CCINP Mathématiques 2 PSI 2000Sujet et corrigé

Durée : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n^∘ 99-018 du 01.02.99.

Une feuille de papier millimétré devra être distribuée avec le sujet.
Le problème est consacré à l'étude des courbes dites "courbes de Bézier", du nom de l'ingénieur français Bézier, l'un des créateurs, dans les années 1960, de cet outil très répandu aujourd'hui dans l'industrie automobile et plus généralement dans le vaste domaine d'applications que constitue la conception assistée par ordinateurs (CAO).

N désigne l'ensemble des entiers naturels, R le corps des réels. Les notations usuelles en découlent pour les ensembles construits à partir de ceux-là. Par exemple, N^∗ désigne l'ensemble des entiars naturels non nuls, R_+l'ensemble des réels positifs ou nuls, etc.

Dans tout le problème, le plan vectoriel réel R^2 est muni de la base canonique (i⃗, j⃗) :

Chaque vecteur u⃗ ∈ R^2 s'identifie ainsi au couple de ses coordonnées dans la base canonique.
Un point de vue différent mais cohérent avec ce qui précède permet que les éléments de R^2 soient parfois appelés points, l'ensemble R^2 étant alors muni de sa structure de plan affine et repéré par le repère canonique ( O, i⃗, j⃗ ), où O = (0, 0). Tout point du plan s'identifie alors au couple de ses coordonnées dans ce repère. On pourra ainsi écrire simplement :

pour exprimer que les coordonnées du point M dans le repère canonique sont (x, y).
Etant donné deux points M et N, on posera N − M = MN^(→−). Cette écriture est cohérente avec les conventions précédentes, comme le montre la relation existante entre les coordonnées du vecteur MN^(→−) et celles des points M et N.
De façon équivalente, on pourra écrire :

Plus généralement, si n désigne un entier naturel non nul, ( λ_1, …, λ_n ) une famille de n scalaires et ( P_1, …, P_n ) une famille de n points, l'expression λ_1 P_1 + λ_2 P_2 + … + λ_n P_n désignera le point (ou, selon le contexte, le vecteur) dont les coordonnées sont données conformément à cette expression. En particulier, si le n-uplet ( λ_1, …, λ_n ) vérifie ∑_(k = 1)^n λ_k = 1, l'expression λ_1 P_1 + λ_2 P_2 + … + λ_n P_n désigne le barycentre des points (P_1, …, P_n) affectés respectivement des poids (λ_1, …, λ_n).

Le candidat remarquera qu'avec ces conventions, la propriété d'associativité du barycentre s'exprime d'une façon très simple et naturelle.

Pour tout entier n, on note L_n l'ensemble des n-uplets de points du plan.
Autrement dit, L_n = (R^2)^n.
On ne fera pas de différence entre L_1 et le plan R^2.
Par ailleurs, on note A l'ensemble des courbes paramétrées c de la forme

avec x et y fonctions continues du paramètre t ∈ [0, 1].
On définit par récurrence une suite (B_n)_(n ∈ N) d'applications en posant:

L'arc paramétré

est appelé la courbe de Bézier associée aux ( n + 1 ) pôles P_0, P_1, …, P_n.
Afin d'alléger la notation, pour toute famille F ∈ L_(n + 1), la courbe de Bézier associée aux ( n + 1 ) pôles F sera le plus souvent notée B_(n, F) ou même B_F.

De façon générale, et sauf mention explicite du contraire dans l'énoncé, on ne fera pas appel aux coordonnées des points.

I.1/ Cas n = 1.

Soit F = (P_0, P_1) ∈ L_2.
I.1.1/ Exprimer, en fonction du paramètre t et des points P_0 et P_1, le point courant de la courbe de Bézier associée à la famille F, c'est-à-dire le point B_F(t) = B_(1, F)(t).
I.1.2/ Quelle est la trajectoire de l'arc paramétré B_F ?
I.2/ Cas n = 2.

Soit F = (P_0, P_1, P_2) ∈ L_3.
I.2.1/ Soit, pour i ∈ {0, 1}, Q_i le milieu de P_i et P_(i + 1). Montrer que B_F(1/2) est le milieu de Q_0 et Q_1.
I.2.2/ Déterminer B_F(0) et B_F(1).
I.2.3/ Exprimer en fonction de t le point courant B_F(t) comme barycentre des trois pôles P_0, P_1 et P_2, avec des coefficients dont la somme fait 1 .
I.2.4/ On suppose P_0 = (1, 0), P_1 = (0, 0) et P_2 = (0, 1).
I.2.4.1/ Calculer (d^2(B_F(t)))/(dt^2); en déduire la nature de la trajectoire de l'arc paramétré B_F.
I.2.4.2/ Tracer la trajectoire de B_F. (on prendra ( O, i⃗, j⃗ ) orthonormé avec une unité de longueur de 4 cm ).

