Sujet X ENS Mathématiques PSI 2000

Durée : 4 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d'admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

La plus grande attention sera accordée à la rigueur et à la clarté de la rédaction.

Un résultat énoncé dans une question peut être utilisé dans la suite sans démonstration.

Au cours de ce problème nous étudierons certaines propriétés de la fonction u lorsqu'elle est solution de l'équation différentielle ordinaire (parties II et III)

ou lorsque qu'elle est solution non nulle de l'équation différentielle ordinaire (partie IV)

Dans tout le problème, f est une fonction de classe C^∞ donnée sur l'intervalle [0, 1] et V est une fonction de classe C^∞ strictement positive donnée sur l'intervalle [0, 1]. On sait qu'il existe alors un nombre réel strictement positif V_0 tel que

1.1. Soit u une solution de l'équation différentielle (1). Montrer que u est de classe C^∞ sur l'intervalle [0, 1].
1.2. Soit ( a, b, c ) trois nombres réels donnés.

Discuter suivant les valeurs de a, b et c le nombre de solutions de l'équation (1) vérifiant les conditions initiales

1.3 Le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique-t-il à l'équation (1) avec les conditions

1.4 Soit v une fonction de classe C^2 sur un intervalle [x_1, x_2]. On suppose que v possède un minimum local en x_0 ∈ ]x_1, x_2[. Montrer que

L'objectif de cette partie est de montrer qu'il y a existence et unicité de la solution du problème (1) avec les conditions (4).
2.1 On suppose que f est une fonction positive : f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [0, 1]. Soit u une solution de l'équation (1).

2.2 On suppose que f est une fonction négative : f(x) ≤ 0, ∀x ∈ ]0, 1[. Montrer que si u est solution de l'équation (1) et vérifie les conditions (4) alors

2.3 Soit b un nombre réel donné. Soit u_b : x → u_b(x) la solution de l'équation (1) avec les conditions initiales u_b(0) = 0 et u_b^′(0) = b. On pose

Montrer que φ est une application affine de ℝ dans ℝ.
2.4 Montrer que φ est une application injective.
2.5 Montrer l'existence et l'unicité de la solution de

Dans cette partie nous étudions une méthode d'approximation numérique de la solution u du système (5).

On considère le vecteur u¯ ∈ ℝ^(n + 1) avec n ≥ 2. Les composantes de u¯ sont notées u_i = (u¯)_i, i = 0, …, n. On pose Δx = 1/n, V_i = V(iΔx) et f_i = f(iΔx). On considère le système linéaire

3.1 On suppose que f_i ≥ 0 pour tout i = 1, …, n − 1. On fait l'hypothèse que u¯ est une solution du système (6).

Montrer que u_i ≥ 0 pour tout i = 1, …, n − 1.
Indication : on pourra introduire u_(i_0) = min_(1 ≤ i ≤ n − 1)(u_i).
3.2. Montrer que le système (6) possède une solution unique.
3.3 Soit u la solution de (5) et u¯ la solution de (6). On pose v_i = u_i − u(iΔx). Montrer que

avec

En déduire l'inégalité

u^((4))(x) désignant la dérivée quatrième de u au point x.
3.4 On pose

Soit pour i = 0, …, n,

Montrer que pour i = 0, …, n

3.5 Soit pour i = 0, …, n,

Montrer que pour i = 0, …, n

3.6 En déduire que

Que peut-on dire quand n → + ∞ ?
3.7 On pose l_i = V_i u_i − f_i pour i = 0, …, n. Montrer qu'il existe une constante A > 0 telle que

3.8 Soit la fonction ℓ définie sur l'intervalle [0, 1] par

et

Montrer qu'il existe une constante B > 0, telle que

3.9 Montrer que pour la solution u de (5)

En déduire qu'il existe une constante C > 0 ainsi qu'une combinaison linéaire des l_i, que l'on notera M, telle que

Dans cette partie on conserve l'hypothèse (3) faite sur V, et on considère pour λ ∈ ℝ le système

Nous allons étudier pour quelles valeurs de λ ce système possède une solution non identiquement nulle.

Soit λ ∈ ℝ. Soit x → u_λ(x) la solution de l'équation (2) avec u_λ(0) = 0 et u_λ^′(0) = 1. On pose

4.1 Montrer que le système (7) possède une solution non identiquement nulle si et seulement si Ψ(λ) = 0.
4.2 Montrer que pour toute solution du système (7)

4.3 On suppose que λ ≤ V_0. Existe-t-il des solutions non identiquement nulles du système (7) ?

Dans les questions qui suivent on suppose que λ > V_0 et on pose α = √λ.
4.4 Montrer que

4.5 On pose

Montrer que

4.6 Montrer qu'il existe une constante C_1 > 0 indépendante de λ, que l'on déterminera, telle que

4.7 On considère le cas λ = (π/2 + 2kπ)^2 lorsque k est entier. Montrer qu'il existe k_0 ∈ ℕ tel que

4.8 On considère le cas λ = ((3π)/2 + 2kπ)^2 lorsque k est entier. Montrer qu'il existe k_1 ∈ ℕ tel que

4.9 Soient λ > V_0 et μ > V_0 deux nombres réels. On pose g_(λ, μ)(x) = u_λ(x) − u_μ(x).

Montrer qu'il existe deux constantes C_2 > 0 et C_3 > 0 telles que

On pourra utiliser la représentation intégrale (8).
Soit la fonction I_(λ, μ)(x) = ∫_0^x|g_(λ, μ)(s)|ds. Montrer qu'il existe une constante C_4 > 0 telle que

4.10 Montrer la continuité de la fonction Ψ pour λ > V_0.
4.11 Montrer qu'il existe une suite infinie (λ_n)_(n ∈ ℕ) telle que
a) ∀n ∈ ℕ il existe une solution non identiquement nulle du système (7) pour λ = λ_n,
c) λ_n tend vers + ∞ quand n → + ∞.