert de

ℝ^2

.
II.B.3) Soit

g : Ω_(x_0, y_0, λ) \to ℝ

une application harmonique.

Montrer que l'application

(x, y) \mapsto g(λ(x, y) + (x_0, y_0))

est harmonique sur

Ω

.
II.C -
II.C.1) Montrer que les applications

h_1 : | ℝ^2∖{(0, 0)}, →, ℝ; (x, y), ↦ ln(x^2 + y^2) et h_2 : | ℝ^2∖{(0, 0)}, →, ℝ; (x, y), ↦, x/(x^2 + y^2)

sont harmoniques.
II.C.2) En déduire que, pour tout

t \in ℝ

, l'application

(x, y) \mapsto (1 - ((x + cost)^2 + (y + sint)^2))/(x^2 + y^2)

est harmonique

surℝ^2∖{(0, 0)}

II.D - Un exemple fondamental

Pour

(x, y) \in D(0, 1)

fixé, on définit le nombre complexe

z = x + iy

et on pose pour

t

réel (quand l'expression a un sens) :

N(x, y, t) = (1 - |z|^2)/(|z - e^(it)|^2) = (1 - (x^2 + y^2))/((x - cost)^2 + (y - sint)^2)

II.D.1) Montrer que, pour tout

t \in ℝ

, l'application

N_t : | D(0, 1), \to, ℝ; (x, y), \mapsto, N(x, y, t)

est harmonique.
On pourra utiliser la question II.B.3.
II.D.2) Dans la suite de cette partie, le couple (

x, y

) est fixé dans

D(0, 1)

Montrer que

t \mapsto N(x, y, t)

est définie et continue sur

[0, 2π]

.
II.D.3) Soit

t \in [0, 2π]

fixé. Déterminer deux nombres complexes

α

β

, indépendants de

t

et de

z

, tels que

N(x, y, t) = - 1 + α/(1 - ze^(- it)) + β/(1 - z¯e^(it))

II.D.4) En déduire que

1/(2π)\int_0^(2π) N(x, y, t)dt = 1

On pourra écrire

1/(1 - ze^(- it))

sous la forme de la somme d'une série de fonctions.

III Problème de Dirichlet sur le disque unité de $ℝ^2$

Soit

f : C(0, 1) \to ℝ

une application continue. On appelle

D_f

l'ensemble des applications définies et continues sur

D¯(0, 1)

, harmoniques sur

D(0, 1)

et qui coïncident avec l'application

f

sur

C(0, 1)

.
Le problème de Dirichlet sur le disque unité de

ℝ^2

associé à

f

, consiste à rechercher les éléments de l'ensemble

D_f

.
On définit en outre, en reprenant les notations de la partie II, l'application

N_f(x, y) = 1/(2π)\int_0^(2π) N(x, y, t)f(cost, sint)dt

sur

D(0, 1)

et l'application

u(x, y) = {N_f(x, y), si (x, y) ∈ D(0, 1); f(x, y), si (x, y) ∈ C(0, 1)

sur

D¯(0, 1)

III.A - Étude de l'application $N_f$

III.A.1)

a) Montrer que

N_f

admet une dérivée partielle

\partial_(11) N_f

d'ordre 2 par rapport à

x

De même on peut montrer que

N_f

admet des dérivées partielles d'ordre 2 par rapport à toutes ses variables, continues sur

D(0, 1)

. Ce résultat est admis pour la suite.
Exprimer, pour tout

(x, y) \in D(0, 1)

, pour tout

(i, j) ∈ {1, 2}^2, ∂_(ij) N_f(x, y)

en fonction de

\partial_(ij) N(x, y, t)

.
b) En déduire que

u

est harmonique sur

D(0, 1)

.
III.A.2) Dans cette question, on fixe

t_0 \in [0, 2π], (x, y) \in D(0, 1)

ε > 0

. De plus, on note, pour tout réel

δ > 0

I_0^δ = {t ∈ [0, 2π]|‖(cost, sint) − (cost_0, sint_0)‖_2 ⩽ δ}

a) Montrer que

I_0^δ

est un intervalle ou bien la réunion de deux intervalles disjoints.