II.1/ On rappelle qu'une partie non vide K du plan est convexe si et seulement si

II.1.1/ Montrer qu'une partie non vide K du plan est convexe si et seulement si

II.1.2/ Soit E une partie non vide du plan, et soit W un ensemble non vide de parties convexes du plan contenant E. Montrer que l'intersection de tous les convexes appartenant à W, c'est-à-dire ⋂_(K ∈ W)K, est un convexe contenant E.
Dans la suite, pour toute partie non vide E du plan, on note C(E) l'enveloppe convexe de E, c'est-à-dire l'intersection de toutes les parties convexes du plan contenant E.
II.1.3/ Soit E une partie non vide du plan. Montrer l'équivalence

II.1.4/ Soient G et H deux parties non vides du plan. Prouver l'implication

II.1.5/ Soit E une partie non vide du plan. Montrer que
C(E) = {M ∈ R^2, ∃n ∈ N^∗, ∃(M_1, …, M_n) ∈ E^n, ∃(λ_1, …, λ_n) ∈ (R_+)^n, ∑_(k = 1)^n λ_k = 1 et M = ∑_(k = 1)^n λ_k M_k}
Dans la suite, pour tout entier naturel n et toute famille de points F ∈ L_n, on notera encore C(F) l'enveloppe convexe des points formant la famille F.
II.1.6/ Démontrer, par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n et toute famille F ∈ L_(n + 1), la trajectoire de B_(n, F) est incluse dans C(F).

II.2.1/ Soit φ une transformation affine du plan. Démontrer, par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n et toute famille F ∈ L_(n + 1), on a

où φ(F) désigne la famille obtenue en appliquant φ à chacun des points de la famille F.
II.2.2/ Soit un triangle quelconque P_0 P_1 P_2, non aplati; en s'aidant de la question I.2.4, tracer à main levée la courbe de Bézier associée, et justifier le tracé. Déduire également de la question I .2.4 la nature de cette courbe.

III.1/ Fonctions de mélange.
III.1.1/Démontrer, par récurrence sur n, que pour tout entier naturel n il existe n + 1 fonctions polynômes b_(n, k) : [0, 1] → [0, 1], de degré inférieur ou égal à n, telles que, pour toute famille F = (P_0, …, P_n) ∈ L_(n + 1), on ait

On ne cherchera pas dans cette question III.1.1 à exprimer explicitement les fonctions b_(n, k) (appelées fonctions de mélange).

Au cours de la démonstration demandée, le candidat mettra en évidence la relation entre b_(n + 1, k), b_(n, k) et b_(n, k − 1) vérifiée lorsque 1 ≤ k ≤ n, ainsi que la relation entre b_(n + 1, 0) et b_(n, 0) et celle qui a lieu entre b_(n + 1, n + 1) et b_(n, n).
III.1.2/ Pour cette seule question, on prend n = 3. Déterminer les polynômes b_(3, k)(t) pour k ∈ {0, …, 3}.
III.1.3/ n désigne à nouveau un entier naturel non nul quelconque. Déterminer, pour tout k ∈ {0, …, n}, une formule simple exprimant b_(n, k)(t) en fonction de t, de n et de k.

Pour tout k ∈ {0, …, n}, on pose I_(n, k) = ∫_0^1 b_(n, k)(t)dt.
III.1.4/ Déterminer ∑_(k = 0)^n I_(n, k).
III.1.5/ Déterminer, en fonction de n et k, la valeur de I_(n, k) (on pourra faire une intégration par parties).
III.2/ Soit n ∈ N^∗ et F = (P_0, …, P_n) ∈ L_(n + 1). On note F~ la famille obtenue à partir de F en inversant l'ordre des pôles : F~ = (P_n, P_(n − 1), …, P_0) ∈ L_(n + 1).
III.2.1/ Quelle relation a-t-on entre B_(n, F~) et B_(n, F) ?
III.2.2/ Comparer les trajectoires respectives de B_(n, F~) et de B_(n, F).