L'utilisation d'un dessin sera appréciée ; ce dessin ne constituera cependant pas une preuve.
b) Montrer, en utilisant l'application

f

, l'existence d'un réel

δ > 0

tel que

|\int_(t \in I_0^δ)N(x, y, t)(f(cost, sint) - f(cost_0, sint_0))dt| ⩽ ε/2

c) Soit

δ > 0

quelconque. Montrer que, si

t \in [0, 2π]∖I_0^δ

‖(x, y) - (cost_0, sint_0)‖_2 ⩽ δ/2

, alors

|N(x, y, t)| ⩽ 4(1 - (x^2 + y^2))/(δ^2)

d) Déduire de la question précédente que, pour

δ > 0

fixé, il existe

η > 0

tel que, si

‖(x, y) - (cost_0, sint_0)‖_2 ⩽ η

, alors

|\int_(t \in [0, 2π]∖I_0^δ)N(x, y, t)(f(cost, sint) - f(cost_0, sint_0))dt| ⩽ ε/2

III.A.3) Prouver que

u

est une application continue en tout point de

C(0, 1)

. Qu'en conclut-on pour l'application

u

?
III. B - Dans cette sous-partie, on suppose que

f

est l'application nulle sur

C(0, 1)

et que

u

est un élément de

D_f

. Pour tout

n \in ℕ

, on définit l'application

u_n : | D¯(0, 1), \to, ℝ; (x, y), \mapsto u(x, y) + 1/n(x^2 + y^2)

III.B.1) Supposons que

u_n

admette un maximum local en

(x~, y~) \in D(0, 1)

.
a) En s'intéressant au comportement de la fonction

x \mapsto u_n(x, y~)

montrer que, dans ce cas,

\partial_(11)u_n(x~, y~) ⩽ 0

. De même, on peut montrer que

\partial_(22)u_n(x~, y~) ⩽ 0

. Ainsi

Δu_n(x~, y~) ⩽ 0

. Ce résultat est admis pour la suite.
b) En déduire que

u_n

n'admet pas de maximum local sur

D(0, 1)

.
III.B.2) En déduire que, pour tout

(x, y) \in D(0, 1), u_n(x, y) ⩽ 1/n

.
III.B.3) Montrer que

u

est identiquement nulle sur

D¯(0, 1)

.
III.

C

- Prouver que, pour toute application continue

f : C(0, 1) \to ℝ

, l'ensemble

D_f

admet exactement un élément.

IV Retour sur les polynômes harmoniques

IV.A

- Dans cette question,

m

est un entier supérieur ou égal à 2 . On considère un polynôme

P \in P_m

et on note

P_C

la restriction de

P

au cercle

C(0, 1)

.
IV.A.1) Montrer que l'application

ù φ_(m - 2) : | P_(m - 2), \to P; Q, \mapsto ΔQ~ où Q~(x, y) = (1 - x^2 - y^2)Q(x, y)

est linéaire et injective et que

Imφ_(m - 2) \subset P_(m - 2)

.
IV.A.2) En déduire qu'il existe un polynôme

T \in P_(m - 2)

tel que

P + (1 - x^2 - y^2)T

soit un polynôme harmonique.
IV.A.3) Montrer que l'unique élément de l'ensemble

D_(P_C)

est la restriction à

D¯(0, 1)

d'un polynôme de degré inférieur ou égal à

m

.
IV.A.4) Expliciter l'ensemble

D_(P_C)

quand le polynôme

P

est défini par

P(x, y) = x^3

.
IV.B -
IV.B.1) Soit

P \in P

. Montrer que

P

se décompose de manière unique sous la forme :

P(x, y) = H(x, y) + (1 - x^2 - y^2)Q(x, y)

où

H

est un polynôme harmonique et

Q \in P

.
IV.B.2) Soit

m \in ℕ

. On note

H_m

le sous-espace vectoriel des polynômes harmoniques de degré inférieur ou égal à

m

. Déterminer la dimension de

H_m

.
IV.B.3) Déterminer explicitement une base de

H_3

.
IV.C - Dans cette dernière sous-partie, on se place sur

ℝ^n

pour un entier naturel

n ⩾ 3

et on reprend les notations précédentes, en adaptant les outils au contexte de

ℝ^n

; en particulier on considère maintenant les applications polynomiales à

n

variables. On admet que le problème de Dirichlet sur la boule unité de

ℝ^n

, associé à une fonction continue et définie sur la sphère unité (notée

S_n(0, 1)

)

f : S_n(0, 1) \to ℝ

, admet encore une unique solution.
Soit

m \in ℕ^*

.
IV.C.1) Montrer que l'ensemble

{(i_1, i_2, …, i_n) ∈ ℕ^n|i_1 + i_2 + ⋯ + i_n = m}

a pour cardinal

((n + m - 1)/m)

. En déduire la dimension de

P_m

.
IV.C.2) Déterminer la dimension de

H_m

en fonction de

m

et de

n

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I Résultats préliminaires

II Quelques exemples d'applications harmoniques

II.D - Un exemple fondamental

III Problème de Dirichlet sur le disque unité de ℝ^2

III.A - Étude de l'application N_f

III.A.1)

IV Retour sur les polynômes harmoniques

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III Problème de Dirichlet sur le disque unité de $ℝ^2$

III.A - Étude de l'application $N_f$