IV. 1/ Soit n ∈ N^∗ et F = (P_0, …, P_n) ∈ L_(n + 1).

Soit V l'espace vectoriel réel des polynômes à deux variables notées S et T, de degrés partiels inférieurs ou égaux à n.
Autrement dit, les éléments de V sont de la forme ∑_(i = 0)^n∑_(j = 0)^n α_(ij)S^i T^j, avec α_(ij) ∈ R pour tout (i, j) ∈ {0, …, n}^2.
Les monômes de la forme S^i T^j constituent une base de V, dite base canonique de V.
A tout t ∈ [0, 1], on associe l'application linéaire Ψ_t : V → R^2 caractérisée par l'image des vecteurs de la base canonique :

Par ailleurs, pour tout couple d'entiers naturels (i, j) tel que i + j ≤ n, on pose :

IV.1.1/ Trouver un polynôme Z ∈ V, dont on donnera l'expression en fonction de S et T, tel que pour tout couple d'entiers naturels (i, j) tel que i + j ≤ n, on ait :

On pourra faire une démonstration par récurrence sur i.
IV.1.2/ Utiliser le résultat précédent pour retrouver la formule de la question III.1.3.
IV.1.3/ Déterminer B_F(0) et B_F(1).
IV.1.4/ Soit W ∈ V. Vérifier que d/(dt)Ψ_t(W) = Ψ_t((∂W)/(∂T)).
IV.1.5/ Exprimer le vecteur dérivé d/(dt)B_(n, F)(t) à l'aide des points C_(n − 1, 0)(t) et C_(n − 1, 1)(t).
IV.1.6/ On suppose les pôles P_i deux à deux distincts. Déterminer la droite tangente à la trajectoire de B_F au point de paramètre t = 0; même question en t = 1.
IV.1.7/ Dérivée k-ième.
IV.1.7.1/ Z désignant le polynôme introduit à la question IV.1.1, déterminer, pour tout k ∈ {1, …, n}, la dérivée partielle (∂^k(Z^n))/(∂T^k). On laissera l'expression demandée sous forme factorisée.
IV.1.7.2/ Pour tout k ∈ {1, …, n}, exprimer en fonction des pôles le vecteur dérivé k-ième de B_(n, F) en t = 0, c'est-à-dire le vecteur B_(n, F)^((k))(0). Constater que ce vecteur ne dépend que des k + 1 premiers pôles de la famille F.
IV.2/ Dans cette question, on prend n = 3, P_0 = (− 1, 0), P_1 = (0, 2), P_2 = (0, − 2) et P_3 = (1, 0). Montrer que la courbe de Bézier associée à cette famille de pôles est symétrique par rapport à O (on pourra exploiter le résultat de la question II.2.1), puis tracer cette courbe.
On travaillera sur papier millimétré, avec une unité de 5 cm . Le tracé s'appuiera en particulier sur les tangentes à la courbe aux points de paramètres t ∈ {0, 1/2, 1}.

Soit q ∈ N^∗, (M_1, M_2, …, M_q) une famille de q points du plan et (t_1, …, t_q) une famille de q réels deux à deux distincts pris dans l'intervalle ]0, 1[. Pour tout k ∈ {1, …, q} les coordonnées de M_k seront notées ( α_k, β_k ).
Par ailleurs, soit n ∈ N^∗. La présente partie V vise à aborder le problème de la détermination d'une famille de pôles F ∈ L_(n + 1) telle que la courbe de Bézier B_F s'approche au mieux des points M_k. Plus précisément, on pose

où d désigne la distance euclidienne canonique sur R^2, et l'on cherche F tel que :

Afin de travailler avec une fonction de plusieurs variables réelles, on identifie L_(n + 1) et R^(2n + 2) grâce à la bijection :

et la recherche d'un minimum pour g revient à celle d'un minimum de f, où l'on a posé :

V.1/ Montrer que f est une application de classe C^1 sur R^(2n + 2).
V. 2/ Exprimer la dérivée partielle (∂f)/(∂x_i) en fonction des variables (x_0, …, x_n, y_0, …, y_n), de l'indice i ∈ {0, …, n, }, desdonnéesduproblèmeetdesfonctionsdemélange(voirquestionIII.1).
Donner de même l'expression de (∂f)/(∂y_i).
V. 3/ Déterminer une matrice carrée non nulle A = (a_(ij))_((i, j) ∈ {0, …, n}^2) d'ordre n + 1, un vecteur colonne U = (u_i)_(0 ≤ i ≤ n) et un vecteur colonne V = (v_i)_(0 ≤ i ≤ n) tel que si F = ((x_0, y_0), …, (x_n, y_n)) minimise la fonction g, alors les vecteurs colonnes X = (x_0; ⋮; x_n) et Y = (y_0; ⋮; y_n) vérifient les systèmes linéaires

Bien entendu, l'expression de A, U et V ne doit faire intervenir ni les x_j ni les y_j.

Dans le cas où A est inversible, on dispose ainsi d'un procédé pour déterminer la famille F cherchée, car on peut alors démontrer par un argument topologique que cette famille F minimise effectivement la fonction g. En pratique, les choses sont en fait un peu plus complexes, car on ne dispose généralement que des points (M_1, M_2, …, M_q) mais pas des valeurs (t_1, …, t_q).